La logique classique utilise deux états logiques le vrai et le faux. La négation est l'opération logique qui permet de passer de l'un à l'autre. La symétrie y est parfaite. De telle sorte que, en dehors des tautologies et des antilogies, pour toutes propositions indécidées `P`, si nous devons choisir `P` ou `"¬"P`, et si on ne sait pas qu'elle est le vrai et qu'elle est le faux, on ne peut assurément pas déterminer un quelconque avantage de l'un par rapport à l'autre.
Ce principe s'applique également aux logiques plus faibles du moment qu'elle maintiennent cette symétrie parfaite entre le vrai et le faux, une symétrie propre à leurs langages des propositions.
L'idée d'une logique ternaire symétrique consiste à proposer à la place de l'opposition binaire vrai-faux jugée trop manichéenne et simpliste, une opposition ternaire, `3` entités logiques qui s'opposent. Pour chacune d'elle, elles représente la vérité, elle sont d'égale importance, et elles sont disjointes. Leur égale importance se traduit par une symétrie dans le langage des propositions que l'on pose parfaite. Et donc aucune place n'est faite pour la contradiction binaire. C'est une logique sans contradiction binaire, une forme de prélogique.
On pose trois valeurs logiques :
`fr(T) = {0,1,2}`
Ces trois valeurs logiques forment un cycle `(0,1,2)`. La négation est définie par `¬n = n "+"1 "mod" 3`. Les trois valeurs sont ainsi symétriques. Dans cette logique, la négation classique n'est pas définie, le connecteur `"¬"` désigne une autre négation. Il y a juste `3` valeurs logiques d'égale importance. Et nous avons la règle `"¬¬¬"P = P`. Si la proposition `P` est à l'état logique `0`, alors la proposition `"¬"P` est à l'état `1` et la proposition `"¬¬"P` est à l'état `2`. Si la poposition `P` est à l'état logique `n`, alors la proposition `"¬"P` est à l'état `n"+"1 "mod" 3` et la proposition `"¬¬"P` est à l'état `n"+"2 "mod" 3`.
Donc, il n'y a plus de faux, plus de contradiction, tout peut être dit, il y a juste 3 vérités, 3 entités qui se regardent en chiens de faïences mais dans un triangle.
Les prérequis pour aborder la logique à 3 états symétriques, appelée la trilogique, sont :
Les connecteurs nullaires sont les valeurs logiques appatenant à `fr(T)`, et il y en a `3`.
Les connecteurs unaires sont les applications de `fr(T) "→" fr(T)`, et il y en a `3^3`, c'est à dire `27`. Tous ces connecteurs ne sont pas pertinents. On définit une notion de dégénérescence comme une dégradation de l'information ou plus exactement une diminution de la quantité d'information.
Etant un connecteur unaire `mu"(.)"` que l'on note parfois comme ici avec le suffixe `"(.)"` pour rappeller qu'il est unaire. Et étant donné un message représenté par une variable `x`. On sous-entend que cette variable change de valeur logique selon le temps ou bien selon un numéro de tirage, faisant qu'elle s'apparente en faite à une succession de valeurs logiques `(x_0,x_1,x_2,...)`. Remarquez que tous ces préceptes ne sont qu'une déscription en toile de fond de notre langage, des outils mathématiques que nous utilisons. Si le message `x` transformé par le connecteur `mu` en le message `mu(x)` ne possède pas la même quantité d'information mais une quantité d'information plus faible, alors le message est dit dégradé et le connecteur `µ` est dit dégéneré. Les connecteurs unaires non dégénérés sont les bijections de `fr(T) "→" fr(T)` , et il y en a `3!` c'est à dire `6`.
Si on rejète toute symétrie binaire dans le langage des propositions, on peut alors omettre les connecteurs laissant une valeur logique invariante et permutant les deux autres. Avec cette seconde restriction le nombre de connecteurs devient égale à `3`. Ce sont les connecteurs `"id", "¬", "¬¬"`.
Les connecteurs binaires sont les applications de `fr(T)"×"fr(T)"→" fr(T)`, et il y en a `3^(3^2)`, c'est à dire `19683`. La notion de connecteur binaire dégénéré se complexifie un peu. Le connecteur binaire est dit dégénéré s'il ne respecte pas les règles suivantes :
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Si on ne s'intéresse qu'aux connecteurs non dégénérés c'est à dire qui sont des surjections, alors le nombre devient `3-3*2^9+3^9 = 18150`.
Etant donné un connecteur binaire `·` , il est possible de construire à l'aide des `3` connecteurs unaires retenus, `3^3"="27` connecteurs binaires :
`"¬"x · y`
`"¬¬"x · y`
`x · "¬"y`
`"¬"x · "¬"y`
`"¬¬"x · "¬"y`
`x · "¬¬"y`
`"¬"x · "¬¬"y`
`"¬¬"x · "¬¬"y`
`"¬"("¬"x · y)`
`"¬"("¬¬"x · y)`
`"¬"(x · "¬"y)`
`"¬"("¬"x · "¬"y)`
`"¬"("¬¬"x · "¬"y)`
`"¬"(x · "¬¬"y)`
`"¬"("¬"x · "¬¬"y)`
`"¬"("¬¬"x · "¬¬"y)`
`"¬¬"("¬"x · y)`
`"¬¬"("¬¬"x · y)`
`"¬¬"(x · "¬"y)`
`"¬¬"("¬"x · "¬"y)`
`"¬¬"("¬¬"x · "¬"y)`
`"¬¬"(x · "¬¬"y)`
`"¬¬"("¬"x · "¬¬"y)`
`"¬¬"("¬¬"x · "¬¬"y)`