Le cacul des différentielles nous amène au calcul des dérivées qui définissent des transformations linéaires. Aussi il est naturel d'étudier d'abord le calcul différentiel dans lequel on découvrira les espaces vectoriels.
On commence par étudier une fonction analytique binaire c'est à dire qui a deux argument `f(x,y)`. On reprend la formule de Taylor pour une fonction unaire vue dans la partie précédente, et on l'étend grâce au calcul vectoriel. La fonction sera égale par morceau à une série entière qui est son développement de Taylor et qui est convergente sur le morceau considéré.
Considérons une fonction binaire `f` qui dépend totalement de deux variable `x,y`. Cela se note par le neurone suivant :
`f←x,y`
On définie deux opérateurs de dérivée partielle `del/(delx)` et `del/(dely)` et deux opérateurs de différentialisation partielle `del_x f` et `del_y f` définis comme suit :
`del/(delx) f = (del_x f)/(dx)= (f(x"+"dx,y)-f+O(epsilon^2))/dx`
`del/(dely) f = (del_y f)/(dy)= (f(x,y"+"dy)-f+O(epsilon^2))/dy`
Les éléments différentiels partiels suivants sont d'ordre `O(epsilon)` :
`del_x f =(del f)/(delx) dx`
`del_y f = (del f)/(dely) dy`
`del_x f` représente la variation tangentielle de `f` au point `(x,y)` lorsque l'on fait bouger `x` de `dx` sans faire bouger `y`. Et `del_y f` représente la variation tangentielle de `f` au point `(x,y)` lorsque l'on fait bouger `y` de `dy` sans faire bouger `x`. `del_x` et `del_y` sont des opérateurs de différentialisation partiels. Le developpement de Taylor est :
`f(x+dx,y) = O(1)`
`f(x+dx,y) = f+O(epsilon)`
`f(x+dx,y) = f+del_xf + O(epsilon^2)`
`f(x+dx,y) = f+del_xf + del_x^2f"/"2 + O(epsilon^3)`
`f(x+dx,y) = f+del_xf + del_x^2f"/"2 + del_x^3f"/"6 + O(epsilon^4)`
Le neurone indique les arguments par défaut. Ainsi nous avons :
`f’= f’(x,y)`
`(delf)/(delx) = (delf(x,y))/(delx)`
`(delf)/(dely) = (delf(x,y))/(dely)`
`del_x f= del_x f(x,y)`
`del_y f= del_y f(x,y)`
Notez qu'il y a trois notations équivalentes, soit en faisant apparaitre l'opérateur de dérivabilité partiel que l'on applique sur la fonction, soit en mettant la fonction dans l'expression, soit en faisant apparaitre l'opérateur de différentiabilité partielle qui est associée à la diffférentielle totale de l'argument :
`del/ (delx) f = (delf)/(delx) = 1/dx del_x f `
`del/ (dely) f = (delf)/(dely) = 1/dy del_y f `
On note la position `X` pour désigner le vecteur `(x,y)`. Remarquez l'extrême facilité avec laqelle nous utilisons la virgule pour construire des vecteurs. Le produit ainsi que les opérateurs de dérivées et l'opérateur de différentiabilité, sont distributif sur l'opération virgule :
`f←X`
`X=(x,y)`
`dX=(dx,dy)`
La dérivé de `f` se présente comme un transformation linéaire s'appliquant au vecteur différentiel `dX=(dx,dy)` pour produire la différentielle exacte de `f`. On utilise le produit scalaire `"•"` et une représentation de `f` sont forme de vecteur :
`f’=(df)/(dX) = (df)/(d(x,y)) = ((del f)/(delx), (delf)/(dely)) = ((del_x f)/dx,(del_y f)/dy)`
`df = f’"•"dX`
`df = ((del f)/(delx), (delf)/(dely))"•"(dx,dy)`
`df = (delf)/(delx) dx+(delf)/(dely) dy`
`df = del_x f + del_y f `
`d"/"dX` où `d"/"d(x,y)` est un opérateur de dérivée.
`f’’=(df’)/(dX) = (df’)/(d(x,y)) = ((del f’)/(delx), (delf’)/(dely)) = ((del_x f')/dx,(del_y f')/dy)`
`f’’=d/(dX)((del f’)/(delx), (delf’)/(dely)) = d/(d(x,y))((del f’)/(delx), (delf’)/(dely))`
`f’’= (del/(delx) ((del f)/(delx), (delf)/(dely)), del/(dely) ((del f)/(delx), (delf)/(dely)))`
`f’’=( ((del^2 f)/(delx^2), (del^2f)/(delxdely)), ((del^2 f)/(delxdely), (del^2f)/(dely^2)) )`
Notez que pour les fonctions analytiques les opérateurs de dérivée partielle `del/(delx)` et `del/(dely)` commutent :
`del/(delx) del/(dely) f = del/(dely) del/(delx) f = (del^2 f)/(delxdely)`
---- 28 août 2022 ----