A partir d'un groupe d'unités, on construit des structures de corps et d'espace vectoriel aux propriétés trés riches permettant d'écrire des équations physiques dans les termes les plus simples. En effet, comme le dit l'adage, si on a choisie le bon langage, la bonne structure, pour bien poser la question, on a alors résolut la moitier du problème. Mais davantage que cela, ces structures dévoilent des raisons profondes de la physique par leurs seuls propriétés mathématiques intrinsèques.
Le théorème de Frobenius nous dit que `bbbR` et `bbbC` sont les seuls corps commutatifs à isomorphisme près qui possédent une structure d'espace vectoriel sur `bbbR` de dimension finie. Et il nous dit que `bbbH` est le seul corps à isomorphisme près qui posséde une structure d'espace vectoriel sur `bbbR` de dimension fini. C'est pourquoi ces structures sont amenés à jouer un rôle cruciale en physique.
A partir de la notion de grandeur qui représente une demi-droite ouverte `bbbR^"+""*"`, nous construisons toutes les autres structures ; le corps des réels `bbbR` qui représente une droite, le corps des complexes `bbbC` qui représente un plan, le corps des quaternions `bbbH` qui représente un espace vectorielle de dimension 4, la structure des octonions `bbbO` qui représentent un espace vectorielle de dimension 8.
A partir du groupe des quaternions à 8 éléments, on défini le corps des quaternions, une structure trés riche, ayant un sens physique profond comme on pourra le voir, puisque c'est le corps possédant une structure d'espace vectoriel sur `bbbR` de dimension finie maximale autorisée.
Le groupe des quaternions a été découvert en 1843 par William Rowan Hamilton (1805-1865), mathématicien irlandais. Il est constitué des huits éléments `bbbH_8={"±"1, "±"i, "±"j, "±"k}` satisfaisant les relations :
`i^2=j^2=k^2 = ijk="-"1`
`ij="-"ji = k`
`jk="-"kj = i`
`ki="-"ik = j`
où `1` est l'élément neutre. On dit qu'un élément `x` est d'ordre `n` si et seulement si `x^n"="1`. Le groupe des quaternions possède un élément d'ordre 1, quatre éléments d'ordre 2, et trois élements d'ordre 4. On énumére ses éléments selon leur ordre annoté au-dessus :
`bbbH_8={overset(1)(1) "|" overset(2)("-"1,"-"i,"-"j,"-"k ) "|" overset(4)(i,j,k)}`
Le groupe des quaternions possède exactement 6 sous-groupes :
`{1}`
`{"±"1}`
`("±"1, "±"i}`
`("±"1, "±"j}`
`("±"1, "±"k}`
`("±"1, "±"i, "±"j, ±"k"}`
Le semi-corps `bbbR^"+"` représente un ensemble totalement ordonné, possédant un plus petit élément (le zéro), munie d'une métrique respectant cet ordre, et qui est complet selon cette métrique.
On part du groupe trivial `{1}`. Le symbole `1` représente l'élément neutre de la multiplication, et on le considère comme une unité physique, ou plus exactement comme une absence d'unité physique.
On considère le produit directe avec le semi-corps `bbbR^"+"`. Cela produit le semi-corps `{1}"×"bbbR^"+""=" bbbR^"+"`.
Puis on ajoute au groupe trivial un nouvel élément `u` d'ordre `2`, c'est à dire qui doit obéïr à la règle d'égalité `u^2"="1`. Il désigne donc un signe. On remarque alors que `1"/"u"="u` et que la multiplication est commuttive. Cela forme le groupe cyclique `C_2"="{1,u}`.
Le symbole `u` se comporte à présent comme une nouvelle unité physique.
On considère le produit directe avec le semi-corps `bbbR^"+"`. Et le terme général des éléments de cet ensemble est `x"+"yu` où `(x,y)` est un couple de valeurs. Ce terme général se simplifit. Grâce à la distributivité, `(1"+"u)u"="u"+"1` et comme u n'est pas l'élément neutre, on en déduit que `1"+"u` est l'élément absorbant et est donc égal à `0`. On en conclu que `u` est l'opposé de `1` et on note `u` par `"-"1`. On en conclut que le produit directe du groupe avec le semi-corps `bbbR^"+"`, quotienté par la théorie de l'anneau, produit le corps des réels `C_2"×"_"anneau"bbbR^"+""=" bbbR`.
Puis on ajoute au groupe `C_2"="{1,"-"1}` un nouvel élément `i` dit imaginaire qui doit obéïr à la règle d'égalité `i^2"=-"1`. Et donc `("-"i)^2"="1`. Le complexe `"-"i` est d'ordre 2 et donc désigne donc un nouveau signe. On verra que le changement de ce signe correspond à la conjugaison des complexes. On démontre que `"-"1` commute avec `i`, car `(i^2)i"="i(i^2)` et donc `("-"1)i"="i("-"1)`. En conséquence le groupe engendré est encore commutatif. On remarquera que `1"/"i"=-"i`. Cela forme le groupe `C_2"×"C_2"="{1,"-"1,i,"-"i}` noté aussi `C_2^2"="{"±"1,"±"i}`.
Le symbole `i` se comporte à présent comme une nouvelle unité physique.
On considère le produit directe avec le semi-groupe `bbbR^"+"`. Et le terme général des éléments de cet ensemble est `x"+"iy` avec `(x,y)"∈"bbbR^2`. On en conclut que le produit directe du groupe avec `bbbR^"+"` produit le corps des complexes `C_2^2"×"bbbR^"+""=" bbbC`.
Puis on ajoute au groupe `C_2^2"="{"±"1,"±"i}` un nouvel élément `j` dit second imaginaire et qui doit obéïr à la règle d'égalité `j^2"=-"1` et à la règle `ij"=-"ij` qui introduit ainsi une multiplication non commutative. Et donc `("-"j)^2"="1`. Le quaternion `"-"j` est d'ordre 2 et désigne un nouveau signe. On verra que le changement de ce signe correspond au retournement des deux axes `j` et `k`. On démontre pareillement que `"-"1` commute avec `j` et donc que `"-"1` fait partie du centre, c'est à dire qu'il commute avec tous les éléments. On remarque que `1"/"j"=-"j`, et `(ij)^2"=-"1` et `1"/"ij"=-"ij`. Cela forme le groupe non commutatif `bbbH_8={"±"1,"±"i,"±"j,"±"ij}`. Et note `ij` par `k`.
On considère le produit directe avec le semi-groupe `bbbR^"+"`. Et le terme général des éléments de cet ensemble est `x_0"+"x_1i"+"x_2j"+"x_3k` avec `(x_0,x_1,x_2,x_3)"∈"bbbR^2`. On en conclut que le produit directe du groupe avec le semi-groupe `bbbR^"+"` produit le corps non commutatif des quaternions `bbbH_8"×"bbbR^"+""=" bbbH`.
Une valeur positive est un réel positif ou nul. Une grandeur positive est un réel strictement positif non nul.
Une valeur est un réel. Une grandeur est un réel non nul.
Une valeur complexe, ou simplement un complexe, est un couple de valeurs. La première valeur est la partie réel, et la seconde valeur est la partie imaginaire. Une grandeur complexe est un complexe non nul. Une gandeur imaginaire est un complexe dont la partie imaginaire n'est pas nulle.
Un quaternion est un quadruplet de valeurs, la première valeur est la partie réel, et les trois valeurs suivantes sont la partie imaginaire et forment un vecteur. Il conviendra de donner un nom pour désigner les quaternions non nuls, et un nom pour désigner les quaternions qui ne sont pas des réels.
Le semi-corps `bbbR^"+"` représente l'ensemble des valeurs positives. Il forme une demi-droite `"["0,oo"["`.
• Les translations sur `bbbR^"+"` d'une valeur positive forment un semi-groupe que l'on identifie à `bbbR^"+"`. Ainsi, une valeur positive `a` désigne également une translation `x"↦"x"+"a` définie sur `bbbR^"+"`.
• Les transformations linéaires sur `bbbR^"+"` sont des homothéties directes et forment un groupe que l'on identifie à `bbbR^"+""*"`, l'ensemble des grandeurs positives. Ainsi, une grandeur positive `a` désigne également une transformation linéaire `x"↦"ax` définie sur `bbbR^"+"`.
Le corps `bbbR` représente l'ensemble des valeurs et forme une droite.
• Les tranformations par translation sur `bbbR` forment un groupe que l'on identifie à `bbbR`. Ainsi, une valeur `s` qui désigne un point sur la droite, désigne également une translation `x"↦"x"+"s` définie sur `bbbR`.
• Les transformations linéaires sur `bbbR` sont les homothéties, et forment un groupe que l'on identifie à `bbbR"*"` qui est l'ensemble des grandeurs. Une grandeur est une valeur non nulle. Ainsi une grandeur `s` désigne également une transformations linéaire `x"↦"xs` définie sur `bbbR`.
• L'exponentielle `exp=(x"↦"e^x)` est une bijection de `bbbR "→" bbbR^"+""*"`, et son inverse le logarithme népérien `ln=(x"↦"ln(x))` est une bijection de `bbbR^"+" "*" "→" bbbR`. Ils permettent de transformer une addition en produit `e^(x"+"y)"="e^x e^y`, et un produit en addition `ln(xy)"="ln(x)"+"ln(y)`, et donc de transformer une translation en une homothétie `bbbR^"+"` et réciproquement. Nous avons :
`(exp"∘"(x"↦"x"+"s)"∘"ln) = (x"↦"xe^s)`
`(ln"∘"(x"↦"xs)"∘"exp) = (x"↦"x"+"ln(s))`
Notez que l'exponentielle et le logarithme népérien se définissent dans un corps différentiel de façon formelle par les séries convergentes suivantes :
`e^x = 1"+"x"+"(x^2)/(2!)"+"(x^3)/(3!)"+...+"(x^n)/(n!)"+..."=sum_(k=0)^oo (x^k)/(k!)`
`ln(x) = 2 sum_(k=0)^oo 1/(2k+1)((y-1)/(y+1))^(2k+1)`
Le corps `bbbC` représente le plan vectoriel.
• Les tranformations par translation sur `bbbC` forment un groupe que l'on identifie à `bbbC`. Ainsi une position dans le plan représentée par un complexe `z`, désigne également une translation `x"↦"x"+"z` définie sur `bbbC`. La forme cartesienne du complexe `z` est :
`z=z_0+iz_1`
où `(z_0,z_1)in bbbR^2`. La partie réel de `z` est `z_0`. La partie imaginaire de `z` est `iz_1`.
La géométrie nous apprend que : Une transformation linéaire qui multiplie la norme par un facteur constant non nul s'appelle une similitude vectorielle. Une similitude vectorielles est la composition d'une isométrie vectorielle et d'une homothétie vectorielle. Et il y a deux sortes d'isométries vectorielles, les directes qui ont un déterminant égal à `1`, et les indrectes qui ont un déterminant égal à `"-"1`. Une similitude directe vectorielle est la composition d'une isométrie directe vectorielle et d'une homothétie vectorielle. Elle possède un déterminant strictement positif. Elle conserve de plus l'orientation des angles. Une similitude indirecte vectorielle est la composition d'une isométrie indirecte vectorielle et d'une homothétie vectorielle. Elle possède un déterminant strictement négatif.
---- 9 janvier 2020 ----
• Les similitudes directes vectorielles sur `bbbC` forment un groupe que l'on identifie à `bbbC"*"`. Ainsi une grandeur complexe désignant une position autre que zéro, représentée par un complexe non nul `z`, désigne également une tranformation linéaire `x"↦"xz` définie sur `bbbC`, qui à la propriété de multiplier la norme par une constante `|z|` et de de conserver l'orientation des angles. C'est la composition d'une rotation d'angle égal à l'argument de `z` noté `alpha"=Arg"(z)` et d'une homothétie de facteur égal à la norme de `z` noté `rho"="|z|`. La forme polaire du complexe `z` est :
`z =[rho, alpha]`
`z=rhoe^(ialpha) = rho( cos(alpha)+isin(alpha) )`
et donc `e^(ipi)"=-"1` d'où l'identité d'Euler : `e^(ipi)"+"1"="0`
`"Arg"(z) =alpha = arctan(z_1/z_0)+(pi/2)(1"-sign"(z_0))"sign"(z_1)`
`"Arg"(z) in "]-"pi,pi"]"`
`|z| = x^2+y^2`
`[X, x][Y,y] = [XY,x+y]`
C'est aussi la transformation linéaire suivante :
`x|->xz`
`((x_0),(x_1)) |-> ( (z_0, -z_1),(z_1, z_0) ) ((x_0),(x_1))`
`((x_0),(x_1)) |-> rho( (cos(alpha), -sin(alpha)),(sin(alpha), cos(alpha)) ) ((x_0),(x_1))`
Il y a donc deux formes, [0,oo[×[0,2pi[ ou ]-oo,oo[×[0,pi[
C'est aussi le groupe des matrices de réels 2×2 suivante :
{( (z_0, -z_1),(z_1, z_0) ) "/" z_0+iz_1 in bbbC"*"}
`x= x_0+ix_1`
`z= z_0+iz_1`
La similitude directe vectorielle `x|->xz` définie dans `bbbC` s'indentifie à la similitude directe vectorielle suivante définie dans `bbbR^2` :
`((x_0),(x_1)) |-> ( (z_0, -z_1),(z_1, z_0) ) ((x_0),(x_1))`
Et donc le déterminant de la transformation linéaire `x|->xz` vaut :
`det(z) = z_0^2+z_1^2 = |z|^2`
• Les rotations sur `bbbC` forment un groupe que l'on identifie aux groupe des unités complexes :
`U(bbbC) ={u"∈"bbbR "/" |u|"="1}`
`U(bbbC)={x"+"iy "/" (x,y)"∈"bbbR^2, x^2"+"y^2"="1}`
`U(bbbC) ={e^(ialpha) "/" alpha in [0,2pi[}`
où `e^(ialpha) = cos alpha +i sin alpha` et qui forme le cercle trigonométrique c'est à dire le cercle centré en `0` et de rayon `1`. Ainsi, un point sur ce cercle représenté par un complexe `u` de norme `|u|"="1` désigne également une rotation `x"↦"xu` définie sur `bbbC` d'angle égal à l'argument de `u` noté `"Arg"(u)`.
La rotation vectorielle `x|->xe^(ialpha)` définie dans `bbbC` s'indentifie à la rotation vectorielle suivante définie dans `bbbR^2` :
`((x_0),(x_1)) |-> ( (cos alpha, -sin alpha),(sin alpha, cos alpha) ) ((x_0),(x_1))`
Le corps non commutatif `bbbH` représente un espace quadridimensionnel, composé de `3` dimensions d'espace dites imaginaires et d'une `4`-ième dimension particulière dite réel qui est son centre c'est à dire l'ensemble des éléments qui commutent avec tous les éléments.
• Les tranformations par translation sur `bbbH` forment un groupe que l'on identifie à `bbbH`. Ainsi, une position dans l'espace quadridimensionelle représentée par un quaternion `q`, désigne également une translation `x"↦"x"+"q` définie sur `bbbH`. La forme cartesienne du quaternion `q` est :
`q=q_0+q_1i+q_2j+q_3k`
où `(q_0,q_1,q_2,q_3) in bbbR^4`. La partie réel de `q` est `q_0`. La partie imaginaire de `q` est `vec q = q_1i+q_2j+q_3k`.
• Les rotations vectorielles sur `bbbH` forment un groupe que l'on identifie à `U(bbbH)^2`. Ainsi un couple de points sur l'hypersphere de rayon 1, représentée par un couple de quaternions unitaires `(p,q)`, désigne également une rotation `x"↦"pxq` définie sur `bbbH`, qui à la propriété de conserver la norme et de conserver l'orientation des angles. C'est la composition d'une rotation isoclinique gauche `x"↦"px`, puis d'une rotation isoclinique droite `x"↦"xq`.
---- 6 janvier 2020 ----
Un quaternion `a` possède 4 composantes réels `(a_0,a_1,a_2,a_3)` :
`a= a_0+a_1i+a_2j+a_3k`
La partie réel de `a` est noté `"Re"(a)` et vaut `a_0`, tandis que la partie imaginaire de `a` qui est un vecteur est noté `"Im"(a)` ou simplement `vec a` et vaut `a_1i+a_2j+a_3k`.
`a= "Re"(a)+"Im"(a)`
`a= a_0+vec a``"Re"(a) =a_0`
`"Im"(a)=vec a=a_1i+a_2j+a_3k`
Le produit de deux quaternions se développe :
`ab=(a_0+a_1i+a_2j+a_3k)(b_0+b_1i+b_2j+b_3k)`
`ab=(a_0b_0 - a_1b_1 - a_2b_2 - a_3b_3)`
`+(a_0b_1+a1b_0+a_2b_3-a_3b_2)i`
`+(a_0b_2+a2b_0+a_3b_1-a_1b_3)j`
`+(a_0b_3+a3b_0+a_1b_2-a_2b_1)k`
Et se met sous forme condensée :
`ab=(a_0+vec a)(b_0+vecb)`
`ab=(a_0b_0+a_0 vec b+ b_0 vec a + veca vecb)`
`veca vecb = (a_1i+a_2j+a_3k)(b_1i+b_2j+b_3k)`
`veca vecb = - (a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3)`
`+ (a_2b_3-a_3b_2)i`
`+ (a_3b_1-a_1b_3)i`
`+ (a_1b_2-a_2b_2)i``veca vecb = - vec a "·" vec b + vec a"×" vec b`
Où l'opération `"·"` désigne le produit scalaire ordinaire :
`vec a "·" vec b = a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3`
Où l'opération `"×"` désigne le produit vectoriel ordinaire :
`vec a"×" vec b = (a_2b_3-a_3b_2)i+(a_3b_1-a_1b_3)j+(a_1b_2-a_2b_2)k`
Et donc où les 3 quaternions `(i,j,k)` correspondent à trois vecteurs formant un trièdre orthonormé. Cela aboutit à l'expression condensée du produit `ab` :
`ab=a_0b_0-vec a "·" vec b + a_0 vec b + b_0 vec a + vec a"×" vec b`
`"Re"(ab) = a_0b_0-vec a "·" vec b`
`"Im"(ab) = a_0 vec b + b_0 vec a + vec a"×" vec b`
Le corps des quaternions n'est pas commutatif et contient `bbbR` et `bbbC`. Les éléments qui commutent avec tous les quaternions sont les réels. Considérons des quaternions non nuls a,b,c. Voici propriétés essentielles :
On note le conjugué de `a` par le quaternion `bar a`, et sa norme par le réel positif `|a|`.
`bar a = a_0 -a_1i-a_2j-a_3k`
`|a|^2 = a bar a = bar a a= a_0^2+a_1^2+a_2^2+a_3^2`
`|a|= sqrt(a_0^2+a_1^2+a_2^2+a_3^2)`
`bar(ab) = bar b bar a`
`|ab|=|a||b|`
En effet `|ab|=ab bar ab= ab bar b bar a = a|b|bar a` et comme `|b|` est réel, il permutte avec les quaternions et donc `|ab|=abar a|b| =|a||b|`.
`"Re"(ab)="Re"(ba)`
Et donc `"Re"(abc)="Re"(a(bc))="Re"((bc)a)="Re"(bca) ="Re"(b(ca)) = "Re"((ca)b)="Re"(cab)` c'est à dire :
`"Re"(abc)="Re"(bca)="Re"(cab)`
`a ^-1 = (bar a) /(a bar a) = (bar a)/(|a|^2)`
`(ab)^-1 = (bar (ab))/|ab|^2 = (bar b bar a)/(|a|^2|b|^2) = (bar b)/(|b|^2) (bar a)/(|a|^2) = b^-1a^-1`
`a/b = (a bar b)/(b bar b) = (a bar b)/|b|^2`
`|a/b|= |a|/|b|`
Attention il ne faut pas confondre la norme du quaternion `a` que l'on note `|a|`, avec la norme du vecteur `vec a` que l'on note `|vec a|` et qui est la norme de la seule partie imaginaire :
`|a| = sqrt(a_0^2+a_1^2+a_2^2+a_3^2)`
`|vec a| = sqrt(a_1^2+a_2^2+a_3^2)`
`vec a "·" vec a = a_1^2+a_2^2+a_3^2`
`vec a^2 = vec a vec a = - vec a "·" vec a + vec a"×" vec a = - vec a "·" vec a`
`a^2 = (a_0^2-vec a "·" vec a) + 2a_0 vec a`
Tout quaternion `a` non réel possède deux formes, l'une cartésienne l'autre polaire, qui sont biunivoques.
La forme cartésienne est : `a=(a_0,veca)`
ou encore : `a=(a_0,a_1,a_2,a_3)`
ou de façon explicite : `a=a_0+a_1i+a_2j+a_3k`
Avec comme condition : `vec a "≠" 0`,
La forme polaire est : `a=(r, theta, vec u)`
ou de façon explicite : `a=r(cos theta + vec u sin theta)`
Avec comme conditions : `0"⩽"r` et `0"⩽" theta"⩽"2pi` et
`|vec u|"="1`
Ce qui se récapitule comme suit :
`a= a_0"+"a_1i"+"a_2j"+"a_3k` `a_0 "∈" bbbR` `(a_1,a_2,a_3) "∈" bbbR^3"*"` |
`r=|a|`
`cos theta = a_0/|a|` `sin theta = "±" |vec a|/|a|` `vec u = (vec a)/|vec a|` |
`a_0 = r cos theta` `vec a = "±"r vecu sin theta ` |
`a= r(cos theta "+" vec u sin theta)` `r "∈" bbbR^"+""*"` `theta "∈" [0,2pi[` `vec u "∈" bbbS` |
La sphère unitaire `bbbS={x i"+"yj"+"zk "/" EE(x,y,z) "∈" bbbR^3, x^2"+"y^2"+"z^2"="1}`
Les réels strictement positif `bbbR^"+""*" = ]0,oo[`
Les vecteurs non nuls `bbbR^3"*" = bbbR^3-"{"vec0"}"`
Remarquez que `|vec u|"="1` et `vec u^2"=-"1`. Et comme `vec u` n'est qu'un vecteur, nous pouvons étendre la notation en posant `u"="vecu` ou ce qui revient au même `u_0"="0`. De même les unités `i,j,k` peuvent s'écrire `veci, vecj,veck`.
Le théorème De Moivre s'applique donc avec `vec u` comme unité imaginaire et nous avons :
`a^n= r^n(cos ntheta + vec u sin ntheta)`
La racine carré d'un quaternion `a"="a_0"+"a_1i"+"a_2j"+"a_3k` peut se calculer comme suit. L'équiation `x^2"= "a` avec `x"="x_0"+"x_1i"+"x_2j"+"x_3k` aboutit aux système d'équation du second degré suivant :
`x_0^2-x_1^2-x_2^2-x_3^2=a_0`
`2x_0x_1=a_1`
`2x_0x_2=a_2`
`2x_0x_3=a_3`
et qui admet une forme condensée :
`x_0^2-|vec(x)|^2=a_0`
`2x_0 vec x=vec a`
et qui admet une forme polaire :
`4x_0^2|vecx|^2=|veca|^2`
`x_0^2-(|veca|/(2x_0))^2=a_0`
---- 3 janvier 2020 ----