20. La gamme zarlinienne

La gamme zarlinienne que l'on appelle aussi gamme naturelle, gamme du physicien, ou gamme de Zarlino, s'obtient à partir des 6 premiers harmoniques [1, 2, 3, 4, 5, 6] qui correspondent exactement aux notes [do1, do2, sol2, do3, mi3, sol3]. Les 6 premiers harmoniques du do ramenés à l'octave constituent l'accord parfait majeur do, mi, sol, qui correspond aux harmoniques 4, 5, 6, et sert de base à la construction de la gamme zarlinienne.

L'accord parfait majeur est constituée de deux intervalles, la tierce majeur 5/4 et la tierce mineur 6/5, qui subdivisent la quinte 3/2. Leur valeur exprimées en 53 ième d'octave s'avèrent presque enières.

5/4 = 17 Mercator + 0.06 Mercator
6/5 = 14 Mercator - 0.06 Mercator

C'est pourquoi le mercator constitue encore ici une quantification pertinente.

Nom : 
Quinte
=
Tierce majeur  
+
Tierce mineur  
Facteur multiplicatif :
3/2
=
5/4
*
6/5
Facteur multiplicatif :
3/2
=
5/22
*
2*3/5
Vecteur : 
[-1,1,0]
=
[-2,0,1]
+
[1,1,-1]
Mercator :
 31  
≃ 
17 
+
 14

Pour les même raisons d'invariance des règles d'harmonie par transposition, nous somme amenés à considérer les permutations circulaires de cette subdivision de la quinte. Il existe alors deux modes correspondants à l'ordre de la subdivision, le mode majeur correspondant à l'accord parfait majeur, qui est composé d'une tierce majeur suivi d'une tierce mineur, exemple (do, mi, sol), et le mode mineur correspondant à l'accord parfait mineur, qui est composé d'une tierce mineur suivi d'une tierce majeur, exemple (mi, sol, si). Les harmoniques 4, 5, 6, forment un accord parfait majeur. Les harmoniques 10, 12, 15 forment un accord parfait mineur. Ces deux permutations qui sont circulaires lorsque l'intervalle de base est la quinte, ne le sont plus lorsque l'intervalle de base est l'octave, et forment ainsi 2 échelles distincts.

La gamme majeur (respectivement mineur), de Zarlino est construites par des accords parfaits majeurs (respectivement mineurs) successifs. Nous procédons de la même façon que pour la gamme pythagoricienne, mais en utilisant l'accord parfait au lieu de la quinte.

Une succession de 3 accords parfaits majeur s'exprime sous la forme de la liste de sauts (5/4, 6/5, 5/4, 6/5, 5/4, 6/5) puis s'exprime sous la forme d'une liste de degrés (1, 5/4, 3/2, 15/8, 9/4, 45/46, 27/8) qui modulo l'octave et en réordonnant les degrés selon leur hauteur donne (1, 9/8, 5/4, 45/32, 3/2, 27/16, 15/8) puis s'exprime à nouveau en une liste de sauts (9/8, 10/9, 9/8, 16/15, 9/8, 10/9, 16/15). De même une succession de 3 accords parfaits mineur s'exprime sous la forme de la liste de sauts (6/5, 5/4, 6/5, 5/4, 6/5, 5/4) puis s'exprime sous la forme d'une liste de degrés (1, 6/5, 3/2, 9/5, 9/4, 27/10, 27/8) qui modulo l'octave et en réordonnant les degrés selon leur hauteur donne (1, 9/8, 6/5, 27/20, 3/2, 27/16, 9/5) puis s'exprime à nouveau en une liste de sauts (9/8, 16/15, 9/8, 10/9, 9/8, 16/15, 10/9).

Ainsi nous voyons qu'une succession de 3 accords parfaits majeurs, ramenée dans l'octave par transposition d'octave, subdivise l'octave en 7 intervalles consécutifs : (9/8, 10/9, 9/8, 16/15, 9/8, 10/9, 16/15) à une permutation circulaire près. C'est l'échelle naturelle majeure. Elle contient trois types d'intervalle, le ton 9/8, le ton mineur 10/9, et le semiton majeur 16/15 que l'on désignent aussi par leurs valeurs approximatives en 53ième d'octave, respectivement par 9, 8 et 5. Et de même nous voyons qu'une succession de 3 accords parfaits mineurs, ramenée dans l'octave, subdivise l'octave en 7 intervalles consécutifs : (9/8, 16/15, 9/8, 10/9, 9/8, 16/15, 10/9) à une permutation circulaire près. C'est l'échelle naturelle mineure. Ces deux subdivisions de l'octave à une permutation circulaire près, sont symétrique l'une de l'autre.
Facteur
Mercator
Ton
9/8
9
Ton mineur
10/9
8
Semiton majeur
16/15
5

Les deux modes de Zarlino s'expriment en mercator comme suit :

Mode majeur de Zarlino : (9,8,9,5,9,8,5)
Mode mineur de Zarlino : (9,5,9,8,9,5,8)

Si on néglige le comma, on peut plonger ces deux modes dans l'échelle égale à 12 degrés et nous obtenons :

Mode majeur de Zarlino : (2,2-,2,1+,2,2-,1+) = mode de fa = (fa sol- la- si do ré- mi)
Mode mineur de Zarlino : (2,1+,2,2-,2,1+,2-) = mode de ré = (fa sol+ la+ si do ré+ mi)

Si on ne s'intéresse qu'à l'échelle à une permutation circulaire près, on calcul leur signature :

Echelle majeur de Zarlino : (5,9,8,5,9,8,9)
Echelle mineur de Zarlino : (5,8,9,5,9,8,9)

L'échelle mineur de Zarlino est presque identique à l'echelle majeur de Zarlino. La différence tient juste sur un degré déplacé d'un comma. Aussi ce n'est pas l'échelle mineur de Zarlino que l'on retiendra, mais les deux modes majeur et mineur qu'il a construit.

Ramené par transposition au plus proche du mode de do, le mode majeur de Zarlino s'apparente au mode de fa. C'est (fa sol+ la+ si do ré- mi) où sol- désigne un sol diminué d'un comma. Et le mode mineur de Zarlino s'apparente au mode de ré. C'est (ré mi+ fa- sol la si do ré- mi) où sol- désigne un sol diminué d'un comme.

La gamme majeur (respectivement mineur), de Zarlino est construites par des accords parfaits majeurs (respectivement mineurs) successifs. Nous procédons de la même façon que pour la gamme pythagoricienne, mais en utilisant l'accord parfait au lieu de la quinte.

 Mode
Majeur
    
Mineur
Note
1
5/4
3/2
15/8
9/4
45/16
27/8
 
1
6/5
3/2
9/5
9/4
27/10
27/8
mercator
0
17
31
48
62
79
93
 
1
14
31
45
62
76
93

Ce qui donnent modulo l'octave et en réordonnant les notes, les gammes suivantes :

 Mode
Majeur
    
Mineur
Note
1
9/8
5/4
45/32
3/2
27/16
15/8
 
1
9/8
6/5
27/20
3/2
27/16
9/5
mercator
0
9
17
26
31
40
48
0
9
14
23
31
40
45

Et qui s'expriment par des successions de sauts entre note :

 Mode
Majeur
 
Mineur
Ecart
9/8
10/9
9/8
16/15
9/8
10/9
16/15
     
9/8
16/15
9/8
10/9
9/8
16/15
10/9
mercator
9
8
9
5
9
8
5
 
9
5
9
8
9
5
8

Nous voyons qu'une succession de 3 accords parfaits majeurs, ramenée dans l'octave par transposition d'octave, subdivise l'octave en 7 intervalles consécutifs : [9/8, 10/9, 9/8, 16/15, 9/8, 10/9, 16/15] à une permutation circulaire près. C'est l'échelle naturelle majeure. Elle contient trois types d'intervalle, le ton 9/8, le ton mineur 10/9, et le semiton majeur 16/15 que l'on désignent aussi par leurs valeurs approximatives en 53ième d'octave, respectivement par 9, 8 et 5.

Et une succession de 3 accords parfaits mineurs, ramenée dans l'octave, subdivise l'octave en 7 intervalles consécutifs : [9/8, 16/15, 9/8, 10/9, 9/8, 16/15, 10/9] à une permutation circulaire près. C'est l'échelle naturelle mineure. Ces deux subdivisions de l'octave, à une permutation circulaire près, sont symétrique l'une de l'autre.

 

 

 

 

 

 

 

Pour les même raisons d'invariance des règles d'harmonie par transposition, nous somme amenés à considérer les permutations circulaires de cette subdivision de la quinte. Il existe alors deux modes correspondants à l'ordre de la subdivision, le mode majeur correspondant à l'accord parfait majeur, qui est composé d'une tierce majeur suivi d'une tierce mineur, exemple (do, mi, sol), et le mode mineur correspondant à l'accord parfait mineur, qui est composé d'une tierce mineur suivi d'une tierce majeur, exemple (mi, sol, si). Les harmoniques 4, 5, 6, forment un accord parfait majeur. Les harmoniques 10, 12, 15 forment un accord parfait mineur. Ces deux permutations qui sont circulaires lorsque l'intervalle de base est la quinte, ne le sont plus lorsque l'intervalle de base est l'octave, et forment ainsi 2 échelles distincts.

   
Intervalle de base = quinte
Intervalle de base = octave
Mode
Unité
Echelle en variation
Echelle en valeur
Exemple
Echelle en variation
Echelle en valeur
Majeur
facteur
(6/5,5/4)
(0,6/5 & 3/2)
(do,fa,sol)
(6/5,5/4,4/3)
(1,6/5,3/2 & 2)
mercator
(17,14)
(0,17 & 31)
(17,14,22)
(0,17,31 & 53)
Mineur
facteur
(5/4,6/5)
(0,5/4 & 3/2)
(5/4,6/5,4/3)
(1,5/4,3/2 & 2)
mercator
(14,17)
(14,17 & 31)
(14,17,22)
(0,14,31 & 53)

 

 

--- 10 juin 2013 ---

 

 

 

 

 

 

Si nous fixons une tonique, il existe 7 modes correspondant aux 7 permutations circulaires des subdivisions de l'octave pour une succession de 3 accords parfaits majeurs, qui correspondent à la proportion de tierces avant et après la tonique, c'est à dire, à la position de la tonique dans la succession de tierces des 3 accords parfaits majeurs originelles. Recommençons le calcul, mais en plaçant la tonique à la troisième position dans la succession des tierces alternées majeurs mineurs originelles. La tonique est la première note de la gamme, et est donc désigné par l'unité 1. Zarlino à choisi ce mode pour définir sa game :

 

 

 

 

10/27
4/9
5/9
2/3
5/6
1
5/4
3/2
15/8
9/4
45/16
27/8
-76
-62
-45
-31
-14
0
17
31
48
62
79
93

 

 

 

 

 

 

 
Majeur
 
Mineur
Ecart
5/4
6/5
5/4
6/5
5/4
6/5
 
 
6/5
5/4
6/5
5/4
6/5
5/4
 
Note
1
5/4
3/2
15/8
9/4
45/16
27/8
 
1
6/5
3/2
9/5
9/4
27/10
27/8

Ce qui donnent modulo l'octave et en réordonnant les notes :

 
Majeur
 
Mineur
Ecart en 53ième
9
8
9
5
9
8
5
 
9
5
9
8
9
5
8
Ecart
9/8
10/9
9/8
16/15
9/8
10/9
16/15
 
9/8
16/15
9/8
10/9
9/8
16/15
10/9
Note
1
9/8
5/4
45/32
3/2
27/16
15/8
 
1
9/8
6/5
27/20
3/2
27/16
9/5

Nous voyons qu'une succession de 3 accords parfaits majeurs, ramenée dans l'octave, subdivise l'octave en 7 intervalles consécutifs : [9/8, 10/9, 9/8, 16/15, 9/8, 10/9, 16/15] à une permutation circulaire près. C 'est la gamme naturelle. Elle contient trois types d'intervalle, le ton (9/8), le ton mineur (10/9), et le semiton majeur (16/15) que l'on désignent parfois par leurs valeurs approximatives en 53ième d'octave, respectivement par 9, 8 et 5.

Et une succession de 3 accords parfaits mineurs, ramenée dans l'octave, subdivise l'octave en 7 intervalles consécutifs : [9/8, 16/15, 9/8, 10/9, 9/8, 16/15, 10/9] à une permutation circulaire près. Ces deux subdivisions de l'octave, à une permutation circulaire près, sont symétrique l'une de l'autre.

Si nous fixons une tonique, il existe 7 modes correspondant aux 7 permutations circulaires des subdivisions de l'octave pour une succession de 3 accords parfaits majeurs, qui correspondent à la proportion de tierces avant et après la tonique, c'est à dire, à la position de la tonique dans la succession de tierces des 3 accords parfaits majeurs originelles. Recommençons le calcul, mais en plaçant la tonique à la troisième position dans la succession des tierces alternées majeurs mineurs originelles. La tonique est la première note de la gamme, et est donc désigné par l'unité 1. Zarlino à choisi ce mode pour définir sa game :

 
Majeur
 
Mineur
Ecart
5/4
6/5
5/4
6/5
5/4
6/5
 
6/5
5/4
6/5
5/4
6/5
5/4
Note
2/3
5/6
1
5/4
3/2
15/8
9/4
 
2/3
4/5
1
6/5
3/2
9/5
9/4
Nom
fa1
la1
do2
mi2
sol2
si2
ré3
 
fa1
lab1
do2
mib2
sol2
sib2
ré3

Ce qui donnent modulo l'octave et en réordonnant les notes :
Majeur
 
Mineur
Ecart en 53ième
9
8
5
9
8
9
5
  
9
5
8
9
5
9
8
Ecart
9/8
10/9
16/15
9/8
10/9
9/8
16/15
 
9/8
16/15
10/9
9/8
16/15
9/8
10/9
Note
1
9/8
5/4
4/3
3/2
5/3
15/8
 
1
9/8
6/5
4/3
3/2
8/5
9/5
Nom
do
ré
mi
fa
sol
la
si
 
do
ré
mib
fa
sol
lab
sib

Les suites des écarts sont changées par une permutation circulaire comme la règle le prévoi. Parmi toutes ces permutations circulaires, ce dernier mode donne une définition fractionnaire simple des notes. C'est le choix de Zarlino, et c'est le mode lydien. Les 7 modes majeurs s'apparentent, en effet, aux 7 modes grecs primitifs. Et on les désigne par la première note de leur expression incluse dans la gamme de do majeur zarlinienne [do, ré, mi, fa, sol, la, si] (mode lydien) :

Tonique
Place de la tonique dans la succession de tierce alternées
Mode naturel majeur
1
2
3
4
5
6
7
fa
1
 Hypolydien
9
8
9
5
9
8
5
la
2
 Hypodorien
9
5
9
8
5
9
8
do
3
 Lydien
9
8
5
9
8
9
5
mi
4
 Dorien
5
9
8
9
5
9
8
sol
5
 Hypophrygien
8
9
5
9
8
5
9
si
6
 Mixolydien
5
9
8
5
9
8
9
ré
7
 Phrygien
8
5
9
8
9
5
9

Les 7 possibilités modes mineurs s'apparentent aux 7 modes grecs primitifs. Et on peut les désigner par la première note de leur expression incluse dans la gamme de do mineur zarlinienne [do, ré, mib, fa, sol, lab, sib] (mode hypodorien) :

Tonique
Place de la tonique dans la succession de tierce alternées
Mode naturel mineurs
1
2
3
4
5
6
7
fa
1
 Phrygien
9
5
9
8
9
5
8
lab
2
 Hypolydien
9
8
9
5
8
9
5
do
3
 Hypodorien
9
5
8
9
5
9
8
mib
4
 Lydien
8
9
5
9
8
9
5
sol
5
 Dorien
5
9
8
9
5
8
9
sib
6
 Hypophrygien
8
9
5
8
9
5
9
ré
7
 Mixolydien
5
8
9
5
9
8
9

http://asso.nordnet.fr/ccsti/concoursiufm02/candidat8/p1.htm
http://www.inrp.fr/Acces/JIPSP/phymus/m_techni/gammes/gammes.htm

La gamme de do majeur Zarlinienne correspond au mode naturel majeur lydien :

Note ()
Do
Ré
Mi
Fa
Sol
La
Si
Do
x
0
-3
-2
2
-1
0
-3
1
y
0
2
0
-1
1
-1
1
0
z
0
0
1
0
0
1
1
0
Note
1
9/8
5/4
4/3
3/2
5/3
15/8
2
Savart
0
51,15
96,91
124,94
176,09
221,85
273,00
301,03
53ième
0
9,01
17,06
22,00
31,00
39,06
48,07
53,00

Considérons l'ensemble des intervalles obtenus par combinaisons de tierces majeurs (5/4), de tierces mineurs (6/5) et d'octaves. Ils sont de la forme (). Si nous souhaitons les ramener dans l'octave, il suffit de poser x = - floor((3*ln(y)+5*ln(z))/ln(2)). Les notes ((3/5)^x * 5^y) = 3^x * 5^(y-x), modulo l'octave, forme le tableau des tierces. Les valeurs approximatives en 53ième d'octave nous donne l'ordre de grandeur de la note. On passe à une ligne au dessus en ajoutant 17 modulo 53, et on passe à une colonne à droite en ajoutant 14 modulo 53. La rose des vents indique les intervalles exactes franchis lorsque l'on se déplace d'une case dans le tableau.

mi#
20
sol#
34
si
48
ré
9
do#
3
mi
17
sol
31
sib
45
la
39
do
0
mib
14
solb
28
fa
22
lab
36
dob
50

mibb
11

Le dièse zarlinien est défini comme une tierce majeur moins une tierce mineur. Le bémol zarlinien est défini à l'inverse comme une tierce mineur moins une tierce majeur.

dièse et bémol de Zarlino :

Signe
Nom
Intervalle
53ième
#
Dièse de Zarlino
Tierce majeur moins tierce mineur modulo l'octave
+ 1 semiton mineur
25/24
+3,12
b
Bémol de Zarlino
Tierce mineur moins tierce majeur modulo l'octave
-1 semiton mineur
24/25
-3,12

Considérons la successions de 3 accords parfaits majeurs suivants [fa, la, do, mi, sol, si, ré]. Si nous continuons cette succession d'accords au delà du ré, alors nous découvrons une série suivante de note proche de [fa, la, do, mi, sol, si, ré]. L'intervalle qui sépare les " mêmes " notes de deux de ces séries consécutives est de 3 quintes + 1 tierce majeur (modulo l'octave) pour les notes [fa, do, sol, ré], et est de 3 quintes + 1 tierce mineur (modulo l'octave) pour les notes [la, mi, si].


3 quintes + 1 tierce mineur modulo l'octave vaut un comma syntonique (81/80).


Nous adoptons la notation du mini-dièse et du mini-bémol pour signifier l'ajout ou le retrait d'un comma syntonique.

mini-dièse et mini-bémol :

Signe
Nom
Intervalle
53ième
+
Mini dièse de Zarlino
3 quintes + 1 tierce mineur
+ 1 comma syntonique
81/80
+0,95
-
Mini bémol de Zarlino
3 quartes - 1 tierce mineur
-1 comma syntonique
80/81
-0,95


Nous pouvons compléter de façon exacte une ligne des tierces majeurs-mineurs alternée :

fa-
lab-
do-
mib-
sol-
sib-
ré-
fa
la
do
mi
sol
si
ré
fa#+
la+
do#+
mi+
sol#+
si+
ré#+
21
35
52
13
30
44
8
22
39
0
17
31
48
9
26
40
4
18
35
49
13

 

 

Si on étend le tableau des tierces, on découvre les nouvelles notes correspondantes aux accords parfaits au dela du ré et en deçà du fa précédemment définies :

mi###
26
sol###
40
si##
1
ré##
15
fa##+
29
la#+
43
do#+
4
mi+
18
do###
9
mi##
23
sol##
37
si#
51
ré#
12
fa#+
26
la+
40
do+
1
la##
45
do##
6
mi#
20
sol#
34
si
48
ré
9
fa+
23
lab+
37
fa##
28
la#
42
do#
3
mi
17
sol
31
sib
45
réb
6
fab+
20
ré#-
11
fa#
25
la
39
do
3
mib
14
solb
28
sibb
42
rébb
3
si-
47
ré-
8
fa
22
lab
36
dob
50
mibb
11
solbb
25
sibbb
39
sol-
30
sib-
44
réb-
5
fab
19
labb
33
dobb
47
mibbb
8
solbbb
22
mib-
13
solb-
27
sibb-
41
rébb-
2
fabb
16
labbb
30
dobbb
44
mibbbb
5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Notez que l'intervalle [réb, do##] vaut exactement un kleisma = 15625/15552 = 5^6.3^(-5).2^(-6) = ~ 0,358 53ième d'octave.

 

Correspondance approximative entre la gamme de Mercator à 53 degrés et la gamme du do majeur zarlinien :

0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
do
do+
do#-
do#
do#+
réb-
réb
réb+
ré-
ré
ré+
ré#-
ré#
mib-
mib
mib+
mi-
mi


18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
mi+
mi#-
mi#
fa-
fa
fa+
fa#-
fa#
fa#+

solb-
solb
solb+
sol-
sol
sol+
sol#-
sol#
sol#+


36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
lab
lab+
la-
la
la+
la#-
la#
la#+
sib-
sib
sib+
si-
si
si+
si#-
si#
do-

 

Expression exacte des 7 modes naturelles majeurs dans la gamme du do majeur de zarlino, en prenant do comme tonique :

fa
 Hypolydien
do
ré
mi
fa#+
sol
la+
si
do
la
 Hypodorien
do
ré
mib
fa+
sol
lab
sib
do
do
 Lydien
do
ré
mi
fa
sol
la
si
do
mi
 Dorien
do
réb-
mib
fa
sol
lab
sib
do
sol
 Hypophrygien
do
ré-
mi
fa
sol
la
sib-
do
si
 Mixolydien
do
réb-
mib
fa
solb-
lab
sib-
do
ré
 Phrygien
do
ré
mib-
fa
sol-
la
sib-
do

 

 

 

 

 

Expression exacte des 7 modes naturelles mineurs dans la gamme du do majeur de zarlino, en prenant do comme tonique :

fa
 Phrygien
do
ré
mib
fa+
sol
la+
sib
do
lab
 Hypolydien
do
ré
mi
fa#+
sol
la
si
do
do
 Hypodorien
do
ré
mib
fa
sol
lab
sib
do
mib
 Lydien
do
ré-
mi
fa
sol
la
si
do
sol
 Dorien
do
réb-
mib
fa
sol
lab
sib-
do
sib
 Hypophrygien
do
ré-
mi
fa
sol-
la
sib-
do
ré
 Mixolydien
do
réb-
mib-
fa
solb-
lab
sib-
do

 

 

 

 

 

 

Le raisonnement s'applique pour une gamme constituée à partir d'un nombre quelconque de tierces alternés majeurs-mineurs consécutives. Dans le cas d'une succession de N tierces, il existe (N+1) modes, correspondant à la place de la tonique dans la suite des N tierces alternées Voici le tableau des gammes avec des exemples transposés de tel sorte qu'ils soient inclus dans la gamme de do majeur de zarlino[do, ré, mi, fa, sol, la, si] :

Place de la tonique
Exemple
Subdivision de l'octave
1
do, mi, do
17, 36
2
 
36, 17
  
 
  
1
do, mi, sol, do
17, 14, 22
2
 
14, 22, 17
3
 
22, 17, 14
  
  
  
1
do, mi, sol , si, do
17, 14, 17, 5
2
 
14, 17, 5, 17
3
 
17, 5, 17, 14
4
 
5, 17, 14, 17
  
  
  
1
do, ré, mi, sol, si, do
9, 8, 14, 17, 5
2
 
14, 17, 5, 9, 8
3
 
17, 5, 9, 8, 14
4
 
5, 9, 8, 14, 17
5
 
8, 14, 17, 5, 9
  
  
  
1
fa, sol, la, si, do, mi, fa
9, 8, 9, 5, 17, 5
2
 
9, 5, 17, 5, 9, 8
3
 
17, 5, 9, 8, 9, 5
4
 
5, 9, 8, 9, 5, 17
5
 
8, 9, 5, 17, 5, 9
6
 
5, 17, 5, 9, 8, 9
  
  
  
1
fa, sol, la, si, do, ré, mi, fa
9, 8, 9, 5, 9, 8, 5
2
 
9, 5, 9, 8, 5, 9, 8
3
 
9, 8, 5, 9, 8, 9, 5
4
 
5, 9, 8, 9, 5, 9, 8
5
 
8, 9, 5, 9, 8, 5, 9
6
 
5, 9, 8, 5, 9, 8, 9
7
 
8, 5, 9, 8, 9, 5, 9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

15. Des Gammes personnalisée à l'octave

On peut définir une gamme par un ensemble d'intervalles {d1, d2, d3…}constituant une contrainte de base : C'est à dire, si T est la première note de la gamme appelé tonique, les note {T*d1,T*d2, T*d3 …} doivent figurer dans la gamme ainsi que leur transposition à l'octave {T*d1*2^n, T*d2*2^n, T*d3*2^n …}.

Deux gammes sont équivalente si et seulement si on peut passer de l'une à l'autre par transposition. On parlera de modes différents pour des gammes équivalentes.

Soit une gamme{d1, d2, d3…}. L'ensemble des gammes équivalentes est {{1/d1, d2/d1, d3/d1…}, { d1/d2, 1/d2, d3/d2…}, { d1/d3, d2/d3, 1/d3…}…}. Donc pour une gamme engendrée par n intervalles, il y a au plus n+1 modes.

La gamme pythagoricienne est engendrée par 6 intervalles {3, 3^2, 3^3, 3^4, 3^5, 3^6}. Et les 7 modes sont :

fa
  Hypolydien 3, 3^2, 3^3, 3^4, 3^5, 3^6
do
  Lydien 3^(-1), 3, 3^2, 3^3, 3^4, 3^5
sol
  Hypophrygien 3^(-2),3^(-1), 3, 3^2, 3^3, 3^4
ré
  Phrygien 3^(-3),3^(-2),3^(-1), 3, 3^2, 3^3
la
  Hypodorien 3^(-4),3^(-3),3^(-2),3^(-1), 3, 3^2
mi
  Dorien 3^(-5),3^(-4),3^(-3),3^(-2),3^(-1), 3
si
  Mixolydien 3^(-6),3^(-5),3^(-4),3^(-3),3^(-2),3^(-1)

 

 

 

 

 

La gamme majeur de Zarlino est engendrée par {3, 3^2, 3^3, 5, 5*3, 5*3^2}. Et les 7 modes sont :

fa
  Hypolydien 3, 3^2, 3^3, 5, 3*5, 3^2*5
do
  Lydien 3^(-1), 3, 3^2, 3^(-1)*5, 5, 3*5
sol
  Hypophrygien 3^(-1), 3^(-2), 3, 3^(-2)*5, 3^(-1)*5, 5
ré
  Phrygien 3^(-2), 3^(-1), 3^(-3), 3^(-3)*5, 3^(-2)*5, 3^(-1)*5
la
  Hypodorien 3*5^(-1), 3^2*5^(-1), 3^3*5^(-1), 5^(-1), 3, 3^2
mi
  Dorien 5^(-1), 3*5^(-1), 3^2*5^(-1), 3^(-1), 3^(-1)*5^(-1), 3
si
  Mixolydien 3^(-1)*5^(-1), 5^(-1), 3*5^(-1), 3^(-2), 3^(-1), 3^(-2)*5^(-1)

 

 

 

 

 

On représente les intervalles par des points dont les coordonnées sont les puissances des nombres premiers de 3 et 5 (puissance de 3 en abscisse, puissance de 5 en ordonnée ). Les gammes qui sont définies à partire d'une liste d'intervalles peuvent être représentées par une figure géométrique. Voici les modes de la gammes majeur de Zarlino

Ces modes correspondent aux libertés de mouvement de chaque note : Par exemple, le la est libre de passer à une note de fréquence 3*5^(-1), 3^2*5^(-1), 3^3*5^(-1), 5^(-1), 3, 3^2 fois supérieurs. C'est à dire, il lui est autorisé de passer 0,1 ou 2 quintes combiné avec 0 ou 1 sixte mineur, ou de passer 3 quintes combinés avec une sixte mineur, tout en restant dans la gamme.

 

La recheche de Zarlino revient à explorer les degrés compris dans l'octave c'est à dire compris entre 1 et 2, de la forme 2x * 3y * 5z avec x, y, z entiers. Si on connait y et z, on peut calculer l'unique solution x pour que le degré 2x * 3y * 5z soit dans l'octave, comme suit :

x = - floor((y*log(3)+z*log(5))/log(2))

On choisie une mesure de la complexité du degré qui est posée égale à :

|x|*log(2) + |y|*log(3) + |z|*log(5)

L'échelle est alors construite en prenant les degrés de moindre complexité.

x
y
z
Degré.
Complexité
Nom
≃ 12ième
d'octave
≃ 53ième
d'octave
0
0
0
1
1
0.0

Unisson
0
0
-1
1
0
3/2
3/2
1.8

Quinte juste
7
31
2
-1
0
22/3
4/3
2.5

Quarte juste
5
22
0
-1
1
5/3
5/3
2.7
 Sixte majeure = BP sixte
39
-2
0
1
5/22
5/4
3.0
 Tierce majeure
17
1
1
-1
2*3/5
6/5
3.4
 Tierce mineur
14
3
0
-1
23/5
8/5
3.7
 Sixte mineur
36
0
2
-1
32/5
9/5
3.8
 Septième mineure juste = BP septième
45
-3
2
0
32/23
9/8
4.3

Ton majeur
2
9
1
-2
1
2*5/32
10/9
4.5
 Ton mineur
8
-3
1
1
3*5/23
15/8
4.8
 Septième majeure classique
48
4
-2
0
24/32
16/9
5.0

Septième mineure de Pythagore
10
44
4
-1
-1
24/3*5
16/15
5.5
 Semiton majeur
5
-4
0
2
52/24
25/16
6.0
 Quinte augmentée classique
34
-4
3
0
33/24
27/16
6.1

Sixte majeure de Pythagore
9
40
-1
-2
2
52/2*32
25/18
6.1
 Quarte augmentée classique
25
-2
3
-1
33/22*5
27/20
6.3
 Quarte forte
23
-3
-1
2
52/23*3
25/24
6.4
 Semiton mineur = Chroma mineur
3
0
3
-2
33/52
27/25
6.5
 Semiton maxime = BP semiton petit
6
5
0
-2
25/52
32/25
6.7
 Quarte diminuée classique
19
5
-3
0
25/33
32/27
6.8

Tierce mineure de Pythagore
3
13
2
2
-2
22*32/52
36/25
6.8
 Quinte diminuée classique
28
3
-3
1
23*5/33
40/27
7.0
 Quinte grave
30
4
1
-2
22*3/52
48/25
7.1
 Octave diminuée classique
50
1
-3
2
2*52/33
50/27
7.2
 Septième majeur faible
47
-5
2
1
32*5/25
45/32
7.3
 Triton diatonique
26
6
-2
-1
26/32*5
64/45
8.0
 2ème triton
27
-1
4
-2
34/2*52
81/50
8.3
 Sixte mineure forte
37
-6
1
2
3*52/26
75/64
8.5
 Seconde augmentée classique
12
-6
4
0
34/26
81/64
8.6

Tierce majeure de Pythagore
4
18
-4
4
-1
34/24*5
81/80
8.8
 Comma syntonique
1
-6
0
3
53/26
125/64
9.0
 Septième augmentée classique = Octave - Dièze mineur
51
2
-4
2
22*52/34
100/81
9.0
 Tierce majeure grave
16
-3
-2
3
53/23*32
125/72
9.1
 Sixte augmentée classique
42
7
-1
-2
27/3*52
128/75
9.2
 Septième diminuée
41
0
-4
3
53/34
125/81
9.2
  
33
7
-4
0
27/34
128/81
9.2

Sixte mineure de Pythagore
8
35
-5
-1
3
53/25*3
125/96
9.4
 Tierce augmentée classique
20
5
-4
1
25*5/34
160/81
9.5
 Octave - Comma syntonique
52
-2
-3
3
53/22*33
125/108
9.5
 Supra-ton
11
7
0
-3
27/53
128/125
9.7
 Dièze mineur = Dièze enharmonique
2
-7
3
1
33*5/27
135/128
9.8
 Limma majeur = Chroma majeur
4
4
2
-3
24*32/53
144/125
9.8
 Tierce diminuée classique
11
1
4
-3
2*34/53
162/125
9.9
  
20
6
1
-3
26*3/53
192/125
10.1
 Sixte diminuée classique
33
3
3
-3
23*33/53
216/125
10.2
 Supra-sixte
42
-7
2
2
32*52/27
225/128
10.3
 Sixte augmentée
43
0
5
-3
35/53
243/125
10.3
 Octave - Dièze maximal
51
-7
5
0
35/27
243/128
10.3

Septième majeure de Pythagore
11
49
8
-3
-1
28/33*5
256/135
10.5
 Octave - Limma majeur
49
-5
5
-1
35/25*5
243/160
10.6
 Quinte forte
32
-3
5
-2
35/23*52
243/200
10.8
 Tierce mineure forte
15
8
-2
-2
28/32*52
256/225
11.0
 Tierce diminuée
10
1
-5
3
2*53/35
250/243
11.0
 Dièze maximal
2
8
-5
0
28/35
256/243
11.0

Seconde mineure de Pythagore
1
4
6
-5
1
26*5/35
320/243
11.3
 Quarte faible
21
-8
1
3
3*53/28
375/256
11.5
 Quarte double-augmentée
29
4
-5
2
24*52/35
400/243
11.5
 Sixte majeur faible
38
-8
4
1
34*5/28
405/256
11.5
 Quinte augmentée forte
35
9
-1
-3
29/3*53
512/375
12.2
 Quinte double-diminuée
24
-2
-4
4
54/22*34
625/324
12.2
 Octave - Dièze majeur
50
9
-4
-1
29/34*5
512/405
12.2
 Quarte diminuée faible
18
-7
-1
4
27/3*54
625/384
12.4
  
37
-4
-3
4
54/24*33
625/432
12.5
  
28
-9
6
0
36/29
729/512
12.8

Triton de Pythagore
6
27