6) La cinématique

La cinématique décrit le mouvement d'un point soumis à une accélération connue, deux fois intégrable. Nous nous plaçons dans l'espace-temps newtonien, c'est à dire un espace euclidien à 3 dimenssions x,y,z et une dimenssion supplémentaire qu'est le temps t.

On note la dérivé d'un vecteur fonction du temps F(t) par : F'(t) = dF(t)/dt. On note l'integration de 0 à t d'un vecteur fonction du temps F(s) par : F§(t) = int(F(s), s = 0..t).

Par définition cinématique, la dérivé de la position définie la vitesse, X'(t) = V(t), et la dérivé de la vitesse définie l'accéleration, V'(t) = A(t), ce qui suppose implicitement que la position X(t) et la vitesse V(t) soient dérivables et l'accélération A(t) soit deux fois intégrable. Ces deux définitions sont équivalentes à ces deux equations :

V§(t) = X(t) - X(0)
A§(t) = V(t) - V(0)

6.1) Equation du mouvement

Le système est déterminé par {A(t), V(t) = X'(t), A(t) = V'(t), X(0), V(0)}. L'équation du mouvement s'obtient en intégrant l'accélération A(t) deux fois de suite :

A§(t) = V(t) - V(0)
A§§(t) = V§(t) - V(0)*t = X(t) - X(0) - V(0)*t

d'où

X(t) = X(0) + V(0)*t + A§§(t)
V(t) = V(0) + A§(t)

6.2) Système et approximation

Tout d'abord précisons ce que l'on entend par un système et par une approximation. Un système est définie par un ensemble de variables d'états et par un ensemble d'équations différentiels liants ces variables d'états de tel facon que le système soit déterminé. Une approximation est définie de la même facon mais les équations différentiels sont remplacées par des fonctions calculables itératives. Et l'approximation obéit à la règle suivante : Les erreurs de l'approximation, c'est à dire les écarts entre les variables d'état du système et celles concernant l'approximation doivent être bornées par des formules également calculables, et ces bornes doivent pouvoir être rendues aussi petite que l'on souhaite en augmentant le nombre des itérations.

6.3) Approximation naturelle

Il existe plusieurs approximations. Voici une première approximation naturelle basé sur le developpement de taylor et sur un maillage du temps en un succétion de portions dt, pendant laquel on considère que l'accélération évolue linéairement. C'est à dire que A'(t) = P est supposé constant pendant l'intervale dt. Pour simplifier l'écriture on note dt = t2 - t1, X(t1) = X1, X(t2) = X2, V(t1) = V1, V(t2) = V2, A(t1) = A1, A(t2) = A2.

dt = t2 - t1
P = (A2-A1)/dt

A(t) = A1 + P*t
V(t) = V1 + A1*t + P*t*t/2
X(t) = X1 + V1*t + A1*t*t/2 + P*t*t*t/6

V2 = V1 +A1*dt + P*dt*dt/2
X2 = X1 + V1*dt + A1*dt*dt/2 + P*dt*dt*dt/6

Dans les modèles que nous mettons en oeuvre, l'accéleration n'est pas connue en fonction du temps mais en fonction des autres variables d'état du système. A(t) = A(X(t),V(t)). C'est pourquoi on developpe la formule précédente pour faire apparaître explicitement A1 et A2 dans une équation qu'il faut résoudre par un procédé itératif.

V2 = V1 + dt*(A1 + A2)/2
X2 = X1 + dt*(V1 + V2)/2 - dt*dt*(A2 - A1)/12

Le procédé itératif consiste à poser au départ X2 = X1+V1*dt, V2 = V1+A1*dt, A2 = A1 et à chaque itération de calculer X2,V2 par la formule précédente puis de calculer A2 = A(X2,V2), puis de recalculer X2,V2 par la formule précédente puis de recalculer A2 = A(X2,V2) et ainsi de suite. Le procédé est autoconvergent. L'approximation calcule la position et la vitesse pour un intervalle de temps dt donnée.

6.4) Estimation de l'erreur

Pour borner l'erreur nous devons faire des hypothèses supplémentaires sur la fonction A(X,V). On la Suppose indéfiniment dérivable et dont les dérivées successives sont bornées en norme par une constante k. Le développement de taylor se prolonge comme suit :

X2 = X1 + V1*dt + A1*dt*dt/2 + A1'*dt*dt*dt/6 + A1''*dt*dt*dt*dt/24 + ....

L'erreur est estimée à (k/24)*dt^4. La propagation de l'erreur peut être estimée experimentalement par la méthode de Monte-Carlo.