TRAITÉ
de
PHYSIQUE DE LA MUSIQUE

1. Les signaux périodiques

Un signal périodique quelconque `f(t)` se décompose en la somme infinie de ses harmoniques entiers `0, 1, 2, 3, 4,...` appelée somme des harmoniques ou série de Fourier du célèbre mathématicien français Joseph Fourier (Auxerre 1768 - Paris 1830) :

`f(t) = a_0 + a_1sin(α_1 "+" omega t) + a_2sin(α_2 "+" 2omega t) + ... + a_nsin(α_n "+" n omega t) + ...`  

La période `T` du signal `f(t)` est exprimée en unité de temps. La fréquence fondamentale du signal `f(t)` est l'inverse de sa période, `1"/"T`, et est exprimée en tour par unité de temps. La vitesse angulaire `omega"="2pi"/"T` est la fréquence multipliée par `2pi` et est exprimée en radian par unité de temps.

L'harmonique `0` correspond à la composante continue de valeur `a_0` et de fréquence nulle. L'harmonique `1`, appelé « l'harmonique fondamental », est le signal sinusoïdal `a_1sin(α_1 "+" omega t)` de période `T`, de fréquence `1"/"T`. L'harmonique `n`, appelé le « `n`-ième harmonique », est le signal sinusoïdal `a_nsin(α_n "+" n omega t)` de période `T"/"n`, de fréquence `n"/"T`. Les amplitudes `a_n` sont exprimées en unité de champ, les phases `α_n` sont exprimées en radian, et le numéro `n` de l'harmonique détermine sa fréquence `n"/"T`. La décomposition d'un signal périodique `f(t)` de période `T` en somme de ses harmoniques s'écrit comme suit :

`f(t) = a_0 + sum_(n=1)^(oo) a_n sin(α_n"+" n omega t)`

`omega=(2pi)/T`

`t` : Temps.
`f(t)` : Valeur du signal à l'instant `t`.
`T` : Période du signal. Nous avons : `AA t "∈" RR,  f(t"+"T)=f(t)`.
`1"/"T`
: Fréquence de l'harmonique fondamental.
`omega`
: Vitesse angulaire de l'harmonique fondamental exprimée en radian par unité de temps.
`n`
: Numéro de l'harmonique.

`a_0` : Composante continue.
`a_1sin(α_1 "+" omegat)`
: Harmonique `1`, harmonique fondamental de vitesse angulaire `omega`.
`a_2 sin(α_2"+" 2omega t)`
: Harmonique `2` de vitesse angulaire `2omega`.
`a_n sin(α_n"+" n omega t)` : Harmonique `n` de vitesse angulaire `n omega`.

`a_1`
: Amplitude du premier harmonique.
`α_1`
: Phase du premier harmonique exprimée en radian.
`a_n`
: Amplitude du `n`-ième harmonique.
`α_n`
: Phase du `n`-ième harmonique exprimée en radian.

2. Pôles

Pour chaque signal sinusoïdal d'amplitude `a` et de phase `alpha` c'est à dire valant `asin(α"+" omega t)`, on regroupe les deux paramètres en un nombre complexe appelé pôle, dont les coordonnées polaires et cartésiennes sont :

`[a,alpha]=a cos(alpha) + i a sin(alpha)`

Ce regroupement en pôle complexe s'avère pertinent, car si on ajoute deux signaux sinusoïdaux de même fréquence et de pôle respectif `z_1, z_2`, on obtient un signal sinusoïdal de même fréquence et de pôle `z_1"+"z_2`.

Et lorsque le signal sinusoïdale traverse un média (ou un guide d'onde) linéaire et sans réminiscence, la transformation qu'il subit se traduit par l'augmentation de son amplitude d'un facteur `b` et par l'augmentation de sa phase d'une quantité `beta`. C'est deux termes sont regroupés en un nombre complexe `[b,beta]` appelé pôle d'amplification, où de façon inverse `[1"/"b,"-"beta]` appelé pôle d'absorbtion. Ainsi, lorque un signal sinusoïdal de fréquence donnée et de pôle `z` traverse un média linéaire sans réminiscence dont le pôle d'amplification pour la fréquence en question est `rho`, on obtient alors un signal sinusoïdal de même fréquence et de pôle `rho z`.

Le spectre discret du signal `f(t)` défini précédement est la suite des amplitudes :

`(a_0,a_1,a_2,a_3,...)`

Et d'une manière complète c'est la suite des pôles :

`(a_0, [a_1, α_1],[a_2, α_2],[a_3, α_3],...)`

Le pôle placé à la place n°`n` dans la liste, définit le `n`-ième harmonique de fréquence `n"/"T`.

De même, telle une photographie en négatif, un média linéaire est caractérisé par un spectre d'absorbtion.

3. Le théorème de l'échantillonnage

Si le signal ne dure qu'un temps `T`, alors il n'est plus périodique. On le rend périodique en le répètant à l'identique après chaque intervalle de temps `T`. On peut alors le décompose en une série de Fourier avec comme étalon de fréquence, la fréquence de l'harmonique fondamental qui est égale à l'inverse de la durée du signal `1"/"T`. Chaque harmonique possède une fréquence qui est un multiple entier de la fréquence fondamentale `1"/"T`. Le spectre du signal est perçu de façon quantifiée où `1"/"T` constitue le quanta de fréquence, et donc avec une précision de l'ordre du demi-quanta de fréquence `1"/"(2T)`. Le spectre est d'autant plus précis que le temps de mesure `T` est long.

Imaginons que le signal contienne une composante de fréquence `f` inconnue. L'harmonique correspondant à cette composante aura comme fréquence le multiple entier de `1"/"T` le plus proche de `f`. Plus la durée `T` de la mesure est grande, plus la fréquence mesurée de la composante recherchée est précise. Et on constate une incertitude sur la fréquence perçue égale à la moitié de la fréquence fondamentale : `f ± 1"/"(2T)`. Ce constat se formalise dans le théorème de l'échantillonnage découvert par C.E.Shannon, ingénieur américain (1916-2001) :

Un signal ne contenant pas de fréquence supérieure ou égale à `f_"max"` peut être échantillonné à la fréquence `2f_"max"` sans qu'il n'y est aucune perte d'information.

Le signal est entièrement déterminé par la suite de ses valeurs à des instants régulièrements espacés par la demie-période de la fréquence maximum `f_"max"` qu'il contient, soit régulièrements espacés de la durée `1"/"(2f_"max")`.

L'oreille ne perçoit pas les sons de fréquences supérieurs à `20 000 "Hz"`. Nous pouvons donc, après avoir enlevé les composantes de fréquence supérieure à `20 000 "Hz"`, échantillonner les signaux sonores à `44 100 "Hz"` (un standard communément rencontré) soit une valeur à peu près toutes les `23 µs`, sans qu'il n'y ait aucune perte d'information, et utiliser les outils discrets, convolution, transformation de Fourrier, transformation en Z…, décrits dans l'excellent ouvrage du Professeur Bellanger.

--- Chapitre Analyse du signal  ---
M. Bellanger "Traitement numérique du signal", 7ème édition, Dunod, 2002
P.Destuynder & F.Santi "Analyse et contrôle numérique du signal", Ellipses, 2003

4. De la nature des signaux

Le signal possède une unité selon sa nature. On le définit de la manière la plus générale en lui donnant autant que possible une nouvelle dimension, une espèce indépendante. Pour concrétiser notre étude nous choisissons comme nature du signal, un signal électrique. Et on choisie l'unité officielle préconisée par le Système international d'unité (SI). La valeur du signal qui est un potentiel électrique, est exprimé en volt (noté `"V"`). Et donc les amplitudes sont exprimés en volt.

Les phases sont exprimées en radian (noté `"rad"`). C'est un choix canonique qui possède quand-même un certain arbitraire. On aurait pu choisir comme unité d'angle, le tour, ou une subdivision entière du tour, ou encore, on le verra plus tard, le double-tour. Néanmoins le développement de la fonction sinus dans ce système d'unité nous laisse penser que c'est le choix le plus simple.

`sin(x)=x+O(x^3)`

L'unité de temps par défaut (du SI) est la seconde (notée `"s"`). La fréquence est exprimée en tour par seconde c'est à dire en Hertz (noté `"Hz"`). Tandis que la vitesse angulaire est exprimée en radian par seconde, sachant qu'un tour égale `2pi` radian, et que l'on passe de la fréquence à la vitesse angulaire en la multipliant par `2pi`, et que inversement on passe de la vitesse angulaire à la fréquence en la divisant par `2pi`.

Néanmoins le choix de la seconde comme unité de temps est arbitraire. Il existe un paramètre fondamentale précisant dans quelle échelle de temps nous nous plaçons ou à quelle vitesse le temps s'écoule, et qui est un facteur multiplicatif, définissant une unité de temps choisie (que l'on peut alors exprimer dans une unité arbitraire sans introduire d'arbitraire). De même, le choix du volt comme unité de mesure du signal est arbitraire. Il existe un paramètre fondamentale précisant dans quelle échelle de mesure dans la dimension du signal nous nous plaçons, et qui est un facteur multiplicatif, définissant une unité de potentiel électrique (que l'on peut alors exprimer dans une unité arbitraire sans introduire d'arbitraire). Le choix de l'echelle est important car dans certaine théorie cosmologique (et ne soyez pas étonné de ce terme car l'inifiniment petit et lié à l'infiniment grand), les lois dépendents de l'échelle où se situe l'observateur.


5) Système linéaire et invariant dans le temps

Le média qui transporte le signal constitue un système possédant une entrée sur laquelle est imposé un signal, et une sortie qui restitue le signal modifié après la traversé du média.

Deux propriétés qui sont couramment rencontrées dans ces systèmes sont la linéarité et l'invariance dans le temps.

Un système possèdant ces deux propriétés est appelé un filtre.

---- 17 avril 2021 ----

 

 

6) Signal électrique

Le signal électrique qui est un potentiel électrique se transforme en un signal sonore qui est une pression acoustique par le biais d'un interface appelé haut-parleur. Dans sa forme simple, le haut parleur est un composant électrique linéaire, qui opère donc une transformation linéaire du signal. La transformation consiste à appliquer un spectre d'amplification, c'est à dire pour chaque composante de fréquence du signal, à multiplier son pôle par un complexe qui est une fonction de la fréquence en question. (Remarquez que le haut-parleur va atténuer complètement la composante continue.)

Dans sa forme simple, le haut-parleur se comporte comme une résistance `R` et le signal électrique est supposé d'impédance nulle. Le signal impose son voltage `U(t)` aux bornes du haut-parleur exprimé en volt (noté `"V"`). L'une des bornes est au potentiel électrique du signal, l'autre borne est à la terre c'est à dire au potention électique nulle. Le courant qui circule `I(t)` s'exprime en ampère (noté `"A"`) c'est à dire en Coulomb par seconde (noté `"C/s"`). La loi de Joule affirme que :

`U(t) = R I(t)`

`P(t) = U(t) I(t)`


`t` : temps
`R` : Résistance exprimée en ohm, `"Ω"`.
`U(t)` : Signal électrique exprimée en volt, `"V"`.
`I(t)` : Intensité électrique exprimée en ampère, `"A"` c'est à dire en coulomb par seconde, `"C/s"`.
`P(t)` : Puissance du signal électrique exprimée en watt, `"W"` c'est à dire en joule par seconde, `"J/s"`.

La résistance `R` s'exprime en ohm (noté `"Ω"`), et constitue le facteur de proportionnalité pour passer de l'intensité électrique au potentiel électrique. La puissance électrique instantanée consommée par le haut parleur `P(t)` est égale au produit du potentiel et de l'intensité. Elle s'exprime en watt (noté `"W"`) c'est à dire en joule par seconde (noté `"J/s"`). Nous avons donc :

`P(t) = (U(t)^2)/R`

On en déduit que la puissance est proportionnelle au carré du signal électrique c'est à dire proportionnelle au carré du potentiel électrique. Cette propriétée est une conséquence de la linéarité du système électrique que constitue le haut-parleur. Cette puissance consommée est répartie entre production de chaleur (effet joule) et émission d'un signal sonore. Le composant étant linéaire, le signal sonore s'obtient en appliquant un spectre d'amplification au signal électrique. Ce spectre, appellé aussi courbe de réponse, n'évolue pas au cours du temps et constitue une caractéristique du composant.

On constate une première règle physique : Une valeur physique dont le carré est proportionnel à une valeur de puissance est appelée une valeur de potentiel. Ainsi la valeur du signal est une valeur de potentiel et non une valeur de puissance.

 

 

7) Signal sonore

Le signal sonore est une pression acoustique exprimée en pascal (noté `"Pa"`) qui s'ajoute à la pression ambiante. C'est une force par unité de surface : `Pa``=``"N/m"^2``=``"kg/"("m" "s"^2)` exprimé en newton par mètre carré, ou en kilogramme par mètre et par seconde.

Dans l'atmosphère qui constitue le nouveau média de transport du signal, la linéarité est toujours valable, et on peut décomposer tout son comme une somme de sons sinusoïdaux. Toutes les règles précédentes s'appliquent, seul les unités ont changées, passant du potentiel électrique exprimé en volt à une pression acoustique exprimée en pascal.

Le travail des forces permet de calculer les quantités d'énergies en mouvement. À travers une surface perpendiculaire à la direction de propagation, une onde sonore développe une puissance proportionnelle à l'aire et au carré de la pression acoustique qui est exprimée en watt par mètre carré `"W/m"^2` et qui s'appelle l'intensité acoustique du son.

Selon les lois de la mécanique, la pression et l'intensité du son sont liées par la relation suivante :

`I = (p^2)/(rho c) ≃ (p^2)/400`

`rho = 1.2 "kg" "m"^-3`   aux conditions d'atmosphère normale.

`c= 340 "m/s"`

`I` : Intensité exprimée en `"mW/m"^2`.
`p` : Signal de pression en `"Pa"`.
`rho` : Masse volumique de l'air en `"kg" "m"^-3`.
`c` : Vitesse du son exprimée en `"m/s"`.

Le signal électrique est un potentiel électrique et possède une puissance qui est proportionnel à son carré. Le signal sonore est une pression acoustique et possède une intensité (puissance par unité de surface) qui est proportionnelle à son carré.


---- 14 avril 2021 ----

 

 

5. Le bel

La loi de Weber-Fechner affirme que la sensation varie proportionnellement au logarithme de l'excitation :

`sf"Sensation"  =  k ln( sf"Excitation" )`

Mais la base du logarithme qui correspond au facteur de proportionnalité `k` reste une inconnue.

L'expérience nous montre que la sensation physiologique du volume sonore double lorsque la puissance (la quantité d'énergie transportée par seconde) du signal sonore est multipliée approximativement par `10`. Le chiffre est évidement approximatif du fait de la non objectivité de la mesure. Le fait que ce chiffre soit proche de `10` est une coïncidence, fruit de l'expérimentation. Et le fait que ce chiffre soit posé égale à `10` est une simplification théorique, une théorie (mais qui reste à prouvée, si cela est prouvable de par la subjectivité de la mesure).

" En pratique, cela signifie que si un chef d'orchestre veut doubler la sensation du volume sonore, il devra multiplier le nombre de musiciens par 10 " Fred Borzeix

De ce constat et de cette simplification théorique, Alexander Graham Bell (3 mars 1847 à Édimbourg en Écosse - 2 août 1922 à Baddeck au Canada), ingénieur britannique d'origine écossaise naturalisé canadien en 1882, (connu pour l'invention du téléphone), définie une unité qui porte son nom, le bel (noté `"B"`), mesurant la variation de la puissance sonore correspondant au doublement de la sensation physiologique du volume sonore, et identifiée comme étant la multipliction par 10 de la puissance sonore :

`v = log(P_2/P_1)`

`v` : variation exprimée en bel.
`P1`: puissance du signal en entrée exprimée en watt.
`P2` : puissance du signal en sortie exprimée en watt.
`log` : Logarithme en base `10`.

Une variation d'un bel correspond aproximativement au doublement de la sensation physiologique du volume sonore, et cela correspond mathématiquement à une augmentation par multiplication par `10` de la puissance du signal. Une diminution d'un bel correspond approximativement à une division par 2 de la sensation physiologique du volume sonore, et cela correspond mathématiquement à une division par 10 de la puissance du signal.

La plus part du temps, la puissance sera proportionnelle au carré du signal (valeur du potentiel). Le bel se définie alors également avec un facteur 2 en fonction de la variation de la valeur du signal (valeur du potentiel) :

`v = 2 log(U_2/U_1)`

`v` : variation exprimée en bel
`U_1`: valeur du signal (valeur du potentiel) en entrée exprimée en volt
`U_2` : valeur du signal (valeur du potentiel) en sortie exprimée en volt
`log` : Logarithme en base `10`

Pour doubler la sensation sonore, c'est à dire augmenter d'un bel, il faut multiplier par `10` la puissance exprimée en watt, c'est à dire multiplier par `sqrt(10)``≃``3.16` la valeur du potentiel exprimée en volt.

Il y a donc deux définitions formelles du bel selon qu'il s'applique à une puissance ou à un champ. Et ces deux définitions coïncident et désigne la même valeur de bel si la puissance est bien proportionnelle au carré du champ.

Noptez qu'un changement de système d'unités ne modifie pas les rapports puisque ceux-ci sont sans unités, et donc ne modifie pas le bel.

6. Le décibel

Dans la pratique on utilise le décibel (noté `"dB"`), un dixième de bel, `1"/"10 "B"`. L'échelle étant logarithmique, une variation d'un décibel correpond à la multiplication de la puissance par `10^(1/10)``≃``1.26` et correspond à la mutliplication du champ par `10^(1/20)``≃``1.12`

`x = 10 log(P_2/P_1) = 20 log(U_2/U_1)`

`x` : variation exprimée en décibel
`P1`: puissance en entrée exprimée en watt
`P2` : puissance en sortie exprimée en watt
`U1`: Champ en entrée exprimée en volt
`U2` : Champ en sortie exprimée en volt
`log` : Logarithme en base `10`

Il y a donc deux définitions formelles du décibel selon qu'il s'applique à une puissance ou à un champ. Et ces deux définitions coïncident et désigne la même valeur de décibel si la puissance est bien proportionnelle au carré du champ.

Le décibel correspond approximativement à la plus petite variation discernable par l'oreille humaine. `10 "dB" = 1 "B"` . Le fait que cette plus petite variation discernable par l'oreille humaine soit proche du dixième de bel constitue encore une coïncidence amusante, fruit de l'expérimentation.

Un changement de système d'unités ne modifie pas les rapports puisque ceux-ci sont sans unités, et donc ne modifie pas le décibel.

7. Échelle logarithmique

Le bel et le décibel sont des échelles logarithmiques de la puissance d'un signal (quantité d'énergie transportée par seconde). Le bel est l'échelle logarithmique en base `10`. Le décibel est l'échelle logarithmique en base `10^(1/10)`. Ils représentent une notation additive des variations multiplicatives de la puissance.

Mais il peuvent être aussi interprété comme des échelles logarithmiques du champ. Le bel est l'échelle logarithmique en base `sqrt(10)`. Le décibel est l'échelle logarithmique en base `10^(1/20)`. Ils représentent une notation additive des variations multiplicatives du champ.

Augmentation du
volume sonore
Facteur multiplicatif
de la puissance
Facteur multiplicatif
du champ
`10 "B"`
`10^10`
`10 000 000 000`
`10^(10/2)`
`100 000`
`5 "B"`
`10^5`
`100 000`
`10^(5/2)`
`320`
`2 "B"`
`10^2`
`100`
`10^(2/2)`
`10`
`1 "B"`
`10`
`10`
`10^(1/2)`
`3.2`
`6 "dB"`
`10^(6/10)`
`4`
`10^(6/20)`
`2`
`5 "dB"`
`10^(5/10)`
`3.2`
`10^(5/20)`
`1.8`
`2 "dB"`
`10^(2/10)`
`1.6`
`10^(2/20)`
`1.3`
`1 "dB"`
`10^(1/10)`
`1.3`
`10^(1/20)`
`1.1`
`0`
`1`
`1`
`1`
`1`
`-1 "dB"`
`10^(-1/10)`
`0.79`
`10^(-1/20) `
`0.89`
`-2 "dB"`
`10^(-2/10)`
`0.63`
`10^(-2/20)`
`0.79`
`-5 "dB"`
`10^(-5/10) `
`0.32`
`10^(-5/20)`
`0.56`
`-6 "dB"`
`10^(-6/10)`
`0.25`
`10^(6/20)`
`0.5`
`-1 "B"`
`10^(-1)`
`0.1`
`10^(-1/2)`
`0.32`
`-2 "B"`
`10^(-2)`
`0.01`
`10^(-2/2)`
`0.1`
`-5 "B"`
`10^(-5)`
`0.000 01`
`10^(-5/2)`
`0.0032`
`-10 "B"`
`10^(-10)`
`0.000 000 000 1`
`10^(-10/2)`
`0.000 01`

Les variations s'ajoutent et les facteurs multiplicatifs se multiplient. Par exemple, ajouter `"+"1 "dB"`, puis `"+"5 "dB"`, puis `"+"1 "B"` correspond à une augmentation de `1 "dB" + 5 "dB" + 10 "dB" = 16 "dB"`. Et cela correspond à la multiplication de la puissance par `1.3 × 3.2 × 10 = 41.6`, et cela correspond aussi à la multiplication du signal par `1.1 × 1.8 × 3.2 = 6.4`

Ajouter `1 "B"` correspond à multiplier la puissance par `10` ou à multiplier le signal par `10^(1/2)`. Ajouter `1 "dB"` correspond à multiplier la puissance par `10^(1/10)` ou à multiplier le signal par `10^(1/20)`. Diminuer de `1 "B"` correspond à diviser la puissance par `10` ou à diviser le signal par `10^(1/2)`. Diminuer de `1 "dB"` correspond à diviser la puissance par `10^(1/10)` ou à diviser le signal par `10^(1/20)`

On remarquera que la multiplication par deux du signal correspond à une variation de `"+"20 log(2) "dB"` c'est à dire à peu près à une variation de `"+"6 "dB"`.

8. Le néper

Le néper (noté `"Np"`) est une unité de rapport logarithmique de base `e` qui porte le nom du mathématicien écossais Jean Neper (1550 au Château de Merchiston, près d'Édimbourg - 1617 au Château de Merchiston). Elle est utilisée en dehors de toutes considération physiologique pour exprimer le logarithme néperien d'un rapport de même espèce. On choisie la base néperienne du logarithme, c'est la base `e≃2.72`, car elle est la seule a présenter les propriétés mathématiques remarquables suivantes :

`ln(e^x)=x`

`(d(e^x))/(dx)=e^x`

`(d ln(x))/(dx)=1/x`

La notation formelle mentionne l'espèce (la dimension) concernée. Soit une espèce (dimension) `sfU`. On note `"Np_(sfU)` le néper relatif à cette espèce (dimension). Une variation de `"+"1 "Np_(sfU)` désigne une multiplication de la valeur par `e``≃``2.72` de cette espèce.

Pour le bel, la notation formelle mentionne l'espèce (ou dimension) concernée qui doit être une puissance ou un champ. Mais il y a une différence de définition selon qu'il s'agit d'une puissance ou d'un champ. Une variation de `"+"1 "B"` désigne une multiplication par `10` de la puissance concernée, et désigne une multiplication par `sqrt(10)` du champ concerné. Une variation de `"+"1 "Np"` désigne une multiplication par `e``≃``2.72"`.

Un changement de système d'unités ne modifie pas les rapports puisque ceux-ci sont sans unités, et donc ne modifie pas le néper ni le bel de champ, ni le bel de puissance.

`x = ln(U_2/U_1)`

`x` : variation exprimée en neper
`U_1`: valeur en entré exprimée en volt
`U_2` : valeur en sorti exprimée en volt
`ln` : Logarithme néperien

Le rapport de puissance étant égale au carré du rapport de champ, un néper de champ s'avère proche d'un bel de puissance. Nous avons :

`1 "Np_V" = 0.869 "B_W"`

Le doublement de la sensation physiologique du volume sonore est une notion subjective, difficilement appréhendable objectivement. Et on peut se demander si le doublement de cette sensation ne correspondrait pas en faite à l'augmentation d'un néper de champ, ce qui donnerait une explication mathématique à ce critère physiologique.

10. Décibel absolu et règle d'homogénéité dans les formules.

Le décibel peut se définir de façon absolue en fixant la valeur du potentiel ou de la puissance correspondant au zéro décibel.

Dans un système linéaire la puissance est proportionnelle au carré du potentiel. Mais, si ce n'est plus linéaire, il y a alors deux grandeurs spécifiques que sont le niveau de décibel absolu du signal potentiel (noté `"dBSPL"`), et le niveau de décibel absolu de la puissance (noté `"dBSIL"`).

On définie une unité de bel absolue en spécifiant une valeur absolue au dénominateur du rapport, une unité physique. Le rapport est sans unité car le logarithme doit ici s'appliquer toujours un à nombre sans unité. Par exemple on définie l'unité notée `"B"(1 "mW")` comme étant l'unité de puissance en bel relative à 1 milliwatt :

`x = log(P)`

`x "B"(1 "mW") = log((P mW)/(1 "mW") )`

`x` : Puissance exprimée en bel relatif à 1 milliwatt.
`P`
: Puissance exprimée en milliwatt.
`log` : Logarithme en base `10`.
`"mW"` : Unité, le milliwatt.
`"B"(1 "mW")` : Unité, le bel relatif à `1` milliwatt.


  `-4 "B"(10 "mW")`  
  `-3 "B"(1 "mW")`  
`1 "µW"`
`-3 "B"(10 "mW")`
`-2 "B"(1 "mW")`
  `0.01 "mW"`  
`-2 "B"(10 "mW")`
`-1 "B"(1 "mW")`
`0.1 "mW"`
`-1 "B"(10 "mW")`
`0 "B"(1 "mW")`
`1 "mW"`
`0 "B"(10 "mW")`
`1 "B"(1 "mW")`
`10 "mW"`
`1 "B"(10 "mW")`
`2 "B"(1 "mW")`
`100 "mW"`
`2 "B"(10 "mW")`
`3 "B"(1 "mW")`
`1 "W"`

Si le signal se meut dans un espace à 3 dimensions, on parlera alors de puissance traversant un élément de surface. Le `"B("1 "mW/m"^2")"` constitue l'unité de puissance en bel relatif à 1 milliwatt par mètre carré.

D'une manière générale, pour une dimension `sfU` quelconque et une unité `"u"` pour cette dimension, l'unité `"B"("u")` est l'unité logarithmique de base `10` relative à `u` pour la dimension `sfU`. Ainsi, appliqué à un nombre sans unité nous avons :

`x "B"(1) = 10^x`

`x "B"(b) = 10^x b`

`x "B"("u") = 10^x "u"`

Néanmoins cette définiton n'est que mathématique et correspond à l'unité logarithmique en base `10`. Rappelons qu'il existe une définition physiologique du bel : 1 bel corespond au doublement de la sensation de volume sonore.

11. Le décibel Sound Pressure Level (`"dBSPL"`) et le décibel Sound Intensity Level (`"dBSIL"`)

Le signal sonore se manifeste dans l'air sous forme d'un champ de pression. Le signal est une pression et est exprimée en pascal (noté `"Pa"`). C'est une force par unité de surface : `Pa``=``"N/m"^2``=``"kg/"("m" "s"^2)` exprimé en newton par mètre carré ou en kilogramme par mètre et par seconde carré.

L'intensité sonore se manifeste dans l'air sous forme d'un flux d'énergie. L'intensité est une puissance qui traverse un élément de surface et qui est exprimée en watt par mètre carré `"W/m"^2`.

Selon les lois de la mécanique, la pression et l'intensité du son sont liées par la relation suivante :

`I = (s^2)/(rho c) ≃ (s^2)/400`

`rho = 1.2 "kg" "m"^-3`   aux conditions d'atmosphère normale.

`c= 340 "m/s"`

`I` : Puissance exprimée en `"mW/m"^2`.
`s` : Signal de pression en `"Pa"`.
`rho` : Masse volumique de l'air en `"kg" "m"^-3`.
`c` : Vitesse du son exprimée en `"m/s"`.

La puissance est bien proportionnelle au carré du signal. Le facteur de proportionnalité dépend du média où circule le son. Et ce facteur intervient déslors que l'on utilise le décibel absolu. Le zéro `"dBSPL"` est fixé à `20` micro pascal, et le zéro `"dBSIL"` est fixé à `1` pico watt par mètre carré :

`"dBSPL" = "dB"( 20 "µPa")`

`"dBSIL" = "dB(" 1  "pW/m"^2")"`

Le dBSPL est équivalent au dBSIL dans notre atmosphère au conditions normales : Les deux unités sont identiques car un signal sonore de `20 "µPa"` correspond aproximativement à un signal de puissance `1 "pW/m"^2`.

Le fonctionnement simultané de dix instruments équivalents, multiplie par 10 l'énergie acoustique reçue par les tympans. La puissance est ainsi multiplier par 10 et le niveau sonore est augmenté d'un bel. Cela correspond à un doublement de la sensation auditive. Le bruit est ressenti comme deux fois plus fort. Il ne faut pas confondre la puissance acoustique exprimée en watt et le niveau de la sensation sonore exprimée en bel ou en décibel.

12. Domaine des fréquences et amplitudes audibles


13. Sommation de plusieurs signaux

Lorsque trois signaux `S_1(t)`, `S_2(t)`, `S_3(t)` s'ajoutent nous obtenons l'équation suivante :

`S(t) = S_1(t) + S_2(t) + S_3(t)`

`S_1(t)` : valeur du premier signal à l'instant `t`, exprimée en volt.
`S_2(t)` : valeur du second signal à l'instant `t`, exprimée en volt.
`S_3(t)` : valeur du troisième signal à l'instant `t`, exprimée en volt.
`S(t)` : valeur du signal résultant à l'instant `t`, exprimée en volt.

Leurs puissances instantanée (proportionelles au carré du signal, d'un facteur `k`) ne s'ajoutent pas à cause des produits croisées :

`P(t) = k(S(t))^2`
`P(t) = k(S_1(t) + S_2(t) + S_3(t))^2`

`P(t) = k"("S_1(t)^2 + S_2(t)^2 + S_3(t)^2 + 2S_1(t)S_2(t) + 2S_1(t)S_3(t) + 2S_2(t)S_3(t)")"`
`P(t) = kS_1(t)^2 + kS_2(t)^2 + kS_3(t)^2 + 2kS_1(t)S_2(t) + 2kS_1(t)S_3(t) + 2kS_2(t)S_3(t)`
`P(t) = P_1(t) + P_2(t) + P_3(t) + 2kS_1(t)S_2(t) + 2kS_1(t)S_3(t) + 2kS_2(t)S_3(t)`

`P1(t)` : puissance instantané du premier signal à l'instant `t`, exprimée en watt.
`P2(t)` : puissance instantané du second signal à l'instant `t`, exprimée en watt.
`P3(t)` : puissance instantané du troisième signal à l'instant `t`, exprimée en watt.
`P(t)` : puissance instantané du signal résultant à l'instant `t`, exprimée en watt.

Mais si les signaux sont indépendants, en intégrant sur un intervalle de temps suffisament grand t = 0..T, les produits croisés auront une intégrale nulle (moyenne nulle). Les puissances intégrées divisées par T constituent les puisssances moyennes. Donc si les signaux sont indépendants, leurs puissances moyennes s'ajoutent :

`bar P_1 = 1/T int_(t=0)^(t=T) P_1(t)dt`

---- 14 avril 2021 ----


P2 = int(P2(t), t=0..T) / T
P3 = int(P3(t), t=0..T) / T
P   = int( P(t), t=0..T) / T

P = P1 + P2 + P3

P1 : puissance moyenne du premier signal exprimée en watt.
P2
: puissance moyenne du second signal exprimée en watt.
P3
: puissance moyenne du troisième signal exprimée en watt.
P : puissance moyenne du signal résultant exprimée en watt.

Les niveaux de puissance des signaux temporisés sur un période T sont exprimés en bell et s'obtiennent en prenant le logarithme en base 10 de la puissance moyenne sur la période T, relativement à une puissance de référence que l'on peut fixer à 1W par exemple :

L1 = log(P1 / 1W)                  P1 = 10L1 W
L2 = log(P2 / 1W)                  P2 = 10L2 W
L3 = log(P3 / 1W)                  P3 = 10L3 W

L = log(P / 1W)

L = log((P1+P2+P3) / 1W)

L = log( 10L1 + 10L2 + 10L3 )

L1 : niveau de puissance du premier signal, et exprimée en bel au dessus de 1 watt.
L2 : niveau de puissance du second son, et exprimée en bel au dessus de 1 watt..
L3 : niveau de puissance du troisième son, et exprimée en bel au dessus de 1 watt..
L : niveau de puissance du signale résultant, et exprimée en bel au dessus de 1 watt.

Noter que si on ajoute deux sons dont la différence dépasse 10 dB, le niveau sonore résultant est pratiquement égal au plus grand des deux. Autrement dit, la superposition d'un son de 80 dB et d'un autre son de 90 dB, et s'ils sont indépendant (pas de frange d'interférence) alors le son résultant est encore approximativement de 90 dB.


14. Loi physiologique fondamentale sur la perception des rapports de fréquence et de l'absence de fréquence absolue

L'expérience montre que l'impression ressentie à l'audition d'un accord de deux sons dépend du seul rapport des fréquences entre ces deux sons. Par exemple en augmentant la vitesse d'écoulement du temps, les deux sons deviennent plus aiguës, les fréquences des deux sons augmentent proportionnellement, et leur rapport reste constant. Cet accord conserve à l'audition une qualité invariable quel que soit l'accroissement proportionnel des deux fréquences. La nature musicale d'un accord n'est pas changée lorsque on multiplie toutes les fréquences présentes par une même constante quelconque. Autrement dit, la nature musicale d'un accord est invariante par translation dans une échelle logarithmique des fréquences. Une telle translation est appelée transposition.

L'oreille est capable de discerner une fréquence absolue mais selon d'autres règles que ceux de l'harmonie musicale. Il n'y a pas de fréquence absolue identifiée par les règles d'harmonie que nous cherchons à découvrir.

" La nature a fait que nous avons une perception logarithmique des fréquences acoustiques c'est-à-dire que nous sommes sensibles au rapport des fréquences entre deux sons et non à leur différence. " Gilles Bannay

H.Bouasse "Bases physiques de la Musique", Gauthier-Villars, 1906 [§5]

15. Le timbre et la non perception des phases

Le timbre d'un son est déterminé par l'amplitude de ses harmoniques, et non par leurs phases. En effet, l'oreille qui est composée de multiples organes résonateurs ne perçoit pas la phase d'un signal sonore (d'après Helmholtz). Elle perçoit bien la phase d'un rythme mais non d'un son. Aussi les règles d'harmonie des rythmes sont de nature différente des règles d'harmonie des sons.

16. Les différences entre son et rythme

La différence entre un rythme et un son, tient dans le fait qu'ils ne sont pas dans la même échelle de temps. La fréquence d'un rythme est beaucoup plus petite que celle d'un son, et se traduit par une variation périodique de l'enveloppe du son. Les domaines de perception des fréquences des sons et des rythmes sont différents. Lorsque le rythme devient trop rapide il s'apparente à un son et perd sa qualitée de rythme, sauf lorsque celui-ci possède des sous-rythmes de fréquences plus basses qui prennent alors le relais. De même, lorsque le son est de très basse fréquence, ses qualités musicales deviennent indiscernables de celles des fréquences voisines, sauf lorsque celui-ci possède des harmoniques de fréquences plus élevées qui prennent alors le relais.

17. Les harmoniques virtuels

L'oreille est composé d'organes résonateurs avec un trés fort ammortissement, qui nous permet de distinguer une répétition trés rapide d'un même son. Donc l'oreille est composé d'organes résonateurs non linéaires : Lorsque deux sons purs de fréquences p et q excitent l'oreille, celle-ci engendre tous les harmoniques (d'après Helmholtz) :

Les harmoniques 1 de fréquences : p, q
Les harmoniques 2 de fréquences : 2p, 2q, p+q, |p-q|
Les harmoniques 3 de fréquences : 3p, 3q, 2p+q, 2q+p, |2p-q|, |2q-p|
...

Ces harmoniques sont dit virtuels puisque non nécessairement présent dans le son. Lorsque la source est linéaire, c'est à dire lorsque chacune de ses composantes est émise par un résonateur pur linéaire, aucun harmonique combiné n'est créé.

Il existe néanmoins des modulations d'amplitude. Car la somme de deux signaux sinusoïdaux de fréquence p et q équivaut à un signale sinusoïdal de fréquence égale à la moyenne (p+q)/2, multiplié (ou modulé) par un signal sinusoïdale de fréquence égale à la demi-différence |p-q|/2. Et les battements perçus sont 2 fois plus rapide que la modulation car les battements décomptent des ventres et donc les demi-périodes. Ce faisant, les battements traduisent les écarts de fréquences |p-q|.

Les battements ne sont pas des harmoniques et n'apparaissent pas dans le spectre des fréquences. Néanmoins si la source linéaire ne crée pas les harmoniques correspondants aux battements, l'oreille les crée.

La perception des battements est de nature différente de la perception des rapports de fréquence. Elle est de même nature que la perception des rithmes, et semble contredire le point §9. Mais malgrés cela, si nous multiplions les deux fréquences par une constante k quelconque, les harmoniques virtuels qui sont créés sont également multipliés par k (et les battements également). La sensation musicale basée sur les rapports croisés des fréquences et de leurs harmoniques est donc invariante par transposition puisque ces rapports restent constants par transposition.


18. Loi des cordes vibrantes

La fréquence de résonance d'une corde est donnée par la formule suivante :

w = l * sqrt( P*g / p) / 2

w : Fréquence de résonance de la corde en hertz
g : Accélération de pesanteur en m/s
P : Poids tenseur en Kg
p : Poids de la corde par mètre en Kg/m
l : Longueur de la corde en mètre

H.Bouasse Bases physiques de la Musique, Gauthier-Villars, 1906 [§4]

19. Déplacement Doppler

Ce déplacement en fréquence appelé, effet Doppler, porte le nom de son inventeur, le physicien autrichien Johann Christian Doppler (Salzbourg, 1803 - Venise, 1853).

Si la source du son se déplace en se rapprochant ou en s'éloignant de l'auditeur fixe, avec une vitesse V, celui-ci perçoit le son avec une fréquence respectivement plus haute ou plus basse. La fréquence perçue est :

w' = w / ( 1 - V/c)

w' : Fréquence du son réceptionné par l'auditeur.
w : Fréquence du son émit par la source.
V : Vitesse de rapprochement de la source sonore vers l'auditeur fixe.
c : Vitesse du son (dans l'air = 340 m/s, dans l'eau = 4 m/s)

Si c'est l'auditeur qui se déplace en se rapprochant ou en s'éloignant de la source fixe, avec une vitesse V, celui-ci perçoit le son avec une fréquence respectivement plus haute ou plus basse. La fréquence perçue est :

w' = w * ( 1 + V/c)

w' : Fréquence du son réceptionné par l'auditeur.
w : Fréquence du son émit par la source.
V : Vitesse de rapprochement de l'auditeur vers la source sonore fixe.
c : Vitesse du son (dans l'air = 340 m/s, dans l'eau = 4 m/s)


Si la vitesse de la source sonore est petite par rapport à la vitesse du son. La première formule devient approximativement identique à la seconde formule, qui devient alors valable pour une vitesse V de rapprochement relatif entre la source et l'auditeur. Le déplacement Doppler multiplie alors toutes les fréquences des sons émis par la source, par une même constante approximativement égale à (1+V/c). Les qualités des accords entres sons ne seront donc pas affectée.

Berkeley mécanique " cours de physique volume 1" [§10]

Chapitre suivant : "Les intervalles"

Dominique Mabboux-Stromberg (mai 2013)

 

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