L'ère de l'électromagnétisme

 

Table des matières

  1. Avant propos
  2. Introduction
  3. L'espace-temps newtonien et le principe d'inertie
  4. 2.1) le principe d'inertie
  5. 2.2) L'espace-temps newtonien
  6. 2.3) Le référentiel du laboratoire
  7. 2.4) Les isométries de R^3
  8. 2.5.1) Les endomorphismes semblables
  9. 2.5.2) Le déterminant
  10. 2.5) Les valeurs propres
  11. 2.5.2) Polynôme caractéristique
  12. 2.4.1) Calcul des coefficients du polynôme caractéristique
  13. 2.4.2) Calcul de la matrice inverse
  14. 2.4.4) Les automorphismes ortogonaux
  15. 2.4.4.1) Premières relations d'orthogonalité
  16. 2.4.4.2) Deuxièmes relations d'orthogonalité
  17. 2.4.4) Les rotations et les roto-inversions
  18. 2.4.5) Elevation à la puissance par un réel, d'une matrice diagonalisable
  19. 2.4.6) Exponentielle d'une matrice diagonalisable
  20. 2.4.7) Les rotations
  21. 2.4.8) Déscription de la rotation à l'aide des quaternions
  22. 2.5) Les référentiels
  23. 2.5) La fonction caractérisant le mouvement uniforme
  24. 2.6) le temps propre
  25. 2.7) Les 4 référentiels symétriques
  26. 3) Les coordonnés relative à un référenciel autre que celui du laboratoire.
  27. Les changements de référentiels et les transformations de Galilée
La translation
Le décalage
Le glissement
La rotation
Les règles de composition et de commutation
Les déplacements
Les translations unitaires, les glissements unitaires et le déplacement unitaire
Les rotations unitaires
La présentation du groupe de Galillée
Le programme de teste de cohérence

 

0) AVANT PROPOS

Le but de cet essai est de rendre accessible à tous les bases de la physique moderne, la théorie électromagnétique et la théorie de la relativité restreinte, selon une approche constructive présentant les lois selon un certain ordre, expliquant le choix des unités physiques et des outils mathématiques, présentant des programmes informatiques et des montages électroniques.

Avoir un débat de fond sur les questions de base est la prémisse nécessaire pour ouvrir de nouveaux horizons, émanciper l'esprit des dogmes et donner envie d'expérimenter de nouvelles idées audacieuses.

La technologie informatique nous offre de nouvelle possibilité de calcul qui revolutionnerons notre approche scientifique, la cohérence de la théorie pouvant désormais être vérifiée par simulation informatique. La preuve n'est plus affirmée sur la bonne fois d'une communauté de techniciens et de savants, aux sciences hermitiques, mais par un programme informatique démultipliable à l'infini, faisant que la preuve n'appartient plus à une élite mais à tous. Le programme vérifie la cohérence de la théorie tel qu'elle est exprimée, par un moyen empirique exterieur à la théorie, que constitues ces calculs de simulation.

Nous sommes sous l'ère de l'électromagnétisme et ceci durera probablement encore quelque siècle. L'électromagnétisme découvert par Maxwell (~1860) contient en germe la relativité restreinte découverte par Einstein (~1905). L'autre pend scientifique de notre ère contemporaine est la mécanique quantique.

L'enjeux est de démocratiser l'accès à la science, en stimulant la création, en permettant la transmission par simple copie des travaux, plans, théories..., ainsi que des programmes informatiques servants comme composants aux montages ou comme outils de simulation. L'enjeux est d'encourager des travaux collectifs ouverts basés sur d'autre logique que l'entreprise privée tel qu'elle est conçu actuellement, en gardant toujours la possibilité d'accessibilité à tous.

Les discussions philosophiques sur la conception du monde physique ne doivent pas être l'apanage d'une élite, mais tel une Université, ouvertes à tous. Les débats sur les fondements de la physique sont à la base du discours philosophique nécessaire pour ordonner les conceptes les plus importants et les plus généraux touchants aux sciences exactes, permettant une approche généraliste des sciences hypothético-déductive, une philosophie positives en quelque sorte. Et plusieurs voies doivent exister, plusieurs écoles de pensés doivent cohabiter, pour garantire une liberté de choix. Au lieu que les sciences soient cloisonnées par thème, ce qui est le résultat d'un biais métaphysique introduit par le capitalisme, elles doivent être rangés par école de pensés sachant que l'analogie entre deux voies portent des contradictions non résolues qui fait qu'il y a deux voies (principe de séparation des théories en mathématiques) et faisant d'une philosophie positives, une philosophie existentialiste.

Une partie souvent négligée sera mise en avant, décrivant les limites de la technique. Celle concernant la qualité des composants, le bruit généré par eux et leur défaut de linéarité. Celle traitant du signale, de la quantité d'information et de la capacité de transmission. Celle précisant les limites des composants. Car si nous faisions abstraction de ces limites ainsi que de la quantification, alors un simple bout de conducteur contiendrait l'information contenue dans tous l'univers, ce qui n'est évidement pas exacte.

Pour cela il est nécessaire de recourir à un langage commun que l'usage déterminera. L'effort pédagogique et conceptuel réside dans la création de ce langage. Nous n'utiliserons pas les notations de l'algèbre tensoriel qui sont particulièrement obscures pour les personnes non initiées. Le calcul matriciel suffira amplement pour cet exposé. Nous accorderons une attention particulière aux choix des notations et des outils mathématiques. Une partie sera consacrée à les décrire, et à familiariser le lecteur à leurs usages. Des exemples de résolutions par éléments finies, programmables sur ordinateur seront décrits, leurs mises en œuvre permettant de vérifier la cohérence des formules et des théories. Quelques expériences dites " cruciales " seront décrites, confrontant théories et réalité.

1) INTRODUCTION

Le champ électromagnétique selon Maxwell, est, dans l'Univers connu, ce qu'il y a de plus simple et de plus exacte. Sa théorie décrit la propagation des ondes et des champs électromagnétiques dans l'espace. Elle satisfait à 3 propriétés importantes :

  1. Le principe de superposition :
    Les champs s'ajoutent de façons linéaire sans s'altérer mutuellement. Il n'y a pas d'interaction entre champs.
  2. La loi de Coulomb (1780) :
    Le champs fourni par une charge ponctuelle fixe décroît proportionnellement selon l'inverse du carré de la distance.
  3. Pas d'action à distance instantanée mais avec retard selon une vitesse de transmission constantes :
    Les perturbations du champs se déplacent à la vitesse de la lumière.

La relativité restreinte selon Einstein, décrit la transformation des coordonnées lors d'un changement de référentiel en translation uniforme. Elles satisfait à 2 axiomes qui expriment l'impossibilité de définir une vitesse absolue et un référentiel absolu. Une vitesse ne peut être définie que par rapport à un référenciel particulier.

  1. Absence de référentiel absolu : Les lois physiques sont les mêmes dans chaque référentiel en translation uniforme. Lors d'un changement de référentiel en translation uniforme, les lois exprimées avec les coordonnées transformées ont exactement la même forme que celles exprimées avec les coordonnées non transformées.
  2. Constance de la vitesse de la lumière : La vitesse de la lumière dans le vide est la même dans tous les référentiels en translation uniforme (et constitue la constante universelle c).

Ces deux théories, Maxwell et Einstein, sont trés proches, l'une s'appliquant plus particulièrement aux ondes et l'autre s'appliquant plus particulièrement aux particules.

2) L'espace-temps newtonien et le principe d'inertie

Pour pouvoir décrire élégamment ces théories il nous faut appréhender la nature de l'espace-temps, c'est à dire ses transformations et ses invariants.

2.1) le principe d'inertie

Le principe d'inertie, selon Newton, affirme qu'un corps soumis à aucune force est soit au repos, soit en rotation uniforme sur lui-même, soit en mouvement rectiligne uniforme, ou soit en mouvement rectiligne uniforme et animé d'une rotation propre uniforme. Appliqué à un systèmes, cela correspond au principe de la conservation de la quantité de mouvement et au principe de la conservation du moment cinétique.

Ce principe désigne une classe de mouvements privilègiés que sont les mouvements rectilignes uniformes avec rotation propre uniforme et qui seront définis intrinsèquement dans l'espace-temps sous la forme de référentiels en mouvement rectiligne uniforme avec rotation propre uniforme. Déslors un référentiel est par définition implicitement en mouvement rectiligne uniforme avec rotation propre uniforme.

2.2) L'espace-temps newtonien

Un vecteur de l'espace-temps se présente ainsi (x,y,z,t). Les trois premières coordonnées x, y, z déterminent un vecteur dans l'espace et la dernière coordonnée t détermine un vecteur dans le temps. Un point dans cette espace-temps correspond à un événement ponctuel instantané. Il est caractérisé par ses coordonnées spatiales x, y, z, et par la date de sa manifestation ou coordonnée temporelle t. Une particule ponctuelle en mouvement sera représentée dans cette espace-temps par une courbe indiquant sa position spaciale x, y, z en fonction du temps t.

L'espace-temps newtonien n'est pas canoniquement un espace euclidien, car aucune expérience à l'époque de Galilée ne peut permettre de lier de façon canonique l'étalon de distance avec l'étalon de temps, et de définir ainsi une distance dans cette espace à 4 dimenssions. On pourrait poser mathématiquement comme distance |(x,y,z,t)| ^2 = x^2 + y^2 + z^2 + t^2 mais ce choix serait dépendant du système d'unité choisi donc incohérent si on ne l'a pas fixé avant. Cela s'explique par l'indépendance entre l'unité de distance et l'unité de temps, rendant la formule précédente incohérente puisque non homogène en terme d'unité. La distance est définie séparément sur l'espace et le temps. C'est pourquoi l'espace-temps newtonien est noté comme produit de l'espace et du temps : R^3 * R (R étant l'ensemble des nombres réels).

Pour simplifier l'écriture on regroupe les coordonnées spatiales en un vecteur noté par une lettre majuscule. Ainsi (S,s) désigne l'évènement de coordonnés (Sx,Sy,Sz, s) c'est à dire ayant lieu à la position S = Sx*i+Sy*j+Sz*k et à l'instant s. S peut être ajouté à d'autres vecteurs d'espace ou multiplié par un nombre réel, ou multiplié par une matrice, ou multiplié vectoriellement par un autre vecteur... L'usage de tel vecteur de coordonnés simplifie l'expression des formules.

2.3) Le référentiel du laboratoire

On fixe le référentiel du laboratoire définie au repos. Il est composé du point S=(0,0,0) de l'espace appartenant à R^3, de la date s=0 appartenant à R, des trois vecteurs orthonormés i=(1,0,0), j=(0,1,0), k=(0,0,1), appartenant à R^3 qui forment un triédre droit c'est à dire tel que : i ^ j = k selon la règle du tire bouchon et qui définisent les trois axes spaciales habituellement dénomés en x, en y et en z, du vecteur unitaire 1 appartenant à R définissant l'axe du temps habituellement dénomés en t, d'une vitesse de translation nulle et d'une vitesse de rotation propre nulle, et d'une chiralité positive que constitue le choix d'un triédre droit. Le choix d'un trièdre gauche (c'est à dire tel que : i ^ j = - k) pouvant être obtenue à partir d'un trièdre droit en effectuant une inversion de tous les axes : i ^ j = k   =>   (-i )^(-j) = -(-k)

2.4) Les isométries de R^3

Pour s'abstraire du choix du trièdre canonique on considère toutes les isométries, c'est à dire les automorphismes de l'espace affine R^3 conservant la distance, qui appliquées à ce trièdre atteignent tous les autres trièdres orthonormés possibles. La première étape consiste à séparer l'aspect affine de l'aspect linéaire. Toute application affine se décompose en la succétion unique d'une translation et d'une application linéaire. Le problème précédent est simplifié au cas linéaire : Pour s'abstraire du choix de la base orthonormée canonique (i,j,k), on considère tous les automorphismes orthogonaux, c'est à dire conservant la norme vectorielle, qui appliqué à cette base orthonormée atteignent toutes les autres bases orthonormées possibles. Dans l'espace vectoriel R^3 les automorphismes orthogonaux se décrive simplement. (L'ensemble des automorphismes de l'espace vectoriel R^n est appelé groupe linéaire GL(n)).

2.5.1) Les endomorphismes semblables

Soit un endomorphisme f, c'est à dire une application linéaire de R^3 dans R^3. On note également par f la représentation matricielle de f relative à la base canonique (i,j,k). On note indifférement f(V) = f*V. Les 3 colonnes de la matrice f sont égale à f*i, f*j, f*k.

Une matrice M devant être exprimée dans une autre base que la base canonique aura une expression égale à P-1*M*P où les colonnes de la matrice P constitue l'autre base exprimée dans la base canonique. L'application "conjugaison par P" qui appliqué à un endomorphisme f produit un endomorphisme P-1*f*P est appelé un changement de base. Deux endomorphismes f et g tel que l'un peut être obtenue par un changement de base appliqué à l'autre, sont dits semblables.

2.5.2) Le déterminant

Soit 3 vecteurs v1, v2, v3. Le déterminant de ces trois vecteurs est égale au produit mixte (v1 ^ v2) • v3, et est égale au volume orienté du parallélépipède : ce volume est positif si le trièdre défini par les trois vecteurs est droit, négatif s'il est gauche.

det(v1,v2,v3) = (v1 ^ v2) • v3

Le produit mixte ainsi que le déterminant est invariant par permutation circulaire des vecteurs :

det(v1,v2,v3) = det(v2,v3,v1) = det(v3,v1,v2)

Le déterminant d'un endomorphisme f est par définition égale à det(f) = det(f*i, f*j, f*k), mais possède la propriété suivante. Pour tous vecteurs v1, v2, v3 on a :

det(f*v1, f*v2, f*v3) = det(f) * det(v1,v2,v3)

det(f) peut donc s'interpréter comme le rapport des volumes du parallélépipède image au parallélépipède initial, ou autrement dit comme le nombre par lequel sont multiplier les volumes quand on applique la transformation f. Consiérons l'endomorphisme g telque g*i = v1, g*j = v2, g*k = v3, c'est à dire tel que la matrice de g relative à la base canonique (i,j,k) soit composée des trois vecteure colonnes v1,v2,v3. La propriété précédente devient : Pour tout endomorphisme f et g nous avons :

det(f*g) = det(f)*det(g)

Grace à cette propriété, le déterminant est invariant par changement de base. En effet, un endomorphisme f étant transformée par un changement de base en un endomorphisme dit semblable de la forme P*f*P-1, nous avons toujours det(P*f*P-1) = det(P)*det(f)*det(P-1) = det(P)*det(P)-1 *det(f) = det(f)

2.5) Les valeurs propres

On appel valeurs propres de f, les valeurs x tel qu'il existe un axe où l'endomorphisme f correspond à la multiplication par x, c'est à dire tel qu'il existe un vecteur non nul V ayant la propriété f*V = x*V. Ces valeurs constituent une caractéristique propres à l'endomorphisme f indépendant de la base, et donc invariante par changement de base. Pour rechercher ces valeur propres x, nous devons résoudre l'équation

x*V - f*V = 0
(x*Id - f)V = 0
Donc l'endomorphisme (x*Id - f) ne doit pas être inversible.
det(x*Id - f) = 0

2.5.2) Polynôme caractéristique

Le polynôme caractèristique est définie par Pf(x) = det(x*id - f). Il est invariant par changement de base, et contient comme racines complexes, les valeurs propres de l'endomorphisme f, constituant la diagonalisation de la matrice f  lorsque celle-ci est diagonalisable. Les coefficients du polynôme caractéristique qui contiennent toute l'information apportée par ce polynôme sont réels et invariants par changement de base.

     [ f11, f12, f13 ]
f = [ f21, f22, f23 ] relativement la base (i,j,k)
     [ f31, f32, f33 ]

La trace tr(f) est égale à la somme des éléments de la diagonale de la matrice de f :

tr(f) = f11 + f22 + f33

Le coefficient m2(f), est égale à la somme des sous-déterminants adjacent aux termes diagonaux. Chaque terme s'obtient en permutant circulairement et simultanement tous les indices (indices de ligne et indices de colonne) :

m2(f) =    f22*f33 - f32*f23
            + f33*f11 - f13*f31
            + f11*f22 - f21*f12

Le déterminant det(f) peut être obtenu en développant selon la première colonne. Chaque terme s'obtient en permutant circulairement le premier indice (indice de ligne) :

det(f) =    f11*(f22*f33-f23*f32)
            + f21*(f32*f13-f33*f12)

            + f31*(f12*f23-f13*f22)

Le polynôme caractèristique Pf(x) est égale à :

       [ 1, 0, 0 ]
Id = [ 0, 1, 0 ]
        [ 0, 0, 1 ]

Pf(x) = det(x*Id - f)
Pf(x) = x3 - tr(f)*x2 + m2(f)*x - det(f)

Etant donné deux endomorphismes A et B et un nombre complexe z, Les coefficients du polynôme caractéristique possèdes des propriétés remarquables suivantes :

Propriété de la trace
Propriété du coéfficent d'ordre 2
Propriété du déterminant
tr(A*B) = tr(B*A)
m2(A*B) = m2(B*A)
det(A*B) = det(B*A)
tr(z*A) = z* tr(A)
m2(z*A) = z2 * m2(A)
det(z*A) = z3 * tr(A)
tr(transpose(A)) = tr(A)
m2(transpose(A)) = m2(A)
det(transpose(A)) = det(A)
tr(conjugate(A)) = conjugate(tr(A))
m2(conjugate(A)) = conjugate(m2(A))
det(conjugate(A)) = conjugate(det(A))
tr(A+B) = tr(A) + tr(B)
 
det(A*B) = det(A)*det(B)

2.4.1) Calcul des coefficients du polynôme caractéristique

Le déterminant det(f) peut être obtenu en développant selon une colonne ou une ligne. Nous définissons par f[i,j] l'élément de la matrice f placé à la ième ligne et jème colonne. Les valeurs des indices i et j appartiennent à l'intervale cyclique {1,2,3} de tel sorte que l'ajout d'un entier à un indice correspond à une permutation circulaire de cet indice. Par exemple la fonction i->i+1, va transfomé l'indice 1 en l'indice 2, l'indice 2 en l'indice 3, et l'indice 3 en l'indice 0.

On définie adj(f)[i,j] le sous-déterminant adjacent au terme f[i,j] par :

adj(f)[i,j] = [ f(i+1,j+1) f(i+1,j+2) ]
                  [ f(i+2,j+1) f(i+2,j+2) ]

Le développement selon une colonne j est donnée par la somme f[i,j]*adj(f)[i,j] pour i variant de 0 à 2. On remarquera que chaque terme de la somme s'obtient à partir du premier terme de la somme en permutant circulairement les premiers indices (indices de ligne) de chaque éléments.

Le développement selon une ligne i est donnée par la somme f[i,j]*adj(f)[i,j] pour j variant de 0 à 2. On remarquera que chaque terme de la somme s'obtient à partir du premier terme de la somme en permutant circulairement les seconds indices (indices de colonne) de chaque éléments.

Le coeffficent m2(f) est donnée par la somme adj(f)[i,j] pour i variant de 0 à 2. On remarquera que chaque terme de la somme s'obtient à partir du premier terme de la somme en permutant circulairement et simultanement tous les indices (indices de ligne et indices de colonne) :

La trace est donnée par la somme f[i,j] pour i variant de 0 à 2. On remarquera que chaque terme de la somme s'obtient à partir du premier terme de la somme en permutant circulairement et simultanement tous les indices (indices de ligne et indices de colonne) :

2.4.2) Calcul de la matrice inverse

On définie la matrice adjointe adj(M) d'une matrice quelconque M comme étant obtenue à partir de M en remplaçant chaque élément par son sous-déterminant adjacent. On a la propriété suivante : Si le déterminant de M n'est pas nul, alors M est inversible et son inverse est égale à la transposé de la matrice adjointe de M, divisé par le déterminant de M :

M -1 = t(adj(M))/det(M)

2.4.4) Les automorphismes ortogonaux

On rappel quelque propriété sur les transpositions de matrices. On note t(A) la transposé de la matrice A. Soit A et B deux matrices pouvant se multiplier, nous avons :

t(A*B) = t(B)*t(A)

On définie la norme d'un vecteur colonne V que l'on note |V| à l'aide de la formule suivante :

|V|2 = V•V = t(V)*V

Un automorphisme orthogonale f conserve la norme. Donc pour tout vecteur V nous avons :

|f*V|2 = |V|2
(f*V)•(f*V)=V•V
t(f*V)*f*V = t(V)*V
t(V)*t(f)*f*V = t(V)*V

Comme cela est valable pour tout vecteur V, nous déduisons que la transposé de f est égale à f :

t(f)*f = 1

ou autrement dit que l'automorphisme inverse de f est égale à la transposé de f :

f -1 = t(f)

On en déduit que le determinant de f est soit +1 ou -1.

2.4.4.1) Premières relations d'orthogonalité

Soit un automorphisme orthogonal f. Cette automorphisme possède une représentation matriciel dans la base canonique (i,j,k) que l'on note également par f. Nous pouvons donc écrire que f(i)=f*i, f(j)=f*j, f(k)=f*k.

     [ f11, f12, f13 ]
f = [ f21, f22, f23 ]
     [ f31, f32, f33 ]

        [ f11 ]              [ f12 ]              [ f13 ]
f*i = [ f21 ],     f*j = [ f22 ],    f*k = [ f23 ]
        [ f31 ]              [ f32 ]              [ f33 ]

La relation t(f)*f = 1 entraine que les vecteurs colonnes de f, (f*i, f*j ,f*k), sont orthonormée. Ils constituent le trièdre image qui est un trièdre orthonormé puisque le trièdre de départ (i,j,k) est orthonormé et que l'automorphisme f est ortogonal. Cette propriété se traduit par les 6 relations suivantes :

Propriété
Produit
scalair
Produit matriciel
Relation développée
f*i est normé
|f*i| =1
t(f*i)*f*i =1
f112 + f212 + f312 = 1
f*j est normé
|f*j| =1
t(f*j)*f*j =1
f122 + f222 + f322 = 1
f*k est normé
|f*k| =1
t(f*k)*f*k =1
f132 + f232 + f332 = 1
f*i otrogonale à f*j
(f*i)•(f*j)
t(f*i)*f*j =0
f11*f12 + f21*f22 + f31*f32 = 0
f*j otrogonale à f*k
(f*j)•(f*k)
t(f*j)*f*k =0
f12*f13 + f22*f23 + f32*f33 = 0
f*k otrogonale à f*i
(f*k)•(f*i)
t(f*k)*f*i =0
f13*f11 + f23*f21 + f33*f31 = 0

Ces 6 relations sont appelées premières relations d'orthogonalité. La matrice f contient 9 paramètres liés par 6 relations indépendantes d'orthonormalité, donc dépend de trois paramètres indépendants. En effet une rotation est fixé par trois paramètres : par deux paramètres angulaires donnant la direction de l'axe (longitude et latitude) et l'angle de rotation, ou bien par les trois angles d'Euler, ou bien par les 3 coordonnées du vecteur de Gibbs. Et il en est de même pour les roto-inversions.

2.4.4.2) Deuxièmes relations d'orthogonalité

f -1 = t(f)
f -1 = t(adj(f))/det(f)

Donc pour les rotations f nous avons la propriété suivante l'endomorphisme est égale à son adjoint.

f = adj(f)

Cette propriété ce traduit par les 9 relations suivantes :

Propriété
Relation développée
f(i) ^ f(j) = f(k)
f13 = f21*f32-f31*f22
f23 = f31*f12-f11*f32
f33 = f11*f22-f21*f12
f(j) ^ f(k) = f(i)
f11 = f22*f33-f32*f23
f21 = f32*f13-f12*f33
f31 = f12*f23-f22*f13
f(k) ^ f(i) = f(j)
f12 = f23*f31-f33*f21
f22 = f33*f11-f13*f31
f32 = f13*f21-f23*f11

Les 9 relations de ce type sont appelées secondes relations d'orthogonalité et sont dépendante des 6 premières.

2.4.4) Les rotations et les roto-inversions

Lorsque f est orthogonale, son déterminant est égale à 1 ou -1.

Il y a donc deux types d'isométries ; les translations suivies d'une rotations caractérisées par un déterminant égale à +1, et les translations suivies d'une roto-inversion caractérisée par un déterminant égale à -1. Cela définie deux types de triédres : les trièdres droits optenus par translation et rotation du trièdres canonique, et les trièdres gauches obtenue par translation et roto-inversion du trièdres canonique. Une roto-inversion est la combinaison d'une rotation est d'une inversion (symétrie centrale) ou autement dit d'une rotation multiplié par -1.

Dans l'espace vectoriel complexe C^3, les rotation f sont diagonalisables. C'est à dire qu'il existe sur l'espace vectoriel complexe C^3 une matrice P inversible et une matrice diagonale D inversible tel que :

f = P*D*P-1

       [ D1,  0,   0 ]
D = [  0,  D2,  0 ]
       [  0,   0,  D3]

Et la fonction caractéristique de f est égale à :

Pf(x) = det(x*Id - f)
Pf(x) = x3 - tr(f)*x2 + m2(f)*x - det(f)
Pf(x)
= (x-D1)*(x-D2)*(x-D3)

tr(f) = D1 + D2 + D3
m2(f) = D1*D2 + D2*D3 + D3*D1
det(f) = D1*D2*D3

2.4.5) Elevation à la puissance par un réel, d'une matrice diagonalisable

En utilisant la propriété de diagonalisation de f qui affirme qu'il existe des matrices P inversibles et une matrice diagonale D inversible unique tel que f = P*D*P-1, nous pouvons définir canoniquement l'opération d'élèvation à la puissance de f par un réel x notée fx :

fx = (P*D*P-1)x = P * Dx *P-1

        [ D1x,  0,   0 ]
Dx = [  0,  D2x,  0 ]
         [  0,   0,  D3x]

Cette définition prolonge l'élèvation à la puissance par un entier, en l'élévation à la puissance par un réel. Cela permet de définir toutes les rotations à partir de quelques rotations génératrices. L'élèvation à la puissance par un réel ainsi défini respecte bien les propriétés suivantes :

Ax * Ay = Ax+y
(Ax)y = A(x*y)
A(-x) = (A-1)x

Si A*B = B*A alors Ax * Bx = (A*B)x

2.4.6) Exponentielle d'une matrice diagonalisable

En utilisant la propriété de diagonalisation de f qui affirme qu'il existe des matrices P inversibles et une matrice D diagonale inversible tel que f = P*D*P-1, nous pouvons définir canoniquement l'opération d'exponentielle notée ef

L'exponentiel de f est définie selon le developpement habituel de l'exponentielle :

ef = Id + f + f2/2! + f3/3! + f4/4! ...
ef = Id + P*Dn *P-1 + P*Dn *P-1/2! + P*Dn *P-1/3! + P*Dn *P-1/4! ...
ef = P * (Id + Dn + Dn/2! + Dn/3! + Dn/4! ... ) * P-1
ef = P * eD * P-1

        [ eD1,  0,   0 ]
eD = [  0,  eD2,  0 ]
         [  0,   0,  eD3]

Nous avons la propriété remarquable suivante :

det(ef) = etr(f)

2.4.7) Les rotations

On défini une rotation en précisant un axe orienté à l'aide d'un vecteur unitaire U, et un angle a de rotation. La rotation s'opère autours de l'axe orienté U dans le sens trigonométrique c'est à dire en appliquant la règle du tire bouchon : On avançe selon la direction du vecteur U en tournant la main de l'angle a comme si nous vissions le tire bouchon dans une bouteille de vin. (Noter que si la base auquel fait référence notre rotation n'est pas la base canonique et possède un trièdre gauche, la définition est inversée).

Nous allons considérer un cas simple de rotation et nous passerons au cas générale en changeant de base.

Considérons une rotation A d'angle a autours du vecteur k. Cette rotation possède une matrice relative à la base (i,j,k) suivante :

       [cos(a), -sin(a),   0 ]
A = [sin(a),   cos(a),  0 ]
       [   0,         0,       1 ]

Les caractéristiques de la rotation, invariantes par changement de base, sont :

tr(A) = 1+ 2*cos(a)
m2(A) =
1+ 2*cos(a)
det(A) = 1

Le polynôme caractéristique se factorise en :

Pf(x) = (x-1)*(x^2 - 2*x*cos(a) +1)

et admet trois solutions, trois valeurs propres : exp(i*a), exp(-i*a), 1.

A chaque rotation correspond une roto-inversion obtenue en multipliant la rotation par -1. Les caractéristiques de la roto-inversion, invariantes par changement de base, sont :

tr(-A) = -1- 2*cos(a)
m2(-A) = 1 + 2*cos(a)
det(-A) = -1

2.4.8) Déscription de la rotation à l'aide des quaternions

Les quaternions se présentent comme une somme directe :

H = R + R^3

Un quaternion q se décompose donc en deux coordonnés :

q = (a,U)

a est un réel et U est un vecteur. a est appelé la partie réel de q, et U est appelé la partie imaginaire de q.

La lois de composition des quaternions pour l'opération + est héritée de R et de R^3 :

(a,U) + (b,V) = (a+b, U+V)

Et c'est parceque l'addition hérite de R et de R^3 et qu'elle ne peut pas combiner un reél avec un vecteur, que l'on peut représenter le quaternions par la somme de ses coordonnés :

q = (a,U) = a + U

La règle de composition pour l'opération * se déduit de cette représentation par distribution de l'addition sur le produit quaternionique, en faisant attention à l'ordre du produit quaternionique U*V qui n'est pas commutatif :

(a + U)*(b + V) = a*b + a*V + b*U + U*V

Parcontre le produit a*U = U*a est commutatif. Et le produit quaternionique hérite du produit sur R.

On exprime le produit quaternionique à l'aide du produit de réel, du produit scalaire, et du produit vectoriel, comme suit :

(a + U)*(b + V) = (a*b - U•V + a*V + b*U + U^V)

Noter que la partie réel de (a + U)*(b + V) vaut

a*b - U•V

Et la partie imaginaire de (a + U)*(b + V) vaut

a*V + b*U + U^V

On définie la conjugaison d'un quaternion q, noté conj(q), comme étant le quaternion symétrique à qui on a changé le signe de sa partie imaginaire :

conj(a + U) = a - U

On définie la norme d'un quaternion q, noté |q|, comme la racine carré du produit de q par son conjugué.

|a + V|2 = (a+V)*(a-V) = a*a + V•V

L'inverse de q peut être calculé simplement par :

1/q = conj(q)/|q|

On défini la rotation d'angle a autours du vecteur unitaire U par le quaternion suivant :

q = cos(a/2) + sin(a/2)*U = exp((a/2)*U)

Un vecteur V est transformé par la rotation d'angle a autours du vecteur unitaire U en le vecteur q*V/q :

V --> q*V*conj(q)/|q|

2.5) Les référentiels

Il est nécessaire d'enrichire notre vocabulaire même si cela désigne la même chose immédiatement, pour permettre d'évoquer des optiques différentes. Nous parlerons de corps en mouvement. Un corps en mouvement comprend un référentiel propre qui épouse le mouvement du corps pour trois de ces paramètres essentiels que sont la position de son centre de masse, la vitesse de translation de son centre de masse et la vitesse de rotation propre. Il est à noter que pour un corps non solide, seul les deux premières grandeurs sont à priori définissables.

Tous les référentiels peuvent se définir par rapport au référentiel du laboratoire. Un référentiel A est déterminé par le septuplet <S,s,A,sd,st,V,W>(S,s) est l'évènement caractérisant le passage du référentiel au point S à l'instant s, A est la rotation caractérisant la position de ses axes à l'instant s, c'est à dire tel que sd*A*i, sd*A*j, sd*A*k constituent, précisement à l'instant s, son trièdre droit ou gauche selon le signe de sd , sd est la chiralité du trièdre, st est l'axe du temps (+1 ou -1) choisi dans ce nouveau référenciel. V est sa vitesse constante de translation, W est son vecteur vitesse angulaire constant de rotation. Ce septuplet constitue les coordonnés complêtes du référentiel A exprimées dans le référentiel du laboratoire.

Un tel référentiel se comporte comme un corps solide (tel que un trièdres solide par exemple) soumi à aucune force, dans lequel on a choisie l'origine spaciale, l'origine temporelle, l'origine axiale (la position des axes à l'instant origine) et leur chiralité, et le sens de la mesure du temps. Nous parlerons donc de libre choix de système de coordonnée à contrario des variable V et W qui ne sont pas choisis mais imposés par la nature du problème.

On remarque que le point de l'espace-temps sur lequel nous concentrions notre attention, et qui désigne un évenement ponctuelle instantané, s'inclut naturellement dans une notion plus générale qu'est le référentiel en translation uniforme avec rotation propre uniforme. On peut donc compléter un quadrivecteur (x,y,z,t) qui désigne un évènement ponctuel instantané, de façon naturelle en lui ajoutant un vecteur de rotation A définissant une origine axiale, une chiralité sd, un sens pour la mesure du temps st, et deux paramètres physiques que sont un vecteur de vitesse constante de translation V, et un vecteur de vitesse constante de rotation W, soit en un système de sept coordonnés, correspondant à 13 coordonnés réels (lorsque l'on représente les rotation par des vecteurs de Gibbs) et deux coordonnés binaires : <x,y,z,t,Ax,Ay,Az,sd,st,Vx,Vy,Vz,Wx,Wy,Wz> = <S,s,A,sd,st,V,W>, pour en faire un référentiel en translation uniforme avec rotation propre uniforme, qui selon le principe d'inertie est un invariant de l'espace-temps newtonien, que constitue le mouvement d'un corps solide soumis à aucune force.

2.5) La fonction caractérisant le mouvement uniforme

Le mouvement d'un corps solide soumis à aucune force est décrit par une fonction £(t) relative au référentiel du laboratoire où t désigne la coordonnée de temps du laboratoire. Cette fonction calcule à l'intant t, le couple de coordonnées spaciales et axiales du corps de coordonnés <S,s,A,sd,st,V,W> :

£(t) = (S + (t-s)*V, W(t-s)*A)

La composition de rotations dans l'espace R^3 est calculée en effectant un produit de matrice. L'élévation à la puissance d'une rotation par un réel Wt est définie à l'aide de la diagonalisation de W = P*D*P-1. Nous avons par définition : Wt = P*Dt *P-1.

En appliquant cette formule pour t = s, on retrouve la position initiale du corps.

2.6) le temps propre

Nous ajoutons une coordonné supplémentaire tp qu'est le temps propre du référentiel en mouvement, et qui est définie comme étant le temps indiqué par une horloge liée au référentiel, c'est à dire fixe par rapport à celui-ci, placé en son coeur, et dont l'origine est choisie librement, mais toujours relative au référentiel du laboratoire comme les sept autres coordonnés. Les coordonnés du référentiels, ou du corps en mouvement soumis à aucune force, forment alors un octuplet :

<S, s, tp, A, sd,  st, V, W>

S désigne la position du référentiel à l'instant s, A désigne la position des axes du référentiel à l'instant s, et tp désigne la valeur de l'horloge interne au référentiel à l'instant s.

Le référentiel du laboratoire possède comme coordonnée : <0,0,0,0,1,1,0,0>.

En mécanique classique le temps s'écoule de la même manière dans tous les référentiels. Tous les corps vieillisent à la même vitesse quelque soit leur mouvement. Cela à pour conséquence la définition d'une nouvelle fonction £(t) caractèrisant le mouvement uniforme des corps soumis à aucune force. £(t) calcule à l'intant t, le triplet de coordonnées spaciales, axiales, et de temps propre, du corps de coordonné <S, s, tp, A, sd,  st, V, W> :

£(t) = (S + (t-s)*V, W(t-s)*A, tp + t-s)

En appliquant cette formule pour t = s, on retrouve la position initiale du corps.

2.7) Les 4 référentiels symétriques

On utilise habituellement comme coordonnés binaires st=sd=1. C'est pourquoi lorsque l'on définira un référentiel X par le sixtuplet (S,s,tp,A,V,W), il sera sous entendue que la chiralité est positive, sd=1, c'est à dire que l'on passe du référentiel du laboratoire au référentiel X par une isométrie de déterminent +1 (translation puis rotation) et non pas par une isométrie de déterminent -1 (translation puis roto-inversion), et que le sens de la mesure du temps choisie par le référentiel X est le même que celui du laboratoire, st=1. Mais, noter qu'il existe 4 référentiels symétriques, constituant 4 systèmes de coordonnées que l'on peut librement choisir, et qui sont :

<S, s, tp, A,  1,  1, V, W>
<S, s, tp, A, -1,  1, V, W> (miroir)
<S, s, tp, A,  1, -1, V, W> (temps inversé)
<S, s, tp, A, -1, -1, V, W> (miroir et temps inversé)

Toutes les coordonnés du référentiel sont exprimées relativement au référentiel du laboratoire.

3) Les coordonnés relative à un référenciel autre que celui du laboratoire.

Considérons un référenciel de base A de coordonnés (Sa,sa,tpa,Aa,sda,sta,Va,Wa) animé d'une vitesse de rotation propre Wa non nul. Dans ce nouveau référenciel, les mouvement apparents des corps qui n'étaient soumis à aucune force dans le référentiel du laboratoire, auront un mouvement complexe resultant de la composition d'une rotation uniforme et d'une translation uniforme, une sorte de mouvement helicoïdale à vitesse de rotation égale à Wa et de rayon variant selon un polynôme en t2.

Si on veut étendre le principe d'inertie au référentiel tournant, il faut considèrer l'existance d'une accéleration centripête qui explique ce mouvement. Dans les cas simple, le corps subit un mouvement circulaire centré sur l'origine du référentiel de base avec une vitesse de rotation égale à Wa. Un tel mouvement dénote une accéleration centripête (c'est à dire dirigé vers le centre du référentiel de base) égale à |Wa|^2

 

 

 

 

 

 

 

3) Les changements de référentiels et les changements de coordonnés

Considèrons deux référenciels A et B. Un événement de coordonnés (S,s) aura dans le référenciel A des coordonnés (Sa,sa) et aura dans le référentiel B des cordonnés (Sb,sb). On étend le système de coordonnés à celui caractérisant un corps solide soumis à aucune force, soit en un système de huit coordonnés. Un corps de coordonnés (S,s,tp,A,sd,st,V,W) aura dans le référenciel A des coordonnés (Sa,sa,tpa,Aa,sda,sta,Va,Wa) et aura dans le référentiel B des cordonnés (Sb,sb,tpb,Ab,sdb,stb,Vb,Wb).

On s'apperçoit de prime abord que, sémantiquement, un changement de coordonnés est une fonction inverse d'une transformation de référentiel. Aussi on note par la même fonction, un changement de coordonnés et une transformation de référentiel, en laissant au contexte le soin de lever toute ambiguité.

 

 

 

4) Les rotations de R^3

Un vecteur de Gibbs est de la forme A = sin(a)*U, où U est un vecteur unitaire de R^3. A correspond à une rotation autours de l'axe désigné par le vecteur unitaire U, d'angle a exprimé en radian. Lorsque l'on applique à un vecteur V, une rotation définie par le vecteur de Gibbs A, on obtient le vecteur égale à (V•U-cos(a))*U + cos(a)*V + A^V cos(a)^2 = 1-A•A.

 

 

 

 

Les principes de la théorie électromagnétique et de la relativité, M.-A. TONNELAT, Masson & Cie, 1959
Gravitation relativiste, Rémi HAKIM, CNRS édition, 1994
Description de la symétrie, Jean SIVARDIERE, EDP Sceinces 2004


 

 

 

 

 


 

Il y a 4 types simples de transformation galiléenne :

et leurs règles de commutation :

3.5) Les règles de composition et de commutation

T(S)^(-1) = T(-S)
D(s)^(-1) = D(-s)
G(V)^(-1) = G(-V)
R(M)^(-1) = R(M^(-1))

T(S2) ° T(S1) = T(S1+S2) = T(S1) ° T(S2)
D(s2) ° D(s1) = D(s1+s2) = D(s1) ° D(s2)
G(V2) ° G(V1) = G(V1+V2) = G(V1) ° G(V2)
R(M2) ° R(M1) = R(M1*M2)    non commutatif

T(S) ° D(s) = D(s) ° T(S)
T(S) ° G(V) = G(V) ° T(S)
T(S) ° R(M) = R(M) ° T(M*S)
D(s) ° G(V) = T(-s*V) ° G(V) ° D(s)
D(s) ° R(M) = R(M) ° D(s)
G(V) ° R(M) = R(M) ° G(M*V)

3.6) Les déplacements : On regroupe les rotations et les translations dans un seul type de transformations appelés déplacements. On change de référenciel pour aller du référentiel système à un référentiel au repos placé au point (S,0) et tel que les axes ont subit une rotation M (matrice de la rotation qui appliquée aux axes systémes donne les axes du référentiel déplacé). On note H(M,S) la fonction de transformation des coordonnées. Un événement de coordonnée (X,t) aura dans le référenciel déplacé (translaté selon S et tourné selon M) les coordonnées H(M,S)(X,t)

H(M,S)(X,t) = (M^(-1)*(X-S), t)

Ce qui ajoute les règles de compositions et de commutations supplémentaires suivantes :

H(M,S) = R(M)°T(S)
H(M,S)^(-1) = H(M^(-1),-M^(-1)*S)
H(M2,S2)°H(M1,S1) = H(M1*M2,(M1*M2)^(-1)*S1+M2^(-1)*S2)
H(M,S)°T(S') = H(M,S+S')
H(M,S)°D(s) = D(s)°H(M,S)
H(M,S)°R(N) = H((N*M)^(-1),M^(-1)*S)

H(M,S)°G(V) = G(M^(-1)*V)°H(M,S)

Les rotations dans l'espace se décrivent beaucoup plus simplement à l'aide des quaternions de Hamilton. Aussi nous devrons décrire la structure des quaternions. Et nous devrons rappeler ce qu'est une structure de groupe, de corps, d'espace vectorielle..., ce qu'est un produit directe, ce qu'est une forme linéaire, bilnéaire, ce qu'est une forme quadratique, une norme....


 

3.5) Les règles de composition et de commutation

T(S)^(-1) = T(-S)
D(s)^(-1) = D(-s)
G(V)^(-1) = G(-V)
R(M)^(-1) = R(M^(-1))

T(S2) ° T(S1) = T(S1+S2) = T(S1) ° T(S2)
D(s2) ° D(s1) = D(s1+s2) = D(s1) ° D(s2)
G(V2) ° G(V1) = G(V1+V2) = G(V1) ° G(V2)
R(M2) ° R(M1) = R(M1*M2)    non commutatif

T(S) ° D(s) = D(s) ° T(S)
T(S) ° G(V) = G(V) ° T(S)
T(S) ° R(M) = R(M) ° T(M*S)
D(s) ° G(V) = T(-s*V) ° G(V) ° D(s)
D(s) ° R(M) = R(M) ° D(s)
G(V) ° R(M) = R(M) ° G(M*V)

3.6) Les déplacements : On regroupe les rotations et les translations dans un seul type de transformations appelés déplacements. On change de référenciel pour aller du référentiel système à un référentiel au repos placé au point (S,0) et tel que les axes ont subit une rotation M (matrice de la rotation qui appliquée aux axes systémes donne les axes du référentiel déplacé). On note H(M,S) la fonction de transformation des coordonnées. Un événement de coordonnée (X,t) aura dans le référenciel déplacé (translaté selon S et tourné selon M) les coordonnées H(M,S)(X,t)

H(M,S)(X,t) = (M^(-1)*(X-S), t)

Ce qui ajoute les règles de compositions et de commutations supplémentaires suivantes :

H(M,S) = R(M)°T(S)
H(M,S)^(-1) = H(M^(-1),-M^(-1)*S)
H(M2,S2)°H(M1,S1) = H(M1*M2,(M1*M2)^(-1)*S1+M2^(-1)*S2)
H(M,S)°T(S') = H(M,S+S')
H(M,S)°D(s) = D(s)°H(M,S)
H(M,S)°R(N) = H((N*M)^(-1),M^(-1)*S)

H(M,S)°G(V) = G(M^(-1)*V)°H(M,S)

Les rotations dans l'espace se décrivent beaucoup plus simplement à l'aide des quaternions de Hamilton. Aussi nous devrons décrire la structure des quaternions. Et nous devrons rappeler ce qu'est une structure de groupe, de corps, d'espace vectorielle..., ce qu'est un produit directe, ce qu'est une forme linéaire, bilnéaire, ce qu'est une forme quadratique, une norme....

3.7) Les translations unitaires, les glissements unitaires et le décalage unitaire.

Les règles de composition dévoilent des morphismes de groupe. Et on peut quantifier d'avantage ces transformations, en ne considérant que les transformations avec un paramètre unitaire. On note Tx = T(1,0,0), Ty = T(0,1,0), Tz = T(0,0,1), les changement de coordonné suite à une translation d'une unité selon l'axe des x,y,z (c'est à dire selon les vecteurs i,j,k). On note Tt = D(1), le changement de coordonnée suite à un décalage d'une unité de temps. On note Gx = G(1,0,0), Gy = G(0,1,0), Gz = G(0,0,1), les changements de coordonnées suite à un glissement d'une unité de vitesse selon l'axe des x,y,z. On s'apperçoit de prime abord que un changement de coordonné est une fonction inverse d'un changement de système. Aussi on note de la même façon un changement de coordonné et un changement de système, en laissant au contexte le soin de lever toute ambiguité. Nous avons les relations suivantes :

Tx^Sx°Ty^Sy°Tz^Sz = T(Sx,Sy,Sz)
Tt^t = D(t)
Gx^Vx°Gy^Vy°Gz^Vz = G(Vx,Vy,Vz)

Les changements de coordonnée élémentaires sont notées : Tt,Tx,Ty,Tz,Gx,Gy,Gz,Rx,Ry,Rz, avec Rx = R(Jx), Ry = R(Jy), Rz = R(Jz)Jx,Jy,Jz sont trois rotations élémentaires que nous décrivons au paragraphe suivant. Ces trois rotations génèrent par la composition de puissances décimales Jx^α°Jy^β°Jz^γ, toutes les rotations.

3.8) Les rotations unitaires

Avec le même esprit on décompose les rotations en trois rotations de base Jx, Jy, Jz (appelées générateurs infinitésimaux). Ceux sont les rotations de +90° autour des trois axes x,y,z, le sens positif de rotation étant déterminé par le triède droit i,j,k selon la règle du tire bouchon.

     [ 1  0  0 ]    Jx(i)=i
Jx = [ 0  0 -1 ]    Jx(j)=k      Jx(S)=(i+1)*S/(i+1) dans H
     [ 0  1  0 ]    Jx(k)=-j

     [ 0  0  1 ]    Jy(i)=-k
Jy = [ 0  1  0 ]    Jy(j)=j      Jy(S)=(j+1)*S/(j+1) dans H
     [-1  0  0 ]    Jy(k)=i

     [ 0 -1  0 ]    Jz(i)=j
Jz = [ 1  0  0 ]    Jz(j)=-i     Jz(S)=(k+1)*S/(k+1) dans H
     [ 0  0  1 ]    Jz(k)=k
Les rotations dans l'espace s'expriment beaucoup plus simplement avec les quaternions en identifiant les trois vecteurs du triède i, j, k avec les trois unités quaternioniques i, j, k.

Le corps non commutatif des quaternions est noté H. Il possède également une structure de R-espace vectoriel, et R^3 s'y plonge en envoyant les vecteurs de base ((1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)) sur les quarternions (i,j,k). On identifie l'espace vectoriel à 3 dimenssions, R^3, au sous espace vectoriel de H engendré par (i,j,k), c'est à dire à l'ensemble des quaternions imaginaires pures. Un vecteur S de composantes (Sx,Sy,Sz) est égale à S = i*Sx + j*Sy + k*Sz. Les composantes Sx,Sy,Sz sont des composantes réelles. S est identifié à un quaternion imaginaire pure. Nous remarquons que le vecteur transformé par rotation Jx est égale à la conjugaion de S par (i+1). Nous avons :

Jx(S) = (i+1)*S*(i+1)^(-1)
Jy(S) = (j+1)*S*(j+1)^(-1)
Jz(S) = (k+1)*S*(k+1)^(-1)

On note φ(a) la conjugaison par a. qui, appliqué à l'élement S, se note φ(a)(S). La conjugaison de S par a, φ(a)(S) = a*S*a^(-1), est un automorphisme. Les rotations de +90° autours des axes i, j, k correspondent aux conjugaisons par (i+1), (j+1), (k+1).

Jx = φ(i+1)
Jy = φ(j+1)
Jz = φ(k+1)

La composition de rotations se calcule simplement en composant les conjugaisons. La composition de conjugaisons par a et par b est égale à la conjugaison par a*b. Car dans un groupe non commutatif, nous avons les règles suivantes, l'ordre de la multiplication change lorsqu'on applique l'automorphisme x -> x^(-1).

(a*b)^(-1) = b^(-1)*a^(-1)

φ(a)°φ(b)(S) = φ(a)(φ(b)(S))
             = a*b*S*b^(-1)*a^(-1)
             = a*b*S*(a*b)^(-1)
             = φ(a*b)(S)

Par exemple, la rotation Jx°Jy se developpe comme suit :

Jx°Jy = φ(i+1)°φ(j+1)
Jx°Jy = φ((i+1)*(j+1))
Jx°Jy = φ(1+i+j+k)

Jx°Jy(S) = (1+i+j+k)*S/(1+i+j+k)

Dans le cas général nous aurons :

Jx^α°Jy^β°Jz^γ = φ((i+1)^α *(j+1)^β *(k+1)^γ)

La puissance entière d'un quaternion se calcule simplement. Soit un quaternion h, son inverse se calcule comme suit :

h = i*Sx + j*Sy + k*Sz + t
1/h = (- i*Sx - j*Sy - k*Sz + t)/(Sx^2 + Sy^2 + Sz^2 + t^2)

Et nous avons les règles de multiplications suivantes :

i*i = j*j = k*k = -1
i*j = k = -j*i
j*k = i = -k*j
k*i = j = -i*k

Nous vérons par la suite comment introduire les puissances réelle des rotations.

3.9) La présentation du groupe de Galillée

On peut définir l'ensemble des transformations galiléennes par un ensembles fini de transformations génératrices élémentaires, et par leurs règles de composition.Cela s'appel une présentation de groupe. Par exemple la présentation <a,b / a*b=b*a, a*a*a=1, b*b*b=1> correspond au groupe (Z/3Z)^2. Le groupe est un groupe d'application, et l'opération concernée est la composition d'application noté °. On utilise soit la notation multiplicative des groupes non commutatifs, ou soit on utilise la notation naturelle des groupes d'application :

Notation
naturelle
Notation
multiplicative
id
1
f°g
f*g
f^n
f^n
f^(-1)
1/f
(f°g)(x)
(f*g)(x)
f^(-1)(x)
(1/f)(x)

On construit la présentation d'un groupe en ajoutant les éléments générateurs et en ajoutant leurs règles de composition et de simplification. La présentation du groupe est achevée lorsque toutes les règles de composition et de simplification possibles sont déduisibles des règles de bases figurant dans la présentation. D'une façon générale, le défaut de commutation entre deux éléments a et b s'exprime à l'aide du commutateur [a,b]. Par définition [a,b] = a*b*a^(-1)*b^(-1). Lorsque l'on rencontre deux éléments qui ne commutent pas, on ajoute dans la présentation le commutateurs. D'une façon générale, nous avons les règles de simplifications suivantes :

a*b = [a,b]*b*a
[a,b]^(-1) = [b,a]

On définie l'opération puissance ^ : GxZ --> G.

a^n = a*a*... n fois
a^0 = id
a^(-n) = a^(-1)*a^(-1)*... n fois

Si [a*b] commute avec a et avec b, alors nous avons les relations supplémentaires :

[a,b]^x = [a,b^x] = [a^x,b]
[a^x,b^y] = [a,b]^(x*y)

Si [a*b] commute avec seulement a alors nous avons les relations supplémentaires :

[a^x,b] = [a,b]^x
[a,b^y] = ([a,b]*b)^y*b^(-y)
[a^x,b^y] = ([a,b]^x*b)^y*b^(-y)

Nous identifions l'espace vectoriel à 3 dimenssions, R^3, au sous espace vectoriel de H des quaternions imaginaires pures. Et nous identifions l'espace vectoriel à une dimenssion, R, au sous espace vectoriel H des quaternions réels. Nous avons la somme directe H = R^3 + R. Relativement à cette somme directe, un vecteur de l'espace temps h = (S,t) se décompose en un couple comprenant un quaternion imaginaire pure S et un quaternion réel t. Cela correspond à la décomposition en la somme de la partie imaginaire et de la parti réel du quaternion :

(S,t) = h = Im(h) + Re(h) = S + t.

On définie la conjugaison d'un quaternion de manière analogue à la conjugaison d'un complexe. Le conjugué q(h) est égale au quaternion h après avoir inversé le signe de sa partie imaginaire :

 h   =   i*Sx + j*Sy + k*Sz + t
q(h) = - i*Sx - j*Sy - k*Sz + t

La conjugaison q est un automorphisme qui ressemble aux conjugaisons par a, φ(a), vue précédement, d'où son appellation identique, à part qu'il n'y a pas de paramètre a (considérez que le paramètre est exterieur au groupe).

h = (S,t)
S = Im(h) = (h - q(h))/2
t = Re(h) = (h + q(h))/2

Nous reformulons les transformation précédentes dans H :

D1(X,t) = (X,t-1)
Tx(X,t) = (X-i,t)
Ty(X,t) = (X-j,t)
Tz(X,t) = (X-k,t)
Gx(X,t) = (X-i*t,t)
Gy(X,t) = (X-j*t,t)
Gz(X,t) = (X-k*t,t)
Rx(X,t) = ((i+1)^(-1)*X*(i+1),t)
Ry(X,t) = ((j+1)^(-1)*X*(j+1),t)
Rz(X,t) = ((k+1)^(-1)*X*(k+1),t)

f
(X,t)

0

i
j
k
1
D1
(X,t-1)
-1
i-1
j-1
k-1
0
Tx
Ty
Tz
(X-i,t)
(X-j,t)
(X-k,t)
-1
-i
-j
0
i-j
i-k
j-i
0
j-k
k-i
k-j
0
1-i
1-j
1-k
Gx
Gy
Gz
(X-i*t,t)
(X-j*t,t)
(X-k*t,t)
0
0
0
i
i
i
j
j
j
k
k
k
-i
-j
-k
Rx
Ry
Rz
((1/(i+1))*X*(i+1),t)
((1/(j+1))*X*(j+1),t)
((1/(k+1))*X*(k+1),t)
0
0
0

i
k
-j

-k
j
i
j
-i
k
1
1
1

Voici la présentation du groupe de Galilée :

Générateurs infinitésimaux : D1, Tx, Ty, Tz, Gx, Gy, Gz, Rx, Ry, Rz, et règles de composition :

Tx,Ty,Tz,D1 commutatifs
Tx,Ty,Tz,Gx,Gy,Gz commutatifs
Rx,Ry,Rz,D1 commutatifs

[D1,Gx] = Tx     
[D1,Gy] = Ty     
[D1,Gz] = Tz     

(notation naturelle)

[Tx,Rx] = id
[Tx,Ry] = Tx°Tz^(-1)
[Tx,Rz] = Tx°Ty
[Ty,Rx] = Ty°Tz
[Ty,Ry] = id
[Ty,Rz] = Ty°Tx^(-1)
[Tz,Rx] =Tz°Ty^(-1)
[Tz,Ry] = Tz°Tx
[Tz,Rz] = id
[Gx,Rx] = id
[Gx,Ry] = Gx°Gz^(-1)
[Gx,Rz] = Gx°Gy
[Gy,Rx] = Gy°Gz
[Gy,Ry] = id
[Gy,Rz] = Gy°Gx^(-1)
[Gz,Rx] = Gz°Gy^(-1)
[Gz,Ry] = Gz°Gx
[Gz,Rz] = id

Pour que cette présentation soit complète, il faut donner les règles de composition avec les puissances entières relatives puis après avec les puissances réels. Comme le commutateur [D1,Gx] commute avec D1 et Gx nous pouvons généraliser à l'aide de la formule [D1^n1,Gx^n2] = [D1,Gx]^(n1*n2). Nous avons donc :

[D1^n1,Gx^n2] = Tx^(n1*n2)
[D1^n1,Gy^n2] = Tx^(n1*n2)
[D1^n1,Gz^n2] = Tx^(n1*n2)

Comme le commutateur [Tx,Ry] commute avec Tx nous pouvons généraliser à l'aide de la formule [Tx^n1,Ry^n2] = ([Tx,Ry]^n1*Ry)^n2*Ry^(-n2). Nous avons donc :

[Tx^n1,Rx^n2] = id
[Tx^n1,Ry^n2] = ((Tx^n1*Tz^(-n1)*Ry)^n2*Ry^(-n2)
[Tx^n1,Rz^n2] = ((Tx^n1*Ty^n1*Rz)^n2*Rz^(-n2)

On peut simplifier d'avantage en calculant les conjugaisons au lieu des commutateurs. Nous appliquons la formule [a,b] = a*φ(b)(a^(-1)).

Tx,Ty,Tz,D1 commutatifs
Tx,Ty,Tz,Gx,Gy,Gz commutatifs
Rx,Ry,Rz,D1 commutatifs

[D1,Gx] = Tx     
[D1,Gy] = Ty     
[D1,Gz] = Tz  
   

(notation multiplicative)

φ(Rx)(Tx)=Tx
φ(Ry)(Tx)=Tz
φ(Rz)(Tx)= 1/Ty
φ(Rx)(Ty)=1/Tz
φ(Ry)(Ty)= Ty
φ(Rz)(Ty)= Tx
φ(Rx)(Tz) =Ty
φ(Ry)(Tz) =1/Tx
φ(Rz)(Tz) =Tz
φ(Gx)(Tx)= Gx
φ(Gy)(Tx)= Gz
φ(Rx)(Tx)= 1/Gy
φ(Gx)(Ty)= 1/Gz
φ(Gy)(Ty)= Gy
φ(Gz)(Ty)= Gx
φ(Gx)(Tz)= Gy
φ(Gy)(Tz)= 1/Gx
φ(Gz)(Tz)= Gz

On cherche une forme normale, c'est à dire une représentation unique de l'élément du groupe de galilée, sous forme d'une formule.

...

 

4) Le programme de teste de cohérence.

La probabilité que les formules soit erronées suite à une erreur humaine lors de l'interpretation, ou à une défaillance technique lors de la transmission, est importante. En effet, il n'existe pas dans l'absolue de copie exacte. Il y a toujours une probabilité non nulle d'erreur lors d'une transmission. Un contrôle basé sur une redondance de bas niveau doit être effectué pour minimiser cette erreur. Les erreurs d'interpretation par contre ne sont pas minimisables par ce procédé. Lors de la transmission d'une théorie, nous avons une redondance de haut niveau supplémentaire que n'ont pas à priori les autres messages qu'est la cohérence de la théorie, et qui est conservée à travers l'interpretation. Les erreurs d'interpretation causées par notre subjectivité peuvent être minimisées par un contrôle basé sur cette redondance de haut niveau que consitue la cohérence des formules.

Nous transmettons les formules physiques avec un programme informatique mettant en oeuvre ces formules sur des exemples aléatoires, afin de tester leur cohérence. Le déstinataire pourra éxecuter ce programme sur les formules transmises pour vérifier leur cohérence, et sur des formules altérées pour vérifier leur incohérences afin de tester le pouvoir de discernement du programme lui-même.

De la même façon qu'un programme informatique en développement doit inclure un programme servant à vérifier la cohérence du programme, des énoncés physiques doivent être accompagnés d'un programme servant à vérifier la cohérence des formules

 

5.18) Les formes bilinéaires

Une forme bilinéaire de ExE est une application bilinéaire de ExE dans K, qui est 2 fois linéaires, linéaire sur chaque composantes,

....

c'est à dire quelque soit les sacalaires a, b éléments de K, et les vecteurs u, v, u', v' de E, nous avons B(u + u',v + v') = B(u,v) + B(u,v') + B(u',v) + B(u',v') et B(a*u,b*v) = a*b*B(u,v). Les formes bilinéaires symétriques, telque B(u,v) = B(v,u), forment un sous-espace vectoriel noté S2(E). Et les formes bilinéaires antisymétriques, telque B(u,v) = -B(v,u), forment un sous-espace vectoriel noté A2(E). Ces deux sous espaces vectoriels sont indépendant et générateurs, et donc décomposent l'espace des formes bilinéaires en une somme directe : (ExE)' = S2(E) + A2(E). La décomposition est bien une somme directe, c'est à dire unique. Pour toute forme bilinéaire B, nous avons B(u,v) = B1(u,v) + B2(u,v) avec B1(u,v) = (B(u,v)+B(v,u))/2 et B2(u,v) = (B(u,v)-B(v,u))/2. Lorsque l'on travaille avec une seul forme bilinéaire symétrique, celle-ci est généralement notée sous forme de couple <u,v> = <v,u> = B(u,v) = B(v,u).

4.14) Espace vectoriel euclidien

Pour rendre un espace vectoriel euclidien, il est nécessaire de choisir une forme bilinéaire symétrique <u,v> = <v,u> afin de construire la relation d'orthogonalité. u et v sont orthogonal si et seulement si <u,v> = 0, et de construire la norme d'un vecteur qui est égale à la racine de la forme quadratique |v| = sqrt(<v,v>).

4.15) Les formes trilinéaires

On peut généraliser la question pour une forme n-linéaire. Une forme trilinéaire définie sur E est une forme linéaire de ExExE, c'est à dire quelque soit les scalaires a, b, c éléments de K, et les vecteurs u, v, w, u', v', w' de E, nous avons T(u + u',v + v',w + w') = T(u,v,w) + T(u,v,w') + T(u,v',w) + T(u,v',w') + T(u',v,w) + T(u',v,w') + T(u',v',w) + T(u',v',w') et T(a*u,b*v,c*w) = a*b*c*T(u,v,w). Les formes trilinéaires symétriques, c'est à dire telque T(u,v,w) = T(g(u,v,w))g est une permutation quelconque du triplet de vecteurs, forment un sous espace vectoriel noté S3(E). Et les formes trilinéaires antisymétrique, telque T(u,v,w) = sign(g)*T°g(u,v,w)sign(g) est la signature de la permutation g, forment un sous espace vectoriel noté A3(E). Les formes trilinéaires antisymétriques correspondent exactement aux formes trilinéaires alternés, c'est à dire aux formes trilinéaires T telque si (u,v,w) contient deux vecteurs égaux alors T(u,v,w) = 0. De plus ils possèdent la propriété suivante : Si les vecteurs u,v,w sont dépendants c'est à dire si il existe a,b,c élément de K non tous nuls telque a*u + b*v + c*w = 0E alors T(u,v,w) = 0. Pour chaque forme trilinéaires T on définie l'antisymétrisé comme la somme pour l'ensemble des n! permutations g, de sign(g)*T°g(u,v,w). Les formes antisymétriques sont obtenues en calculant l'antisymétrisé des formes trilinéaires.