Calcul différentiel

1) Introduction

Le calcul différentiel permet d'apprehender un système d'équations, en procédant a une aproximation linéaire locale exacte. On introduit les variations infinitesimales et on transforme le système d'équations en des équations locales développées au premier ordre et simplifiables par l'ajout de variables. Et avec un changement de variable adéquoite, on produit un modèle calculable ne manière itérative.

La classification des systèmes d'équations aux dérivées partielles est orientée pour la détermination des solutions exactes misent sous forme de famille de fonctions avec un formalisme éloigné de l'empirisme et de l'algorithmique qui pourtant sont deux des éléments moteurs de ces recherches. Nous explorons d'autres approches, d'avantages portées sur l'empirisme et la recherche d'algorithmes, tel que les réseaux de neurones, et mettant en équation le comportement des équations elles-mêmes.

On se situe dans un corps différentiable. Et on décrit le langage des équations, des fonctions, des variables, des dérivées et dérivées partielles, des éléments différentiels... que l'on peut construire sur ce corps.

2) La dérivée

2.1) Cas des fonctions d'arité (1,1)

La dérivée d'une fonction f d'arité (1,1) est encore une fonction d'arité (1,1) noté f' définie comme suit. f'(x) est égale à la limite lorsque ε tend vers 0 de :

(f(x+ε)-f(x))/ε

L'approximation linéaire de f autour du point x est égale à sa tangente. Appelons F cette aproximation et δx un écart de x.

F(x+δx) = f(x) + f'(x)*δx

Cette approximation devient exacte au premier ordre lorsque l'on introduit, comme écart de x, l'élément différentiel dx :

f(x+dx) = f(x) + f'(x)*dx

Pour être d'avantage explicite on peut utiliser la notation de Landau, mais avec un écart δ non différentiel.

f(x+δx) = f(x) + f'(x)*δx + o(δx)
f(x+δx) = f(x) + f'(x)*δx + O(δx^2)

On utilise le grand O de Landau, O(δx^2) représente toutes les fonctions du même ordre que δx^2 autours de 0, c'est à dire toutes les fonctions g(δx) tel que le limite de g(δx) / δx^2 vaille une valeur finie, lorsque δx tend vers 0.

On utilise également le petit o de Landau, o(δx) représente toutes les fonctions négligeables devant la fonction identité δx autours de 0, c'est à dire toutes les fonctions g(δx) tel que le limite de g(δx)/δx vaille 0, lorsque δ tend vers 0.

2.2) La socialisation, vecteurs, structures.

Le fait de regrouper des objects mathématiques similaires en un object vectoriel à plusiers composantes, pour pouvoir bénéficier de calculs parallèles, constitue une sorte de factorisation des tâches, rendues possibles parceque similaires, et permet non seulement de réduire la complexité de Kolmogorov dans la désignation des opérations et des objects ainsi factorisés, mais également de donner une conscience de classe, une conscience d'objects plus globaux portant les principes recherchés. C'est pourquoi cette socialisation des objects mathématiques s'effectue dès que possible.

Un couple d'élément du corps pourra être désigné par une variable, de même pour une variation, pour une variation sur une seule composante, pour un élément différentiel... :

X = (x, y)
δX = (δx, δy)
dX = (dx, dy)
ε1 = (x+ε, y)
ε2 = (x, y+ε)
d1 = (x+dx, y)
d2 = (x, y+dy)

L'addition, la multiplication :

(a,c)+(A,B) = (a+A,b+B)
(a,c)*(A,B) = (a*A,b*B)

Les opérations répétitives :

(a,b)*c = (a*c,b*c)
(a,b)+c = (a+c,b+c)

Les fonctions répétitives :

f(.) : f(x,y) = (f(x),f(y))
g(.,.) : g(x,y,z,t) = g(x,y),g(z,t)
(a,b,c,d)*(A,B) = (a*A, b*B, c*A, d*B)

Les fonctions répétitives en respectant le ppcm

g(x) = g(x,x)
g(x,y,z) = (g(x,y), g(z,x), g(y,z))
(a,b,c)*(A,B) = (a*A, b*B, c*A, a*B, b*A, c*B)

2.2) Cas des fonctions d'arité (n,1)

Les fonctions à plusieurs variables. La dérivée d'une fonction f : (x,y)-->f(x,y) d'arité (2,1) est une fonction d'arité (2,2) noté f' qui appliqué à un couple (x,y) retourne un couple où la première composante évalue la pente en x à y constant, et la seconde composante évalue la pente en y à x constant . f'(x,y) est égale à la limite lorsque ε tend vers 0 du couple suivant :

( (f(x+ε,y)-f(x,y))/ε, (f(x,y+ε)-f(x,y))/ε )
    (f(X+ε1)-f(X), (f(X+ε2)-f(X)))/ε
   ((f(X+ε1),f(X+ε2))-(f(X),f(X))))/ε
                       f'(X)

L'approximation linéaire de f autour du point (x,y) est égale à son plan tangent. Appelons F cette aproximation, et δX=(δx,δy) un écart de X=(x,y), et notons le produit scalaire de deux couples comme suit : (a,b) • (A,B) = (a*A,b*B), et l'addition comme suit (a,b) + (A,B) = (a+A,b+B). Nous avons :

F(x+δx, y+δy) = f(x,y) + f'(x,y) • (δx,δy)
F(X+δX) = f(X) + f'(X) • δX

Cette approximation devient exacte au premier ordre lorsque l'on introduit, comme écart de X=(x,y), l'élément différentiel dX=(dx,dy) :

f(x+dx,y+dy) = f(x,y) + f'(x,y) • (dx,dy)
f(X+dX) = f(X) + f'(X) • dX

Pour être d'avantage explicite on peut utiliser la notation de Landau, mais avec un écart δX non différentiel.

f(x+δx,y+δy) = f(x,y) + f'(x,y) • (δx,δy) + o(|(δx,δy)|)
f(X+δX) = f(X) + f'(X) • (δX) + o(|(δX)|)

f(X+δX) = f(X) + f'(X) • (δX) + O(|(δX)|^2)

La notation de Landau vectoriel peut utiliser la norme, |(x,y)| = sqrt(x^2+y^2), mais elle pourrait tous aussi bien utiliser une norme plus simple tel que |(x,y)| = |x|+|y|.

2.4) Cas des fonctions d'arité (1,n)

La dérivée d'une fonction f : (x)-->(f1(x), f2(x)) d'arité (1,2) est une fonction d'arité (1,2) noté f' qui appliqué à un élément x retourne un couple. f'(x) est égale à la limite lorsque ε tend vers 0 du couple suivant :

(f1(x+ε)-f1(x))/ε, (f2(x+ε)-f2(x))/ε)
               (f(x+ε)-f(x))/ε
                      f'(x)

L'approximation linéaire de f autour du point x est noté F.

F(x+δx) = (f1(x), f2(x)) + ( f1(x+ε)-f1(x))/ε, (f2(x+ε)-f2(x))/ε ) * δx
F(x+δx) = f(x) + f'(x)*δx

Cette approximation devient exacte au premier ordre lorsque l'on introduit, comme écart de x, l'élément différentiel dx :

f(x+dx) = f(x) + f'(x)*dx

Pour être d'avantage explicite on peut utiliser la notation de Landau, mais avec un écart δx non différentiel.

f(x+δx) = f(x) + f'(x)*δx + o(δx)
f(x+δx) = f(x) + f'(x)*δx + O(δx^2)

2.4) Cas des fonctions d'arité (n,m)

 

2.1) La notation différentielle

On formalise une notation différentielle pour s'affranchir des lourdeurs du passage à la limite. Le corps différentiel dans lequel on opèrent peut être celui des réels, des complexes, des quaternions, ou tout autre corps différentiables. La formalisation de la notation différentielle est une extention de corps consistant à ajouter les variables du systèmes x, y..., et leur éléments différentiels dx, dy...

Un élément différentiel dx représente une variation infinitésimale du premier ordre d'une variable x. (Le corps ainsi étendu est de dimenssion infinie.)

On parlera de variables d'états pour désigner des variables constituants des caractéristiques intéressantes de l'état du système étudié, tel que par exemple la valeur du champs électrique E en fonction de la position x. Mais noter qu'il n'existe pas de distinction mathématique entre la variable E et la variable x, seulement sémantique, l'une représentant un champ électrique et l'autre représentant une position. La réel différentiation sera posée par les seuls équations.

Les variables sont définie par les seuls équations, et leurs significations est donc essentiellement lié à la structure des équations construites sur le corps. C'est ce langage d'équations qui va donner un sens à ces objects mathématiques appelé variables du systèmes, et dont il restera à prouver leurs cohérences. Les principe de bases changes. On ne fonde pas l'existence des objects manipulés à partir de la théorie des ensembles approche classique), mais à partir d'un langage que l'on construit selon la logique intuitionniste.

2.2) Principe de relativité des variables, et relation de dépendance.

Dans notre système, il n'y a pas de distinction entre les variables invoquées, autrement dit les distinctions faites entre variables ne sont que sémantiques. C'est le principe de relativité des variables, qui fait que leur inter-dépendances peuvent être mutuelles et symétriques.

On peut rajouter des variables. Et si les variables rajoutées sont entièrement dépendantes des précédentes, alors aucun degrè de liberté supplémentaire n'est rajouté au système.

Un ensemble de variables déterminant toutes les variables d'un ensemble plus vaste de variables est dit générateur de cette ensemble. Un ensemble de variables pouvant prendre toutes les valeurs possibles est dit indépendant. Est-il possible de formaliser d'avantage la relation de dépendance, d'en définir un matroïde, et une dimenssion ?

2.3) Les variables dépendantes

Lorsqu'une variable f est déterminée explicitement par des variables x,y pour valoir par exemple (x+1)*y, on transcrit cette dépendance par l'équation f = (x+1)*y, et cela correspond à la définition de la variable f. On peut répéter les variables qui déterminent f dans le premier membre de l'équation comme suit : f<x,y>= (x+1)*y. Vous noterez qu'il ne s'agit pas d'une fonction formelle, c'est pourquoi on utilise les symbôles <>, les arguments sont déterminés par leur nom et non par leur position dans l'appel. Il s'agit d'une déclaration de dépendance explicite. La variable f dépend au plus de x et y.

On peut faire des déclarattions de dépendances non explicites en ne précisant pas de second membre L'expression f<x,y> constitue une déclaration de dépendance non explicite. La variable f est déterminée au plus par les variables x et y. Si l'on souhaite désigner la valeur de f correspondant à une valeur pariculière x1 de x et y1 de y, on note simplement f<x=x1,y=y1>. Mais faut-il encore que ces variables soient possibles?. En effet, le système d'équation peut tout à fait exclure la situation x=x1 et y=y1.

Attention, notre langage peut désigner des éléments qui n'existe pas, et un système d'équation peut alors ne pas être cohérent, rendant tout et son contraire démontrable.

Il peut y avoir plusieurs déclarations de dépendance pour une même variable tel que par exemple : f<x,y> et f<x,z>. Dans ce cas il existe un lien implicite entre x,y,z qui se traduit comme ceci : Il existe une fonction φ et une fonction ψ tel que φ(x,y) = ψ(x,z) = f.

2.4) Les variables fonctionnelles

L'espace des fonctions différentiables est également une structure différentiable, aussi il est pertinent de pouvoir utiliser formellement une fonction comme variable. On prédéfinira simplement son arité. Les deux notations, déclaration de variable dépendante et déclaration de variable fonctionnelle, sont cumulables. Par exemple : f<x,y>(u,v) = u*x+y-v désigne une variable fonctionnelle déterminée explicitement. Dans cette exemple u et v sont des variables muettes locales à l'équation, et x,y,f sont des variables du système.

L'expression f<x,y> signifie que f dépend au plus de x et y. Et l'expression f(.,.) signifie que f est une fonction d'arité 2.

2.6) Les différentielles partielles

Comme nous allons le voir, l'utilisation de variable fonctionnelle alourdis la notation, en introduisant le numéro de place des arguments d'appels. Parcontre pour les variables répendantes et non fonctionnelles, il n'est plus nécessaire de faire référence à un numéro de place, le nom de la variable source joue se rôle.

2.6.1) Cas des variables fonctionnelles

Etant donné une variable fonctionelle d'arité (2,1) f : (x,y)-->f(x,y). Dans cette expression x et y sont des variables muettes de porté locale à l'équation. Elles dénotent respectivement le premier argument d'appel de f, et le second argument d'appel de f. On standardise la notation en désignant toujours le premier argument d'appel de f par 1 et le second argument d'appel de f par 2 et ainsi de suite, faisant que la notation ne dépend plus du nom arbitraire des variable muettes choisies. La dérivé partielle de f par rapport à son premier argument d'appel se note ∂f/∂1 ou (∂/∂1)f et est une fonction d'arité (2,1) définie comme suit. ∂f/∂1(x,y) est égale à la limite lorsque ε tend vers 0 de (f(x+ε,y)-f(x,y))/ε. De même nous avons ∂f/∂2(x,y) égale à la limite lorsque ε tend vers 0 de (f(x,y+ε)-f(x,y))/ε. L'élément différentiel du premier argument d'appel de la fonction se note d1f. Il désigne une variation infinitesimale du premier argument d'appel de la fonction f. L'élément différentiel du second argument d'appel de la fonction se note d2f. Il désigne une variation infinitesimale du deuxième argument d'appel de la fonction f.

L'élément différentiel de f se note df et il désigne une variation infinitesimale de la variable fonctionnelle f. L'élément différentiel df est égale à la somme des éléments différentiels d1f et d2f multipliés par les dérivées partielles associées :

df(x,y) = ∂f/∂1(x,y)*d1f + ∂f/∂2(x,y)*d2f
df = ∂f/∂1*d1f + ∂f/∂2*d2f

df, ∂f/∂1, ∂f/∂2 sont des fonction d'arité (2,1)

df(x,y) = (∂f/∂1(x,y), ∂f/∂2(x,y)) • (d1f ,d2f )
df = (∂f/∂1, ∂f/∂2) • (d1f ,d2f )
df = f' • (d1f ,d2f )

f' = (∂f/∂1, ∂f/∂2)

La dérivé f' est une fonction d'arité (2,2)

2.6.2) Cas des variables non fonctionnelles

Etant donné une variable f dépendant de x,y, cela se note par f<x,y>. Dans cette expression x, y, f sont des variables à part entière du système. La dérivé partielle de f par rapport à x se note ∂f/∂x ou (∂/∂x)f et est une fonction d'arité (2,1) définie comme suit : ∂f/∂x(u,v) est égale à la limite lorsque ε tend vers 0 de (f<x=u+ε,y=v>)-f<x=u,y=v>,y))/ε. De même nous avons ∂f/∂y(u,v) égale à la limite lorsque ε tend vers 0 de (f(<x=u,y=v+ε>)-f(<x=u,y=v>))/ε. On a utilisé comme variable muette u et v. On aurait pu utiliser x et y. Le conflit de nom alors se résoud toujours en faveur des variables de portées locales. C'est à dire que les noms x et y rencontrer dans l'équation, s'il ne sont pas à des places réservées pour des nom de variables du système, désignent nécessairement les variables de portées locales, qui sont ici les variables muettes. Ces variables muettes peuvent quant même correspondre aux variables systèmes de même nom s'il en a été ainsi définie pour ces variables de portée locale.

L'élément différentiel de x se note dx et il désigne une variation infinitesimale de la variable x. L'élément différentiel de y se note dy et il désigne une variation infinitesimale de la variable y.

L'élément différentiel de f se note df et il désigne une variation infinitesimale de la variable f. L'élément différentiel df est égale à la somme des éléments différentiels dx et dy multipliés par les dérivées partielles associées :

df(u,v) = ∂f/∂x(u,v)*dx + ∂f/∂y(u,v)*dy
df(x,y) = ∂f/∂x(x,y)*dx + ∂f/∂y(x,y)*dy


df = ∂f/∂x*dx+ ∂f/∂y*dy

df, ∂f/∂x, ∂f/∂y sont des fonction d'arité (2,1)

df(x,y) = (∂f/∂x(u,v), ∂f/∂y(u,v)) • (dx,dy)
df = (∂f/∂x, ∂f/∂y) • (dx,dy)
df = f' • (dx,dy)

f' = (∂f/∂x, ∂f/∂y)

La dérivé f' est une fonction d'arité (2,2)

2.6.3) Les éléments différentiels

Etant donné une variable x libre, l'élément dx représente une autre variable libre infinitésimale et indépendante de x. Chaque équations liants les variables du systèmes se déclinent par dérivation en équation liant les élément différentiels des variables du systèmes.

2.7) Le développement au second ordre