Pour montrer que le travail de la pression est une énergie mécanique conservative qui peut être ainsi restituée, on construit le ressort à gaz. C'est un piston mobile horizontalement et possédant une masse d'inertie.
Selon la position `x` du piston, la cavités possèdent un volume `V`. Le piston possède une surface `S` et sépare la cavité de l'extérieur où se trouve une atmosphère à pression constante. Le piston possède une masse `M`, une vitesse `v` et subie une force `f` et donc une accélération `Γ`. La configuration physique du piston est résumée par les équations suivantes :
Le piston
`V= Sx + V_0` `dx = vdt` `dv = Γdt` `f = MΓ`
`S` : Surface du piston séparant la cavité de l'extérieur
`V_0` : Volume initiale de la cavité
`V` : Volume de la cavité
`x` : Position du piston
`v` : Vitesse du piston
`Γ` : Accélération du piston
`f` : Force s'exerçant sur le piston
`M` : Masse du piston
Notez que les éléments différentiels exactes `dx, dv` dépendent de l'élement différentiel exacte `dt`. Ainsi `dx` mesure le déplacement infinitésimal du piston qui s'opère au cours de l'intervalle infinitésimal de temps `dt`. Et dv mesure la variation infinitésimale de vitesse du piston qui s'opère au cours de l'intervalle infinitésimal de temps `dt`.
On introduit dans la cavité un gaz parfait constitué de `N` molécules de masse `m`. A l'état initial, la cavité possède une température `T` et une pression `P`.
Lorsque le piston est de vitesse nulle, la force qui s'y exerce est :
`f = PS - P_("ext")S`
Mais si le piston se déplace à une vitesse `v`, il faut recalculer la pression comme étant la somme des quantitées de mouvements apportées par les molécules rebondissant sur le piston en mouvement pendant un intervalle de temps `dt` le tout divisé par `dt`. Et nous ne sommes plus dans un état d'équilibre statistique.
Néanmoins il est possible de faire deux approximations : Si la vitesse du piston est trés petite par rapport à la vitesse moyenne des molécules, on peut alors supposer que l'état d'équilibre statistique se rétablie plus rapidement qu'il n'est perturbé par la vitesse du piston et, qu'ainsi, il peut être considéré comme maintenu. D'autre part, toujours si la vitesse du piston est trés petite, on peut négliger le différentiel de pression du à la vitesse du piston.
La force `f` appliquée au piston entraine le piston avec une accéleration `Γ` :
`f = MΓ`
L'accélération du piston est :
`Γ = ((P - P_("ext"))S)/M`
Dans ce problème, toutes les variables sont des fonctions du temps `t`. Etant donné une variable`a` On note `a color(green)((t))` sa valeur à l'instant `t`. L'appel est fait d'une couleur différente pour le distinguer du produit. Puis, par défaut nous convenons que l'expression d'une variable sans cet appel exprime sa valeur à l'instant `t`. Autrement dit :
`a = a color(green)((t))`
Tous les éléments différentiels sont exactes et dépendent de l'élement différentiel `dt`. On rappel les règles de calcul des différentielles exactes. Etant donné trois variables `a,b,c`, on note `da` l'élément différentiel désignant à une variation infinitésimale de `a` qui a lieu au cours de l'intervalle infinitésimal de temps `dt`. Autrement dit :
`acolor(green)((t+dt))=a+da`
L'opérateur unaire `d` est de priorité syntaxique maximal, ainsi nous avons :
`dab = da(b)` `da^n = (da)^n`
Puis nous avons les règles de dérivation suivantes :
`d(a+b)=da+db` `d(ab)=dab+adb` `d(abc)= dabc+adbc+abdc` `d(a^n) = na^(n-1)da`
Puis nous notons la différentielle seconde comme suit :
`d(da) = d^2a`
Nous avons d'après la cinématique :
`dv = Γdt` `dx = vdt`
À partir de la définiton `V= Sx + V_0`, les valeurs `S` et `V_0` étant constante nous avons :
`dV = Sdx` `dV = Svdt`
`d^2V = d(dV) ` `d^2V = d(Svdt)` `d^2V = Sdvdt + Svd(dt)` `d^2V = Sdvdt + Svd^2t` `d^2V = SΓdt^2 + Svd^2t` `d^2V = ((P - P_"ext")S^2)/M dt^2 + Svd^2t`
Le terme `dt` représente un pas de résolution de l'équation différentielle selon la méthode d'Euler, une méthode itérative pas à pas, avec des pas d'instant `dt`. La résolution reste exacte tant que `dt` est un infiniment petit. Mais il est possible d'utiliser des pas de taille variable `dtcolor(green)((t))`. Le terme `d^2t` indique le changement de taille du pas en cours de route dans la résolution.
`dtcolor(green)((t+dt)) = dt + d^2t`
Si nous procédons à une résolution à pas constant, alors `d^2(t)=0`. On conclut donc dans ce cas que la différentielle seconde du volume `V` vaut :
`d^2V = ((P - P_"ext")S^2)/M dt^2`
On établie le bilan énergétique sur un intervalle de temps `dt` pour la cavité c'est à dire le gaz confiné dans la cavité. Nous avons une énergie `U` interne au gaz confiné dans la cavité. Et nous avons des échanges d'énérgie ; une acquisition d'énergie calorifique `dQ` provenant de l'extérieur, et une acquisition d'énergie mécanique `dW` provenant du piston.
`dU = dQ + dW`
Comme les parois sont thermiquement isolantes, il n'y a pas d'échange d'énergie thermique, `dQ = 0`. Seul le travail des pressions `dW = - PdV` va opérer un échange d'énergie mécanique entre la cavité et l'extérieur (comprenant entre autre l'énergie cinétique du piston en mouvement). Le signe de ce travail s'établit comme suit : Si le volume de la cavité se réduit alors il y a un apport d'énergie au gaz présent dans la cavité, qui correspont au travail des forces sur le piston. Si le volume augmente alors il y a une perte d'énergie du gaz dans la cavité, qui correspont encore au travail des forces mais dans l'autre sens sur le piston. Pour le gaz confiné dans la cavité, nous avons le bilan énergétique suivant au cours d'un intervalle de temps `dt` :
`dU = - PdV`
On suppose que l'évolution se déroule suffisamment lentement pour que le gaz soit en état d'équilibre statistique à tout instant. Nous avons la loi des gaz parfaits qui s'applique dans la cavité :
---- 1 juin 2019 ----
`T = ζU/N` `PV = NkT` `PV = (2"/"3)U` `ζk = 2"/"3`
Et nous déduisons :
`dT = ζ(dU)/N` `dT = - ζ(PdV)/N` `d(PV) = NkdT` `dPV + PdV = NkdT` `dP = (NkdT - PdV)"/"V` `dP = "(" - Nkζ(PdV)/N - PdV")/"V` `dP = ( - (2"/"3)PdV - PdV)"/"V` `dP = - (1 + 2"/"3)PdV"/"V` `dP = - (5"/"3)PdV"/"V`
Nous obtenons ainsi un système d'équations différentielles qui ne fait intervenir ni la température `T` ni la masse `m` des molécules ni leur nombre `N` :
Système d'équations différentielles
`dP = - 5/3 P/V dV`
`d^2V = ((P - P_"ext")S^2)/M dt^2`
`P_"ext"`: Pression extérieur.
`P` : Pression dans la cavité.
`V` : Volume de la cavité.
`S` : Surface du piston.
`M` : Masse du piston.
`dt` : Elément différentiel de temps.
Certains systèmes d'équations différentielles peuvent ne pas pouvoir se résoudre de façon exacte. Parcontre il est toujours possible de les résoudre de façon approché par itération selon la méthode d'Euler.
Ce système est résolvable de façon approché, itérativement, en prenant une position initiale caractérisée par `A, M, P_"ext", P, V, dV`. Le calcul se fait itérativement en prenant un pas `Δt` suffisament petit. On pose par approximation que l'accélération du volume et l'accélération de la pression varient linéairement au cours de l'intervalle `Δt`, et on réitère 3 fois le calcul en réajustant à chaque fois les pentes de ces accélérations.
Le bilan énergétique totale se scinde en trois bilans énergétiques, celui de la cavité `dU`, celui du piston `dE` et celui de l'exterieur `dΩ`, et la somme doit être nulle :
`dΩ + dE + dU = 0`
Pour la cavité, le travaille des forces de pression entraine une variation d'énergie interne :
`dU = - PdV`
Pour le piston, la variation de sa vitesse entraine une variation de son énergie cinétique :
`dE = 1/2 d(Mv^2) = Mvdv`
Pour l'extérieur, le travaille des forces de pression extérieur entraine une variation d'énergie à l'extérieur :
`dΩ = -P_"ext"(-dV)`
`dΩ = P_"ext"dV`
Et le bilan énergetique totale doit être nul. Nous avons donc
`P_"ext"dV - PdV + Mvdv = 0`
Cette propriété peut être utilisée pour vérifier l'exactitude des calculs.
Notre méthode de résolution par calcul itératif nécessite pour être efficace que les inconnues recherchées aient une expression différentielle du deuxième ordre. Connaissant la différentielle seconde de `V`, on calcule maintenant la différentielle seconde de `P` :
`dP = - 5/3 (PdV)/V`
`d^2P = - 5/3 ((dPdV)/V + (Pd^2V)/V + PdVd(V^-1))`
`d^2P = - 5/3 ((dPdV)/V + (Pd^2V)/V - (Pd^2V)/V^2)`
Approximation :
Position initiale :
`A"="1`
`M"="100`
`P"="1`
`P_"ext""=" 1`
`V"="1`
`dV"/"dt "=" 0.1`
`Δt "=" 0.1`
T = 0.1 |
Intervalle de temps d'une maille `Δt "=" 0.1` |
Répéter |
Boucle indéfinie |
Evolution du volume au cours du temps : Le résultat ressemble à une sinusoïde déformée.
|
 |