On considère une fonction `φ` de `]x_"min",x_"max"[->RR`. La fonction `φ` est analytique si et seulement si elle est développable en série comme suit au voisinage de chacun de ses points `x` appartenant à `]x_"min",x_"max"[` :
`φ(x"+"dx) = a_0+a_1dx+a_2dx^2+a_3dx^3+...+a_ndx^n+...`
où `dx` désigne ici un réel quelconque tel que `x"+"dx` appartiennent à `]x_"min",x_"max"[`, et où `a_0,a_1,a_2,...,a_n,...` sont des coefficients réels. Ce qui s'écrit :
`φ(x) = sum_(n=0)^oo a_ndx^n`
On rappelle que `0^0"="1` et que `0!"="1`. On remarque que :
`φ(x"+"dx) = a_0 + a_1dx + a_2dx^2 + a_3dx^3+ a_4dx^4+ a_5dx^5+ ...`
`φ'(x"+"dx) = a_1 + 2a_2dx + 3a_3dx^2 + 4a_4dx^3+ 5a_5dx^4+ ...`
`φ''(x"+"dx) = 2a_2 + (3"∗"2)a_3dx + (4"∗"3)a_4dx^2 + (5"∗"4)a_5dx^3+...`
`φ^("("3")")(x"+"dx) = (3"∗"2)a_3 + (4"∗"3"∗"2)a_4dx+ (5"∗"4"∗"3)a_5dx^2+...`
`φ^("("4")")(x"+"dx) = (4"∗"3"∗"2)a_4+ (5"∗"4"∗"3"∗"2)a_5dx+...`
Et donc en posant `dx"="0`, on constate que :
`a_0 =φ(x) ` `a_1= φ'(x)` `a_2= (φ(x))/(2!)` `a_3=(φ^("("3")")(x))/(3!)` `...` `a_n=(φ^("("n")")(x))/(n!)`
On constate alors que cette série entière constitue la série de Taylor de `φ` au point `x` :
`φ(x) = sum_(n=0)^oo ( φ^("("n")")(x))/(n!) dx^n`
Il est possible d'alléger l'écriture en considèrant le neurone suivant :
`φ ← (x)`
Cela définie la variable `φ` désignant le résulat de la fonction `φ` appliquée à un système de coordonné par défaut `(x)`. Et il en est de même pour les dérivés de `φ`. Cela définie les variables `φ`, `φ'`, `φ''`, `φ^("("3")")`, ..., `φ^("("n")")` désignant les résulats des fonctions dérivées appliquées au même système de coordonné par défaut `(x)`. De telle sorte que nous avons par défaut :
`φ = φ(x)`
`φ' = φ'(x)`
`φ'' = φ''(x)`
`φ^("("3")") = φ^("("3")")(x)`
`φ^("("n")") = φ^("("n")")(x)`
Le développpement en série au point `x` s'écrit comme suit et s'appelle la série de Taylor :
`φ(x"+"dx) = φ + φ'dx + (φ'')/(2!) dx^2+ (φ^("("3")"))/(3!) dx^3+ ... +(φ^("("n")"))/(n!) dx^n+ ...`
`φ(x"+"dx) = sum_(n=0)^oo (φ^("("n")"))/(n!) dx^n`
Et par convention `φ^("("0")") "=" φ`
La fonction génératrice des moments d'une variable `x`, que l'on note `M`, est une fonction de `RR` dans `RR^"+""*"` définie comme suit :
`M(z) = "<"e^(z x )">"`
Le calcul de la moyenne extérieure :
`M(z) = lim_(k->oo) 1/k sum_(k=1)^k e^(z x(k))`
Et selon que `x` est de loi discrète ou continue, `X`, le calcul de la moyenne intérieure :
`M(z) = sum_x e^(z x) X(x)` avec `X(x) = P(overset(***)x=x)`
`M(z) = int_x e^(z x) X(x)dx` avec `X(x) = (P(overset(***)x in "]"x,x"+"dx"["))/(dx)`
La fonction exponentielle se développe en série :
`e^z = 1+z+(z^2)/2+(z^3)/(3!)+...+(z^n)/(n!)+...`
`M(z) = "<"1+x z+((x z)^2)/2+((x z)^3)/(3!)+...+((x z)^n)/(n!)+...">"`
`M(z) = 1+"<"x">"z + "<"x^2">" (z^2)/2 + "<"x^3">"(z^3)/(3!)+...+"<"x^n">"(z^n)/(n!) + ... ">"`
`M(z) = 1+mu_1z + mu_2 (z^2)/2 + mu_3(z^3)/(3!)+...+mu_n(z^n)/(n!) + ... ">"`
`M(z) = sum_(r=0)^oo mu_r(z^r)/(r!)`
où `mu_n` est le moment d'ordre `n` de la variable `x`. On calcule les moments à partir de la fonction génératrice des moments comme suit :
`M(0)=mu_0`
`M'(0)=mu_1`
`M''(0)=mu_2`
`M^("("3")")(0)=mu_3`
`...`
`M^("("r")")(0)=mu_r`
La fonction génératrice des moments centraux d'une variable `x`, que l'on note `Ṃ`, est une fonction de `RR` dans `RR^"+""*"` définie comme suit :
`Ṃ(z) = "<"e^((x"-"<x>)z)">"`
et permet de calculer pareillement les moments centraux. La relation entre ces deux fonctions génératrices est :
`Ṃ(z) = e^(<x>z)M(z)`
Le coefficient d'asymétrie `gamma_1[x]` et nul si la distribution de `x` est symétrique, mais la réciproque n'est pas vrai. Si la distribution de `x` est unimodale et plus étalée vers la droite, `gamma_1` est positif, et inversement si elle et plus étalée vers la gauche, `gamma_1` est négatif.
`gamma_1 = mu_3 mu_2^(-3/2)`
Le coefficient d'aplatissement `gamma_2(x)` est nul si la variable `x` est normale. Si la distribution est plus aplatie, `gamma_2` est négatifs, et inversement si elle est moins aplatie, `gamma_2` est positif,
`gamma_2 = mu_4 mu_2^-2`
Ces coefficients sont invariants par changement d'origine et d'échelle, c'est à dire par transformation linéaire :
`gamma_1[ax+b] =gamma_1[x]`
`gamma_2[ax+b] = gamma_2[x]`
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---- 9 février 2020 ----
La fonction caractéristique est la transformation de Fourier appliquée à une variable. Considérons une variable `x` de loi `X`. La fonction caractéristique de la variable `x`, noté `frX`, se définit comme suit :
`frX(nu) = "<"e^(i nu x)">"`
`frX(nu) = "<"cos(nux)">"+i"<"sin(nux)">"`
Selon que `x` est de loi discrète ou continue, nous avons :
`X(x) = P(overset(***)x=x)`
`frX(nu) = sum_nu e^(i nu x) X(x) = sum_nu cos(nux) X(x) + isum_nu sin(nux) X(x)`
`X(x) = P(overset(***)x in "]"x,x"+"dx"[")dx`
`frX(nu) = int_nu e^(i nu x) X(x)dx = int_nu cos(nux) X(x)dx + isum_nu sin(nux) X(x)dx`
frX(0)=1