Les quadrivecteurs

1) Introduction

On se place dans un univers de géométrie euclidienne, autrement dit dans lequel les masses gravifiques sont d'effet négligeable. On définit la théorie de la relativité restreinte à partir du principe de l'invariance de la vitesse de la lumière `c`, et plus exatement de sa norme, lors des changements de référentiel en translation uniforme. Un référentiel correspond à un observateur. Ainsi quelque soit la façon dont un observateur se déplace en translation uniforme, celui-ci percoit la lumière se déplaçant toujours dans le vide à une vitesse de norme `c`.

Cette condition d'invariance de la vitesse de la lumière fait qu'un changement de référentiel en translation uniforme entraine un changement de coordonnées non seulement spaciales `x,y,z` mais aussi nécessairement temporelle `t`. Cela donne un temps spécifique pour chaque référentiel. L'évolution du temps peut ainsi différer d'un référentiel à un autre. Cela explique pourquoi des évènements dans des lieux distincts peuvent se réaliser en même temps pour un observateur, et dans des instants différents pour un autre observateur qui serait en translation uniforme par rapport au premier observateur.

Le changement de coordonnée qui s'opère lors d'un changement de référentiel en translation uniforme, porte sur les quatres coordonnées `x,y,z,t` qui forment le quadrivecteur position. On préfère mettre la coordonnée temporelle en premier car elle est jugée la plus impotante et la plus globale. Puis parfois, on homogénise le quadrivecteur, on fait que chacune de ses composantes est la même unité physique. Cela peut s'obtenir en multipliant la coordonnée de temps par la constante fondamentale `c`. Ainsi dans de nombreux ouvrages, le quadrivecteur position est `[ct,x,y,z]`. Mais il est possile de garder des unités différentes entre la coordonnée de temps et les coordonnées d'espace, en reportant dans les opérations de produit matriciel, de produit scalaire et de déterminant, des signatures d'unités. C'est ce choix que nous faisons, cette seconde notation s'avèrant plus lisible pour les néophites. Ainsi le quadrivecteur position sera simplement `[t,x,y,z]`.

2) Le quadrivecteur position

La théorie de la relativité restreinte s'expriment de manière élégante dans un formalisme quadridimensionnel. On se place dans un espace-temps qui est un espace vectorielle à 4 dimensions, et que l'on muni d'un référentiel `Omega` dit "référentiel du laboratoire". Le référentiel détermine un système de coordonnées de l'espace-temps avec trois coordonnées d'espaces `x,y,z` et une coordonnée de temps `t`. Conventionellement, on désigne un quadrivecteur position par une majuscule `X`

`X= ((t),(x),(y),(z))`

Le quadrivecteur `X` désigne un point de l'espace-temps, c'est à dire une position spatio-temporelle, ou encore un événement ponctuel instantané. L'évènement est caractérisé par ses coordonnées spatiales `x, y, z` exprimées relativement au référentiel `Omega`, et par la date de sa manifestation ou coordonnée temporelle `t` exprimée relativement au référentiel `Omega`.

Le quadrivecteur possède une unité physique composée. Le quadrivecteur position `[t,x,y,z]` admet comme unité `[`temps, distance, distance, distance`]`.

Si le quadrivecteur position `X` désigne la position d'une particule, alors les variables `x,y,z` dépendent de `t` et forme une courbe qui constitue la trajectoire de la particule, ce qui se note par les neurones suivants :

`x"←"(t)`
`y"←"(t)`
`z"←"(t)`

ou simplement par le neurone :

`X"←"(t)`

On gardera les notations habituelles, pour désigner la position spatiale d'une particule et sa vitesse :

`vec x = ((x),(y),(z))`

`vec v = ((dx"/"dt),(dy"/"dt),(dz"/"dt))`

Remarquez que la vitesse de la particule exprimée dans le référentiel du laboratoire est bien définie cinématiquement par l'élément différentiel de déplacement `d vec x` exprimé dans le référentiel du laboratoire, divisé par l'élément différentiel de temps `dt` exprimé dans le référentiel du laboratoire :

`vec v = (d vec x) / dt`

3) Invariance de la vitesse de la lumière

Etant donné un photon, sa position dans l'espace-temps est définie par le quadrivecteur position :

`((t),(x),(y),(z))`

Le carré de la vitesse de la lumière s'exprime alors comme suit :

`c^2 = (dx^2 +dy^2+dz^2)/dt^2`

En conséquence un changement de référenciel qui laisse invariant la vitesse de la lumière `c` produira des coordonnées `x’,y’,z’,t’` vérifiant :

`c^2 = (dx’^2 +dy’^2+dz’^2)/(dt’^2)`

Les transformations de Lorentz laissent invariant la vitesse de la lumière. Mais ce ne sont pas les seules. La solution n'est pas unique. Il existe d'autres groupes de transformation qui laissent invariant la vitesse de la lumière lors de changement de référentiel en translation uniforme. Néanmoins le groupe des transformations de Lorentz est le plus simple d'entre eux.

4) Les transformations de Lorentz en une dimension

Si nous ne concidérons qu'une seule dimension spaciale, les formulations deviennent plus simples. La position d'une particule dans l'espace-temps relativement au référentiel du laboraoire, est alors décrite par un bivecteur :

`X = [(t),(x)]`

Un référentiel correspond à un observateur qui veut prendre des mesures dans son référentiel à lui.

Dans un espace unidimensionel, on a vite fait le tour des changements de référentiel possibles :

Les changements de référentiel fixe sont engendrés par les translations dans l'espace-temps, et par deux autres changements de référentiel fixe que sont l'inversion du sens de l'espace et l'inversion du sens du temps. Peut-être y en a-t-ils d'autres encore, mais pour l'instant nous supposons qu'il n'y en a pas d'autre.

1- Translation fixe

On se place dans le référentiel du laboratoire. Tout référentiel fixe relativement au laboratoire et qui ne change ni le sens de `x` ni le sens de `t`, est défini par une position `X_0=[t_0,x_0]`, définie relativement au référentiel du laboratoire, et garde les mêmes unitées physiques qui servent d'étalon. Le changement de coordonnées qui s'opère alors, lors du changement de référentiel passant du référentiel du laboratoire au référentiel fixe de position `X_0`, est la translation suivante :

`X’ = X-X_0`

`[(t’),(x’)] = [(t),(x)]-[(t_0),(x_0)]`

`X = [t,x]` Position de la particule dans le référentiel du laboratoire
`X’ = [t’,x’]`
Position de la particule dans le référentiel fixe
`X_0=[t_0,x_0]` Position du référentiel fixe.

2- Inversion du sens de l'espace

L'inversion du sens de l'espace est simple à comprendre. C'est comme un observateur qui se retourne, qui tourne sur lui-même de 180°, et inverse ainsi le sens du chemin. On choisit comme transformation, un générateur simple faisant coïncider les origines des deux référentiels. Le changement de coordonnées qui s'opère alors est l'application symétrique suivante :

`[(t’),(x’)] = [(t),(-x)]`

3- Inversion du sens du temps

Par contre pour l'inversion du temps, le concept est un peu plus compliqué. Il faut considérer que les lois posées jusqu'à présent sont parfaitement symétriques à l'égard du temps, et donc que si on inverse le sens du temps, on obtient un déroulé qui obéït encore aux mêmes lois. L'expérience statistique semble contredire cela, car on ne constate pas de suite causale se déployant dans le sens inverse du temps. Mais cela ne prouve pas qu'il ne puisse pas y en avoir. Considérons une goutte d'encre tombant dans un verre d'eau. Si on inverse par un tour de magie, la vitesse de toutes les molécules, l'évolution se déroulera comme si on avait inversé le sens du temps.... Une conscience se définit par une mémoire s'actualisant constamment et sur laquelle s'opère un processus d'analyse et de reflexion, et cela se déroule dans le sens du temps. La mémorisation et les processus d'analyse et de reflexion en question obéïssent aux lois, et donc rien n'interdit de concevoir une conscience qui se déroulerait dans le sens inverse du temps. Notre référentiel, avec un sens du temps inversé, correspond à un observateur dont la conscience se déploierait dans ce sens du temps inversé, où sa mémoire ne retiendrait que les constats futures, et non les constats passés et ses processus d'analyse et de réflexion se déroulerait à l'envers. Puis on choisit comme transformation, un générateur simple faisant coïncider les origines des deux référentiels. Le changement de coordonnées qui s'opère alors est l'application symétrique suivante :

`[(t’),(x’)] = [(-t),(x)]`

4- Translation uniforme

Puis les changements de référentiels en translation uniforme s'obtiennent simplement en ajoutant un paramètre supplémentaire qu'est cette vitesse uniforme de translation, toujours définie par rapport au référentiel du laboratoire. On ajoute donc comme générateur de transformation de référentiel, le changement de référentiel correspondant à une translation uniforme de vitesse `v`, et on choisit un générateur simple, faisant coïncider les origines des deux référentiels. Ainsi, on considère un référentiel en translation uniforme de vitesse `v= dx"/"dt` relativement au laboratoire et dont l'origine coïncide avec celle du référentiel du laboratoire.

Dans le système galiléen, le changement de coordonnées qui s'opère lors du changement de référentiel passant du référentiel du laboratoire au référentiel en translation uniforme, est l'application affine suivante :

`t’ = t`
`x’ = x-vt`

`X"=" [t,x]` Position de la particule dans le référentiel du laboratoire.
`X’"=" [t’,x’]` Position de la particule dans le référentiel en tranlation uniforme.

Mais cette transformation ne vérifie pas la conservation de la vitesse de la lumière. Les vitesses s'ajoutent lors de tranformation successives et donc peuvent dépasser la vitesse `c`.

Dans le système de Lorentz, le changement de coordonnées qui s'opère lors du changement de référentiel passant du référentiel du laboratoire au référentiel en translation uniforme, est l'application suivante :

`t’ = (t-v/(c^2)x)/sqrt(1-(v^2)/(c^2)`

`x’ = (x-vt)/sqrt(1-(v^2)/(c^2)`

En posant :

`beta=v/c`
`gamma = 1/sqrt(1 - beta^2)`

Nous avons :

`[(t’),(x’)] = ((gamma, (-beta gamma) /c),(-beta gamma c, gamma)) [(t),(x)]`

Puis on redéfinit le produit matriciel, en un produit matriciel dit signé, qui combine ici des unités distinctes. Lorsque le résultat est un temps, les composantes temps de la combinaison linéaire sont laissées telle quelle tandis que les composantes de distance sont divisées par `c`. Lorsque le résultat est une distance, les composantes temps de la combinaison linéaire sont multipliées par `c` tandis que les composantes de distance sont laissées telles quelles :

`((a,b),(A,B)) [(t),(x)] = [(at+b/c x ),(Act+Bx)]`

La transformation de Lorentz s'écrit alors avec ce produit matriciel signé, comme suit :

`[(t’),(x’)] = ((gamma,-beta gamma),(-beta gamma, gamma)) [(t),(x)]`

Cela revient exactement au même que si nous considérions comme composante temporelle la valeur `ct` au lieu de `t`, et que pour uniquement l'affichage du quadrivecteur nous divisions par `c` cette composante.

Si nous regardons de plus près comment se comporte le référentiel en translation uniforme, on voit sa position et son temps évolués en fonction du temps du laboratoire. On nomme cette position spacio-temporelle `theta = [tau, y]` qui dépend du temps du référentiel du laboratoire `theta "←" (t)`, et comme nous avons pris une transformation simple faisant coïncider les origines des deux référentiels, nous avons `theta(0)=[0,0]`. Et `tau` est le temps propre du référenciel en mouvement, qui évolue plus lentement que le temps `t` du référentiel du laboratoire.

5) Sur la simplicité comme règle de construction de l'univers

Si on admet, commme dans le système de Galilée, que les vitesses s'ajoutent et peuvent être aussi grande que l'on veut, on autorise alors l'interaction quasi-instantanée. Autrement dit, on autorise une propagation d'un champ de force quasi-instantané. Aucune localisation n'est alors possible, puisque tout peut intéragire avec tout, dans l'instant !...

Si nous voulions définir les lois d'un monde (ici unidimensionnel) qui ne soit pas chaotique, ou tout au moins, qui puisse isoler des parties qui ne s'entendent pas, on comprend alors l'ineptie que constituerait la possibilité d'une action instantanée, d'un champ se propageant instantanément. Et comment faire pour limiter le plus simplement possible cette vitesse de transmission ? ce qui revient à limiter les sommations de vitesses ? Précisement en posant une vitesse maximale devant être égale dans tous les référentiels en translations uniforme. Ainsi, la relativité restreinte semble finalement la solution la plus simple.

6) Le cercle de Möbius

Pour les mêmes raisons métaphysiques, il est plus simple de concevoir des univers finis que des univers infinis. Car l'inifni est une hypothèse impondérable. C'est pourquoi on refermera notre univers d'espace unidimensionnel en un cercle, en rejoignant les deux bouts. Et on pourra faire de même pour le temps. Et il semble qu'il y ait plusieur façons possibles de refermer cet espace-temps. Chaque raccord doit désigner localement la même coordonnée spatiale puisqu'ils se rejoignent, et aussi la même coordonnée temporelle pour qu'il n'y ait pas de discontinuité temporelle. En effet, considérons une particule circulant à la vitesse `v` dans notre univers d'espace unidimensionnel. La cinématique définie la vitesse par `v=dx"/"dt`, si nous souhaitons que le principe d'inertie reste valable et qu'une particule en mouvement garde sa vitesse inchangé, `dx` étant inchangé, `dt` doit être inchangé. Et donc le temps doit évolué continument dans l'espace-temps. Chaque raccord de bord à bord doit désigner les mêmes coordonnées spacio-temporelles localement.

Néanmoins les lois posées étant symétrique à l'égard du temps et de l'espace, si on inverse l'étalon de temps dans les passages de frontière et si on inverse également l'étalon de distance, cela laissera inchangé la vitesse. Car `v=dx"/"dt` reste inchangé si à la fois `x` et `t` change de signe. Cette construction s'inspire du ruban de Möbius. Mais comme il n'y a qu'une seule dimension d'espace, nous appellerons cette construction un cercle de Möbius.

Cela se fait en considérant une coordonnée spaciale modulo `L`, où `L` désigne la taille de l'univers unidimensionnel. Et deux cas particulièrement simples sont à considérer ; le cercle simple, et le cercle de Möbius. Dans les deux cas, la position spatio-temporelle `[0,t]` est rendue identique en la collant à la position `[L,t]`, et ceci quelque soit `t`.

`AAt, [0,t]=[L,t]`

Mais dans le cas du cercle de Möbius, le passsage à travers la frontière spaciale `0` ou `L` entraine la modification des étalons de temps et de distance du référenciel, ils changent de signe.

Dans le cas du cercle simple, un observateur devra faire une fois le tour de l'univers c'est à dire parcourir une longueur `L` pour revenir à la même situation géométrique.

Dans la cas du cercle de Möbius, un observateur devra faire deux fois le tour c'est à dire parcourir une longueur `2L` pour revenir à la même situation géométrique. S'il ne parcoure qu'un seul tour, il se retrouvera au même point spacial mais dans une situation où le sens du temps est inversé et où le sens de l'espace est inversé.

Puis cela peut se faire aussi en considérant une coordonnée temporelle modulo `T`, où `T` désigne le temps de l'univers d'espace unidimensionnel. Et deux cas particulièrement simples sont à considérer ; le cercle temporelle simple, et le cercle temporelle de Möbius. Dans les deux cas, la position spatio-temporelle `[x,0]` est rendu identique en la collant à `[x,T]`, et ceci quelque soit `x`.

`AAx, [x,0]=[x,T]`

Mais dans le cas du cercle temporelle de Möbius, le passsage à travers le temps `0` ou `T` entraine la modification des étalons de temps et de distance du référentiel, ils changent de signe.

Et les deux règles sont cumulables et forment ainsi 4 univers unidimensionnelle possibles parmi les plus simples.

Vous aurez remarqué que la géométrie n'est plus euclidienne. Elle l'est localement, mais à l'échelle de l'univers elle ne l'est pas, transformant ainsi une droite en un cercle.

7) Les transformations de Lorentz en une dimension (suite)

Les transformations génératrices sont :

`X |-> X-P`
`X |-> [(1,0),(0,-1)]X`
`X |-> [(-1,0),(0,1)]X`
`X |-> [(gamma, -betagamma),(-betagamma,gamma)]X`

La forme générale d'une transformation de référentiel en translation uniforme de vitesse `v` est :

`X |-> [(sigma_0gamma, -sigma_0betagamma),(-sigma_1betagamma, sigma_1gamma)](X - P)`

`P` et la position du référentiel à l'instant `0` du référentiel du laboratoire.
`sigma_0 = 1`
ou `"-"1` selon qu'il y a inversion du sens du temps ou pas.
`sigma_1 = 1` ou `"-"1` selon qu'il y a inversion du sens de l'espace ou pas.
`beta=v"/"c`
`gamma = 1"/"sqrt(1 - beta^2)`

La transformation est donc caractérisée par deux signes `sigma_0`, `sigma_1` et par 3 coordonnées `P=[t_0`,`x_0]` et `v` exprimées dans le référentiel initial.

 

---- 28 septembre 2019 ----

 

 

 

8) Codification des référentiels et des changements de référentiel

Un référentiel est un trièdre orthonormé droit qui sert d'étalon de distance pour les trois axe d'espace et d'un étalon de temps. c'est un système de coordonnées de l'espace de dimension 3 dont l'origine est

On se place dans un espace-temps qui est un espace vectorielle à 4 dimensions. Chaque point de cet espace correspond à une position spatio-temporelle. Mais de la même façon que dans un espace vectoriel, il y a une différence entre un point de cet espace et les coordonnées du point qui forme un vecteur et qui est défini relativement à un repère affine donné, il y a une différence entre une position spatio-temporelle et le quadrivecteur qui en représente ses coordonnées dans un référentiel donné.

En physique, on définit une position toujours relativement à un référentiel. Aussi, le quadrivecteur `X` ne définit pas à lui seul une position absolue, il lui faut un référentiel en plus pour pouvoir définir une position spatio-temporelle absolue. Mais en physique, la position absolue n'est jamais vraiment évoquée..., de même on ne parle jamais de référentiel absolu autre que son propre référentiel. Un référentiel est toujours défini relativement à un autre... La meilleur notation n'est pas si simple à établir.

Conventionellement, on désigne un quadrivecteur position par une majuscule `X`

`X= ((t),(x),(y),(z))`

Et on, désigne un point de l'espace-temps par `e`. Le point `e` est un évènement ponctuel instantané absolu. Et on pose qu'il est identifié par les coordonnés `X` dans le réréfentiel `Theta`. La position absolue désignée par `X` relativement à `Theta` est notée `X_Theta`. L'indissage ici s'apparente à une sorte de produit, tel le produits des coordonnées par des vecteurs unitaires. On est entrain ainsi de définir algèbriquement ce que l'on entend par l'espace-temps.

`e=X_Theta`

L'opération inverse qui constiste à partir d'un point absolu `e` et d'un référentiel `Omega`, de retrouver ses coordonnées `X`, se note :

`X=e_(Theta^-1)`

L'indissage désigne ici la composition d'application à la française telle que par exemple `x_(fgh) = h(g(f(x)))`.

Et dans les faits, il n'y a pas de différence de nature entre `e` et `X` si ce n'est un aspect de dualité. Un des moyens de contourner la difficulter est de prendre le référentiel du laboratoire `Omega` comme référentiel par défaut, et de ramener toutes les transformations à celui-ci. Ce faisant le quadrivecteur `X` désigne bien un point absolu, et les équations précédente se complètent par `Omega = (X"↦"X)` qui désigne le changement de repère de `Omega` à `Omega` et donc qui constitue l'application identité. Nous avons `e_Omega=e` , `X_Omega=X`

 

 

 

 

3) Distance d'univers

Etant donné deux évènements caractérisés par les quadrivecteurs `[t,x,y,z]` et `[t"+"dt,x"+"dx,y"+"dy,z"+"dz]`. On définit la distance d'univers `ds` entre ces deux évènements comme suit :

`ds^2 = c^2dt^2 - dx^2-dy^2-dz^2`

Si `ds^2` est positif c'est à dire si la distance d'univers est un réel, un des deux évènements participe aux causes du second évènement, les deux évènements sont dit appartenir à un même univers, un cône d'influence qui s'étend à la vitesse de la lumière. Parcontre si ` ds^2 ` est négatif c'est à dire si la distance d'univers est un imaginaire, les évènement ne peuvent pas avoir d'influence entre eux, aucun champ ne pouvant se déplacer plus vite que la vitesse de la lumière, les deux évènements sont dit appartenir à des univers distincts, néanmoins ces univers, qui sont des cônes d'influence s'étendant à la vitesse de la lumière, rentrerons en contacte l'un de l'autre dans leur future.

4) Métrique de Minkovski

La distance d'univers est une distance de Minkovski, une distance qui peut être un imaginaire. C'est une distance définie par une forme bilinéaire symétrique `⦁` appelé produit scalaire de Minkovski, et dont la matrice est :

`M = [(c^2,0,0,0),(0,-1,0,0),(0,0,-1,0),(0,0,0,-1)]`

`X=[(X_0),(X_1),(X_2),(X_3)],           Y=[(Y_0),(Y_1),(Y_2),(Y_3)]`

`X"⦁"Y = X^t M Y `

`X"⦁"Y = X^t [(c^2,0,0,0),(0,-1,0,0),(0,0,-1,0),(0,0,0,-1)] Y `

`X"⦁"Y = c^2X_0Y_0-X_1Y_1-X_2Y_2-X_3Y_3`

La distance de Minkovski entre deux évènements `X` et `Y` est égale à `D(X,Y) = sqrt((X"-"Y)"⦁"(X"-"Y))`. Prenons un exemple avec des notations plus habituelles `X=[t,x,y,z]` et `Y=[t’,x’,y’,z’]`. La distance d'univers est égale à :

`D(X,Y) = sqrt( (t,x,y,z) ((c^2,0,0,0),(0,-1,0,0),(0,0,-1,0),(0,0,0,-1)) ((t’),(x’),(y’),(z’)) )`

`D(X,Y) = sqrt(c^2(t’"-"t)^2-(x’"-"x)^2-(y’"-"y)^2-(z’"-"z)^2)`

Les transformations de Lorentz laissent invariant la vitesse de la lumière, donc laissent invariant les distances d'univers, donc laisse invariant la métrique de Minkovski, et donc d'une manière plus générale, laisse invariant le produit scalaire de Minkoski.

 

 

6)  Le quadrivecteur vitesse

Une particule ponctuelle en mouvement sera représentée dans cette espace-temps par une courbe indiquant sa position spaciale `x, y, z` en fonction du temps `t` et qui en constitut ainsi sa trajectoire. Cette particule ponctuelle possède une variable d'état supplémentaire qui est son temps propre `tau`, un temps qui serait le temps donné par une horloge placée au coeur de la particule.

Etant donné une particule caractérisée par le quadrivecteur `X = [t, x, y, z]` et se déplaçant à une vitesse constante `vecv`. En mécanique non relativiste nous aurions :

`vec dx= vec v dt`

`vec x + d vec x = vec x + vec v dt`

`((x+dx),(y+dy),(z+dz)) = ((x),(y),(z)) + vec v dt`

En relativité restreinte, le temps propre `tau` de la particule se distingue du temps `t` du référentiel. Et lorsque la vitesse `vec v` atteint celle de la lumière, le temps propre de la particule n'évolue plus et est comme fixe par rapport au temps du référentiel. Nous avons :

`gamma d tau = dt`

`gamma = 1/sqrt(1 - v^2/(c^2))`

Puis nous allons définir le quadrivecteur vitesse `V` tel que devant satisfaire l'égalité suivante :

`dX = Vd tau`

Et donc nous avons :

`V = ((gamma),(gamma dx"/"dt),(gamma dy"/"dt),(gamma dz"/"dt))`

`dt = gamma d tau`

`d vec x = vec v dt = vec v gamma d tau`

 

Si nous reconcidérons les trois dimensions spaciales en adoptant une notation vectorielle pour les coordonées spaciales, le quadrivecteur est alors noté :

`[(t),(vecx)]`

Nous munissons le quadrivecteur du produit scalaire de Minkovski comme suit :

`[(t),(vec x)]"⦁"[(t’),(vec x’)] = c^2 t t’-vecx"·"vecx’`

`"·"` dédigne le produit scalaire normal

 

 

 

---- 14 septembre 2019 ----