25) Les modes

Les règles d'harmonie sont invariantes par transposition. De ce fait, une échelle est définie à une permutation circulaire près, et chaque permutation circulaire définie un mode.

Le mode est caractérisé par sa suite de sauts. L'échelle est caractérisée par sa signature (qui est un de ses modes particulier pour lequel la suite de sauts est minimale selon l'ordre big-endian).

Le mode de ré regroupe les notes de complexité les plus faibles vis-à-vis de la tonique. Il ne présage pas du nombre de notes. Le mode de ré se décline donc selon le nombre de notes souhaitées. De même l'échelle de Pythagore se décline selon le nombre de notes souhaitées. Ci-dessous un tableau déclinant les 12 modes de ré représentés par leur suites de degrés, et par leur suites de sauts, tous deux approximmés en 12-ième d'octave :

Mode de ré :

Nb	Noms	Notes	Degrés	Sauts
1	Unisson	ré	0	12
2	Unisson, Quinte	ré, la	0,7	7,5
3	Unisson, Quarte , Quinte	ré, sol, la	0,5,7	5,2,5
4	Unisson, Ton majeur, Quarte, Quinte	ré, mi, sol, la	0,2,5,7	2,3,2,5
5	Unisson, Ton majeur, Quarte, Quinte, Septième mineure	ré, mi, sol, la, do	0,2,5,7,10	2,3,2,3,2
6	Unisson, Ton majeur, Quarte, Quinte, Sixte majeure, Septième mineure	ré, mi, sol, la, si, do	0,2,5,7,9,10	2,3,2,2,1,2
7	Unisson, Ton majeur, Tierce mineure, Quarte, Quinte, Sixte majeure, Septième mineure	ré, mi, fa, sol, la, si, do	0,2,3,5,7,9,10	2,1,2,2,2,1,2
8	Unisson, Ton majeur, Tierce mineure, Tierce majeure, Quarte, Quinte, Sixte majeure, Septième mineure	ré, mi, fa, fa#, sol, la, si, do	0,2,3,4,5,7,9,10	2,1,1,1,2,2,1,2
9	Unisson, Ton majeur, Tierce mineure, Tierce majeure, Quarte, Quinte, Sixte mineure, Sixte majeure, Septième mineure	ré, mi, fa, fa#, sol, la, sib, si, do	0,2,3,4,5,7,8,9,10	2,1,1,1,2,1,1,1,2
10	Unisson, Ton majeur, Tierce mineure, Tierce majeure, Quarte, Quinte, Sixte mineure, Sixte majeure, Septième mineure, Septième majeure	ré, mi, fa, fa#, sol, la, sib, si, do, do#	0,2,3,4,5,7,8,9,10,11	2,1,1,1,2,1,1,1,1,1
11	Unisson, Seconde mineure, Ton majeur, Tierce mineure, Tierce majeure, Quarte, Quinte, Sixte mineure, Sixte majeure, Septième mineure, Septième majeure	ré, mib,mi, fa, fa#, sol, la, sib, si, do, do#	0,1,2,3,4,5,7,8,9,10,11	1,1,1,1,1,2,1,1,1,1,1
12	Unisson, Seconde mineure, Ton majeur, Tierce mineure, Tierce majeure, Quarte, Triton, Quinte, Sixte mineure, Sixte majeure, Septième mineure, Septième majeure	ré, mib, mi, fa, fa#, sol, sol#, la, sib, si, do, do#	0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11	1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1

Lorsque l'on s'intéresse à l'échelle égale de 12 notes, il est pratique d'utiliser les nombres en base 12 ou 13 écrit avec les chiffres : 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C. Et on choisie de numéroter les notes du mode de ré, faisant que leur numéro désigne l'écart au ré en 12ième d'octave :

Nom	Note	Numérotation
Unisson	ré	0
Seconde mineure	mib	1
Ton majeur	mi	2
Tierce mineure	fa	3
Tierce majeure	fa#	4
Quarte juste	sol	5
Triton	sol#	6
Quinte juste	la	7
Sixte mineure	sib	8
Sixte majeure	si	9
Septième mineure	do	A
Septième majeure	do#	B
Octave	ré1	C

Puis on représente les suites de notes dans l'octave ainsi que les suites de sauts inférieur à une octave, en concaténant les numéros. Ainsi 57A désigne la suite de degrés (5, 7, 10), c'est à dire (sol, la, do), ou bien désigne la suite de sauts (5,7,10).

On désigne les modes par un couple d'argument. Le premier argument désigne le nombre de notes du mode, le second argument désigne la première note du mode par son nom ou son numéro. Par exemple le mode 7|ré = 2122212. Ce mode peut également être dénommé par 7|0 où 0 désigne le ré. Et il peut également être dénommé par 7\0 avec l'antislash où 0 désigne alors le numéro du mode qui est le nombre de shift gauche circulaire. Le tableau ci-dessous liste tous les modes de ré de 1 à 12 notes :

L'échelles de Pythagore se décline selon le nombre de notes souhaités. Ramenées dans l'échelle égale à 12 degrés, ces échelles sont qualifiées de normales. il y a alors 12 échelles dites normales, de une à douze notes.

L'échelle est complètement définie par sa signature. L'échelle majeur de Pythagore de 7 notes possède comme signature P7 = 1221222.

Le mode de do sur 7 notes est égale à la suite de sauts 7|do = 2212221.

On choisie, pour cataloguer ces 12 échelles normales, un représentant unique, appelé signature, qui correspond à un mode particulier. Ce représentant est choisi comme étant la suite minimum des sauts selon l'ordre big-endian parmis toutes les permutations circulaires possibles. Le tableau ci-dessous montre les 12 modes de ré caractérisées par leur suites de sauts, et les 12 échelles normales correspondantes caractérisées par leurs signatures :

Nb	Sauts en mode ré	Signature de l'échelle
1	C	C
2	75	57
3	525	255
4	2325	2325
5	23232	22323
6	232212	122322
7	2122212	1221222
8	21112212	11122122
9	211121112	111211122
10	2111211111	1111121112
11	11111211111	11111211111
12	111111111111	111111111111

Dans l'échelle égale à 12 dégrés, il apparait une symétrie de complémentarité. L'échelle complémentaire regroupant toutes les notes de l'octave non jouées d'une échelle normale, forme encore une échelle normale :

n	Echelle	Echelle complémentaire
0		111111111111
1	C	11111111112
2	57	1111121112
3	255	111211122
4	2325	11122122
5	22323	1221222
6	122322	122322
7	1221222	22323
8	11122122	2325
9	111211122	255
10	1111121112	57
11	11111111112	C
12	111111111111

25.1) Description physiologique des modes

Les modes sont invariants par transposition. On ne concidère ici que les modes ascendant monotone commençant par l'unisson, et s'étalant sur l'intervalle de base [Unisson, Octave[.

Mode à deux note

Il y a deux modes à de 2 notes qui sont :

2\0 = 75 = (ré, la)
2\1 = 57 = (ré, sol)

Le mode 0 est simple à construire : Il est constitué d'une première note appellée tonique ou unisson, nommée ré, sur laquelle aucune condition n'est à poser puisque le mode est invariant par transposition. Et il possède comme seconde note, la note la plus proche de l'unisson en terme de complexité, comprise dans l'intervalle ouvert ]Unisson, Octave[ et qui s'avère être ici le la.

Le mode 1 est également simple à construire : Du fait que la complexité est symétrique, c'est la même construction mais dans l'autre sense. Il commence par l'unisson que l'on nomme ré, et possède comme seconde note, la note la plus proche de l'octave, en terme de complexité, comprise dans le même intervalle ouvert ]Unisson, Octave[, et qui s'avère ici être le sol.

C'est pourquoi le mode 0 est dit ascendant et le mode 1 est dit ascendant anticipatif.

Mode à trois notes

Il y a trois modes de 3 notes qui sont :

3\0 = 525 = (ré, sol, la)
3\1 = 255 = (ré, mi, la)
3\2 = 552 = (ré, sol, do)

Le mode 0 est simple à construire : Il commence par l'unisson nommé ré, et possède deux autres notes comprises dans l'intervalle ouvert ]Unisson, Octave[, qui sont les plus proches de l'unisson en terme de complexité, et qui s'avère être le sol et le la.

Le mode 2 est également simple à construire du fait que la complexité est symétrique. C'est la même construction que pour le mode 0 mais dans l'autre sense. Il commence par l'unisson nommé ré, et possède deux autres notes comprises dans le même intervalle ouvert ]Unisson, Octave[, qui sont les notes les plus proches de l'octave, en terme de complexité, et qui s'avère ici être le sol et le do.

Le mode 1 est plus comlexe à décrire...

---- 7 septembre 2013 ----

26) Les gammes

Intuitivement, il y a deux notions de gamme, l'échelle absolue et le mode absolue.

L'échelle absolue détermine ses notes de façon absolue mais ne précise pas de commencement. Cette notion de gamme se différencie donc du mode par une information supplémentaire qui est une référence absolue, et par une information en moins qui est que l'on ne précise pas de tonique. Dans une telle gamme plusieurs modes sont présents.

Le mode absolu détermine ses notes de façon absolue et précise une tonique. Selon que l'on veut une échelle absolue ou un mode absolu on fait abstraction ou pas de la tonique.

On adopte la numérotation des notes en mode de ré et en base 12 comme suit :

Note N ré-2 -20 mib-2 -1B mi-2 -1A fa-2 -19 fa#-2 -18 sol-2 -17 sol#-2 -16 la-2 -15 sib-2 -14 si-2 -13 do-2 -12 do#-2 -11 ré-1 10

Note N ré-1 -10 mib-1 -B mi-1 -A fa-1 -9 fa#-1 -8 sol-1 -7 sol#-1 -6 la-1 -5 sib-1 -4 si-1 -3 do-1 -2 do#-1 -1 ré0 0

Note N ré0 0 mib0 1 mi0 2 fa0 3 fa#0 4 sol0 5 sol#0 6 la0 7 sib0 8 si0 9 do0 A do#0 B ré1 10

Note N ré1 10 mib1 11 mi1 12 fa1 13 fa#1 14 sol1 15 sol#1 16 la1 17 sib1 18 si1 19 do1 1A do#1 1B ré2 20

Note N ré2 20 mib2 21 mi2 22 fa2 23 fa#2 24 sol2 25 sol#2 26 la2 27 sib2 28 si2 29 do2 2A do#2 2B ré3 30

 

La gamme de 7 notes de do en do est :

Gamme(7,do,do) = (do, ré, mi, fa, sol, la, si) = do(2212221)

et la gamme de 7 notes de do en ré est :

Gamme(7,do,ré) = ré(2212221)
Gamme(7,A,0) = (0, 2, 3 , 5, 7, 9, A)

Le complémentaire d'un mode ne produit pas mode car il manque le choix d'une tonique.