7) Les équations de Maxwel

Les equations de Maxwel sont les équations locales de la propagation des ondes electromagnétiques. Une approche plus simple consiste à étudier la propagation des ondes de nature quelconque et a n'en retenir que ce qui est purement linéaire. Nous allons d'abord considérer les cas simple de champ scalaire, à une dimenssion (correspondant à la propagation des ondes sur une corde tendue ou aux ondes de courants dans un conducteur filiforme par exemple...), puis à deux dimenssions (correspondant à la propagation des vagues à la surface d'une piscine par exemple...), puis à trois dimenssion.

7.1) Les ondes à une dimenssion

S'il y a onde, il y a bien amplitude et donc une variable d'état qui indique à une position donnée et à un instant donné une grandeur scalaire signée appelé valeur du champ ou amplitude instantané que l'on note Y(x,t). Si l'on reste dans la généralité ce champ scalaire peut avoir une unité physique quelconque. Les équations locales sont très simples à retrouver car il n'y a pas beaucoup de choix possibles d'équations différentielles capablent de ressembler à une propagation d'onde linéaire pure. On en a vite fait le tours. L'équation de propagation du champ Y, est l'équation aux dérivés partielles suivantes :

d²Y/dx² = (1/c²)*d²Y/dt²

c est la vitesse de propagation de l'onde. Le système est déterminé par l'équation locale à la quelle ont ajoute les conditions aux limites constituées des valeurs du champ Y à l'instant 0 en toute position x, et des valeurs du champ Y' à l'instant 0 en toute position x. (où Y' = dY/dt). On remarque que la connaissance du champ Y à un instant ne suffit pas, qu'il faut adjoindre la connaissance d'un autre champ Y' au même instant pour déterminer l'évolution du système, toutes ces données initiales étant libres. Cette équation est résolvable mais nous nous intéressons à la constructuion d'approximation, aussi nous laisserons de coté la solution exacte.

7.1.1) Résolution par éléments finis.

Voici une première approximation naturelle basée sur un maillage du temps en une succétion de portions égales dt, et sur un maillage de l'espace en une succétion de portions égales dx. L'équation locale induit en première aproximation l'équation aux mailles suivantes :

d²Y/dx² = (1/c²)*d²Y/dt²
(Y(x + dx, t) + Y(x - dx, t) - 2*Y(x, t))/dx² = (1/c²)*(Y(x, t + dt) + Y(x, t - dt) - 2*Y(x,t))/dt²
Y(x, t + dt) = (Y(x + dx, t) + Y(x - dx, t) - 2*Y(x,t))*c²*dt²/dx² - Y(x, t - dt) + 2*Y(x,t)

Pour simplifier, on définie la constante k, le champ Y', et finalement le champ Z tel que :

k = c²*dt²/dx²
Y'(x,t) = (Y(x,t) - Y(x,t-dt))/dt

Z(x,t) = Y'(x,t)*dt = Y(x,t) - Y(x,t-dt)

L'équation devient alors :

Y(x, t + dt) = Y(x + dx, t)*k + Y(x - dx, t)*k - 2*Y(x,t)*k + Z(x,t) + Y(x,t)
Z(x, t + dt) = Y(x, t + dt) - Y(x,t)

Pour simplifier l'écriture on note dt = t2 - t1, Y(x,t1) = Y1(x), Y(x,t2) = Y2(x), Z(x,t1) = Z1(x), Z(x,t2) = Z2(x). Et l'on obtient une équation aux mailles de la propagation d'onde :

Y2(x) = Y1(x + dx)*k + Y1(x - dx)*k - 2*k*Y1(x) + Z1(x) + Y1(x)
Z2(x) = Y1(x + dx)*k + Y1(x - dx)*k - 2*k*Y1(x) + Z1(x)                           Z2(x) = Y2(x) - Y1(x)

7.1.1) Singularité

lorsque c²*dt²/dx² = 1/2, l'équation devient :

Y2(x) = (Y1(x + dx) + Y1(x - dx))/2 + Z1(x)
Z2(x) = (Y1(x + dx) + Y1(x - dx))/2 + Z1(x) - Y1(x)                      

 

7.2) Les ondes à deux dimenssions

L'équation local d'un champ scalaire en dimenssion 2 est l'équation aux dérivés partielles suivantes :

d²U/dx² + d²U/dy² = (1/c²)*d²U/dt²

c est la vitesse de propagation de l'onde. Le système est déterminé par l'ensemble de cette équation locale et des conditions limites constituées par les valeurs du champ U à l'instant 0 en toute position x et y, et les valeurs du champ U' à l'instant 0 en toute position x et y. (où U' = dU/dt). On remarque que la connaissance du champ U à un instant ne suffit pas, qu'il faut adjoindre la connaissance d'un autre champ U' au même instant pour déterminer l'évolution du système. Toutes ces données initiales sont libres. Nous nous intéressons à la méthode de constructuion d'approximation.

7.1.1) Résolution par élément fini.

Voici une première approximation naturelle basée sur un maillage du temps en un succétion de portions égales dt, et sur un maillage spaciale sous forme de pavages régulier de portions égales dx, dy. L'équation locale induit en première aproximation les équations aux mailles suivantes :

d²U/dx² + d²U/dy² = (1/c²)*d²U/dt²
   (U(x + dx, y, t) + U(x - dx, y, t) - 2*U(x, y, t))/dx²

+ (U(x, y + dy, t) + U(x, y - dy, t) - 2*U(x, y, t))/dy²
= (1/c²)*(U(x, y, t + dt) + U(x, y, t - dt) - 2*U(x, y, t))/dt²