Un carré magique normale se compose de `n^2` cases remplis de nombres entiers tous distincts parcourant les entiers de `1` à `n^2`, disposés de telle sorte que leurs sommes sur chaque rangée, sur chaque colonne et sur chaque diagonale principale soient égales. Voici le carré de Lo shu (nom d'un fleuve) :
La tablette Plimpton 322 dresse une liste de triplets pythagoriciens, c'est à dire de nombres entiers `(a,b,c)` correspondant aux trois cotés d'un triangle rectangle, `a^2"+"b^2"="c^2`.
`(3,4,5), (6,8,10), (5,12,13), (9,12,15), (8,15,17),`
`(12,16,20),(7,24,25),(15,20,25),(10,24,26), (20,21,29),`
`(18,24,30),(16,30,34), (21,28,35), (12,35,37),(15,36,39),`
`(24,32,40), (9,40,41),(27,36,45),`
`(14,48,50),(30,40,50), (24,45,51),(20,48,52), (28,45,53),(33,44,55),(40,42,58),`
`(36,48,60),(11,60,61), (16,63,65),(25,60,65), (33,56,65),(39,52,65),(32,60,68),`
`(42,56,70), (48,55,73), (24,70,74), (21,72,75),(45,60,75), (30,72,78),`
`(48,64,80), (18,80,82), (13,84,85),(36,77,85), (40,75,85), (51,68,85),(60,63,87), (39,80,89),`
`(54,72,90), (35,84,91), (57,76,95), (65,72,97),`
`(28,96,100),(60,80,100),`
Le papyrus Rhind. Multiplication et division, décomposition en sommes de fraction.
`2/(pq) = 2/(p"+"1) (p"+"1)/(pq) = 2/(p"+"1) + 1/q +1/(pq)`
Surface du cercle : `pi r^2`
Cadrature du cercle, diamètre de longueur `9` et carré équivalent de côté `8` :
`pi ~~ (16/9)^2`
La diagonal d'un carré utilisé comme coté, produit un carré de surface double du carré d'origine.
`sqrt(2) ~~ 1 + 1/3 + 1/(3"×"4) - 1/(3"×"4"×"34) = 577/408`
`sqrt(a^2+r) ~~ a+r/(2a)` avec `r -< 1`
`sqrt(x) ~~ sqrt(x-1)+1/(2sqrt(x-1))` avec `x>- 1`
Un cercle est partagé en deux parties égales par tout diamètre.
Les angles à la base d'un triangle isocèle sont égaux (théorème du pont aux ânes).
Lorsque deux droites se coupent, les angles opposés par le sommet sont égaux.
Un triangle est déterminé si la base et les angles à la base sont donnés.
Un triangle `ABC` inscrit dans un cercle et dont le segment `BC` en est un diamètre, est rectangle en `A`.
Théorème de Thalès (théorème d'intersection qui ne sera démontré que trois siècles plus tard par Euclide) : Considérons deux droites non parallèles coupées par deux droites parallèles, ou un triangle `ABC` que l'on modifie en déplaçant le coté `BC` en le coté `B'C'` parallèle à `BC` formant le triangle `AB'C'`, alors nous avons :
`(AB')/(AB) =(AC')/(AC) = (B'C')/(BC)`
Théorème de Pythagore : Pour tout triangle rectangle, le carré de la longueur de l'hypoténuse est égale à la somme des carrés des deux autres cotés. Irrationalité de `sqrt(2)`. Harmonies musicales. Nombres triangulaires. Nombres parfaits (égaux à la somme de leurs diviseurs). Paires de nombres aimables (chaque nombre est la somme des diviseurs de l'autre nombre) telle que `(220, 284)`.
`[x,y]^2=x^2+y^2`
Paradoxes de Zénon :
`1/2+1/4+1/8+...+1/2^n+ ... = 1`
Quadrature des lunules : Considérons un triangle réctangle en `A` noté `ABC`. Considérons la surface du cercle circonscrit au triangle notée `bar(ABC)`, et considérons la surface du cercle circonscrit au segment `AB` notée `bar(AB)`. La surface de la lunule `L_(AB)` est la partie de `bar(AB)` qui n'est pas recouverte par `bar(ABC)`. Hippocrate démontre que la surface des deux lunules `L_(AB)+L_(AC)` est égale à celle du triangle `ABC`. (C'est une application du théorème de Pythagore).
Les 5 solides de Platon. Les 5 polyèdres réguliers :
où `xyz...` indique dans l'ordre les types de polygone régulier que reçoit chaque sommet.`(333, 444, 3333, 555, 33333)`
L'Organon d'Aristote. Esquisse d'une logique formelle.
`(AAx, P(x)) => (EEx, P(x))`
`(¬ AAx, P(x))<=>(EEx, ¬P(x))`
`(¬ EEx, P(x))<=>(AAx, ¬P(x))`
Les mécaniques. Le paradoxe de la roue d'Aristote : Des segments de tailles différentes sont néanmoins des ensembles possédant un nombre transfini de points mis en correspondance bijective. Il a appelé "continuum" ce nombre transfini.
Les Éléments d'Euclide. Axiomes d'Euclide :
- un segment de droite peut être tracé en joignant deux points quelconques distincts.
- un segment de droite peut être prolongé indéfiniment en une ligne droite.
- Étant donné un segment de droite quelconque, un cercle peut être tracé en prenant ce segment comme rayon et l'une de ses extrémités comme centre ;
- Tous les angles droits sont congruents.
- Si deux lignes sont sécantes avec une troisième de telle façon que la somme des angles intérieurs d'un côté est strictement inférieure à deux angles droits, alors ces deux lignes sont forcément sécantes de ce côté.
le 5ème axiome s’appelle le postulat des parallèles. Car sa contraposée est : « Si deux droites ne se coupent pas, alors la somme des angles intérieurs à toute sécante est égale à deux angles droits (180°). En conséquence, par un point donné, il ne peut passer qu’une parallèle à une droite donnée. »
Génaralisation du théorème de Pythagore : Soit un triangle de cotés `a,b,c` et dont on coupe par une hauteur de taille `h` le coté `c = u"+"v`. Cela crée deux triangles rectangles : `a^2"="u^2"+"h^2` et `b^2"="v^2"+"h^2`, et on en déduit que `a^2"=" b^2"+"c^2"-" 2cv`.
dans lequel on utilise les notations usuelles : d'une part `α`, `β` et `γ` pour les angles et, d'autre part, `a`, `b` et `c` pour les longueurs des côtés respectivement opposés à ces angles. Alors l'égalité suivante est vérifiée :
Algorithme d'Euclide : `"pgcd"(x,y) = "pgcd"(y,x mod y)`La surface `S` le volume `V` d'une sphère re rayon `r` :
`S=4pir^2 V=4/3pir^3`
`3"+"10/70<pi<3"+"10/71`
`265/153< sqrt(3)<1351/780`
Le stomachion,
puzzle composé de `14` pièces.
Spirale d'archimède `r = a+btheta` en coordonnées polaires `(r,theta)`.
Dans l'Arénaire, l'univers contient `8"×"10^63` grains de sables. `10^a10^b=10^(a+b)`
Les `13` polyèdres semi-réguliers :
où `xyz...` indique dans l'ordre les types de polynôme régulier que reçoit chaque sommet.(3434, 3535, 366, 466, 388, 566, 3AA, 3444, 468, 3454, 46A, 33334, 33335).
Crible d'Ératosthène : Algorithme de calcul des nombres premiers.
Cissoïde de Dioclès. En coordonnées cartésiennes `[x,y]` et en coordonnées polaires `(r,theta)` :
`y^2= x^3/(2a-x)` `r = 2a(1/cos(θ) - cos(θ))` `((x=2a(t^2)/(1+t^2)),(y=tx),(t= tan(theta)))`
Aire `S` d'un triangle de coté `a,b,c` :
`S= sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)` avec le demi-périmètre `p=(a+b+c)/2`
Algorithme de calcul de la racine carré :
`x_(n+1) = 1/2(x_n+a/x_n)` `lim_(n->oo) x_n = sqrt(a)`
Table des sinus (par intervalle de 15 minutes).
Dans un quadrilatère convexe ABCD inscrit dans un cercle, le produit des diagonales est égal à la somme des produits des côtés opposés. Et l'égalité devient une relation "plus petit que" pour toute les autres formes de quadrilatère :
`ABCD " convexe et inscriptible" <=> AC"∗"BD=AB"∗"CD+AC"∗"BD`
Arithmétique de Diophante. Equations diophantiennes. Solutions entières de `ax + by = c`. Solutions entières de `ax^2 + bx = c`. Les nombres de la forme `4n+1` se décomposent en somme de deux carrés, Détermination de valeurs faisant de 2 expressions linéaires des carrés.
Le nombre zéro. Le produit de nombres négatifs. Les équation du second dégré. L'aire d'un quadrilatère convexe circonscrit dans un cercle :
`S = sqrt((p-a)(p-b)(b-c)(p-d))`
avec le demi-périmètre `p= (a"+"b"+"c"+"d)/2`
Si un quadrilatère inscriptible a des diagonales perpendiculaires alors toute droite coupant perpendiculairement un côté quelconque du quadrilatère et passant par l'intersection des deux diagonales partage le côté opposé en deux parties égales.
`1^2+2^2+3^2...+n^2 = (n(n"+"1)(2n"+"1))/6` et `1^3+2^3+3^3...+n^3 = ((n(n"+"1))/2)^2`
Une approximation de `sin(x)` par :
Equations diophantiennes de la forme `x^2"="ny^2"+"1` appelées aujourd’hui équation de Pell.`sin(x) = (16x(pi-x))/(5pi^2 - 4x(pi-x))` avec `0"⩽"x"⩽"pi/2`
Père des notions d'algorithme, de l'Algèbre et des chiffres arabes. Résolution des équations du second degrés :
`x^2"+"bx"=" c <=> x = b/2 ± sqrt( (b/2)^2-c)`
Anneaux borroméens, version trinagulaire. Trois anneaux entrelacés de telle sorte que si on coupe l'un des anneaux les deux autres se séparent.
Formule produisant des paires de nombres aimables :
`p=3"∗"2^(n-1), q=3"×"2^n-1, r= 9"×"2^(2n-1)` avec `n">"1`
Si `p, q ,r` sont des nombres premiers, alors `(2^npq, 2^nr)` forme une paire aimable.
La puissance `n`-ième du binôme, `a"+"b`, où `n` est un entier naturel quelconque. Exemple :
Les coefficiente numériques `(1,5,10,10,5,1)` constituent les coefficients binomiaux qui correspondent aux valeurs d'une rangée du triangle de Pascal.`(a"+"b)^5` `=` `a^5"+"5a^4b"+"10a^3b^2"+"10a^2b^3"+"5ab^4"+"b^5`
`1^2+2^2+3^2+...+n^2 = (n(n"+"1)(2n"+"1))/6`
`x^0=1` et `0-x=-x`
Modèle démographique, la suite de Fibonacci :
`F(n+1)=F(n)+F(n-1)` `F(0),F(1),F(2),F(3),... = 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89`
`lim_(n->oo) (F(n"+"1))/(F(n)) = "nombre d'or" = (1+sqrt(5))/2`
`pi ~~ 864/275`
La légende sur l'origine du jeu d'échecs raconte l'histoire d'un roi légendaire des Indes (appelé Balhait ou Shihram) qui cherchait à tromper son ennui. Il promit une récompense exceptionnelle à qui lui proposerait une distraction qui le satisferait. Lorsque le sage Sissa, fils du Brahmane Dahir, lui présenta le jeu d'échecs, le souverain, enthousiaste, demanda à Sissa ce que celui-ci souhaitait en échange de ce cadeau extraordinaire. Humblement, Sissa demanda au prince de déposer un grain de riz sur la première case, deux sur la deuxième, quatre sur la troisième, et ainsi de suite pour remplir l'échiquier en doublant la quantité de grain à chaque case. Le prince accorda immédiatement cette récompense en apparence modeste, mais son conseiller lui expliqua l'impossibilité de s'acquitter du prix du jeu, 264 grains de riz (1000 fois la production mondiale de 2012).
Gamme tempérée : `2^-(n/12)`
Démonstration de la divergence de la série harmonique `1+1/2+1/3+1/4+...+1/n+... -> oo`
Soit un triangle dans lequel on utilise les notations usuelles : d'une part `α`, `β` et `γ` pour les angles et, d'autre part, `a`, `b` et `c` pour les longueurs des côtés respectivement opposés à ces angles. Alors l'égalité suivante est vérifiée :
`a^2 = b^2+c^2-2 b c cos(alpha)` |
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Par la méthode des polygones, les 10 chiffres sexagésimaux (base `b"="60`) de `pi` :
`6"+"16b^-1"+"59b^-2"+"28b^-3"+"1b^-4"+"34b^-5"+"51b^-6"+"46b^-7"+"14b^-8"+"50b^-9 ~~ color(red)(3.1415926535897932)3`
`pi/4 = 1- 1/3 + 1/5 - 1/7 + ...`
`arctan(x) = x-x^3/3+x^5/5-x^7/7+...`
Calcul approché (latitude, longitude) des routes loxodromiques (route de direction constante) La loxodromie est une ligne à la surface de la planète qui croise les méridiens selon un angle constant donné.
& Niccolò Fontana Tartaglia, (né à Brescia en 1499 et mort à Venise en 1557), mathématicien italien.
Résolution des équations du troisième degré :
`ax^3+bx^2+cx+d=0`
en posant `x=z-b/3a`, on se ramène à l'équation `z^3 +pz+q=0` avec :
`p=c/a-(b^2)/(3a^2)` et ` q= (2b^3)/(27a^3)+d/a-(bc)/(3a^2)`
On pose `z = u+v` de façon à avoir deux inconnues au lieu d'une et se donner ainsi la possibilité de poser ultérieurement une condition sur `u ` et `v` permettant de simplifier le problème. L'équation se developpe en :
`u^3+v^3+(3uv+p)(u+v)+q=0`
La condition de simplification annoncée sera alors `3uv+p = 0`. L'équation devient :
`u^3+v^3+q=0`
`uv=-p/3`
L'équation devient :
`u^3+v^3+q=0`
`u^3v^3=-(p^3)/27`
Les inconnue `u^3` et `v^3` dont ont connait la somme et le produit, satisfont l'équation du second degrè :
Le discriminant de cette équation est `delta = q^2+4/27 p^3` et les racines sont `u^3= (-q+sqrt(delta))/2` et `v^3=(-q-sqrt(delta))/2`.`X^2+qX-(p^3)/27 =0`
Résolution des équations du quatrième degré. `ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0`
Nombre imaginaire, `i=sqrt(-1)`, et règle de produit, `sqrt(-x)sqrt(-y) = sqrt(xy), 1/sqrt(-x) =sqrt(-1/x)`
Calcul des racines carrées par fraction continue :
`sqrt(2) = [1,2,2,2,2...]=1+1/(2+1/(2+...))`
`pi/2 = 2 2/sqrt(2) 2/sqrt(2+sqrt(2)) 2/sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2))) ...`
`ax"+"b = 0 <=> (x_1=-b/a)`
`ax^2"+"bx"+"c = 0 <=> ((x_1"+"x_2=-b/a),( x_1x_2=c/a))`
`ax^3"+"bx^2"+"c^x"+"d = 0 <=> ((x_1"+"x_2"+"x_3=-b/a),( x_1x_2"+"x_1x_3"+"x_2x_3=c/a),(x_1x_2x_3=-d/a))`
`ax^4"+"bx^3"+"cx^2"+"d^x"+"e= 0 <=> ((x_1"+"x_2"+"x_3"+"x_4=-b/a),( x_1x_2"+"x_1x_3"+"x_1x_4"+"x_2x_2"+"x^2_x^4"+"x_3x_4=c/a),(x_1x_2x_3"+"x_1x_2x_4"+"x_1x_3x_4"+"x_2x_3x_4=-d/a),(x_1x_2x_3x_4=e/a))`
`...`
Résolution des triangles sphériques rectangles : Lorsque `ABC` est un triangle sphérique, sur une sphère de rayon `1`, les côtés `a`, `b` et `c` sont exprimés en distances sphériques c'est à dire en radians de l'arc de grand cercle correspondant qui constitue des géodésique de la sphère.
Et donc par symétrie : `cos(a) = cos(b)cos(c)+sin(b)sin(c)cos(alpha)` |
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La projection de Mercator, une projection conforme c'est à dire qui conserve les angles. Les loxodromies y apparaissent sous forme de ligne droite : C'est une projection cylindrique tangente à l'équateur du globe terrestre sur une carte plane. Donc l'abcisse `x` ne dépend que de la longitude `lambda`, et l'ordonnée `y` ne dépend que de la lattitude `phi` :
`x=lambda`
`y= sinh^-1(tan(phi))``lambda=x`
`phi = tan^-1(sinh(y))`
Le logarithme en base `b` noté `log_b(".")` :
`log_b(y) =x "et" y=b^x`
`log_b(b)=1 "et" log_b (1)=0`
`log_b(b^x)=x`
`b^(log_b(x))=x`
Le logarithme d'un produit et égale à la somme des logarithmes.
`log_b(xy)=log_b(x)+log_b(y)`
`log_b(x^y) =ylog_b(x)`
`lim_(x->0) log_b(1+x)/x = 1` lorsque `b"="e`
Le log népérien sera définit plus tard : `ln(x)=log_e(x)`
`log_b(x)=ln(x)log_b(e)`
Les nombres de Mersenne sont des entiers premiers de la forme `2^n-1`.
Si un nombre `2^n-1` est premier alors `n` est premier. La démonstration se fait par l'absurde : Si `n` n'est pas premier, il existe `p` et `k` distincts de `1` tel que `n"="pk`, et donc `2^n-1` = `2^(kp) - 1` = `(2^k)^p - 1^p` et cela est un multiple de `2^k-1`. Car `(a^p-b^p)` est un multiple de `(a-b)`. La réciproque est fausse avec le plus petit contre exemple : `2047` = `2^11-1` = `89×23`.
Mersenne répertorie les `9` premiers nombre de Mersenne :
`M6` et `M7` sont découvert par Pietro Cataldi (1548-1626)`M1 = 2^2-1 =3`
`M2 = 2^3-1= 7`
`M3 = 2^5-1=127`
`M4 = 2^7-1 = 127`
`M5 = 2^13-1 = 8 191`
`M6 = 2^17 -1 = 131 071`
`M7 = 2^19 - 1 = 524 287`
`M8 = 2^31 -1 = 2 147 483 647`
`M9 = 2^61 -1 = 2 305 843 009 213 693 951`
La forme standart de Frénicle des carrés magiques : L'élément au coin supérieur gauche est le plus petit des éléments d'angle. Et l'élément immédiatement à droite du coin supérieur gauche est plus petit des éléments immédiatement à droite du coin supérieur gauche. dans l'exemple ci-dessous, le dernier carré est dans une forme standard de Frénicle.
8 1 6 8 3 4 4 9 2 4 3 8 6 7 2 6 1 8 2 9 4 2 7 6
3 5 7 1 5 9 3 5 7 9 5 1 1 5 9 7 5 3 7 5 3 9 5 1
4 9 2 6 7 2 8 1 6 2 7 6 8 3 4 2 9 4 6 1 8 4 3 8
Il existe huit carrés magiques essentiellement similaires avec la même forme standard et une seule forme standard parmi les carrés essentiellement similaires.
Les nombres taxicab, `"Taxicab"(n)`, le plus petit entier qui s'exprime comme une sommes de deux cubes positifs de `n` façons possibles. Voir Nombre taxicab.
`"Taxicab"(2) = 1729 = 9^3+10^3=1^3+12^3`
D'autre nombres décomposanble en somme de deux cubes de seulement deux façons possibles :
`4104 = 2^3+16^3 = 9^3+15^3`
`20683 = 10^3+27^3 = 19^3+24^3`
`39312 = 2^3+34^3= 15^3+33^3`
`40033 = 9^3+34^3= 16^3+33^3`
Les nombres cabtaxi, `"Cabtaxi"(n)`, le plus petit entier qui s'exprime comme une sommes de deux cubes de `n` façons possibles.
`"Cabtaxi"(2) = 91 = 3^3+4^3=6^3-5^3`
Théorème de Bachet-Bézout :
- Quelque soit `a,b` deux entiers relatifs, l'équation `ax+by = "pgcd"(a,b)` possède des solutions.
- Deux entiers relatifs `a,b` sont premiers entre eux s'il existe des entiers relatifs `x,y` tels que `ax+by=1`.