Théorie cinétique des gaz dans un univers unidimensionnel

"Un moyen simple d'aborder la théorie cinétique des gaz consiste à se placer dans un univers à une seule dimension."

1) Introduction

Dans un univers à une dimension, une cavité correspond à un segment, un fil de longueur L. Les molécules confinées dans un segment se croisent nécessairement et rebondissent sur les bouts du segment.

Pour obtenir la condition des gaz parfaits dans laquelle les molécules ne se choquent que trés rarement, on introduit une probabilité trés faible p de choc lors des croisements de molécules, faisant que les molécules se croisent la plus part du temp sans être perturbées. On conçoit donc que deux molécules puissent être placées au même endroit et puissent ne pas interagir. On néglige les cas rares d'interactions mettant en oeuvre plus de deux molécules à la fois.

Les chocs entre molécules et entre molécule et extrémité du fil doivent être parfaitement élastiques c'est à dire doivent conserver globalement l'énergie.

Les chocs entre molécules sont sensés être la cause de l'évolution du systèmes vers son état d'équilibre statistique, et ainsi, permettre de définir une distribution des vitesses des molécules du gaz identique en toute portion lorsqu'il est en état d'équilibre statistique. Les chocs entre molécules ne servent qu'à cela et leurs effets doivent être négligeables sur les autres variables d'état. C'est pourquoi on n'approfondit pas le calcul de la propbabilité des chocs entre molécules. elle est juste très faible.

Lorsque deux molécules de même masse intéragissent entre-elles, elles intervertissent leurs vitesses, et si on néglige la taille des molécules, cela a donc exactement le même effet que si elles n'intéragissaient pas, à part la seul différence symbolique que les deux molécules sont permutées. On dira que les molécules ponctuelles élastiques indifférenciées n'intéragissent pas. On en conclut que la distribution des vitesses des molécules du gaz ne change pas lors des intéractions moléculaires internes au gaz.

Comment alors définir l'état d'équilibre statistique si nous n'avons pas de moyen originel qui en constitue sa cause ?

D'autre phénomène peuvent être la cause d'un équilibre statistique. On pense tout de suite à la présence d'impuretés. La présence de quelques molécules de masses différentes va créer du désordre. Et ce désordre se traduira par un équilibre statistique correspondant à l'entropie maximum.

Ainsi les 4 conditions théoriques d'un gaz parfait unidimensionnel sont :

  1. Les molécules doivent être considérées comme des petits segments indéformables de taille négligeable et n'accumulant pas d'énergie interne autre que leur énergie cinétique de translation.
  2. Les seules interactions sont des chocs élastiques entre molécules et entre molécule et extrémité du fil.
  3. Le nombre de chocs entres molécules est négligeable par rapport au nombre de chocs entre molécule et extrémité du fil. Cela s'obtient en choisissant une probabilité d'interaction trés faibles lorsque les molécules se croisent.
  4. La présence de quelques impuretés est nécessaire. Elle est constituée d'une ou deux molécules de masses distinctes de celles du gaz.

La distance intermoléculaire pour une molécule est la distance de la plus proche molécule. On estime grosso-modo la distance intermoléculaire moyenne `"<"d">"` comme égale à:

`"<"d">" ~~ L/N`

`L` est la taille du gaz ou plus exactement de la cavité dans laquelle est confiné le gaz. `N` est le nombre de molécules du gaz. La densité moléculaire, qui est ici une densitée linéïque, est définie par:

`D = N/L`

Donc dans un espace unidimensionnel, la distance intermoléculaire moyenne est égale à l'inverse de la densité moléculaire (densité linéïque).

`"<"d">"~~1/D`

Pour être non relativiste, les vitesses doivent être trés petites par rapport à la vitesse de la lumière, `v  -<  c`. Et pour être non quantique, les distances intermoléculaires `d` doivent être beaucoup plus grande que la longueur d'onde associée de Broglie:

`"<"d">" >- h/(mv)`

On en déduit que:

`h/(m"<"d">")  -<  v  -<  c`

Conclusion:

Critère pour être non relativiste et non quantique

`D h / m   -<   v   -<   c`

`v`  : Norme moyenne de la vitesse des molécules
`c` : Constante de la vitesse de la lumière, `c = 299.792458×10^6 ms^(-1)`
`m` : Masse d'une molécule.
`h` : Constante de Planck, `h = 662.607004×10^(-36) Js`
`D` : Densité moléculaire (linéïque). `D = N"/"L`
`L` : Taille du gaz.
`N` : Nombre total de molécules du gaz.

2) La pression

Les molécules se déplacent sur un fil rectiligne de longueur `L` et rentrent en colision avec les bouts du fil qui jouent le rôle de piston. La pression est alors une force qui s'applique à chaque bout du fil, à chaque piston, et qui est dans l'axe du fil. Dans un univers unidimensionnel, Il n'y a pas de distinction entre la pression et la force, une pression est une force et s'exprime en newton (`N`).

Les chocs étant parfaitement élastiques, chaque molécule de vitesse `v` entrant en collision avec le piston, va rebondir et ainsi transmettre au piston le double de sa quantité de mouvement, c'est à dire `2mv`. La force est :

`F = (dp)/dt`

`dp` représente la somme des quantités de mouvements transmises au piston par les chocs moléculaires au cours d'un intervalle de temps `dt`. La force s'obtient en divisant cette quantité de mouvement acquise par le piston, par l'intervalle de temps `dt`.

Les molécules de vitesse `v` transportent donc à la vitesse `v` une petite quantité de mouvement `2mv` qui sera transmise au piston lorsqu'elles rentreront en collision avec lui. Si entre temps une collision avec une autre molécule se produit, la quantité de mouvement précédemment décrite risque d'être changée de façon aléatoire (au cas où la collision se fait avec une molécule d'une massse différente). On néglige cet effet en supposant une probabilité de choc trés faible, et un nombre d'impureté très faible, soit une quasi-absence de collision intermoléculaire perturbatrice tout en supposant l'état d'équilibre statistique.

Pour qu'une molécule de vitesse `v` vienne frapper le piston dans l'intervalle de temps `dt`, il faut qu'elle se situe à une distance du piston inférieur à `vdt`. Toutes les molécules de composante de vitesse `v` positives présentes dans le segment de longueur `vdt` vont entrer en collision avec le piston pendant l'intervalle `dt`.

Soit `n_v` le nombres des molécules présentes dans le segment `Avdt` et ayant une vitesse `v`. On note `D_v` la densité linéïque des molécules ayant une vitesse `v`. Nous avons `D_v= n_v/(Avdt)`. La somme de toutes ces densités donne la densité linéïque totale des molécules :

`D = sum_v D_v`

L'équilibre statistique du gaz nous assure qu'il y a autant de molécule de vitesse `u` que de molécule de vitesse `-u`, donc :

`D = 2sum_(v>0) D_v`

De la même façon qu'une distribution de probabilité `p(x)` d'apparition de l'objet `x` de valeur `f(x)`, permet de calculer la moyenne `"<"f(x)">"` grâce à la formule suivante :

`sum_x p(x)f(x) = "<"f(x)">"`             avec   `1 "="sum_x p(x)`

Une distribution de densité `D_x` d'objets `x` de valeur `f(x)` permet de calculer la valeur moyenne des objets `"<"f(x)">"` grâce à la formule suivante :

`sum_x D_x f(x) = D"<"f(x)">"`            avec   `D"=" sum_x D_x`

La quantité de mouvement transmise au piston par les `n_v` molécules pendant l'intervalle `dt` est `n_v (2m v)`. La force exercée par ces molécules sur le piston s'obtient en divisant par `dt` puis la pression exercée par ces molécules sur le piston s'obtient en divisant par `A` :

`2m v n_v /(Adt)`

`2m v^2 n_v /(Avdt)`

`2m v^2 D_v`

La pression totale du gaz s'exerçant sur le piston s'obtient en sommant cette expression pour toutes les valeurs positives de `u` :

`P = sum_(v>0) 2m v^2 D_v`

`P = 2m sum_(v>0) v^2 D_v`

Par symétrie statistique :

`P = m sum_v v^2 D_v`

Par les calculs statistiques vus plus haut :

`P = m D "<"v^2">"`

La densité linéïque moléculaire `D` est, par définition, le nombre `N` de molécules du gaz divisés par la taille du gaz `L` qui est la taille du fil.

Pression d'un gaz parfait unidimensionnel :

`P = Dm"<"v^2">"`

`P` : Pression du gaz.
`D` : Densité du gaz. `D = N"/"L`
`"<"v^2">"` : Carré de la vitesse, moyénné sur l'ensemble des molécules.
`m` : Masse d'une molécule.

Notez que cette égalité ne fait intervenir que des variables d'état intensives ; les variables d'états `P`, `D`, `m`, `"<"v^2">"`, qui ne dépendent pas de la taille du système.

Puis on considére le segment `L` du gaz et le nombre total de molécules `N` qui sont des variables d'état extensives.

Le gaz étant supposé parfait, les molécules ne possèdent pas de moment cinétique variable, ni d'autre moyen d'accumuler de l'énergie interne autrement que par leur vitesse de translation. L'énergie interne `U` du gaz est alors composée exclusivement des énergies cinétiques de chacune de ses molécules.

`(1/2)mv^2`

L'énergie interne `U` en est la somme, cela revient à prendre une moyenne des `v^2` sur toutes les molécules puisque chacune apporte sa contribution :

`U = N(1/2)m"<"v^2">"`

Pression et énergie interne d'un gaz parfait unidimensionnel :

`PL = 2U`

`U = N(1/2)m"<"v^2">"`

`P` : Pression du gaz.
`L` : Taille du gaz.
`U` : Energie interne du gaz. Energie cinétique totale du gaz.
`N` : Nombre total de molécules du gaz.
`m` : Masse d'une molécule.
`"<"v^2">"` : Carré de la vitesse, moyénné sur l'ensemble des molécules.

3) La température

Dans l'univers unidimensionelle, on ne peut pas se référencer au degrés Celsuis qui dépend de constats empiriques fait dans un monde tridimensionnel. Aussi on choisit d'exprimer la température en joule par molecule (`J`) . On définie la température comme étant égale à l'énergie cinétique moyenne des molécules du gaz.

Température d'un gaz parfait unidimensionnel :

`T = U/N`

`T` : Température exprimée en joule par molécule.
`U`  : Energie interne du gaz. Energie cinétique totale du gaz.
`N` : Nombre de molécules du gaz.
Température d'un gaz parfait unidimensionnel :

`T = (1/2)m"<"v^2">"`

`T` : Température exprimée en joule par molécule.
`m` : Masse d'une molécule.
`"<"v^2">"`  : Moyenne du carré de la vitesse des molécules.

4) Loi des gaz parfaits unidimensionnel

A partir de la définition microscopiques de la pression `PL = 2U` et de celle de la température en joule par molécule `T = U"/"N`, on déduit la loi des gaz parfaits unidimensionnel : PL = 2NT. Et si on choisie de n'utiliser que des variables d'état intensive, qui ne dépendent pas de la taille du système pour exprimer la loi du gaz parfait :

Loi des gaz parfaits :

`P = 2DT`

`P` : Pression du gaz.
`D`
 : Densité moléculaire du gaz. `D = L"/"N`
`T`
 : Température du gaz exprimée en joule par molécule. `T = U"/"N`

5) Intéraction entre deux molécules

Pour aller plus loin dans la théorie cinétique des gaz parfait, il convient de connaitre la distribution des vitesses des molécules du gaz lorsqu'il est en état d'équilibre statistique. Mais pour déterminer cet état d'équilibre statistique, il faut introduire une source de désordre qui ne perturbent pas les valeurs des variables d'états déjà définies. Une des voix consiste à simuler des choques entre molécules.

Lorsque deux molécules de même masse intéragissent entre-elles dans un univers unidimensionnel, elles intervertissent leurs vitesses, et si on néglige la taille des molécules, cela a donc exactement le même effet que si elles n'intéragissaient pas, à part la seul différence symbolique que les deux molécules sont permutées. On en conclut que la distribution des vitesses des molécules du gaz ne change pas lors des intéractions moléculaires internes au gaz. Comment alors définire l'état d'équilibre statistique s'il n'y a pas de cause originelle pour le produire ? D'autre phénomène peuvent être la cause d'un équilibre statistique. On pense tout de suite à la présence d'impuretés. La présence de molécules de masses différentes va créer du désordre. Et ce désordre se traduira par un équilibre statistique correspondant à une entropie maximum.

Les seuls interactions considérées entres molécules sont les chocs élastiques. Le choc élastique entre deux molécules se traduit par un brusque changement des vitesses devant respecter la conservation de l'énergie et la conservation de la quantité de mouvement du système composé des deux molécules en intéraction :

Conservation de l'énergie cinétique et de la quantité de mouvement
au cours d'un choc élastique entre deux molécules

`m_1v_1+m_2v_2 = m_1u_1+m_2u_2`
`m_1v_1^2+m_2v_2^2 = m_1u_1^2+m_2u_2^2`

`m_1` : Masse de la molécule n°1
`m_2` : Masse de la molécule n°2

Etat des molécules avant le choc :
`v_1`
: Vitesse de la molécule n°1 avant le choc
`m_1v_1` : Quantité de mouvement de la molécule n°1 avant le choc
`(1"/"2)m_1v_1^2` : Energie cinétique de la molécule n°1 avant le choc
`v_2` : Vitesse de la molécule n°2 avant le choc
`m_2v_2` : Quantité de mouvement de la molécule n°2 avant le choc
`(1"/"2)m_2v_2^2` : Energie cinétique de la molécule n°2 avant le choc

Etat des molécules après le choc :
`u_1` : Vitesse de la molécule n°1 après le choc
`m_1u_1` : Quantité de mouvement de la molécule n°1 après le choc
`(1"/"2)m_1u_1^2` : Energie cinétique de la molécule n°1 après le choc
`u_2` : Vitesse de la molécule n°2 après le choc
`m_2u_2` : Quantité de mouvement de la molécule n°2 après le choc
`(1"/"2)m_2u_2^2` : Energie cinétique de la molécule n°2 après le choc

Le système d'équation se résoud et offre deux solutions que sont :

`u_1 = v_1`
`u_2 = v_2`

ou bien :

`u_1 = (2m_2v_2 "+" (m_1 "-" m_2)v_1) / (m_1"+"m_2)`

`u_2 = (2m_1v_1 "+" (m_2 "-" m_1)v_2) / (m_1"+"m_2)`

La première solution correspond à l'absence d'interaction, la deuxième solution correspond au choque élastique frontale.

6) Modèle

Pour établir empiriquement la distribution des vitesses d'un gaz parfait dans un univers à une dimension, on programme un modèle de gaz parfait unidimensionnel dans lequel on ajoute une impureté, une molécule de masse distincte, appelée germe, et dont la probabilité de choc lors d'un croisement avec une molécule du gaz sera posée égale à `1"/"2`.

Les molécules du gaz ne s'entrechoquent pas. Car étant de même masse, s'ils s'entrechoquaient, leur taille étant négligeable, les molécules seraient alors comme simplement permutées, et comme elles sont identiques, cela ne changeraient rien.

L'espace du piston est représenté par un segment de position `0` à `L`. A chaque étape de calcul, on mémorise la position et la vitesse des molécules. On note `x_i, v_i`, la position et la vitesse de la ième molécule du gaz. Et on note `x, v`, la position et la vitesse de la molécule germe. À chaque itération, on calcul le temps `t` auquel a potentiellement lieu l'interaction entre la molécule germe et la `i`ème molécule de gaz (dans l'hypothèse ou la molécule germe maintien sa trajectoire identique avant ce choc). `t` satisfait l'équation `x+vt = x_i+v_it`. Mais il faut tenir compte du rebon sur le piston, ce qui complique un peu. Puis on choisie dans cette liste d'intervalles de temps, l'intervalle le plus petit. Puis on avance le temps à cette date, on recalcule la position de toutes les molécules et on résoud le choc en choisissant une des deux solutions une fois sur deux au hasard.

La molécule germe ne faisant que perturber sans modifier les autres variables d'état, on peut procéder plus simplement à une perturbation au hasard, comme si la molécule germe apparaissait subitement sur le lieu d'une molécule du gaz prise au hasard, avec sa vitesse qu'elle possédait antérieurement. On procède alors à la résolution du choc, redonnant une nouvelle vitesse à la molécule germe. Puis on fait évolué le gaz parfait d'un petit intervalle de temps en recalculant la position de toutes les particules et en tenant compte des rebonds sur le piston. Puis on réitère la perturbation sur une autre molécule de gaz prise au hasard. Ce procédé nous assure que la quantité de mouvement globale est conservée ainsi que l'énergie totale.

On s'apercevra que la nature des perturbations choisies ne modifie pas l'état final de l'équilibre statistique tout en étant sa cause.

On programme en javascript afin que tout utilisateur puisse experimenter le modèle directement avec son navigateur internet.

On accélère le processus de perturbation en procédant à chaque itération, non pas à un seul choc avec la molécule germe, mais à un grand nombre de chocs successifs de la molécule germe avec des molécules prises au hasard, comme si notre molécule germe tout en gardant une vitesse propre évoluant choc après choc, se déplaçait par téléportation au hasard d'une molécule à l'autre.

L
N
M
V
Mg
Vg
NI
nH
Histogramme
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Histogramme
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Histogramme

L'histogramme, la quantité de mouvement en valeur absolue moyénné `"<"m|v|">"`, et `sqrt("<"mv^2">")`.

La distribution des vitesses forme une courbe de Gauss. Et on peut le démontrer grâce au théorème central limite.

---- 2 juin 2019 ----

7) Le théorème central limite

Le théorème central limite est un résultat mathématique important qui constitue un des fondements de la statistique. Il va nous permettre de calculer de façon exacte le résultat précédent décrivant la distribution des vitesses des molécules.

Il affirme que lorsqu'un hasard est la somme d'un nombre important de hasards indépendants entre eux, et si l'influence de chaque hasard pris séparément est petite, alors le hasard résultant obéït à une loi de distribution de Gauss.

"Toute somme d'un grand nombre de variables aléatoires indépendantes dont l'influence de chacune prise séparément est petite (c'est à dire possédant chacune une moyenne bornée et un écart-type minoré par une valeur non nulle et borné), tend vers une variable aléatoire gaussienne lorsque le nombre de variables tend vers l'infini."

On considère une liste de variables aléatoires `(x_1,x_2,x_3,...)` de lois quelconque mais possèdant chacune une moyenne `(mu_1,mu_2,mu_3,...)` toutes bornées, et chacune ayant un écart-type `(sigma_1,sigma_2,sigma_3,...)` toutes bornés et minorés par une valeur non nulle. On définie la variable `M` comme étant la somme des `n` premières variables aléatoires.

Remarquez que lorsqu'on somme des variables, les moyennes s'ajoutent, et lorsqu'on somme des variables indépendantes, les variances s'ajoutent.

La variable `M` a donc une moyenne `mu` et un écart-type `sigma` comme suit :

`M = sum_(v=1)^n (x_v)/n`         `mu = sum_(v=1)^n (mu_v)/n`        `sigma^2 = sum_(v=1)^n (sigma_v^2)/n`

Et lorsque `n` tend vers l'infini, la loi de `M` devient gaussienne  c'est à dire :

Loi de Gauss

`P(bbM"∈["x, x"+"dx"[" ) = 1/sqrt(2πsigma^2)exp(-("x"-mu)^2/(2sigma^2)) d"x"`

`M` : Variable aléatoire.
`mu = "<"M">"` : Moyenne de `M`.
`sigma^2 = "<"(M-mu)^2">"`
 : Variance de `M`

`x` : Paramètre libre.
`dx` : variation infinitésimale du paramètre libre `x`.
`bbM` : Un tirage de la variable aléatoire `M`.
`P(bbM"∈["x, x"+"dx"[")` :
Probabilité qu'un tirage de `bbM` appartiennent à l'intervalle `"["x, x"+"dx"["`

On obtient ainsi une distribution normale et centré des vitesses. C'est à dire si nous désignons par `dv` une variation infinitésimale de la vitesse, par `N` le nombre totale de molécules du gaz, et par `N"("[v,v"+"dv]")"` le nombre de molécules du gaz dont la vitesse est comprise entre `v` et `v"+"dv`, alors nous avons :

`(N"("[v,v"+"dv]")")/N = exp(-(v^2)/(2sigma^2)) / sqrt(2πsigma^2) dv `

où la viariance `sigma^2 = "<"v^2">"` est le carré de la vitesse moyénné sur l'ensemble des molécules. En comparant avec l'histogramme, le nombre de molécules de vitesse `v` plus ou moins `Delta v` sera en moyenne égale à :

`Delta N = exp(- (v^2)/(2sigma^2)) / (sqrt(2πsigma^2)`

Ainsi la distribution des vitesses des molécules d'un gaz parfait unidimensionel ne dépend que de la variance `sigma^2 = "<"v^2">"` qui s'exprime en fonction de la température `T = m("<"v^2">")/2` et de la masse des molécules `m`. Nous avons : `sigma^2 = 2T/m`.

Distribution des vitesses dans un gaz parfait unidimensionel :

`(N"("[v,v"+"dv]")") / N = exp( - (1/2)mv^2/(2T)) / (sqrt(4πT/m))dv`

`T  =  U/N  =  m("<"v^2">")/2`

`N"("[v,v"+"dv]")"`
 : Nombre de molécules ayant une vitesse comprise entre `v` et `v+dv`
`N`
 : Nombre totale de molécules.
`T`
 : Température du gaz exprimée joule par molécule.
`U`
: Energie interne du gaz. Energie cinétique totale du gaz.
`m`
 : Masse d'une molécule.
`"<"v^2">"`
 : Carré de la vitesse, moyénné sur l'ensemble des molécules.

 

8) Correction due aux chocs intermoléculaires et à la taille des molécules.

On consière maintenant des molécules de taille `r`. Les chocs ne sont plus négligeables. Lorsque dans notre univers unidimenssionnelle deux molécules de même masse se rencontre, elles échangent leur vitesse instantanément. Si nous permuttons les molécules après le choc, alors tout ce passe comme s'il n'y avait pas eu de choc, mais à la place, au moment ou elle se touchent, un saut instantané de distance `r` des molécules dans le sens de leur vitesse.

On suppose qu'il existe un état d'équilibre caractérisé par une densité de gaz constante et égale partout et par une distribution des vitesses moléculaires qui n'évolue pas dans le temps ni dans l'espace. Le calcul de la pression exercée par les molécules dépend alors de cette densité et de cette distribution des vitesses.

On suppose donc une telle distribution que l'on note `D_v` et qui représente la densité des molécules allant à la vitesse `v`. Puis on calcule la probabilité de choc d'une molécule de vitesse `u` se déplaçant d'une distance `dx` dans un espace contenant des molécules de vitesse `v` en densité `D_v`

Considérons une densité de molécules fixes `D_0`, on veut calculer la longueur moyenne avant de rencontrer une molécule en partant d'un point au hasard. Ce point au hasard peut être une autre molécule. Cette longueur moyenne est la distance moyenne intermoléculaire. On considère une première approximation : Les distances intermoléculaires sont beaucoup plus grande que les tailles des molécules.

 

 

Mélange de deux gaz parfait, la formule est-elle toujours valable ? Et quel est la distribution des quantitées de mouvements ?

Taille non négligeable des molécules => modification de la loi

Deuxième degré de liberté des molécules, moment cinétique => modification de la loi