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Sommaire

Les 14 groupes d'au plus 8 éléments et leur structure d'espace

1) Introduction

On propose une approche davantage physique des structures mathématiques utilisées, telles que les complexes et les quaternions. Ces structures sont engendrées par leurs unités qui forment des petites structures de groupe avec un petit nombre d'éléments. Et on peut les parcourir de façon exhaustive selon leur nombre d'éléments. À isomorphisme près, il y a exactement `14` groupes ayant au plus `8` éléments. Tous ces groupes se plongent dans un groupe de permutation commun et il est donc possible de construire un groupe modèle qui contient ces `14` groupes, et de le munir d'une action par automorphisme, afin que chaque élément de ce groupe commun, ait une caractéristique, un ensemble de propriétés, relatant une partie des connaissance de la théorie des groupes d'au plus `8` éléments.

Nous allons parcourir la liste de ces groupes en décrivant les différentes notions nécessaires à leur présentation et à leur assemblage en un groupe commun.

Puis nous définirons ce que l'on entend par structure d'espace, un anneau dont la loi de produit étend la loi de produit du groupe des unités. Et nous parcourrons la liste de ces structures d'espace.

Alain Debreil, Groupes finis et treillis de leurs sous-groupes, (Edition Calvage & Mounet 2016)
Patrick Girard, Quaternions, algèbre de Clifford et physique relativiste, (Presses polytechniques et universitaires romandes 2004)

Il n'existe pas de groupe vide. Tout groupe possède au moins un élément, il possède nécessairement son élément neutre.

2) Groupe à 1 élément

Il existe un seul groupe à un élément. C'est le groupe trivial, noté `C_1` ou simplement `{1}`.

On nomme ses éléments comme suit :

`C_1"="{1}`

Le chiffre `1` désigne l'élément neutre du groupe `C_1` en notation multiplicative, c'est à dire, qu'il vérifie `1"∗"1"="1`.

Mais on peut donner à l'élément `1` un rôle plus générale s'appliquant à tous les groupes : C'est le seul élément du groupe qui satisfait la proposition `AAx,1x"="x, x1"="x`. Et selon la théorie du groupe, il est nécessairement existant et unique. En effet, s'il y en avait deux, `1` et `e`, alors `1e"="1` et `1e"="e` donc `1"="e`. L'élément neutre est donc définissable et distinguable de tous les autres éléments. C'est à dire qu'il existe une fonction propositionelle unaire `P"(.)"` écrite dans le langage des groupes, qui, pour n'importe quel groupe `G`, n'est vrai que pour un et un seul élément de `G`. Cette fonction propositionelle est appelée la définition unifère de l'élément neutre. Le qualificatif unifère signifie que l'objet défini est nécessairement unique.

`P(a) = (AAx, ax"="x, xa"="x)`

`P = {a"↦"(AAx, ax"="x, xa"="x) "/" a"∈"G}`

Le seul élément qui satisfait `P"(.)"` sera renommé par le symbole `1`. Cette procédure se codifie simplement en affirmant l'existance unique `EE! 1, P(1)`. Le quantificateur existentiel unifère `EE!` permet de nommer l'élément unique satisfaisant la proposition `P"(.)"`. Après ce nommage, et une fois connue de la structure `G` c'est à dire rajouté à son language pour former la structure `G[1]`, nous avons :

`G[1]|==(AAx,1x"="x, x1"="x)`

Parce qu'il possède une définition lui assurant son existence et son unicité dans chaque groupe, il désigne l'élément neutre dans chaque groupe. Dans chaque groupe il n'y a qu'un et un seul élément qui a se rôle, et qui est désigné par le symbole `1`. On plonge ainsi le groupe trivial `{1}` dans chaque groupe `G` et on procède à l'identification `1"="1_G`. Ainsi `C_1` est inclus dans notre groupe modèle `M` que nous sommes en train de construire.

3) Morphisme

Un morphisme est une application qui transporte les opérateurs générateurs d'une structure sur une autre. Autrement dit c'est une application qui respecte les opérateurs générateurs de la structure.

Considérons un groupes `G` en notation multiplicative, c'est à dire où l'élément neutre se note `1`, où l'opérateur d'inversion se note `frI`, et où l'opération de produit se note `"∗"` ou par absence de symbole c'est à dire par simple concaténation.

Puis on considére une application `f` de `G"→"f(G)` où l'image de `f` notée `f(G)` est munie du même langage de groupe que `G` et est désigné par la lettre `H"="f(G)`. C'est à dire que dans la structure `H`, il est défini un élément singulier noté `1_H` ou simplement `1` si le typage par inférence permet de savoir à quelle srtucture il appartient, un opérateur unaire noté `frI_H` ou implement `frI` si le typage par inférence permet de savoir à quelle srtucture il appartient, et un opérateur binaire noté `"∗"_H` ou simplement `"∗"` ou par absence de symbole c'est à dire par simple concaténation, si le typage par inférence permet de savoir à quelle sructure il appartient.

Mais `H` est libre de toute contrainte et ne constitue donc pas nécessairement un groupe. Autrement dit `f` est une surjection du groupe `G` sur une structure `H` de même langage que `G` mais qui n'est pas nécessairement un groupe. L'application `f` est un morphisme si et seulement si `f` respecte l'élément neutre, respecte l'opérateur d'inversion et respecte l'opérateur de produit, c'est à dire :

`AA(x,y) "∈" G^2,`

       `f(1) = 1`
       `f(frI(x)) = frI(f(x))`
       `f(xy) = f(x)f(y)`

Le typage par inférence permet de déterminer l'élément désigné par `1`, et qui est soit `1_G` ou soit `1_H`. L'application `f` appartenant à `G"→"H`, l'expression `f(1)"="1` est identique à `f(1_G)"="1_H`. De même, le typage par inférence permet de déterminer l'opérateur désigné par `frI`, et qui est soit `frI_G` ou soit `frI_H`. L'application `f` appartenant à `G"→"H`, l'expression `f(frI(x)) "=" frI(f(x))` est identique à `f(frI_G(x)) "=" frI_H(f(x))`. De même, le typage par inférence permet de déterminer l'opérateur de produit, et qui est soit celui de `G` ou celui de `H`. L'application `f` appartenant à `G"→"H`, l'expression `f(xy)"="f(x)f(y)` est identique à `f(x "∗"_G y) = f(x) "∗"_H f(y)`.

On remarque alors que `H` forme un groupe.

L'associativité se démontre comme suit. Quelque soit `a,b,c` appartenant à `H`, il existe des éléments `x,y,z` appartenant à `G` tels que `f(x)"="a, f(y)"="b, f(z)"="c`. Et nous avons :

`(ab)c = (f(x)f(y))f(z)`
`(ab)c = f(xy)f(z)`
`(ab)c = f((xy)z)`
`(ab)c = f(x(yz))`
`(ab)c = f(x) f(yz)`
`(ab)c = f(x) (f(y)f(z))`
`(ab)c = a(bc)`

L'élément neutre se démontre comme suit :

`1"∗"a = f(1)f(x) = f(1"∗"x) = f(x) = a`
`a"∗"1=f(x)f(1) = f(x"∗"1) = f(x) = a`

L'inverse se démontre comme suit :

`afrI(a) =f(x)frI(f(x)) = f(x)f(frI(x)) = f(xfrI(x)) = f(1)=1`

On adopte la convention d'écriture suivante. Pour tout ensemble non vide `E`, on note `"⇣"E` le choix d'un élément quelconque de `E`

On constate que le seul transport de la multiplication entraine le transport de l'élément neutre de `1` vers `f(1)` et le transport de l'opérateur d'inversion de `frI` vers `a"↦"f(frI("⇣"f^-1(a)))`.

On reformule la question. On considére une application `f` de `G"→"f(G)` où l'image de `f` notée `f(G)` est munie d'un produit que l'on note pareillement que dans `G`. Et on désigne par la lettre `H"="f(G)` cette structure. C'est à dire que dans la structure `H`, il est définie un opérateur binaire noté `"∗"_H` ou simplement `"∗"` ou par absence de symbole c'est à dire par simple concaténation, si le typage par inférence permet de savoir à quelle srtucture il appartient.

Le respect du produit par `f` entraine l'existence d'un élément neutre `f(1)` et son respect, ainsi que l'existence d'un opérateur d'inversion `a"↦"f(frI("⇣"f^-1(a)))` et son respect, que l'on note pareillement que dans `G`.

Ainsi donc, l'application `f` de `G"→"H` est un morphisme de groupe si et seulement si elle respecte le produit :

 `AA(x,y) "∈" G, f(xy)"="f(x)f(y)`

3) Action par automorphisme

On fait agir le groupe `G` sur lui-même par automorphisme. Cela consiste à donner un second rôle aux éléments du groupe. Chaque élément est associé à un automorphisme du groupe qui va constituer son second rôle. Et on exige que la loi de produit du groupe correspondent à la loi de composition des seconds rôles. C'est la condition pour que ce second rôle soit appelé une action de groupe :

   `AAxAAyAAu, (xy)<<u>> = (x"∘"y)<<u>> = x<< y<<u>> >> `   

Où l'opérateur `"∘"` correspond à la composition de fonctions selon la notation anglaise. Chaque élément se comporte en second rôle comme une fonction, et qui sera plus précisement un automorphisme de `G`. Nous utilisons des crochets `<< >>` pour les appels de ces fonctions. Ce qui permet de lever les ambiguités qui existent par exemple entre le produit de `xy` par `uv` qui peut s'écrire `(xy)(uv)` et l'application du second rôle de `xy` sur `uv` qui s'écrit `(xy)<<uv>>`.

Comme l'action proposée ici se fait par automorphisme, nous avons également les 3 propriétés d'automorphisme de groupe. Ce sont les conditions supplémentaires pour que ce second rôle soit appelé une action par automorphisme :

   `AAxAAuAAv, x<<uv>> = x<<u>>x<<v>>`   
   `AAxAAu, x<<frI(u)>> = frI(x<<u>>)`   
   `AAx, x<<1>>=1`   

`frI"(.)"` désigne l'opérateur d'inversion dans le groupe `G`.

Une action de `G` sur lui-même par automorphisme, correspond donc à un morphisme de `G"→Aut"(G)` que l'on peut désigner par un symbole d'opérateur unaire `lambda"(.)"` et auquel on donne le nom d'action par automorphisme (sans préciser si l'action est à gauche ou à droite puisque cette question n'a pas lieu d'être à ce niveau comme on l'explique plus loin).

`lambda(x)={u"↦"x<<u>> "/" u"∈"G}`

L'action par automorphisme sur le même groupe, s'appelle également une auto-représentation. Chaque élément de `G` est ainsi représenté par quelque chose qui agit, qui est une transformation de `G` dans `G`, et qui est précisément un automorphisme de `G` c'est à dire qui respecte les opérateurs générateurs de `G`. On dit que, par cette auto-représentation `lambda` ou par cette action `lambda`, le groupe `G` agit sur lui-même par automorphisme.

L'action `lambda` donne à chaque élément `x` un second rôle qui est un automorphisme désigné explicitement par `lambda(x)`. De telle sorte que les deux écritures suivantes sont égales :

`x<<u>> = lambda(x)(u)`

Le premier membre de l'égalité utilise le typage par inférence pour déterminer si `x` désigne l'élément ou son second rôle. Le second membre de l'égalité utilise le morphisme `lambda` pour désigner explicitement le second rôle de `x` sous forme d'une application. Ainsi le second rôle de `x` peut être désigné explicitement de deux façons :

`x <<".">> = lambda(x)"(.)"`

4) Antimorphisme

Le morphisme transporte les opérateurs d'une structure à l'autre. Mais concernant un opérateur binaire, il existe une autre façon tout autant canonique de transporter l'opérateur, en inversant l'ordre de ses arguments. Cela défini un antimorphisme. Considérons deux groupes `G` et `H` en notation multiplicative, c'est à dire où l'élément neutre se note `1`, et l'opération interne se note `"∗"` ou par absence de symbole. L'application `f` de `G"→"H` est un antimorphisme si et seulement si :

`AA(x,y) "∈" G,`

`f(1)"="1`
`f(frI(x)) "=" frI(f(x))`
`f(xy)"="f(y)f(x)`

On constate que le transport de l'élément neutre et de l'opérateur d'inversion découle du transport de la multiplication avec permutation de ses arguments. Ainsi, l'application `f` de `G"→"H` est un antimorphisme si et seulement si

 `AA(x,y) "∈" G, f(xy)"="f(y)f(x)`

5) Groupe opposé

Soit un groupe `G` en notation multiplicative, où l'opération interne se note `"∗"` ou par absence de symbole. On définie sur le même ensemble sous-jacent `G`, le groupe opposé noté `G^"op"` en le munissant d'une loi de multiplication `"⋆"` qui est la même mais en permutant les arguments :

`AA(x,y) "∈" G, x"⋆"y=y"∗"x`

On démontre qu'il s'agit bien d'un groupe, que l'élément neutre `1` est le même, et que la fonction inverse `frI` est la même. Et on constate que la fonction inverse `frI` typée comme appartenant à `G"→"G^"op"` constitue un isomorphisme (morphisme bijectif), et que la fonction identité typée comme appartenant à `G"→"G^"op"` constitue un anti-isomorphisme (antimorphisme bijectif).

---- 20 novembre 2020 ----

 

6) Action à gauche ou à droite ou action et antiaction ?

la curryfication est la transformation d'une fonction à plusieurs arguments en une fonction à un argument qui retourne une fonction sur le reste des arguments.

L'action à gauche, du groupe sur lui-même, est un opérateur binaire, de symbole `"↓"`, de type `G"×"G"→"G` qui prend comme premier argument l'auteur de l'action, et comme second argument le sur quoi est appliquée l'action.

C'est aussi un opérateur unaire de symbole `lambda`, obtenue par curryfication, et de type `G"→"G"→"G` qui prend comme premier argument l'auteur de l'action et retourne l'application correspondante à l'action, et que l'on note aussi en utilisant un appel de fonction à l'aide des crochets `<< >>`.

`x<<u>> = Lambda(x)(u)`

Ainsi, l'application du second rôle de `x` sur un élément `u` se note de trois façons :

`x"↓"u = lambda(x)(u) = x<<u>>`

Dans une action à gauche `"↓(.,.)"`, l'élément agissant est le premier argument et se trouve à gauche. On dit que `G` agit sur lui-même grâce à l'action à gauche `"↓"`.

     `AAxAAyAAu, (xy)"↓"u = (x"∘"y)"↓"u = x"↓"(y"↓"u) `     
     `AAxAAyAAu, (xy)<<u>> = (x"∘"y)<<u>> = x<< y<<u>> >> `     

Dans une action à droite `"↑(.,.)"`, l'élément agissant est le second argument et se trouve à droite. On dit que `G` agit sur lui-même grâce à l'action à droite `"↑"`.

     `AAxAAyAAu, u"↑"(yx) = u"↑"(y"∘"x) = (u"↑"x)"↑"y`     
     `AAxAAyAAu, (xy)<<u>> = (x"∘"y)<<u>> = x<< y<<u>> >> `     

Comme l'action proposée ici se fait par automorphisme, nous avons également les 3 propriétés d'automorphisme de groupe :

   `AAxAAuAAv, x<<uv>> = x<<u>>x<<v>>`   
   `AAxAAu, x<<u^("-"1)>> = (x<<u>>)^("-"1)`   
   `AAx, x<<1>>=1`   
       
   `AAxAAuAAv, x"↓"(uv) = (x"↓"u)(x"↓"v)`   
   `AAxAAu, x"↓"u^("-"1) = (x"↓"u)^("-"1)`   
   `AAx, x"↓"1=1`   

la curryfication est la transformation d'une fonction plusieurs arguments en une fonction un argument qui retourne une fonction sur le reste des arguments.

Une action à gauche `"↓"<<".,.">>`, de `G` sur lui-même par automorphisme, correspond par curryfication à un morphisme de groupe de `G"→Aut"(G)` désigné par un symbole d'opérateur unaire `lambda<<".">>` et auquel on donne encore le nom d'action mais sans préciser si elle est à gauche ou à droite puisque cette question n'a plus lieu à ce niveau, et qui du fait que `G` agit sur lui-même par automorphisme, est aussi appelé une auto-représentation du groupe `G`.

`lambda<<x>>={u"↦"x"↓"u  "/" u"∈"G}`

L'action `lambda` donne à chaque élément `x` un second rôle qui est un automorphisme désigné explicitement par `lambda<<x>> = {u"↦"x"↓"u "/" u"∈"G}`. De telle sorte que  :

`x<<u>> = lambda<<x>><<u>> = "↓"<<x,u>> = x"↓"u`

La syntaxe de l'opérateur binaire `"↓"` étant posée centrée, nous avons par définition `"↓"<<x,u>> = x"↓"u`

4) Notation française des appels et compositions de fonctions

Il y a deux notations différentes de la composition de fonction, l'une classique dite anglaise, qui utilise l'opérateur `"∘"` de composition de fonction, et qui utilise l'appel de fonction à l'aide des parenthèses `"( )"` que nous remplaçons ici par des crochets `<< >>` pour éviter toute ambiguité, l'autre dite française, qui utilise le produit pour exprimer la composition de fonction, et qui utilise la notation exponentielle pour exprimer l'appel de fonction :

`f"∘"g<<x>> = f<< g<<x>> >>= (x^g)^f = x^(gf)`

La notation française de la composition de fonctions est davantage physique car elle respecte l'ordre des transformations successives. Ainsi l'application `xyz` appliqué à `u` commencera par appliquer `x` à `u` puis par appliquer `y` au résultat précédent, puis par appliquer `z` au résultat précédent.

La différence entre les deux notations correspond à un sens de lecture inversé. L'action de groupe en notation française sera dite une action à droite et sera noté par le symbole `"↑"` :

`u"↑"x = u^x = x<<u>> = x "↓"u`

L'action est dite à droite parce que, dans cet opérateur binaire `"↑"<<".,.">>`, l'élément agissant se trouve à droite. L'opérateur binaire noté `"↑"` de type `G"×"G"→"G`, se note sous forme exponentielle comme suit : `u"↑"x = u^x`. La condition pour que ce second rôle soit une action de groupe est  :

   `AAxAAyAAu, u^(xy) = (u^x)^y`   
       
   `AAxAAyAAu, u"↑"(xy) = (u"↑"x)"↑"y`   

On dit que `G` agit sur lui-même grâce à l'action à droite `"↑"<<".,.">>`. Comme l'action proposée ici se fait par automorphisme, nous avons également les 3 propriétés d'automorphisme de groupe :

   `AAxAAuAAv, (uv)^x = u^x v^x`   
   `AAxAAu, (u^frI)^x =(u^x)^frI`   
   `AAx, 1^x=1`   
       
   `AAxAAuAAv, (uv)"↑"x = (u"↑"x)(v"↑"x)`   
   `AAxAAu, u^frI "↑"x = (u"↑"x)^frI`   
   `AAx, 1"↑"x=1`   

`frI` est l'opérateur d'inversion dans le groupe `G`. Nous avons `frI<<u>>``=``u^frI``=``u^-1`, mais la dernière expression sera évitée car elle devient ambiguë si `"-"1` désigne un élement de `G` qui possède alors un second rôle.

Une action à droite `"↑"<<".,.">>`, de `G` sur lui-même par automorphisme, correspond par curryfication, en choisissant l'argument agissant en premier, au morphisme de groupe `lambda"(.)"` de `G"→Aut"(G)` défini précédement et qui est appelé une action, sans préciser à gauche ou à droite, et qui est qui constitue une auto-représentation du groupe `G`.

`x^lambda={u"↦"u"↑"x "/" u"∈"G}`

L'action `lambda` donne à chaque élément `x` un second rôle qui est un automorphisme désigné explicitement par `x^lambda = {u"↦"u"↑"x "/" u"∈"G}`. De telle sorte que  :

`u^x = u^(x^lambda) = (u,x)^"↑" = x"↑"u`
`u^x = u^(x^lambda) = (x,u)^"↓" = x"↓"u`

Dans l'expression `u^x`, c'est le second rôle de `x` qui agit sur `u`, tandis que dans l'expression `u^(x^lambda)`, c'est la fonction `x^lambda` qui agit sur `u` et qui correspond à l'explicitation exacte du second rôle de `x`. Autrement dit, le second rôle de `x` est exactement `x^lambda`. Faisant que l'expression `u^x` qui n'a de sens que si `x` est une fonction, correspond à l'expression explicite `u^(x^lambda)`. Ainsi `x` possède les deux rôles, le rôle d'élément ou le second rôle de fonction. Et c'est le typage par inférence qui déterminera qu'elle rôle intervient.

La syntaxe de l'opérateur binaire `"↑"` étant posée centrée, nous avons par définition `(u,x)^"↑" = u "↑"x`

5) Groupe d'automorphismes du groupe trivial

Concernant le groupe trivial `C_1"="{1}`, celui-ci admet un groupe d'automorphisme également trivial `"Aut"({1})"="{1}`. Il ne comprend que l'identité `{1"↦"1}`. On accorde donc comme second rôle à l'élément `1`, le seul rôle possible qu'est l'automorphisme d'identité dans le groupe `C_1`.

Par induction, on peut donner à l'automorphisme `{1"↦"1}` qui constitue le second rôle de `1`, une définition plus générale dite canonique, qui s'applique à tous les groupes : C'est le seul automorphisme du groupe `G` qui laisse invariant tous les éléments, ce qui s'écrit :

`AAx,x^1"="x`

D'une certaine façon, l'automorphisme `1`, ou plus exactement son second rôle qui est l'automorphisme `(u"↦"u "/" u"∈"G)` est défini par cette formule `AAx,x"↑"1"="x`.

`1={x"↦"x "/" x"∈"G}`

Parce qu'il possède une définition lui assurant l'existence et son caractère unique dans chaque groupe, il désigne l'automorphisme d'identité dans chaque groupe. Dans chaque groupe il n'y a qu'un et un seul automorphisme qui a se rôle, et qui est le second rôle de l'élément désigné par`1`. On peut donc plonger `"Aut"(C_1)` dans chaque groupe d'automorphisme `"Aut"(G)` et procèder à une identification `1_("Aut"(C_1))"="1_("Aut"(G))`. Ainsi `"Aut"(C_1)` est inclus dans notre automorphisme de groupe `"Aut"(M)` que nous sommes en train de construire.

Le modèle de groupe `M` se définit à ce stade comme suit :

Générateurs : Aucun
Règles d'égalités  Action d'automorphisme Sous-groupes considérés Sous-groupes d'automorphimses
Aucune
`1={x"↦"x "/" x"∈"G}`
`C_1={1}`
`C_1={1}`

5) Structure d'espace définie à partir d'un groupe d'unités

« La notion d'espace est consubstantielle à la notion de combinaison linéaire. »

On part donc d'une structure de groupe fini `G` quelconque, qui constitue un ensemble d'unités. Et on veut construire une structure d'espace plus vaste qui constitura un anneau `A`, qui contiendra `G`, et qui partagera sur `G` la même loi de produit `"∗"`. On considère pour cela l'ensemble des combinaisons linéaires formelles à facteur entier d'éléments de `G` :

` A = {sum_(g in G) n_g g "/" AAg "∈" G, n_g "∈" ZZ}`

que l'on quotiente par la théorie de l'anneau. On définie ainsi un ensemble `A` munie d'une somme et d'un produit comme suit :

`(sum_(g in G) n_g g)+(sum_(g in G) m_g g) = sum_(g in G) (n_g"+"m_g)g`

`(sum_(g in G) n_g g)(sum_(g in G) m_g g) = sum_( (h,g) in G^2) (n_hm_g)(hg)`

Puis, de la même façon que le produit de tous les éléments du groupe est égale à `1`, l'élément neutre du produit, ce qui est une conséquence de la théorie du groupe, on posera que la somme de tous les éléments du groupe est égale à `0`, l'élément neutre de l'addition, ce qui est une conséquence de la théorie de l'anneau si le groupe en question couvre bien toutes les unités de l'anneau.

`sum_(g in G) g = 0`

L'anneau `A` ainsi définie constitue l'espace le plus libre possible engendré par le groupe d'unités `G` équicentré.

Par convention, un groupe possède une loi de produit notée `"∗"`, un élément neutre noté `1`, et une loi d'inversion notée `frI`. La structure de groupe connaissant ces opérateurs est notée `(G,"∗",1,frI)`. Le produit se note par simple juxtaposition. Et l'inverse d'un élément se note en lui appliquant l'opérateur d'inversion `frI`. Par exemple : `x"∗"y "=" xy` et `x^frI x"="x x^frI"="1`.

Par convention on note la théorie du groupe appliquée à l'ensemble sous-jacent `G` comme suit. La structure `(G,"∗",1,frI)` est un groupe si et seulement si :

`AA (x,y,z) "∈" G^3, ((x(yz)"="(xy)z),(x1"="x),(1x"="x),(x x^("-"1)"="1),(x^("-"1)x"="1))`

On note la théorie de l'anneau appliquée à l'ensemble sous-jacent `A` comme suit. La structure `(A,"+",0,"-","∗",1)` est un anneau si et seulement si :

`AA (x,y,z) "∈" A^3, ((x"+"(y"+"z) "=" (x"+"y)"+"z),(x"+"y "=" y"+"x),(x"+"("-"x) "=" 0),(x"+"0 "=" x),(x(yz) "=" (xy)z),(x1 "=" x),(1x "=" x),(0x"="0),(x0"="0),(x(y"+"z) "=" (xy"+"xz)),((y"+"z)x "=" (yx"+"zx)x))`

On procède par extension élémentaire. On ajoute au langage de la structure `(G,"∗",1,frI)`, un opérateur binaire `"+(.,.)"` appelé somme ou addition, un opérateur unaire `"-(.)"` appelé opposition, et un élément `0` appelé zéro, ce qui se note `G["+","-", 0]`. Puis on quotiente par la théorie de l'anneau `(A,"+",0,"-","∗",1)` en ajoutant la condition que l'élément `1_A` coïncide avec l'élément `1_G` et que le produit de `A` noté `"∗"_A` étend le produit de `G` noté par `"∗"_G`. Autrement dit, la restriction sur `G` du produit `"∗"_A` est égale au produit `"∗"_G`, c'est à dire, `"∗"_A"|"_G = "∗"_G`

`A = ( (G,"∗",1,frI)["+","-", 0])/{(A,"+",0,"-","∗",1) "est un annneau"}``"∗"_A` et `1_A` coïncide avec `"∗"_G` et `1_G` sur l'ensemble `G`.

Ainsi `G` est inclus dans `A` et la théorie du groupe `G` s'applique toujours pour les éléments de `G`, et complète la théorie de l'anneau par deux axiomes valables uniquement pour les éléments de `G`.

`A = ("<∗(.,.)",frI"(.)","+(.,.)","-(.)",0,1">")/{(A,"+",0,"-","∗",1) "est un annneau", AA(x,y)"∈"G^2, x^("-"1)"∈" G, xy "∈" G}`

Ce faisant, on peut ajouter et soustraire à volonté les éléments de `G`, et donc, en faire des combinaisons linéaires entières qui désignent des points dans l'espace `A`. Ainsi nous remarquons que :

`AAg"∈"G,AA(n,m)"∈"ZZ^2, n(mg)=(nm)g`

Et on constate, du fait que le produit est distributif par rapport à la somme, qu'il n'existe qu'un seul produit sur `A` qui étend le produit déjà existant sur `G`.

Puis on ajoute la condition que `G` soit équicentré. Cela offre un ensemble de solutions d'espace centré autour des unités regroupées dans `G`.

`A = ("<∗(.,.)",frI"(.)","+(.,.)","-(.)",0,1">")/{(A,"+",0,"-","∗",1) "est un annneau", (sum_(g in G)g)"="0, AA(x,y)"∈"G^2, x^("-"1)"∈" G, xy "∈" G}`

Si on applique ce procédé de construction d'espace au groupe trivial `C_1"="{1}`, on obtient l'anneau dégénéré qui ne contient qu'un élément qui est à la foi l'élément neutre de l'addition et l'élément neutre de la multiplication.

Puis, comme l'infini physique n'existe pas, il convient de considérer une notion de combinaison linéaire plus générale qui peut être obtenue en posant des règles d'égalités supplémentaires telque `ng"="0` faisant que l'unité `g` n'engendre qu'un cercle `{0,g,2g,3g,...,(n"-"1)g}` au lieu d'une droite `{..."-"3g,"-"2g,"-"g,0,g,2g,3g,...}`, et pourquoi pas en posant d'autres règles d'égalité sous forme de combinaisons linéaires nulles, ou bien encore sous forme de combinaison du second degré nulle...

6) Groupe à 2 éléments

Il existe un seul groupe de deux éléments. C'est le groupe cyclique `C_2`. Il se présente comme suit :

`C_2="<"a | a^2"="1 ">"`

L'expression `"<"a">"` désigne en fait `"<"a,1,"∗",frI">"` qui est la clôture par composition close des opérateurs énumérés entre crochets et auquel on ajoute les opérateurs du langage de groupe `1,"∗",frI`.

L'expression `"<"a|T">"` désigne le quotientage de la structure libre `"<"a,1,"∗",frI">"` par la théorie `T`.

Le groupe `C_2` est engendré par un élément `a` satisfaisant l'égalité `a^2"="1`.

Dans la nomenclature classique, les groupes sont présentés avec des générateurs anonymes toujours `a,b,c,...` en présentant d'abord les générateurs d'ordre les plus grands. L'ordre d'un élément `x` d'un groupe fini est l'entier `n` tel que `x^n"="1`.

`C_2= {1,a}`

Ce groupe possède un élément d'ordre `1` et un élément d'ordre `2` ce qui se note par la suite suivante `"Ordres"(C_2) = (1,1)`. Et plus précisement, on énumére les éléments selon leur ordre annoté au-dessus :

`C_2={overset(1)(1) "|" overset(2)(a)}`

Si tous les groupes que nous étudions n'avait au plus qu'un seul élément d'ordre `2`, alors cet propriété `x^2"="1` serait le bon candidat pour le définir. Mais cela n'est pas le cas, et on découvrira des groupes où il y a plusieurs éléments d'ordre `2` formant ainsi plusieurs sortes de négations (symétrie d'ordre `2`). Et il se pourra même qu'il y ait deux éléments d'ordre `2` qui n'aient pas le même rôle, c'est à dire, tel qu'il n'existe pas d'automorphisme passant de l'un à l'autre, formant ainsi deux types différents de type de négation.

Mais, en l'état présent de la construction du groupe commun `M`, cette popriété `x^2"="1` qui s'appelle être une racine carrée de `1`, caractérise bien l'élément `a` si celui-ci se distingue de `1`. On donne un nom à l'élément `a` qui sera `"-"1`. Et on commence ainsi à construire notre groupe modèle `M` qui contiendra `C_2` comme sous-groupe.

La présentation instanciée du groupe `C_2` est la suivante (version anonymisée et version nominalisée) :

`C_2`
`"<"a | a^2"="1 ">"`
`{overset(1)(1) "|" overset(2)(a)}`
`(1,1)`
`"Aut"(C_2)≅C_1`
              
`C_2`
`"<-"1 | ("-"1)^2"="1 ">"`
`{overset(1)(1) "|" overset(2)("-"1)}`
`(1,1)`
`"Aut"(C_2)≅C_1`

L'élément `"-"1` est une racine carrée génératrice de l'élément neutre. Le qualificatif génératrice signifie que les puissances entières de la racines en question permettent de calculer toutes les autres racines carrés de l'élément neutre (et ici il n'y a que `1` et `"-"1`) .

Le signe `"-"` désigne à lui tout seul un élément d'ordre `2`, c'est à dire que multiplié par lui-même il redonne l'élément neutre `1`, mais on ne le note jamais seul, on le note toujours par `"-"1`. De tel sorte que quelque soit `x` appartenant au groupe des unités ou à la structure d'anneau engendrée à partir de ce groupe d'unités, l'élément `"-"x` désignera le produit de `"-"1` par `x` danc cet ordre, et s'appellera l'opposé de `x`.

L'élément `"-"1`, dans le choix de son nom, est quand même prédestiné à faire parti du centre du groupe, c'est à dire à commuter avec tous les éléments du groupe. Si tel n'était pas le cas, alors nous aurions pour certaine valeur de `x` l'inégalité `"-"x"≠"x("-"1)`. En conséquence, lorsque nous rencontrerons des groupes possèdant plusieurs éléments d'ordre `2`, nous commencerons à tenter de les différentier à l'aide de cette propriété de commutativité.

7) Définition de l'élément `"-"1`

Existe-t-il une définition de l'élément `"-"1` qui puissent s'appliquer pour tous les groupes ? On procède par la même méthode que pour définir l'élément neutre, et comme l'unicité ne s'en déduit pas, on l'ajoute telle quelle comme une condition dans la définition.

7.1) Racine carrée non trivial de `1`

L'élément `"-"1` est défini par la proposition suivante, c'est une racine carrée non triviale de l'élément neutre, non trivial signifie ici distincte de l'élément neutre :

`P(s) =((s"≠"1),(s^2"="1))`

Mais cela n'entraine pas l'unicité. L'unicité peut être ajoutée, ce qui abouti à la définition suivante :

`Q(s) = ((P(s)),(AAt"," P(t)=>t"="s))`

Ce qui se réécrit :

`Q(s) =((s"≠"1),(s^2"="1),(AAt"," st"="1 "ou" t^2"≠"1)`

Cette définition du `"-"1` unique va distinguer deux familles de groupes, ceux qui possèdent cet élément et ceux qui ne le possèdent pas comprenant ceux qui possèdent plusieurs racines carrés non triviales de `1`. Puis, il faut bien admettre que cet propriété d'unicité est arbitraire, et qu'il convient alors d'étudier les groupes ayant `3` ou `4` ou `n>2` racines carrées de `1`, et en commençant par considérer que toutes ces racines non triviales jouent le même rôle c'est à dire sont deux à deux permutables par automorphisme. Puis, il faut bien admettre que cet propriété de rôles identiques est arbitraire, et qu'il convient alors d'étudier les groupes possèdant des racine de l'unité aux propriétés pouvant être distinctes...

7.2) Racine carrée centrale non trivial de `1`

Puis, il convient d'étudier le cas central, le cas de l'élément central `"-"1`. Le qualificatif central signifie qui commute avec tous les éléments.

L'élément central `"-"1` peut être défini par la proposition suivante, c'est une racine carrée centrale non triviale de l'unité, non trivial signifie ici distincte de l'unité, et centrale signifie qui commute avec tous les élément du groupe :

`P(s) =((s"≠"1),(s^2"="1),(AAx"," sx"="xs))`

Mais cela n'entraine pas l'unicité. L'unicité peut être ajoutée, ce qui abouti à la définition suivante :

`Q(s) = ((P(s)),(AAt"," P(t)=>t"="s))`

Ce qui se réécrit :

`Q(s) =((s"≠"1),(s^2"="1),(AAx"," sx"="xs),(AAt"," st"="1 "ou" t^2"≠"1 "ou" EEx"," tx"≠"xt))`

Cette définition du `"-"1` central unique va distinguer deux familles de groupes, ceux qui possèdent cet élément et ceux qui ne le possèdent pas comprenant ceux qui possèdent plusieurs racines carrés non triviales centrales de `1`. Et le même constat va se poser, il faudra bien admettre que cet propriété d'unicité est arbitraire, et qu'il convient alors d'étudier les groupes ayant `3` ou `4` ou `n>2` racines carrées centrales de `1`...

8) `"Aut"(C_2)`

Le groupe `C_2={1,"-"1}` admet un groupe d'automorphisme trivial, qui ne comprend que l'identité `{1"↦"1,"-"1"↦""-"1}`. Donc ce rôle est donné aux deux éléments de `C_2` :

`1_(C_2) = {1"↦"1,"-"1"↦""-"1}`

`"-"1_(C_2) = {1"↦"1,"-"1"↦""-"1}`

Par induction, on a donner à l'automorphisme associé à `1` une définition plus générale dite canonique, qui s'applique à tous les groupes : C'est le seul automorphisme du groupe `G` qui laisse invariant tous les éléments, ce qui s'écrit :

`AAx,x"↑"1"="x`

Par induction, on donne à l'automorphisme associé à `"-"1` une définition plus générale dite canonique, qui s'applique à tous les groupes : C'est le seul automorphisme du groupe `G` qui inverse chaque élément du groupe, ce qui s'écrit :

`AAx,x"↑-"1"="frI(x)`

l'automorphisme associé à `1` se définie par `(u"↦"u "/" u"∈"G)`. Tandis que l'automorphisme associé à `"-"1` se définie par `(u"↦"frI(x) "/" u"∈"G)`. Et ils sont identiques pour les groupes d'au plus deux éléments.

`1={x"↦"x"/" x"∈"G}`

`"-"1={x"↦"frI(x)"/" x"∈"G}`

Dans chaque groupe il n'y a qu'un et un seul automorphisme qui a se rôle d'identité et qui est désigné par le symbole `1`. Et il n'y a qu'un et un seul automorphisme qui a se rôle d'inversion et qui est désigné par le symbole `"-"1`.

Le groupe admet `2` rôles d'élément : l'élément neutre et l'élément générateur.

On procède au seul plongement possible de `C_2"↪"M` et on procède à une identification qui est cohérente avec l'identification précédente,`C_1"↪"C_2"↪"M`.

Le groupe `C_2` n'admet aucun sous-groupe propre. Le qualificatif « propre » veut dire « autre que lui-même et autre que le groupe trivial ».

Le modèle de groupe `M` se définit à ce stade comme suit :

Générateur : `"-"1`
Règles d'égalités  Actions d'automorphismes Sous-groupes considérés Sous-groupes d'automorphimses
`("-"1)^2"="1`
`1={x"↦"x "/" x"∈"G}`
`"-"1={x"↦"x^-1 "/" x"∈"G}`
`C_1={1}`
`C_2="<-"1">"`
`C_1={1}`

9) Structure d'espace sur `C_2`

Condidérons le groupe `C_2="<"a | a^2"="1 ">"`. Ce groupe à juste deux élément `{1,a}`. La règle choisie pour centré l'anneau est :

`sum_(g in G)g=0`

On en déduit que `a` est l'opposé de `1`. Et on le note donc `"-"1`.

`a="-"1`

Si on applique ce procédé de construction d'espace au groupe `C_2"="{1,"-"1}`, on obtient l'anneau `ZZ`.

10) Automorphisme et produit parallèle

Etant donné un groupe `G`, si `G` possède comme générateur `{a,b}`, ce qui se note `G"=<"a,b">"`, alors tout morphisme `f` de `G"→"G` est déterminé par les images des générateurs, `f(a),f(b)`. Car chaque élément de `G` se décompose en un produit d'occurences de `a` et d'ocurrences de `b`, et son image par `f` se décompose par la même forme de produit mais en remplaçant chaque occurence de `a` par `f(a)` et chaque occurence de `b` par `f(b)`. Cela s'écr'it comme suit :

`f"=<"a"↦"f(a),b"↦"f(b)">"`

où les braquettes `"<" ">"` entourant un ensemble de couples, désigne la clôture par produit parallèle, ce qui produit un graphe de fonction. L'object rechercher est un morphisme c'est à dire que nous voulons que `f(xy)=f(x)f(y)` ce qui se note par l'arête `xy"↦"f(x)f(y)` et qui correspond bien au produit parallèle de `x"↦"f(x)` par `y"↦"f(y)"`

L'automorphisme `f` se construit comme étant engendrée par les deux fonctions singleton `{a"↦"f(a)}` et `{b"↦"f(b)}`, et par le produit parallèle `{a"↦"f(a)}{b"↦"f(b)}={ab"↦"f(a)f(b)}` que l'on répète autant de fois que l'on veut pour obtenir la relation morphique partout définie `f"=<"a"↦"f(a),b"↦"f(b)">"`. La condition est que les points de départs des arêtes doivent être chacun unique et former un ensemble générateur de `G`. La façon dont est construite la relation `f` assure que ce soit un endomorphisme de `G`, mais n'assure pas que cela soit une bijection. Pour que f soit un automorphisme il est nécessaire et suffisant d'ajouter la condition suivante : Les points d'arrivés des arêtes doivent être chacun unique et former un ensemble générateur de `G`.

On définit le produit parallèle des ensembles de couples `R` par `S` comme suit :

`RS = {ab"↦"xy "/" (a,x)"∈"R "et" (b,y)"∈"S}`

Et on définit le produit d'image des ensembles de couples `R` par `S` comme suit :

`R"⋆"S = {a"↦"xy "/" (a,x)"∈"R "et" (a,y)"∈"S}`

11) Groupe à 3 éléments

Il existe un seul groupe de trois éléments. C'est le groupe cyclique `C_3`. Il se présente comme suit :

`C_3`
`"<"a | a^3"="1 ">"`
`{overset(1)(1) "|" overset(3)(a,a^2)}`
`(1,0,2)`
              
`C_3`
`"<૩" | "૩"^3"="1 ">"`
`{overset(1)(1) "|" overset(3)("૩","૩"^2)}`
`(1,0,2)`

Le groupe d'automorphisme de `C_3` est isomorphe au groupe `C_2`, et associe `1` à l'identité et `"-"1` à l'inverse, conformément à leur définition inductives précédentes :

`1={x"↦"x "/" x"∈"G}`

`"-"1={x"↦"x^-1 "/" x"∈"G}`

`"Aut"(C_3)=C_2= {1,"-"1}`

 

---- 17 mars 2020 ----

 

 

 

`"Aut"(C_3)=C_2`
`"Aut"(C_3)="<-"1 | ("-"1)^2"="1 ">"= {1,"-"1}`
`"Aut"(C_3)="<"alpha | alpha^2"="1">"= {1,alpha}`

Les deux éléments d'ordre `3`, que sont `"૩"` et `"૩"^2`, jouent des rôles identiques. Car il y a un automorphisme qui est l'automorphisme d'inversion `alpha = frI = (AAx, x"↦"x^("-"1))` et qui permute ces deux éléments. Tout automorphisme est entièrement déterminé en fixant l'image des générateurs. Ainsi, l'automorphisme `alpha` peut être définie par :

`alpha = "<"a"↦"a^2">"`

---- 1 Novembre 2019 ----

L'automorphisme `alpha` possède une définition canonique : C'est l'inversion `alpha = frI`. Le groupe des automorphismes est un groupe cyclique à deux éléments engendré par cet automorphisme. il n'y a qu'une seul façon de plonger `C_2"↪Aut"(C_3)`. On procède à la seul identification possible du groupe `C_2` avec le groupe `"Aut"(C_3)`.

`"Aut"(C_3) = "<"frI">" = "<"AAx, x"↦"x^("-"1)">"`

Le nombre d'orbite est `|G"÷Aut"(G)| = 2`. En conséquence le groupe admet `2` rôles d'élément : l'élément neutre et l'élément générateur.

On donne un nom à l'élément `a` qui sera le tragḍo, `"૩"`,symbole du chiffre `3` en goudjarati. Et on commence ainsi à construire notre groupe modèle qui contiendra `C_2, C_3` comme sous-groupes. La présentation instanciée du groupe `C_3` est la suivante :

`C_3
`{1,"૩","૩"^2}`
`"<૩" "|" "૩"^3"="1 ">"`
`"Ordres"(C_3)"="(1,0,2)`    
`C_3"="{overset(1)(1) "|" overset(2)("૩","૩"^2)}`
`C_2"≅"Aut"(C_3)`="<"frI | frI^2"="1">"= {1,frI}`

L'élément `"૩"` est d'ordre `3`, c'est à dire que élevé à la puissance `3`, il donne l'élément neutre `"૩"^3"="1`. L'élément `"૩"` est une racine cubique génératrice de l'unité `1`. Il est représenté par un tragḍo, `"૩"`,

Cela entraine :

`"-"1 = "<""૩""↦""૩"^("-"1)">"`

Et ainsi `C_2 = "Aut"(C_3)`. L'élément `"-"1` appartenant au groupe `C_2` est maintenant muni d'un rôle supplémentaire, il désigne un automorphisme du groupe `M` qui est `(AAx, x"↦"x^("-"1))`. On peut donc appliquer cet automorphisme `"-"1` à un élément de `C_3` comme par exemple l'élément `"૩"^2` pour produire `("૩"^2)^2 = "૩"^4` et qui est égale à `"૩"` ce qui se note comme suit  :

`("-"1)color(#006090)("(""૩"^2")") = "૩"`

Et on note l'expression sur quoi s'applique l'automorphisme, entourée de parenthèse et dans une couleur légèrement plus verte pour faire la distinction avec un produit. Nous dirons pour résumer :

`C_2 ="Aut"(C_3)`
`"-"1 = "<""૩""↦""૩"^2">"`

`"-"1 =(AAx, x"↦"x^("-"1))`

Le groupe `C_3` n'admet aucun sous-groupe propre.

Le tragḍo `"૩"` qui est une racine cubique génératrice de `1`, se comporte comme un signe ternaire. Il peut être appliqués deux fois de suites à un élément `x` ce qui produit `"૩"x` et `"૩૩"x`. Les trois éléments `x, "૩"x, "૩૩"x` sont dits triptysés. Ils représentent les trois phases du signe `"૩"` appliqué à `x`.

Le groupe `C_3` est obtenu par `"<૩>"`. Et le modèle se définit à ce stade comme suit :

Règles d'égalité  Action d'automorphisme
`1=1`
`("-"1)^2"="1`
`"૩"^3"="1`
`1="<"1"↦"1">"`
`"-"1 = "<""૩""↦""૩"^2">"`
Générateur : `"-"1,"૩"`
Règle d'égalité  Action d'automorphisme Sous-groupe considéré
`("-"1)^2"="1`
`"૩"^3"="1`
`1="<"AAx, x"↦"x">"`
`"-"1 = "<"AAx, x"↦"x^("-"1)">"`
`C_1={1}`
`C_2="<-"1">"`
`C_3="<૩>"`

 

---- 30 octobre 2019 ----

Puis, il convient d'étudier le cas générateur, le cas de l'élément `"-"1` racine carrée génératrice de l'unité. Le qualificatif génératrice signifie qui engendre .

. Et donc le quotientage de `G` par `"Aut"(G)` que l'on note `G"÷Aut"(G)` et qui représente l'ensemble des rôles, c'est à dire l'ensemble des éléments à automorphisme près, comprend le même nombre d'élément que `G`, Autrement dit, chaque élément de `G` a un rôle différent.

 

`|G"÷Aut"(G)| = 2`

Le groupe d'automorphisme est isomorphe à `C_2`. Et il n'y a qu'un seul isomorphisme de `C_2"↔""Aut"(C_3)`. On procède à la seul identification possible du groupe `C_2` avec le groupe `"Aut"(C_3)`. Cela équivaut aux deux égalités suivantes :

`1 = "<""૩""↦""૩"">"`

`"-"1 = "<""૩""↦""૩"^2">"`

Et ainsi `C_2 = "Aut"(C_3)`. L'élément `"-"1` appartenant au groupe `C_2` est maintenant muni d'un rôle supplémentaire, il désigne un automorphisme du groupe `C_3` qui est `"<""૩""↦""૩"^2">"`. On peut donc appliquer cet automorphisme `"-"1` à un élément de `C_3` comme par exemple l'élément `"૩"^2` pour produire `("૩"^2)^2 = "૩"^4` et qui est égale à `"૩"` ce qui se note comme suit  :

`("-"1)color(#006090)("(""૩"^2")") = "૩"`

Et on note l'expression sur quoi s'applique l'automorphisme, entourée de parenthèse et dans une couleur légèrement plus verte pour faire la distinction avec un produit. Nous dirons pour résumer :

`C_2 ="Aut"(C_3)`
`"-"1 = "<""૩""↦""૩"^2">"`

2.4) Groupe cyclique à 4 éléments

Il existe exactement deux groupes de quatre éléments, le groupe cyclique et le groupe de Klein. On décrit d'abord le groupe cyclique. C'est le groupe `C_4` :

`C_4"="{1,i,i^2, i^3}`
`"<"i | i^4"="1 ">"`
`"Ordres"(C_4)"="(1,1,0,2)`    

`C_4"="{overset(1)(1) "|" overset(2)(i^2) "|" overset(4)(i,i^3)}`

`C_2 = "Aut"(C_4)`
`"-"1 = "<"i"↦"i^3">"`

L'élément `i` est une racine quatrième génératrice de `1`.

Le groupe des automorphismes est isomorphe à `C_2`. Et il n'y a qu'une seul façon possible d'établir un isomorphisme de `C_2` sur `"Aut"(C_4)`. Et on procède à une identification `C_2"=""Aut"(C_4)`, entrainant l'égalité `"-"1 "=" "<"i"↦"i^3">"`. Or l'élément `"-"1` a déjà un rôle vu au paragraphe précédent, `"-"1 "=" "<""૩""↦""૩"^2">"`. Ces deux rôles se complètent car `"<"i">∩<૩>=<"1">"` et que l'image de `1` par tout automorphisme est `1`. Et nous avons :

`"-"1 "=" "<""૩""↦""૩"^2, i"↦"i^3">"`

Le groupe `C_4` admet exactement un sous groupe propre `"<"i^2">"` qui est isomorphe à `C_2`. C'est pourquoi on plonge `C_2` dans `C_4` de la seule façon possible, ce qui se note `C_2"↪"C_4`. Et on procède à une identification `C_2 "⊂"C_4`, entrainant l'égalité suivante :

`"-"1"="i^2`

L'élément `"-"1` désigne l'unique élément d'ordre `2`, c'est à dire que multiplié par lui-même il redonne l'élément neutre `1`. Sa description est déjà faite dans `C_2`. Le signe `"-"` désigne à lui tout seul cet élément d'ordre `2`, mais on ne le note jamais seul, on le note toujours par `"-"1`. De tel sorte que quelque soit `x` appartenant au groupe des unités en question ou à la structure engendrée à partir de ce groupe d'unités, l'élément `"-"x` désignera le produit de `"-"1` par `x`. L'élément `"-"1` représente une racine carré génératrice de `1`. Les éléments `x` et `"-"x` sont dit opposés. C'est pourquoi on dit aussi que les éléments `i` et `"-"i` sont opposés l'un de l'autre.

Nous avons démultiplier les éléments génétrateurs, ici `i` et `"-"1`. Ces éléments générateurs redondants sont appelés des briques. Comme il y a maintenant plusieurs façons de nommer un élément, il convient de se fixer une règle pour déterminer les formes des éléments que nous afficherons dans la présentation. La forme d'un élément est un mot composé de briques appartenant à un ensemble servant de carrière. Les briques sont ordonnées selon un ordre de création. Et les mots sont ordonnés selon leur taille, et à taille égale, selon l'ordre lexicographique établie selon l'ordre des briques. Le groupe `C_4` se présente alors ainsi :

`C_4"="{1,i,"-"1,"-"i}`
`"<"i | i^4"="1 ">"`
`"<"i,"-"1|i^2 "=" "-"1, ("-"1)^2"="1">"`
`"Ordres"(C_4)"="(1,1,0,2)`    

`C_4"="{overset(1)(1) "|" overset(2)("-1") "|" overset(4)(i,"-"i")}`

`C_2 = "Aut"(C_4)`
`"-"1 = "<"i"↦""-"i">"`

Le groupe `C_4` est obtenu par `"<i>"`. Et le modèle se définit à ce stade comme suit :

Règles d'égalité  Action d'automorphisme
`1=1`
`("-"1)^2"="1`
`"૩"^3"="1`
`i^2 "=" "-"1`
`1="<"1"↦"1">"`
`"-"1 = "<""૩""↦""૩"^2, i"↦-"i">"`

2.5) Groupe non-cyclique à 4 éléments - Groupe de Klein

Le groupe de Klein `S_(2×2) = C_2"×"C_2` est décrit dans la littérature comme suit :

`S_(2×2)={1,I,J,K}`
`"<"I,J | I^2"="1,J^2"="1,IJ"="JI">"`
 `K"="IJ`
`"Ordres"(S_(2×2))"="(1,3)`    

`S_(2×2)"="{overset(1)(1) "|" overset(2)(I,J,K)}`

`D_3 = "Aut"(S_(2×2))`
`"૩" = "<"I"↦"J, J"↦"K">"`
`"-"1= "<"I"↦"I, J"↦"K">"`

Une propriété remarquable est que le produit de deux éléments distincts parmi `{I,J,K}` produit l'élément restant.

Le groupe des automorphismes est isomorphe au groupe dihédral `D_3`, que l'on décrit un peu plus loin, et qui est engendré par `"૩"` et `"-"1`. Autrement dit, `D_3"=""<""૩","-"1">"`. Mais il y a plusieurs façons d'isomorpher ce groupe sur `"Aut"(S_(2×2))`, autant qu'il y a d'automorphismes du groupe `D_3`, c'est à dire `6`.

On pose :

`alpha = "<"I"↦"J, J"↦"K">"`
`beta= "<"I"↦"I, J"↦"K">"`

Debreil propose un isomorphisme de `D_3"↔""Aut"(S_(2×2))` engendrée par `"૩↦"alpha` et `"-"1"↦"beta` :

`"<૩↦"alpha, "-"1"↦"beta">"`

Et il y a donc en tout `6` isomorphismes possibles qui sont :

`"<"varphi("૩")"↦"alpha, varphi("-"1)"↦"beta">"` avec `varphi "∈Aut"(D_3)`

`"<૩↦"alpha, "-"1"↦"beta">"` `"<૩"^2"↦"alpha, "-"1"↦"beta">"`
`"<૩↦"alpha, "-૩↦"beta">"` `"<૩"^2"↦"alpha,"-૩↦"beta">"`
`"<૩↦"alpha, "-૩"^2"↦"beta">"`  `"<૩"^2"↦"alpha,"-૩"^2"↦"beta">"`

Il faudra choisir un isomorphisme compatibles avec les choix antérieurs qui affirment que le rôle de `"-"1`, en tant que morphisme restreinte au groupe `"<"i,"૩"">"`, est `"<""૩""↦""૩"^2, i"↦-"i,">"`, ce qui s'écrit :

`"-"1"|"_("<"i,"૩"">")"=""<""૩""↦""૩"^2, i"↦-"i">"`

Le groupe de Klein admet exactement `3` sous groupes maximaux `"<"I">","<"J">","<"K">"` qui sont tous les trois isomorphes à `C_2`. Un sous-groupe est dit maximal si et seulement s'il n'est pas un sous-groupe strict d'un sous-groupe strict. Le qualificatif « strict » veut dire « autre que lui-même ».

Les trois éléments d'ordre 2 que sont `I,J,K` jouent des rôles identiques, car il y a deux automorphismes qui sont `"૩"` et `"-"1`, tels que `"૩"color(#006090)("("I")")"="J` et `("-"1)color(#006090)("("J")")"="K`. Et donc les trois sous-groupes maximaux jouent des rôles identiques. On peut donc plonger `C_2` dans `C_2^2`, d'une des trois façons possibles, sans nullement porter atteinte à la généralité. Cela se note `C_2"↪"C_2^2`. Et on procède à une identification, entrainant les égalités suivantes :

`"-"1"="J`

Ce qui entraine que `K"=""-"I`, faisant que `C_2 "⊂" C_2^2` et que `S_(2×2)` se présente comme suit :

`S_(2×2)={1,I,"-"1,"-"I}`
`"<"I,"-"1 | I^2"="1,("-"1)^2"="1, I("-"1)"=""-"I">"`
`"Ordres"(C_2^2)"="(1,3)`    

`S_(2×2)"="{overset(1)(1) "|" overset(2)(I,"-"1,"-"I)}`

`D_3 = "Aut"(C_2^2)`
`"૩" = "<-"1"↦"I, I"↦""-"I">"`
`"-"1 = "<-"1"↦""-"1, I"↦""-"I">"`

On remarque alors que toutes les façons de plonger `D_3` dans `"Aut"(S_(2×2))` sont autorisés. Donc on en choisie une, celle proposée par Debreil.

Les éléments `"-"1, I, "-"I` jouent des rôles identiques dans `S_(2×2)`. Aussi y-a-t'il trois sortes d'opposé de `1` que sont `"-"1, I,"-"I`. Et on peut donc y définir respectivement trois signes négatifs. Ces trois éléments d'ordre 2 jouent des rôles identiques, car il y a deux automorphismes appartenant à `"Aut"(S_(2×2))=D_3` qui sont tragḍo et `"-"1` tels que `"૩"color(#006090)("(""-"1")")"="I` et `("-"1)color(#006090)("("I")")"=""-"I`.

Le groupe de Klein, `S_(2×2)`, est obtenu par `"<"I,"-"1">"`. Et le modèle se définit à ce stade comme suit :

Règles d'égalité  Action d'automorphisme
`1=1`
`("-"1)^2"="1`
`"૩"^3"="1`
`i^2 "=" "-"1`
`I^2"="1`
`I("-"1)"=-"I`

`1="<"1"↦"1">"`
`"-"1 = "<-"1"↦""-"1, I"↦""-"I, "૩""↦""૩"^2, i"↦-"i>"`
`"૩" = "<-"1"↦"I, I"↦""-"I">"`

 

 

C'est l'anneau des entiers de Gauss, et qui se note `ZZ[i]` `i` représente une racine carrée centrale de `1` qui n'est ni `1` ni `"-"1`. Cet anneau possède un groupe d'unité plus vaste que C_2 qui est `{1,-1,i,-i}`

 

 

2.6) Groupe à 5 éléments

Il existe un seul groupe de cinq éléments. C'est le groupe cyclique `C_5` que l'on décrit comme suit :

`C_5"="{1,"૫","૫"^2,"૫"^3,"૫"^4}`
`"<""૫" "|" "૫"^5"="1 ">"`
`"Ordres"(C_5)"="(1,0,0,0,4)`    

`C_5"="{overset(1)(1) "|" overset(5)("૫","૫"^2,"૫"^3,"૫"^4)}`

`C_4 = "Aut"(C_5)`
`i = "<૫""↦""૫"^2">"`

L'élément `"૫"` est une racine cinquième génératrice de `1`. Il est représenté par un paṁcḍo, `"૫"`, symbole du chiffre cinq en goudjarati.

Les `4` éléments d'ordre `5` que sont `"૫","૫"^2,"૫"^3,"૫"^4` jouent des rôles identiques. Car quelque soit deux éléments parmi eux, il y a un automorphisme qui transforme l'un en l'autre.

Le groupe des automorphismes est isomorphe au groupe cyclique `C_4`, qui est engendré par `i`. Autrement dit, `C_4"=""<"i">"`. Mais il y a plusieurs façons d'isomorpher ce groupe sur `"Aut"(C_5)`, autant qu'il y a d'automorphismes du groupe `C_4`, c'est à dire `3`. On pose : `alpha = "<""૫""↦""૫"^2">"`. Debreil propose un isomorphisme de `C_4 "↔""Aut"(C_5)` engendrée par `i"↦"alpha` qui se note donc comme suit :

`"<"i"↦"alpha">"`

Et il y a donc en tout `3` isomorphismes possibles qui sont :

`"<"varphi(i)"↦"alpha">"` avec `varphi "∈Aut"(C_5)`

`"<"i"↦"alpha">"`
`"<"i^2"↦"alpha">"`
`"<"i^3"↦"alpha">"`
`"<"i^4"↦"alpha">"`

Il faudra choisir un isomorphisme compatibles avec les choix antérieurs qui affirment que :

`"-"1"|"_("<-"1, I, "૩"">") = "<-"1"↦""-"1, I"↦""-"I, "૩""↦""૩"^2, i"↦-"i>"`
`"૩|"_("<-"1, I">") = "<-"1"↦"I, I"↦""-"I">"`

Le groupe `C_5` n'admet aucun sous-groupe propre.

On remarque alors que toutes les façons de plonger `C_4` dans `"Aut"(C_5)` sont autorisés. Donc on en choisie une, celle proposée par Debreil.

Le groupe `C_5` est obtenu par `"<૫>"`. Et à ce stade, l'action par automorphisme du modèle sur lui-même se décrit comme suit :

`"-"1 = "<-"1"↦""-"1, I"↦""-"I, "૩""↦""૩"^2, i"↦-"i>"`
`"૩" = "<-"1"↦"I, I"↦""-"I">"`
`i = "<૫""↦""૫"^2">"`

Et le modèle se définit à ce stade comme suit :

Règles d'égalité  Action d'automorphisme
`1=1`
`("-"1)^2"="1`
`"૩"^3"="1`
`i^2 "=" "-"1`
`I^2"="1`
`I("-"1)"=-"I`
`"૫"^5"="1`

`1="<"1"↦"1">"`
`"-"1 = "<-"1"↦""-"1, I"↦""-"I, "૩""↦""૩"^2, i"↦-"i>"`
`"૩" = "<-"1"↦"I, I"↦""-"I">"`
`i = "<૫""↦""૫"^2">"`

2.7) Groupe cyclique à 6 éléments

Il existe exactement deux groupes de six éléments, un groupe cyclique et un groupe diédral. On décrit d'abord le groupe cyclique. C'est le groupe `C_6` :

`C_6"="{1,"૬","૬"^2,"૬"^3,"૬"^4,"૬"^5}`
`"<૬" "|" "૬"^6"="1 ">"`
`"Ordres"(C_6)"="(1,1,2,0,0,2)`    

`C_6"="{overset(1)(1) "|" overset(2)("૬"^3) "|" overset(3)("૬"^2,"૬"^4) "|" overset(6)("૬","૬"^5)}`

`C_2 = "Aut"(C_6)`
`"-"1 = "<૬""↦""-""૬"^2">"`

L'élément `"૬"` est une racine sixième génératrice de `1`. Il est représenté par un chagḍo, `"૬"`, symbole du chiffre six en goudjarati.

Le groupe des automorphismes est isomorphe au groupe cyclique `C_2`, qui est engendré par `"-"1`. Autrement dit, `C_2"=""<-"1">"`. Et il n'y a qu'une façon d'isomorpher ce groupe sur `"Aut"(C_6)`, autant qu'il y a d'automorphismes du groupe `C_2`, c'est à dire `1`.

Le groupe `C_6` admet exactement deux sous groupes maximaux `"<""-"1">"` et `"<""૬"^2">"` qui sont respectivement isomorphes à `C_2` et `C_3`.

On plonge `C_2` dans `C_6` de la seule façon possible, ce qui se note `C_2"↪"C_6`. Et on procède à une identification, faisant que `"-"1"=""૬"^3` et `C_2"⊂" C_6`. Puis on plonge `C_3` dans `C_6` de la seule façon possible, ce qui se note `C_3"↪"C_6`. Et on procède à une identification, faisant que `"૩""=""૬"^2` et `C_3 "⊂" C_6`, et que `C_6` se présente comme suit :

`C_6"="{1,"૬","૩","-"1, "-૬", "-૩"}` `"૬"^0"="1,"૬"^1"=""૬", "૬"^2"=""૩", "૬"^3"=-"1, "૬"^4"=-૬", "૬"^5"=-૩"`
`"<૬" "|" "૬"^6"="1 ">"`
`"<૬" "|" "૬"^3"=-"1,"૩""=""૬"^2">"`  
`"Ordres"(C_6)"="(1,1,2,0,0,2)`      

`C_6"="{overset(1)(1) "|" overset(2)("-"1) "|" overset(3)("૩","-૬") "|" overset(6)("૬","-૩")}`

`C_2 = "Aut"(C_6)`
`"-"1 = "<૬""↦""-૩>"`

L'élément `"૩"` est une racine cubique génératrice de `1`. Sa définition est déjà faite dans `C_3`. Et il n'y a qu'un seul élément d'ordre 2 qui est `"-"1` et qui définie le signe opposé. Sa définition est déjà faite dans `C_2`.

Le groupe `C_6` est obtenu par `"<૬>"`. Et le modèle se définit à ce stade comme suit :

Règles d'égalité  Action d'automorphisme
`1=1`
`("-"1)^2"="1`
`"૩"^3"="1`
`i^2 "=" "-"1`
`I^2"="1`
`I("-"1)"=-"I`
`"૫"^5"="1`
`"૬"^3"=-"1`
`"૬"^2"=૩"`

`1="<"1"↦"1">"`
`"-"1 = "<-"1"↦""-"1, I"↦""-"I, "૩""↦""૩"^2, i"↦-"i, "૬""↦""-૩">"`
`"૩" = "<-"1"↦"I, I"↦""-"I">"`
`i = "<૫""↦""૫"^2">"`

2.8) Groupe non-cyclique à 6 éléments - Groupe diédral `D_3`

Le groupe diédral `D_3` est décrit comme suit. C'est le premier groupe non commutatif que l'on rencontre :

`D_3={1,r,r^2,s,sr,rs}`
`"<"r,s | r^3"="1, s^2"="1,sr"="r^("-"1)s">"`
`"Ordres"(D_3)"="(1,3,2)`    

`D_3"="{overset(1)(1) "|" overset(2)(s,sr,rs) "|" overset(3)(r,r^2)}`

`D_3 = "Aut"(D_3)`
`r = "<"r"↦"r, s"↦"rs">"`
`s = "<"r"↦"r^("-"1) , s"↦"s">"`

Une propriété remarquable est que pour tout entier `n` nous avons `r^-n s"="s r^n`.

Le groupe des automorphismes est isomorphe au groupe dihédral lui-même `D_3`, et qui est engendré par `r` et `s`. Autrement dit, `D_3"=""<"r,"s">"`. Mais il y a plusieurs façons d'isomorpher ce groupe sur `"Aut"(D_3)`, autant qu'il y a d'automorphismes du groupe `D_3`, c'est à dire `6`.

On pose :

`alpha = "<"r"↦"r, s"↦"rs">"`
`beta= "<"r"↦"r^("-"1) , s"↦"s">"`

Debreil propose un isomorphisme de `D_3"↔""Aut"(S_(2×2))` engendrée par `r"↦"alpha` et `s"↦"beta` :

`"<"r"↦"alpha, s"↦"beta">"`

Et il y a donc en tout `6` isomorphismes possibles qui sont :

`"<"varphi(r)"↦"alpha, varphi(s)"↦"beta">"` avec `varphi "∈Aut"(D_3)`

`"<r↦"alpha, s "↦"beta">"` `"<r"^2"↦"alpha, s"↦"beta">"`
`"<r↦"alpha, sr" ↦"beta">"` `"<r"^2"↦"alpha,"-sr"↦"beta">"`
`"<r↦"alpha, rs"↦"beta">"`  `"<r"^2"↦"alpha,"-rs"↦"beta">"`

Il faudra choisir un isomorphisme compatibles avec les choix antérieurs qui affirment que restreint nous avons :

`1="<"1"↦"1">"`
`"-"1 = "<-"1"↦""-"1, I"↦""-"I, "૩""↦""૩"^2, i"↦-"i, "૬""↦""-૩">"`
`"૩" = "<-"1"↦"I, I"↦""-"I">"`
`i = "<૫""↦""૫"^2">"`

Le groupe `D_3` admet exactement 3 sous groupes maximaux `"<"s">","<"rs">","<"sr">"` isomorphes à `"C_2"`, et un sous-groupe `"<"r">"` isomorphe à `C_3`.

Les trois éléments d'ordre `2` que sont `s,rs,sr` jouent des rôles identiques, car il y a deux automorphismes qui sont `r` et `s` tels que `r(s)"="rs` et `s(r)"="r^2`. Et donc les trois premiers sous-groupes maximaux jouent des rôles identiques. On peut donc plonger `C_2` dans `D_3`, d'une des trois façons possibles, sans nullement porter atteinte à la généralité. Cela se note `C_2"↪"D_3`. Et on procède à une identification, faisant que on choisit `"-"1"="s`, et alors `C_2 "⊂" D_3`.

Puis, les deux éléments d'ordre `3` que sont `"r"` et `r^2` jouent également des rôles identiques. Car il y a un automorphisme `s "=" (r"↦"r^("-"1) , s"↦"s)` qui envoit `r` sur `r^("-"1)"="r^2`.

Puis le groupe `D_3` n'admet qu'un seul sous groupe isomorphe à `C_3`. C'est pourquoi on plonge `C_3` dans `D_3` de `|"Aut"(C_3)|` `"="` `|C_2|` `"="` `2` façons possibles, ce qui se note `C_3"↪"D_3`. Et on procède à une identification en choisissant une façon, faisant que `r"=૩"` et que `C_3"⊂" D_3`.

`D_3` se présente alors comme suit :

`D_3={1,"૩","૩"^2,"-"1,"-""૩","-""૩"^2}`
`"<""૩","-"1 | "૩"^3"="1, ("-"1)^2"="1,"-""૩""=""૩"^2("-"1) ">"`
`"Ordres"(D_3)"="(1,3,2)`    

`D_3"="{overset(1)(1) "|" overset(2)("-"1,"-""૩","-""૩"^2) "|" overset(3)("૩","૩"^2)}`

`D_3 = "Aut"(D_3)`
`"૩" = "<૩""↦""૩", "-"1"↦""-""૩"^2">"`
`"-"1 = "<૩""↦""૩"^2 , "-"1"↦""-"1">"`

L'isomorphisme entre `D_3` et `"Aut"(D_3)` proposé par Debreil semble compatible.

Le groupe `D_3` est obtenu par `"<""૩","-"1">"`. Et le modèle se définit à ce stade comme suit :

Règles d'égalité  Action d'automorphisme
`1=1`
`("-"1)^2"="1`
`"૩"^3"="1`
`i^2 "=" "-"1`
`I^2"="1`
`I("-"1)"=-"I`
`"૫"^5"="1`
`"૬"^3"=-"1`
`"૬"^2"=૩"`
`"-""૩""=""૩"^2("-"1)`

`1="<"1"↦"1">"`
`"-"1 = "<-"1"↦""-"1, I"↦""-"I, "૩""↦""૩"^2, i"↦-"i, "૬""↦""-૩">"`
`"૩" = "<-"1"↦"I, I"↦""-"I, "૩""↦""૩", "-"1"↦""-""૩"^2">"`
`i = "<૫""↦""૫"^2">"`

2.9) Groupe à 7 éléments

Il existe un seul groupe de sept éléments. C'est le groupe cyclique `C_7` que l'on décrit comme suit :

`C_7"="{1,"૭","૭"^2,"૭"^3,"૭"^4,"૭"^5,"૭"^6}`
`"<""૭" "|" "૭"^7"="1 ">"`
`"Ordres"(C_7)"="(1,0,0,0,0,0,6)`    

`C_7"="{overset(1)(1) "|" overset(7)("૭","૭"^2,"૭"^3,"૭"^4,"૭"^5,"૭"^6)}`

`C_6 = "Aut"(C_7)`
`"૬" = "<૭""↦""૭"^3">"`

L'élément `"૭"` est une racine septième génératrice de `1`. Il est représenté par un saatḍo, `"૭"`, symbole du chiffre 7 en goudjarati.

Le groupe cyclique `C_6` est identifié au groupe `"Aut"(C_7)`.

Le groupe `C_5` n'admet aucun sous-groupe propre.

Les 6 éléments d'ordre 7 que sont `"૭","૭"^2,"૭"^3,"૭"^4,"૭"^5,"૭"^6` jouent des rôles identiques. Car quelque soit deux éléments parmi eux, il y a un automorphisme qui transforme l'un en l'autre.

Le groupe `C_7` est obtenu par `"<""૩","-"1">"`. Et le modèle se définit à ce stade comme suit :

Règles d'égalité  Action d'automorphisme
`1=1`
`("-"1)^2"="1`
`"૩"^3"="1`
`i^2 "=" "-"1`
`I^2"="1`
`I("-"1)"=-"I`
`"૫"^5"="1`
`"૬"^3"=-"1`
`"૬"^2"=૩"`
`"-""૩""=""૩"^2("-"1)`
`"૭"^7"="1`

`1="<"1"↦"1">"`
`"-"1 = "<-"1"↦""-"1, I"↦""-"I, "૩""↦""૩"^2, i"↦-"i, "૬""↦""-૩">"`
`"૩" = "<-"1"↦"I, I"↦""-"I, "૩""↦""૩", "-"1"↦""-""૩"^2">"`
`i = "<૫""↦""૫"^2">"`
`"૬" = ("૭""↦""૭"^3)`

2.10) Groupe cyclique à 8 éléments

Il existe exactement cinq groupes de huit éléments, un groupe cyclique, un groupe produit de deux groupes cycliques, un groupe produit de trois groupes cycliques, et le groupe des quaternions. On décrit d'abord le groupe cyclique. C'est le groupe `C_8` :

`C_8"="{1,"૮","૮"^2,"૮"^3,"૮"^4,"૮"^5,"૮"^6,"૮"^7}`
`"<૬" "|" "૬"^8"="1 ">"`
`"Ordres"(C_8)"="(1,1,0,2,0,0,0,4)`    

`C_8"="{overset(1)(1) "|" overset(2)("૮"^4) "|" overset(4)("૮"^2,"૮"^6) "|" overset(8)("૮","૮"^3,"૮"^5,"૮"^7)}`

`C_2^2 = "Aut"(C_8)`
`I="<૮""↦""૮"^3">"`
`"-"1 = "<૮""↦""૮"^5">"`

L'élément `"૮"` est une racine huitième génératrice de `1`. Il est représenté par un aaṭhḍo, `"૮"`, symbole du chiffre 8 en goudjarati.

Le groupe `S_2×2` est identifié au groupe d'automorphisme, `"Aut"(C_8)`.

Le groupe `C_8` admet un seul groupe maximal qui est le groupe `"<""૮"^2">"` et qui est isomorphe à `C_4`. On plonge `C_4` dans `C_8`, ce qui se note `C_4"↪"C_8`. Et on procède à une identification, faisant que `i"=""૮"^2` et `"-"1"=""૮"^4` et `"-"i"=""૮"^6`, et faisant que `C_4"⊂" C_8`, et que `C_8` se présente alors comme suit :

`C_8"="{1,"૮",i,i"૮","-"1,"-૮","-"i,"-"i"૮",}`
`"<૮" "|" "૮"^2"="i, i^2"=-"1,("-"1)^2"="1 ">"`
`"૮"^0"="1,"૮"^1"=""૮","૮"^2"="i,"૮"^3"="i"૮","૮"^4"=-"1,"૮"^5"=-૮","૮"^6"=-"i,"૮"^7"=-"i"૮"`
`"Ordres"(C_8)"="(1,1,0,2,0,0,0,4)`    

`C_8"="{overset(1)(1) "|" overset(2)("-"1) "|" overset(4)(i,"-"i) "|" overset(8)("૮",i"૮","-૮","-"i"૮")}`

`C_2^2 = "Aut"(C_8)`
`I="<૮""↦"i"૮>"`
`"-"1 = "<૮""↦""-૮>"`

L'élément `"૮"` est une racine 8-ième génératrice de `1`. Et il n'y a qu'un seul élément d'ordre 2 qui est `"-"1` et qui définie le signe opposé.

Le groupe `C_8` est obtenu par `"<૮>"`. Et le modèle se définit à ce stade comme suit :

Règles d'égalité  Action d'automorphisme
`1=1`
`("-"1)^2"="1`
`"૩"^3"="1`
`i^2 "=" "-"1`
`I^2"="1`
`I("-"1)"=-"I`
`"૫"^5"="1`
`"૬"^3"=-"1`
`"૬"^2"=૩"`
`"-""૩""=""૩"^2("-"1)`
`"૭"^7"="1`
`"૮"^2"="i`

`1="<"1"↦"1">"`
`"-"1 = "<-"1"↦""-"1, I"↦""-"I, "૩""↦""૩"^2, i"↦-"i, "૬""↦""-૩, "૮""↦""-૮"">"`
`"૩" = "<-"1"↦"I, I"↦""-"I, "૩""↦""૩", "-"1"↦""-""૩"^2">"`
`i = "<૫""↦""૫"^2">"`
`"૬" = "<૭""↦""૭"^3">"`
`I="<૮""↦"i"૮>"`

2.11) Groupe `S_(4"×"2)`

Le groupe `S_(4"×"2)` est le produit direct du groupe `C_4` et du groupe `C_2` :

`S_(4"×"2) = C_4"×"C_2 = {(1,1),(i,1),("-"1,1),("-"i,1),(1,"-"1),(i,"-"1),("-"1,"-"1),("-"i,"-"1)}`

On pose

`g = (i,1)`
`K = (1,"-"1)`

Ces deux éléments engendrent `S_(4"×"2)`. Cela se note comme suit :

`S_(4"×"2) = "<"g,K">"`

Et nous avons `g^4"="1` et `K^2"="1` et le produit direct de groupe commutatif est commutatif donc `Kg"="gK`. On en déduit que la présentation de `S_(4"×"2)` est :

`S_(4"×"2) = {1,g,g^2, g^3, K, Kg, Kg^2, Kg^3}`
`"<"g,K | g^4"="1, K^2"="1, Kg"="gK">"`
`"Ordres"(C_4"×"C_2)"="(1,3,0,4)`    

`S_(4"×"2)"="{overset(1)(1) "|" overset(2)(g^2,K,Kg^2) "|" overset(4)(g,g^3,Kg, Kg^3)}`

`D_4 = "Aut"(C_4"×"C_2)`
`a = "<"g"↦"Kg, K "↦"Kg^2">"`
`b = "<"g"↦"g , K "↦"Kg^2">"`

Le groupe dihédral `D_4` est identifié au groupe d'automorphisme, `"Aut"(S_(4"×"2))`.

Le groupe `S_(4"×"2)` admet exactement 3 sous groupes maximaux `"<"g">","<"Kg">","<"K,g^2">"` dont les deux premiers sont isomorphes à `C_4`, et le dernier est isomorphe à `S_(2"×"2)`.

Les deux éléments `g` et `Kg` jouent des rôles identiques, car il y a un automorphismes, l'automorphisme `a`, qui envoit `g` sur `Kg`. Et donc les sous-groupes `"<"g">"` et `"<"Kg">"` jouent des rôles identiques.

On peut donc plonger `C_4` dans `S_(4"×"2)`, d'une des deux façons possibles, sans nullement porter atteinte à la généralité. Cela se note `C_4"↪"S_(4"×"2)`. Et on procède à une identification, faisant que on choisit `g"="i` et `g^2"=-"1`, et alors `C_4"⊂"S_(4"×"2)`.

Puis on plonge `S_(2"×"2)` dans `S_(4"×"2)` de la seule façon possible, ce qui se note `S_(2"×"2)"↪"S_(4"×"2)`. Et on procède à une identification qui soit cohérente avec les identifications précédentes pour que le groupe `C_2` soit plongé deux fois de la même façon en passant par `C_4` ou en passant par `S_(2"×"2)`. Cela se fait en posant `I"="K` et `"-"1"="g^2` cette dernière identification étant redondante comme nous le cherchions.

`S_(4"×"2)` se présente alors comme suit :

`S_(4"×"2)={1,"i","-"1,"-"i,I,Ii,"-"I, "-"Ii}` `i^2"=-"1`
`"<"i,I | i^4"="1, I^2"="1,iI"="Ii">"`
`"Ordres"(S_(4"×"2))"="(1,3,0,4)`      

`S_(4"×"2)"="{overset(1)(1) "|" overset(2)("-"1,I,"-"I) "|" overset(4)(i,"-"i,Ii, "-"Ii)}`

`D_4 = "Aut"(S_(4"×"2))`
`a = (i"↦"Ii, I "↦-"I)`
`b = (i"↦"i , I "↦-"I)`

Le groupe `S_(4"×"2)` est obtenu par `"<"i,I">"`. Et le modèle se définit à ce stade comme suit :

Règles d'égalité  Action d'automorphisme
`1=1`
`("-"1)^2"="1`
`"૩"^3"="1`
`i^2 "=" "-"1`
`I^2"="1`
`I("-"1)"=-"I`
`"૫"^5"="1`
`"૬"^3"=-"1`
`"૬"^2"=૩"`
`"-""૩""=""૩"^2("-"1)`
`"૭"^7"="1`
`"૮"^2"="i`
`iI"="Ii`

`1="<"1"↦"1">"`
`"-"1 = "<-"1"↦""-"1, I"↦""-"I, "૩""↦""૩"^2, i"↦-"i, "૬""↦""-૩, "૮""↦""-૮"">"`
`"૩" = "<-"1"↦"I, I"↦""-"I, "૩""↦""૩", "-"1"↦""-""૩"^2">"`
`i = "<૫""↦""૫"^2">"`
`"૬" = "<૭""↦""૭"^3">"`
`I="<૮""↦"i"૮>"`
`a = (i"↦"Ii, I "↦-"I)`
`b = (i"↦"i , I "↦-"I)`

2.12) Groupe `S_(2×2×2)`

Le groupe `S_(2"×"2"×"2)` est le produit direct du groupe `S_(2"×"2)` et du groupe `C_2` :

`S_(2"×"2"×"2) = `S_(2"×"2)"×"C_2 = {(1,1),(i,1),("-"1,1),("-"i,1),(1,"-"1),(i,"-"1),("-"1,"-"1),("-"i,"-"1)}`

---- 19 octobre 2019 ----

 

Comme il n'y a qu'un seul automorphisme d'ordre 2, il est aussi appelé l'automorphisme de conjugaison et se note `(x|->overline x)` et dans le cas présent nous avons `overline x = x^-1`.

On dit que ces deux éléments `"૩"` et `"૩"^2` sont inverses l'un de l'autre, et on dit aussi que ces deux éléments sont conjugués l'un de l'autre. Nous avons `"૩"^2"="overline"૩""=""૩"^-1`.

Exemple de groupe `C_2` : le groupe engendré par la rotation de `pi` autour d'un axe.

Exemple de groupe `C_3` : le groupe engendré par une rotation de `2pi"/"3` autour d'un axe.

Exemple de groupe de Klein `C_2^2` : le groupe des isométries du plan qui conservent un rectangle non carré, groupe engendré par {`I` : la symétrie selon l'axe `Ox`, `J` : la symétrie selon l'axe `Oy`, `K` la rotation de `pi`}.
Autre exemple de groupe de Klein : le groupe engendré par les rotations suivantes {`I` : rotation de `pi` autour de l'axe `Ox`, `J` : rotation de `pi` autour de l'axe `Oy`, `K"="IJ` : rotation de `pi` autour de l'axe `Oz`}.

Exemple de groupe `C_4` : le groupe engendré par une rotation de `pi"/"2` autour d'un axe.

Exemple de groupe `C_5` : le groupe engendré par une rotation de `2pi"/"5` autour d'un axe.

Exemple de groupe `C_6` : le groupe engendré par une rotation de `pi"/"3` autour d'un axe.

Exemple de groupe `D_3` : le groupe engendré par une rotation de `2pi"/"3` dans le plan, et par une symétrie par rapport à un axe centrale du plan.

Exemple de groupe `C_7` : le groupe engendré par une rotation de `2pi"/"7` autour d'un axe.

Exemple de groupe `C_8` : le groupe engendré par une rotation de `pi"/"4` autour d'un axe.
 

 

voir aussi Quaternion

 

S'il n'y a aucune autre règle d'égalité alors à ce stade nous avons définie un espace vectoriel de dimension `|G|`, chaque unité correspondant à une dimension :

`A=ZZ^|G|`.

Un point `p` de l'espace est défini par ses coordoonnées `(c_i)_(i in G)`  :

`p = sum_(g in G) c_g g`

`AA (x,y,z) "∈" G^3`

`x(yz) = (xy)z`
`"∗"` est associatif
`(A,"∗")` est un semi-groupe
`x1 = x`
`1` est l'élément neutre à droite pour `"∗"`
`1` est l'élément neutre
`1x = x`
`1` est l'élément neutre à gauche pour `"∗"`
`x x^("-"1)=1`
`frI` est l'opposé à droite pour `"∗"`
`frI` est l'opposé pour `"∗"`
`x^("-"1)x=1`
`frI` est l'opposé à gauche pour `"∗"`

`AAxAAyAAz,`

  `x"+"(y"+"z) = (x"+"y)"+"z`  
`"+"` est associatif
`(bbbA,"+")` est un groupe abelien
`x"+"y = y"+"x`
`"+"` est commutatif
`x"+"("-"x) = 0`
`"-"` est l'opposé pour `"+"`
`x"+"0 = x`
`0` est l'élément neutre pour `"+"`
`x(yz) = (xy)z`
`"∗"` est associatif
`(bbbA,"∗")` est un semi-groupe 
`x1 = x`
`1` est l'élément neutre à droite pour `"∗"`
`1` est l'élément neutre pour `"∗"`
`1x = x`
`1` est l'élément neutre à gauche pour `"∗"`
`0x=0`
`0` est l'élément absorbant à droite pour `"∗"`
`0` est absorbant
`x0=0`
`0` est l'élément absorbant à gauche pour `"∗"`
`x(y"+"z) = (xy"+"xz)`
 `"∗"` est distributif à droite par rapport à `"+"` 
`"∗"` est distributif par rapport à `"+"`
`(y"+"z)x = (yx"+"zx)x`
 `"∗"` est distributif à gauche par rapport à `"+"` 

 


Dominique Mabboux-Stromberg

 
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