Electromagnétisme

 

1) Introduction

 

2) La nature des unitées

On note entre paranthèse et par des majuscules la nature des unités. Nous concidérons pour l'instant 4 natures distinctes qui sont :

L
 Une longueur
T
 Un intervale de temps
M
 Une masse
C
 Une charge électrique

2.1) Première loi de la dynamique :

La force de Newton revue par Einstein : La force totale f s'exerçant sur une patricule ponctuelle est égale à la dérivé de sa quantité de mouvement p :

f = dp/dt

On en déduit la nature de la force : (f) = M*L*T-2.

2.2) La loi de Coulomb :

Elle détermine la force s'exerçant sur une particule fixe de charge q en présence d'une autre particule fixe de charge q' et espacée d'une distance r.

f = 1/(4*π) *q*q' / r2

Dans la littérature on rencontre f = 1/(4*π*ε0) *q*q' / r2 comme définition de la force, mais on choisi d'intéger 1/sqrt(ε0) dans la définition de la charge électrique afin de se débarasser une fois pour toute de ε0. La nature de la force est égale à (f) = M*L*T-2 = C2*L-2 donc la nature de la charge électrique est égale à (q) = C = M1/2*L3/2*T-1.

Le champ électrique créé par une charge q' à une distance r, est définie par E = 1/(4*π) * q' / r2 de tel sorte que la force créée par ce champ sur une particule q soit égale à f = q*E. Le champ électrique E est une variable intérmediaire qui regroupe toutes les causes de la force électrique autre que la charge éléctrique de la particule soumise à cette force.

E = 1/(4*π) * q' / r2
f = q*E

Dans la litérature on rencontre E = 1/(4*π*ε0) * q' / r2 comme définition du champ électrique, mais on choisi d'intégrer 1/sqrt(ε0) dans la définition du champs électrique et dans la définition de la charge électrique. La nature du champ est égale à (E) = M1/2*L-1/2*T-1.

2.3) La force de Lorentz :

f = q*(E + (v/c) ^ B)

Dans la littérature on rencontre f = q*(E + v ^ B) comme définition de la force de Lorentz, mais on choisi d'intégrer c dans la définition du champ magnétique afin que E et B soient de même nature, et on choisie d'intègrer 1/sqrt(ε0) dans les définitions du champs magnétique et du champs électrique et dans la définition de la charge électrique. La nature des champs est égale à (E) = (B) = M1/2*L-1/2*T-1.

2.4) Le théorème de Gauss :

Ce théorème définie la notion de flux de champ, un flux qui se conserve dans des canots délimités par les lignes de champs. Le champ se comporte comme un flux se déplaçant à la vitesse de la lumière, vitesse qui caractérise l'action à distance non instantanée. La nature du flux transporté est égale à (E/c) = M1/2*L-3/2 et est appelé prés-champ. Le flux sortant de la surface d'un volume lors d'un intervale de temps dt est égale à la charge contenue dans le volume multiplier par dt. Pour le cas d'une shpère centré sur une charge q, le flux sortant est égale à 4*π*r2*E*dt = q*dt. On a laisser le coefficient 4*πdans la définition de la force élecrique pour ne pas le voir apparaitre ici dans div(E).

La densité de charge électrique est définie comme suit : La charge contenue dans un petit cube dx*dy*dz de densité ρ est égale à : q = ρ*dx*dy*dz. La densité de charge par unité de volume a comme nature (ρ) = M1/2*L-3/2*T-1.

Le théorème de gauss se traduit en équation locale grace aux intégrales de Green par :

div(E) = ρ

Les charges constituent des sources de prés-champs qui sont émis à la vitesse c et suivent les lignes de champs. La nature d'une charge électrique est égale à (q) = C = M1/2*L3/2*T-1

Il n'existe pas de monopole magnétique donc :

div(B) = 0;

2.5) Le potentiel vecteur :

L'analyse vectorielle montre que la divergence d'un rotationnel est toujours identiquement nulle div(rot(g)) = 0 et que réciproquement toute fonction dont la divergence est nulle peut être exprimée par un rotationnel. En conséquence puisque div(B) = 0 il existe au moins une fonction A appellée potentiel vecteur tel que B = rot(A).

L'analyse vectorielle nous dit également que le rotationnel d'un gradient est toujours identiquement nulle rot(grad(g)) = 0 et que réciproquement toute fonction dont le rotationnel est nulle peut être exprimée par un gradient. En l'état, les potentiels vecteurs sont déterminés à l'ajout près d'un gradient d'une fonction g quelconque, A --> A + grad(g).

2.6) La densité de charge et de courant :

j = ρ*v/c
div(j) = dρ/dt

Dans la litérature on rencontre j = ρ*v comme définition du courant de charge. On a choisi de le diviser par c, afin que j et ρ soient de même nature (j) = (ρ) = (M1/2*L-3/2*T-1).

2.7) Equation de Maxwell-Faraday :

rot(E) = - dB / (c*dt)

2.8) Equation de Maxwell-Ampère :

rot(B) = j + dE / (c*dt)

2.9) Potentiel :

E = - grad(φ) - dA/(c*dt)
B = rot(A)

avec pour quelque soit g les transformations de jauge posssibles suivantes :

A --> A+ grad(g)
φ --> φ + dg/dt

La nature du potentiel est (φ) = (A) = M1/2*L1/2*T-1. Le potentiel est solution des équations différentielles suivantes :

d2φ/dx2 + d2φ/dy2 + d2φ/dz2 - d2φ/c2dt2 = - ρ
d2A/dx2 + d2A/dy2 + d2A/dz2 - d2A/c2dt2 = - j

2.10) L'energie du champ :

U = ∫(E2 + B2)/2

Dans la litérature on rencontre U = ε0*∫(E2 + c2*B2)/2 comme expression de l'énergie du champ, mais on a choisi d'intégrer c dans le champs magnétique et 1/sqrt(ε0) dans le champ électrique et dans le champ magnétique.

 

3) Lorsqu'il y a des monopoles magnétiques :

La densité de charge magnétique est définie de même : La charge contenue dans un petit cube dx*dy*dz de densité μ est égale à : k = μ*dx*dy*dz. La densité de charge par unité de volume a comme nature (ρ) = (μ) = (M1/2*L-3/2*T-1).

Le théorème de gauss se traduit en équation locale grace aux intégrales de Green par :

div(E) = ρ
div(B) = μ

La force de Lorentz appliquée à une charge magnétique m et electrique q est :

f = q*(E + (v/c) ^ B) + k*(B - (v/c) ^ E)

La densité de charge et de courant :

j = ρ*v/c
div(j) = dρ/dt

k = μ*v/c
div(k) = dμ/dt

La nature des charge et des courants est égale à (j) = (ρ) = (k) = (μ) = (M1/2*L-3/2*T-1).

Equation de Maxwell :

- rot(E) - dB / (c*dt) = k
  rot(B) - dE / (c*dt) = j

 

4) Formalisme quadridimentionnelle.

On défini la distance d'univers ds comme suit : ds2 = c2*dt2 - dx2 - dy2 - dz2. Les transformations de Lorentz laissent invariantes les distances d'univers. La solution n'est pas unique, il y a d'autre groupe de transformation qui laisse invariant les distances d'univers, néamoins la solution des transormations de Lorentz est la plus simple d'entres elles.

4.1) Le quadrivecteur

La théorie de Maxwell et la relativité restreinte de Einstein s'expriment de manière élégante dans un formalisme quadridimensionnel, un espace vectorielle à 4 dimensions appellé espace-temps. Un vecteur de cette espace-temps se présente ainsi [x, y, z, c*t] ou sous une forme transposée :

[ x  ]
[ y  ]
[ z  ]
[ c*t]

Les trois premières coordonnées x, y, z déterminent la position dans l'espace, et la dernière coordonnée détermine l'instant t dans le temps. Elle est multiplié par la constante universelle c, la vitesse de la lumière, ce qui permet d'avoir 4 coordonnées homogènes, d'une même unité de distance. Un point dans cette espace-temps correspond à un événement ponctuel à un moment précis. Il est caractérisé par ses coordonnées spatiales x, y, z, et par la date de sa manifestation ou coordonnée temporelle t multipliée par la constante universelle c. Une particule ponctuelle en mouvement sera représentée dans cette espace-temps par une courbe indiquant sa position spaciale x, y, z en fonction du temps t. Cette particule ponctuelle possède une variable d'état supplémentaire qui est son temps propre τ, un temps qui serait le temps donné par une horloge placée au coeur de la particule.

On adopte une notation condencée du quadrivecteur comme un vecteur de deux composantes, une composante spatiale A qui constitue un vecteur d'espace, et un composante temporelle A0 qui constitue un scallaire. Un vecteur de l'espace-temps se présente ainsi [A, A0] ou sous une forme transposée :

[ A ]
[A0]

4.2) le principe d'inertie

Le principe d'inertie, selon Newton, affirme qu'une particule soumis à aucune force est en mouvement rectiligne uniforme. Appliqué à un systèmes, cela correspond au principe de la conservation de la quantité de mouvement.

Ce principe désigne une classe de mouvements privilègiés que sont les mouvements rectilignes uniformes et qui sont définis intrinsèquement dans l'espace-temps sous la forme de référentiels en mouvement rectiligne uniforme. Déslors un référentiel est par définition implicitement en mouvement rectiligne uniforme.

Un référentiel S1 en translation uniforme dans un référentiel S0 possède une origine spatiotemporelle [x0, y0, z0, c*t0] dans le rérférenciel S0. Soit L la transformation de Lorentz permettant de passer des coordonnées du système S0 au système S1. Un évènement ponctuelle de coordonné [x,y,z,c*t] dans S0 correspond à un évènement ponctuelle de coordonné L([x,y,z,c*t]) dans S1. Nous avons L([0,0,0,0]) = [x0, y0, z0, c*t0].

Dans le cas simple ou S1 est en translation uniforme de vitesse v selon l'axe des x.

L(x,y,z,ct) = (γ*(x - β*c*t),y,z,γ*(c*t - β*x))

[  γ    0    0 -γ*β]   [  x  ]        [γ*(x - β*c*t)]
[  0    1    0    0  ]   [  y  ]   =   [         y         ]
[  0    0    1    0  ]   [  z  ]         [         z         ]
[-γ*β 0    0    γ  ]   [ c*t ]        [γ*(c*t - β*x)]

avec β = v/c et γ = 1/sqrt(1-β2)

L(X, c*t) = (X - γ*c*t*β + (γ-1)*(X·β)*β, γ*(c*t - (X·β))

Un référentiel S1 est entièrement caractérisés par son origine dans S0 et par la vitesse de translation dans S0. Ces deux caractèristiques se mettent sous forme de deux quadrivecteurs, un quadrivecteur position [X0,c*t0] et un quadrivecteur vitesse [&gamma*β,&gamma]

 

Les coordonnées du quadrivecteur position ont toutes la même unité, celle de distance. Les coordonnées du quadrivecteur vitesse sont sans unité. Le référenciel en translation est décrit par la trajectoire de son origine spaciale (correspondant la position propre nulle) exprimé en fonction de son temps propre,:

=  +  * 

Lorsqueest égale à zéro nous sommes sur le point d'origine du référentiel en question.désigne le temps propre au référenciel en translation. On remarquera que lorsque la vitesse de translation s'approche de la vitesse de la lumière, le temps propreest ralenti par rapport au temps du laboratoire t.

Si nous ne concidérons qu'une dimenssion spaciale, les formulations deviennent simples. Une position dans l'espace temps est alors décrite par un bis-vecteur :

Si nous reconcidérons les trois dimenssions spaciales en adoptant une notation vectorielle pour les coordonées spaciales, le quadrivecteur est alors noté :

   où X désigne le vecteur position

Nous munissons le quadrivecteur d'un produit scalaire signé comme suit :

* =

Transformation galiléenne

 

 

La transformation de Lorentz

Reprenons les trois types de changement de référenciel :

La translation : qui est identique à celle de gallilé :

T(S,S0) : (X,X0) ---> (X,X0) - (S,S0)

Le glissement : On change de référenciel pour aller sur un référentiel placé à l'instant zéro au point zero, se déplaçant à une vitesse constante v, sans avoir modifié les axes. La transformation spéciale de Lorentz va agire indirectement sur les axes à cause de la contraction des longueurs dans le sense du glissement. C'est pourquoi il n'est pas prudent de dire que les axes ne sont pas changés. Disons qu'il ne sont pas changé par une action autre que le glissement. On note G(v) la fonction de transformation des coordonnées. Un événement de coordonnée (X,X0) aura dans le référenciel glissant à vitesse v les coordonnées G(Béta) (X,t)

G(Béta) : (X,X0) ---> (Xperpendiculaire + gamma*Xparallèle - gamma*X0*Béta, gamma*X0-gamma*X*Béta)

La rotation : qui est identique à celle de gallilé :

R(M) : (X,X0) ---> (M^-1*X,X0)

 

Dans le cas général, on décompose facilement le changement de référentiel en deux étapes, une première étape consiste à translater le référenciel au point origine (S,s). La seconde étape consiste a glisser le référenciel selon la vitesse v. Un événement de coordonnée (X,t) aura dans le référenciel finale, les coordonnées G(Béta)°T(S,s) (X,t)

G(Béta)°T(S,s) : (X,t) ---> ((X-S)perpendiculaire + gamma*(X-S)parallèle - gamma*(X0-S0)*Béta, gamma*(X0-S0)-gamma*(X-S)*Béta)

Si nous souhaitons opérer une rotation des axes, il faut opérer avant le glissement. On décompose le changement de référentiel en trois étapes, une première étape consiste à translater le référenciel au point origine (S,s). La seconde étape consiste effectuer une rotation du référenciel à l'aide de la matrice M. Et la troisième étape consiste à glisser le référenciel selon la vitesse M^-1*v. Un événement de coordonnée (X,t) aura dans le référenciel finale, les coordonnées G(Béta)°T(S,s) (X,t)

 

 

 

[X',c*t'] = [X, c*t] - gamma* [ß*c*t, ß.X] + (gamma-1)*[(ß.X)*ß/(ß.ß), c*t]
gamma = 1/sqrt(1-ß.ß)

On remarquera que quelque soit deux quadrivecteurs [A,A0], [B,B0], le produit scalaire suivant :

[A,A0].[B,B0] = A0*B0 - A.B = A0*B0 - Ax*Bx - Ay*By - Az*Bz

est invariant par transformation de Lorentz. Cela signifie que ce produit scalaire de deux quadrivecteurs quelconques donne une données identique idenpendante du référentiel en translation uniforme choisie.

 

Le choix d'un système d'unités

Le choix des unitées de base dépendent des lois physiques de bases que l'on choisie. Nous construisons notre système d'unité en même temps que nous posons les lois de base de la physique. Cela permet de prouver l'indépendance des unitées de base. On adopte la notation différentiel propre à la termodynamique, dx signifiant une variation de x d'un ordre inferieur au valeur de x, c'est à dire une quantité de même unité que x mais négligable par rapport à x et aux variables non différentielles.

1) On pose l'unité de distance, le mètre, noté m

2) On pose l'unité de masse, le kilo gramme, noté Kg

3) On pose l'unité de temps, la seconde, noté s

4) La vitesse

où dx représente la distance parcouru pendant l'intervale dt, et où dX représente la distance parcouru sous forme d'un vecteur pendant l'intervale dt.
L'unité de vitesse est donc m.s^-1

5) L'accélération

où dv représente la variation de vitesse pendant l'intervale dt, et où dV représente la variation de vitesse sous forme d'un vecteur pendant l'intervale dt.
L'unité d'accélération est donc m.s^-1

6) La quantité de mouvement

où m représente la masse et v la vitesse, et où V représente le vecteur vitesse.

L'unité de quantité de mouvement est donc Kg*m*s^-1

 

 

 

 

 

 

 

 

1) Les équations de Maxwel

Les equations de Maxwel sont les équations locales de la propagation des ondes electromagnétiques.

 

Une approche plus simple consiste à étudier la propagation des ondes de nature quelconque et a n'en retenir que ce qui est purement linéaire. Nous allons d'abord considérer les cas simple de champ scalaire, à une dimenssion (correspondant à la propagation des ondes sur une corde tendue ou aux ondes de courants dans un conducteur filiforme par exemple...), puis à deux dimenssions (correspondant à la propagation des vagues à la surface d'une piscine par exemple...), puis à trois dimenssion.

7.1) Les ondes à une dimenssion

S'il y a onde, il y a bien amplitude et donc une variable d'état qui indique à une position donnée et à un instant donné une grandeur scalaire signée appelé valeur du champ ou amplitude instantané que l'on note Y(x,t). Si l'on reste dans la généralité ce champ scalaire peut avoir une unité physique quelconque. Les équations locales sont très simples à retrouver car il n'y a pas beaucoup de choix possibles d'équations différentielles capablent de ressembler à une propagation d'onde linéaire pure. On en a vite fait le tours. L'équation de propagation du champ Y, est l'équation aux dérivés partielles suivantes :

d²Y/dx² = (1/c²)*d²Y/dt²

c est la vitesse de propagation de l'onde. Le système est déterminé par l'équation locale à la quelle ont ajoute les conditions aux limites constituées des valeurs du champ Y à l'instant 0 en toute position x, et des valeurs du champ Y' à l'instant 0 en toute position x. (où Y' = dY/dt). On remarque que la connaissance du champ Y à un instant ne suffit pas, qu'il faut adjoindre la connaissance d'un autre champ Y' au même instant pour déterminer l'évolution du système, toutes ces données initiales étant libres. Cette équation est résolvable mais nous nous intéressons à la constructuion d'approximation, aussi nous laisserons de coté la solution exacte.

7.1.1) Résolution par éléments finis.

Voici une première approximation naturelle basée sur un maillage du temps en une succétion de portions égales dt, et sur un maillage de l'espace en une succétion de portions égales dx. L'équation locale induit en première aproximation l'équation aux mailles suivantes :

d²Y/dx² = (1/c²)*d²Y/dt²
(Y(x + dx, t) + Y(x - dx, t) - 2*Y(x, t))/dx² = (1/c²)*(Y(x, t + dt) + Y(x, t - dt) - 2*Y(x,t))/dt²
Y(x, t + dt) = (Y(x + dx, t) + Y(x - dx, t) - 2*Y(x,t))*c²*dt²/dx² - Y(x, t - dt) + 2*Y(x,t)

Pour simplifier, on définie la constante k, le champ Y', et finalement le champ Z tel que :

k = c²*dt²/dx²
Y'(x,t) = (Y(x,t) - Y(x,t-dt))/dt

Z(x,t) = Y'(x,t)*dt = Y(x,t) - Y(x,t-dt)

L'équation devient alors :

Y(x, t + dt) = Y(x + dx, t)*k + Y(x - dx, t)*k - 2*Y(x,t)*k + Z(x,t) + Y(x,t)
Z(x, t + dt) = Y(x, t + dt) - Y(x,t)

Pour simplifier l'écriture on note dt = t2 - t1, Y(x,t1) = Y1(x), Y(x,t2) = Y2(x), Z(x,t1) = Z1(x), Z(x,t2) = Z2(x). Et l'on obtient une équation aux mailles de la propagation d'onde :

Y2(x) = Y1(x + dx)*k + Y1(x - dx)*k - 2*k*Y1(x) + Z1(x) + Y1(x)
Z2(x) = Y1(x + dx)*k + Y1(x - dx)*k - 2*k*Y1(x) + Z1(x)                           Z2(x) = Y2(x) - Y1(x)

7.1.1) Singularité

lorsque c²*dt²/dx² = 1/2, l'équation devient :

Y2(x) = (Y1(x + dx) + Y1(x - dx))/2 + Z1(x)
Z2(x) = (Y1(x + dx) + Y1(x - dx))/2 + Z1(x) - Y1(x)                      

 

7.2) Les ondes à deux dimenssions

L'équation local d'un champ scalaire en dimenssion 2 est l'équation aux dérivés partielles suivantes :

d²U/dx² + d²U/dy² = (1/c²)*d²U/dt²

c est la vitesse de propagation de l'onde. Le système est déterminé par l'ensemble de cette équation locale et des conditions limites constituées par les valeurs du champ U à l'instant 0 en toute position x et y, et les valeurs du champ U' à l'instant 0 en toute position x et y. (où U' = dU/dt). On remarque que la connaissance du champ U à un instant ne suffit pas, qu'il faut adjoindre la connaissance d'un autre champ U' au même instant pour déterminer l'évolution du système. Toutes ces données initiales sont libres. Nous nous intéressons à la méthode de constructuion d'approximation.

7.1.1) Résolution par élément fini.

Voici une première approximation naturelle basée sur un maillage du temps en un succétion de portions égales dt, et sur un maillage spaciale sous forme de pavages régulier de portions égales dx, dy. L'équation locale induit en première aproximation les équations aux mailles suivantes :

d²U/dx² + d²U/dy² = (1/c²)*d²U/dt²
   (U(x + dx, y, t) + U(x - dx, y, t) - 2*U(x, y, t))/dx²

+ (U(x, y + dy, t) + U(x, y - dy, t) - 2*U(x, y, t))/dy²
= (1/c²)*(U(x, y, t + dt) + U(x, y, t - dt) - 2*U(x, y, t))/dt²