Calcul différentiel

1) Introduction

Le calcul différentiel utilise le concept d'élément différentiel, qui, au premier ordre, dévoile l'aspect linéaire local des fonctions différentiables. C'est pourquoi les opérateurs de dérivée partielle sont étudiés en même temps que les opérateurs linéaires que sont les matrices et qui font partie du domaine du calcul matriciel.

La matrice est aux mathématiques ce que la programmation parallèle est à l'informatique. On entend par programmation parallèle, le parallélisme de calcul, c'est à dire un même calcul effectué sur des variables distinctes, et non simplement des calculs différents effectués en parallèle.

La formalisation du calcul différentiel comprend la formalisation d'un système de variables et de coordonnées, et la formalisation du corps des hyperréels `"*"RR`.

2) Formalisation du système de variables

Qu'est ce qu'un système de variables et de coordonnées ? C'est un certain nombre de variables évoluant dans un domaine continu, qui satisfont un certain nombre de dépendances de calcul inconnu ou connu, et qui possède des arguments par défaut constituant un système de coordonnées propre à la variable. Dans un premier temps on ne traitera pas les bords ni les points singuliers, autrement dit, les variables évoluent d'une manières indéfiniment différentiable dans le corps des réels `RR`.

On adopte une notation inspirée des réseaux de neurones. Etant donnée trois variables `f,x,y` représentant des valeurs réels. On définie un lien de dépendance de `f` aux variables `(x,y)` par la déclaration suivante que nous appellons neurone :

`f "←"(x,y)`

Dès lors, la variable `f` devient une fonction, pour l'instant inconnue, de `RR^2` vers `RR`, et on considère qu'elle s'applique par défaut sur `(x,y)`. Ainsi l'expression `f`, apparaissant dans une équation où l'on attend une valeur réels, représentera la valeur `f(x,y)`. Tout se passe comme si nous étions dans un système physique possédant trois variables d'état `f,x,y`, et que nous affirmions d'une part, que la variable `f` est liée aux deux variables `x,y` c'est à dire déterminée par `(x,y)`, et d'autre part que les variables de nom `(x,y)` misent ainsi sous forme de vecteur constituent un système de coordonnées implicite pour la variable `f`, faisant que la valeur `f` est défini par défaut en `(x,y)`, ce qui s'écrit :

`f = f(x,y)`

La décalaration de dépendance `f "←"(x,y)` peut s'accompagner de la définition de la fonction associée qui permet concrètement de calculer `f` à partir de `x` et de `y`. Par exemple :

`f "←"(x,y)`
`f(x,y)=1/(1+x^2+y^2)`

Les deux assertions sont nécessaires. La première donne à `f` un système de coordonnée avec des valeurs par défaut `f=f(x,y)`. Elle enrichie en quelque sorte la syntaxe du langage des équations. La seconde est la contrainte complète qui permet de calculer `f` à partir de `(x,y)`. Dans l'exemple, la fonction `f` est :

`f : ((RR^2->RR),((x,y)|->1/(1+x^2+y^2) ))`

La fonction `f`, qu'elle soit explicite ou inconnue, s'appel un neurone. Notez qu'un neurone au sens classique est plus précis que cela. Le neurone classique est une fonction d'une somme de variables pondérés par des paramètres qui constituent la mémoire de l'apprentissage au niveau du neurone en question. Ici, le neurone est une fonction quelconque qui peut être inconnue. Mais il ne fait pas que déterminer `f` à partir des variables auxquelles il est liées, il fixe en plus, un système de coordonnées par défaut, pour `f`, et enrichie ainsi la syntaxe du langage des équations.

Puis la variable `f` peut avoir d'autres liens de dépendance. Etant donnée de nouvelles variables `u,v` réels. On définie par exemple un nouveau lien de dépendance de `f` en utilisant un autre type de parenthèse comme suit :

`f"←"[u,v]`

Délors il y a deux systèmes de coordonnées implicites pour `f`, que nous distinguons en utilisant un autre type de parenthèse dans la liste `"(, [, ❲, ⦅, ⟦, ⟬"` . Et nous avons de façon implicite les égalités suivantes sur le point de mesure par défaut :

`f = f(x,y)=f[u,v]`

Puis les liens de dépendances s'emboitent et se succèdent. Par exemple :

`h"←"(f,g)`
`f"←"(x,y)`
`g"←"(x,y)`
`x"←"t`
`y"←"t`

Et nous avons par exemple :

`h = h(f,g) = h(f(x,y),g) = h(f(x,y),g(x(t),y))`

Puis les liens de dépendances peuvent se boucler. Par exemple :

`p"←"x`
`x"←"(p,q)`

Et nous avons par exemple :

`p = p(x) = p(x(p,q))=p(x(p(x),q))`

Les variables qui ne sont pas liées dans le système tel que `t` et `q` par exemple, sont libres de parcourir toutes les valeurs réels, ce qui n'est pas le cas des variables liées qui ne peuvent parcourir que les valeurs images de leur dépendance.

3) Corps des réels `RR`

Avant de parler du corps des hyperréels, il convient de parler du corps des réels et de la façon dont il est construit. Voir Construction des nombre réels (A. Bechata).

Le corps des réels `RR` est construit à partir du corps des rationnelles `QQ` considéré comme un espace métrique, que l'on complète.

3.1) Espace métrique `(E,D)`

Un espace métrique `(E,D)` est un ensemble de points `E` munie d'une distance `D` c'est à dire une application de `E^2->bbbK^"+"` `bbbK` est un corps commutatif totalement ordonnée et où `bbbK^"+"` regroupe l'ensemble des valeurs de distance possibles. Et cette application doit vérifier les trois axiomes que sont la symétrie, la séparation et l'inégalité triangulaire :

  `AA(x,y)"∈"E^2`

  (Symétrie)   `D(x,y)=D(y,x)`
  (Séparation)   `D(x,y)"="0 <=> x"="y`
  (Inégalité triangulaire)   `D(x,z)⩽D(x,y)"+"D(y,z)`  

Une suite de points de `E` se note comme suit :

`e = (e_i)_(i in NN)`      avec      `AAi "∈"NN,  e_i "∈" E`

C'est donc une application de `NN->E`, et c'est donc aussi un élément de `E^NN` :

`e : ((NN->E),(i|->e_i))`

`e in (NN->E)`

`e in E^NN`

L'ensemble des suites de points de `E` se note donc `E^NN`, ou encore `NN->E`. Et selon que l'on applique ou non l'axiome du choix, cette ensemble n'a pas la même définition. Pour les élémentariens, tous les ensembles à considérer sont dénombrables, et seules les suites calculables doivent être considérer, c'est à dire seules les applications de `NN->E` correspondant à un programme qui est par définition de taille finie doivent être considérer, les autres étant considérés comme inexistant. Ainsi pour les élémentariens `E^NN` est encore dénombrable.

3.2) Suite convergente, `e"⚞"`

Une suite de points de `E` que l'on note `e = (e_i)_(i in NN)` est convergente, ce qui se note par l'expression `e"⚞"`, si et seulement si quelque soit une valeurs de distance `epsilon in bbbK` arbitrairement petite mais strictement positive, il existe un entier `n` tel que quelque soit deux indices entiers `i` et `j` supérieurs à `n`, nous ayons toujours les deux points `e_i` et `e_j` rapprochés d'une distance inférieure à `epsilon`. Cela se note Cela se résume par l'expression logique suivante :

  `AA epsilon"∈"bbbK^"+""*", EE n(epsilon), AA(i,j)"∈"NN^2, (i"⩾"n(epsilon)" et "j"⩾"n(epsilon)) => D(e_i , e_j)"⩽"epsilon`  

Dans cette expression, on répète que l'entier `n` est choisie en fonction de `epsilon`, en utilisant l'expression `n(epsilon)` à la place de `n`. Cette redondance rend la formule davantage compréhensible, mais elle n'est nullement obligatoire.

Notez que le terme de « suite convergente » a une signification classique plus étroite qui impose que la suite doit converger dans l'espace `E`. On ne retient pas cette définition. La suite sera dite convergente si et seulement si elle est de Cauchy, nom donné en hommage au mathématicien français, Augustin baron Cauchy (Paris, 1789 - Sceaux en Hauts-de-Seine, 1857). Car d'un point de vu intuitif, nous pensons qu'il convient de redonner à ces suites, leur dénomination commune de « suites convergentes ». Et nous pouvons alors dire qu'elles peuvent, le cas échéant, converger vers un point n'appartenant pas à `E` mais appartenant à un ensemble plus vaste noté `barE` appelé la complétude métrique de `E`.

L'ensemble des suites de points se note `E^NN` tandis que l'ensemble des suites convergentes de points se note `E^⚞` :

  `E^"⚞" = {s"∈" E^NN "/" s"⚞"}`  

3.3) Suite asymptote, `a"≐"b`

Étant donné deux suites `(a, b)"∈"(E^NN)^2`. Elles sont dites asymptotiques, ou simplement égale, ce qui se note `a"≐"b`, si et seulement si la suite `(D(a_i,b_i))_(i in NN)` converge vers zéro, c'est à dire si et seulement si quelque soit une valeurs de distance `epsilon in bbbK` arbitrairement petite mais strictement positive, il existe un entier `n` tel que quelque soit l'indices entiers `i` supérieurs à `n`, nous ayons toujours les deux points `a_i` et `b_i` rapprochés d'une distance inférieure à `epsilon`. Cela se note par l'expression suivante :

  `lim_(i->oo) D(a_i , b_i) = 0`  

Et cela se résume par l'expression logique suivante :

  `AA epsilon"∈"bbbK^"+""*", EE n(epsilon), AAi"∈"NN, i"⩾"n(epsilon) => D(a_i , b_i)"⩽"epsilon`  

La relation `"≐"` est une relation d'équivalence, c'est à dire reflexive, symétrique et transitive. Ainsi, étant donné trois suites, `(a,b,c)"∈"(E^NN)^3`, si `a"≐"b` et `a"≐"c` alors `b"≐"c`. La classe d'équivalence de `a` se note `a ["≐"]`, et se prononce, `a` modulo `"≐"`, ou encore, `a` à équivalence `"≐"` près.

3.4) Complétude métrique

La relation d'équivalence `"≐"` restreinte à `E^"⚞"` est aussi une relation d'équivalence, c'est à dire reflexive, symétrique et transitive. Ainsi, étant donné trois suites convergentes, `(a,b,c)"∈"(E^"⚞")^3`, si `a"≐"b` et `a"≐"c` alors `b"≐"c`.

La classe d'équivalence de `a`, que l'on note `a ["≐"]`, et qui se prononce, `a` modulo `"≐"`, ou encore, `a` à équivalence `"≐"` près, représente un élément limite appartenant à la complétude métrique de `E` que l'on note `barE`.

`barE = E^"⚞" "/" "≐"`

On plonge `E` dans `barE` en associant à chaque élément `x` de `E`, la suite constante `(x)_(iinNN)` à équivalence `"≐"` près.

`E↪barE`

Puis on procéde à une identification c'est à dire que l'on pose que chaque élément `x` de `E` est égale la suite constante `(x)_(iinNN)` à équivalence `"≐"` près.

`E sube barE`

La complétude, comme son nom l'indique, constitue une opération idempotente. Elle transforme un espace métrique en un espace plus grand ou égal, où chaque point `x` est renommé comme étant la suite constante `(x)_(iinNN)` à équivalence `"≐"` près, et où d'autre points peuvent ainsi apparaîtres.

L'espace métrique `E` est dit complet si l'application transformant les éléments `x` appartenant à `K`, en suites constantes `(x)_(iinNN)` à équivalence `"≐"` près constitue un isomorphisme de `E` vers `barE`.

On démontre facilement que l'application transformant les éléments `x` appartenant à `barE` en suites constantes `(x)_(iinNN)` à équivalence `"≐"` près, définie un isomorphisme de `barE` vers `barbarE`. Ainsi la complétude de la complétude n'apporte rien de plus.

3.5) Complétude métrique de `QQ`

Le corps des réels se définie comme étant la complétude métrique du corps des rationnels :

`RR = barQQ`

Ainsi l'ensemble des réels `RR` se définie comme étant l'ensemble des suites convergentes d'éléments de `QQ` à équivalence `"≐"` près :

  `RR   =   barQQ   =   (QQ^"⚞")/"≐"`  

Pour les élémentariens, qui ne tiennent compte parmis les suites que des seules suites calculables, l'ensemble `RR` est l'ensemble des seuls nombres calculables à une précision arbitraire, à partir de `QQ`.

4) Corps commutatif totalement ordonné

Le corps des hyperréels `"*"RR` est commutatif et totalement ordonné comme l'est `RR` et `QQ` et `ZZ`. C'est pourquoi on s'intéresse à ce type de corps, un corps commutatif muni d'une relation d'ordre total, invariante par translation, et dont les éléments positifs forment un ensemble stable par multiplication.

4.1) Théorie d'égalité

La struture `(bbbK,"+","∗","⩽")` est un corps commutatif totalement ordonné si et seulement si elle vérifient les 15 axiomes suivants :

`AA(x,y,z)"∈"bbbK^3,`

 `x"+"(y"+"z) = (x"+"y)"+"z` 
`"+"` est associatif
`(bbbK,"+")` est un
groupe abelien
`x"+"0 = x`
`0` est l'élément neutre pour `"+"`
`x"+"("-"x) = 0`
`"-"` est l'opposé pour `"+"`
`x"+"y = y"+"x`
`"+"` est commutatif
`x(yz) = (xy)z`
`"∗"` est associatif
`(bbbK^"*","∗")` est un
groupe abelien
`1"∗"x = x`
`1` est l'élément neutre pour `"∗"`
`x≠0 => x(x^-1) = 1`
`"-"` est l'inverse pour `"∗"`
`xy = yx`
`"∗"` est commutatif
`x(y"+"z) = (xy"+"xz)`
`"∗"` est distributif
par rapport à `"+"`
`"∗"` est distributif
par rapport à `"+"`
`x"⩽"x`
`"⩽"` est reflexive
`"⩽"` est une
 relation d'ordre totale
invariant par translation
et dont les éléments
positifs forme un
ensemble stable par
multiplication.
`x"⩽"y ∧ y"⩽"x => x"="y`
`"⩽"` est antisymétrique
`x"⩽"y ∧ y"⩽"z => x"⩽"z`
`"⩽"` est transitive
`x"⩽"y ∨ y"⩽"x`
`"⩽"` est totale
`x"⩽"y => x"+"z⩽y"+"z`
 `"⩽"` invariant par translation 
`0"⩽"x ∧ 0"⩽"y => 0"⩽"xy`
 `"⩽"` compatible avec `"∗"`

On note :

`bbbK^"*" = bbbK-{0}`  Les éléments inversibles du corps.

`bbbK^"+" = {x"∈"bbbK "/" 0"⩽"x}`  Les éléments positifs du corps.

`bbbK^"-" = {x"∈"bbbK "/" x"⩽"0}`  Les éléments négatifs du corps.

`bbbK^"+"∩bbbK^"-" ={0}`
`bbbK^"+"∪bbbK^"-" =bbbK`

La norme d'un élément `x` de `bbbK` se note `|x| = max{x,"-"x}`

La struture `(bbbK,"+","∗","⩽")` est de plus, dite archimédienne si et seulement si :

 `AAx"∈"bbbK, EEn"∈"ZZ, x"⩽"n1_bbbK` 

On note `1_bbbK` et `0_bbbK`, les éléments neutres et absorbants de `bbbK`, lorqu'il y a un risque de confusion avec les entiers.

4) Corps `RR[omega]`

La notation différentielle se forrmalise grâce aux corps des hyperréels `"*"RR`. C'est un corps commutatif totalement ordonné et complet qui a la particularité de posséder des nombres infiniments grands et donc aussi des nombres infiniments petits, mais d'une manière récurcive très abouti. Pour le construire sans utiliser l'axiome du choix, on commence par construire un corps plus petit qu'est le corps `RR[omega]`. Celui-ci s'obtient en effectuant une extension élémentaire du corps commutatif totalement ordonnée des réels `RR`, en lui ajoutant un nouvel élément noté `omega` qui possède la propriété d'être plus grand que tous les réels.

`AA r "∈" RR,  r "<" omega`

`omega` est ce que l'on appelle un nombre transfini, qui va au delà de la finitude, et qui représente un infiniment grand particulier, celui posé par le constructeur de `RR[omega]`. Il constitue l'infiniment grand du premier ordre.

` RR[omega]"/"{AA r "∈" RR,  r "<" omega}`

Le quotientage est omis dans les expressions car il est considéré comme faisant partie des propriétés de `omega`. Ainsi l'expression `RR[omega]` ne doit pas être considérée comme un extension anonyme mais comme l'extension de `RR` par ajout d'un élément spécifique appelé `omega` qui représente l'infini du premier ordre, un infini du premier ordre certe arbitraire mais choisie par le constructeur.

Les éléments de ce corps sont calculables par toutes les combinaisons finies de nombres réels, de l'élément `omega` et des opérations `+ , - , **, "/"` . Ce corps ainsi définie, contient `RR` comme sous-corps, et constitue donc un `RR`-espace vectoriel de dimension infinie dont une base est donnée par la suite suivante :

`..., 1/(omega^n), ..., 1/(omega^3), 1/(omega^2), 1/omega, 1, omega, omega^2, omega^3, ..., omega^n, ...   =   (omega^i)_(i in ZZ)`

Mais l'élément étant le résultat d'un calcul de taille finie, il admet seulement un nombre fini de composantes non nulles. Donc pour tout élément `a` de `R[omega]` il existe un entier `m` tel que

`A = sum_(i=-m)^m A_i omega^i `

où les éléments `A_i` appartiennent à `RR` et sont appelé les composantes de `A`. On parlera d'espace vectoriel de dimension infinie et de support fini. Autrement dit :

  `R[omega] = { sum_(i=-m)^m A_i omega^i "/" m"∈"NN, A_i "∈"RR}`  

Et les lois `+, **, ⩽` du corps commutatif totalement ordonné `RR[omega]` sont :

  `(A_i)_(i in ZZ) + (B_i)_(i in ZZ)     =     (A_i+B_i)_(i in ZZ)`  

  `(A_i)_(i in ZZ) ** (B_i)_(i in ZZ)      =     (sum_(i in ZZ) A_j B_(i-j))_(j in ZZ)`  

  `(A_i)_(i in ZZ) ⩽ (B_i)_(i in ZZ)      iff     EEk "∈" ZZ  AAi"⩾"k,  A_i"⩽"B_i`  

L'infiniment petit du premier ordre se note `epsilon` :

`epsilon = 1"/"omega`

Les éléments de `RR[omega]` sont regroupés dans des classes appelées ordres. L'ordre de `A` est désigné par une puissance entière de `omega`. Cet entier est l'indice de la composante non nulle de `A`, le plus élevé. Un ordre constitue une classe d'équivalence. Un ordre est désignable par n'importe quel de ses membres. L'ordre de `A` se note `Theta(A)` :

`Theta(A) = omega^("max"{i "/" A_i != 0})`

Deux éléments `A` et `B` sont de même ordre si et seulement si ils sont archimédiens entre eux, c'est à dire s'il existe un entier `n` tel que `n|A|"⩾"|B|` et s'il existe un entier `m` tel que `m|B|"⩾"|A|`.

Ce corps commutatif totalement ordonné `R[omega]` ne permet pas de définir par exemple `sqrt(w)`. Pour obtenir un espace plus complet comprenant par exemple `sqrt(w)`, on devra en prendre la complétude métrique, et obtenir `bar(R[omega])` qui constitue encore un corps totalement ordonnné.

Pour passer du support fini au support infini tout en restant dénombrable, on utilise ainsi le concept de suite calculable, calculable par un programme de taille par principe finie.

Pour construire ce corps `bar(R[omega])`, on va d'abord étudier les suites d'éléments de `R[omega]` et la notation de Landau et la relation d'ordre de Hardy.

5) Notation de Landau et relation d'ordre de Hardy

La notation de Landau, `O`, inventée par le mathématicien allemand Edmund Landau (Berlin, 1877 - Berlin, 1938), et la relation d'ordre de Hardy, `"≼"`, inventée par le mathématicien britannique Godfrey Hardy (Cranleigh, 1877 - Cambridge, 1947), permettent de comparer des suites de grandeurs et leurs façons dont elles convergent mutuellement. Ces notations peuvent s'introduire de façon s'implifier comme outils de classification des éléments de n'importe quel corps commutatif totalement ordonné, et donc peuvent s'appliquer aux éléments de `RR[omega]`.

Étant donné deux éléments `A,B` appartenant à `RR[omega]`, on définie trois notations : `Theta` appelée « grand théta », `O` appelée « grand O », et `o` appelée « petit o », qui correspondent exactement à la relation d'ordre de Hardy : `"≍"` qui signifie de même ordre, `"≼"` qui signifie d'ordre inférieur ou égal, et `"≺"` qui signifie d'ordre strictement inférieur.

On dit que `A` appartient à `Theta(B)`, ou `A "=" Theta(B)`, ou que l'ordre de `A` est égal à l'ordre de `B`, ce qui se note `A"≍"B`, si et seulement si la norme de `A` est inférieure à un multiple entier de la norme de `B` et la norme de `B` est inférieure à un multiple entier de la norme de `A`.

On dit que `A` appartient à `O(B)`, ou `A "=" O(B)`, ou que l'ordre de `A` est inférieur ou égal à l'ordre de `B`, ce qui se note `A"≼"B`, si et seulement si la norme de `A` est inférieure à un nombre entier de fois la norme de `B`.

On dit que `A` appartient à `o(B)`, ou `A "=" o(B)`, ou que l'ordre de `A` est strictement inférieur à l'ordre de `B`, ce qui se note `A"≺"B`, si et seulement si tout multiple entier de la norme de `A` est inférieure à la norme de `B`.

Ainsi quelque soit `A` et `B` appartenant à `RR[omega]` nous avons les définitions suivantes :

Notation
de Hardy
Notation
de Laudau
Descriptions
Définition
`A"≍"B`
`A "=" Theta(B)`
`A` est de l'ordre de `B`.
`A` et `B` sont du même ordre.
`EE (n,m) "∈" NN^2,`
`|A|"⩽"n|B| "et" |B|"⩽"m|A|`
`A "≺" B` 
`A "=" o(B)` 
`A` est négligeable devant `B`.
`A` est d'un ordre strictement inférieur à `B`.
`AA n "∈" NN,`
`n|A|"<"|B|`
`A "≼" B`
`A "=" O(B)`
`A` est d'un ordre inférieur ou égal à `B`.
`EE n "∈" NN,`
`|A|"⩽"n|B|`

Et nous avons :

`(A "≼" B "et" B "≼" A)   <=>   A "≍" B`

ou dit autrement :

`(A"="O(B) "et" B"="O(A))   <=>   A "=" Theta(B)`

On constate alors que dans `O(B)`, il existe une approximation dite « exacte » qui est l'égalité à `o(B)` près.

Le calcul différentiel est rendu facile grace au corps des hyperréels qui permet de manipuler les infiniment grands et les infiniment petits comme des nombres. Une égalité dans le corps des hyperréels doit toujours préciser l'ordre près à la quelle l'égalité s'applique. Voici les notations de Landau et Hardy qui permettent de préciser cela :

Notation
de Laudau
Notation
de Hardy
Description
`o(u)`
`{r "/" |r| "≺"|u|}` Ensemble des valeurs négligeables devant `u`.
`O(u)`
`{r "/" |r| "≼" |u|}` Ensemble des valeurs d'ordre inférieur ou égal à `u`.
`Theta(u)`
`{r "/" |r| "≍" |u|}` Ensemble des valeurs d'ordre de `u`.

 
Notation
de Laudau
Notation
de Hardy
Définition
`o(u)`
`{r "/" |r| "≺"|u|}`
`{r "/" AAn"∈"NN,n|r|"<"|u|`}
`O(u)`
`{r "/" |r| "≼" |u|}`
`{r "/" EEn"∈"NN,|r|"⩽"n|u|}`
`Theta(u)`
`{r "/" |r| "≍" |u|}` `{r "/" EE(n,m)"∈"NN^2,|r|"⩽"n|u| "et" |u|"⩽"m|r|}`
 

6) Corps `bar(RR[omega])`

L'espace complet s'obtient en considèrant les suites convergentes asymptotes :

`bar(RR[omega]) = (RR[omega]^"⚞")/"≐"`

Étant donné deux éléments `A,B` appartenant à `bar(RR[omega])`.

`A = (A_i)_(iinNN)`
`B = (B_i)_(iinNN)`

Nous avons `A"⚞"` et `B"⚞"`, et nous considérons l'égalité entre de telles suites modulo `"≐"`.

Nous identifions chaque élément `x` de `RR[omega]` avec la suite constante `(x)_(iinNN)` modulo `"≐"` qui constitue un élément de `bar(RR[omega])`. C'est pourquoi nous avons :

`RR[omega] sube bar(RR[omega])`.

Les trois notations de Landau et la relation d'ordre de Hardy se redéfinissent comme suit :

On dit que `A` appartient à `Theta(B)`, ou `A "=" Theta(B)`, ou que l'ordre de `A` est égal à l'ordre de `B`, ce qui se note `A"≍"B`, si et seulement s'il existe un entier `k` à partir du quel quelque soit l'indice `i>k`, la norme de `A_i` est inférieure à un multiple entier de la norme de `B_i` et la norme de `B_i` est inférieure à un multiple entier de la norme de `A_i`.

On dit que `A` appartient à `O(B)`, ou `A "=" O(B)`, ou que l'ordre de `A` est inférieur ou égal à l'ordre de `B`, ce qui se note `A"≼"B`, si et seulement s'il existe un entier `k` à partir du quel quelque soit l'indice `i>k`, la norme de `A_i` est inférieure à un nombre entier de fois la norme de `B_i`.

On dit que `A` appartient à `o(B)`, ou `A "=" o(B)`, ou que l'ordre de `A` est strictement inférieur à l'ordre de `B`, ce qui se note `A"≺"B`, si et seulement s'il existe un entier `k` à partir du quel quelque soit l'indice `i>k`, tout multiple entier de la norme de `A_i` est inférieure à la norme de `B_i`.

Ainsi quelque soit `A` et `B` appartenant à `bar(RR[omega])` nous avons les définitions suivantes :

Différentes descriptions équivalentes
Définition
`A"≍"B`
`A "=" Theta(B)`
`A`
est de l'ordre de `B`.
`A` et `B` sont du même ordre.
`EE (n,m) "∈" NN^2,` `EEk"∈" NN, AAi"∈" NN "/" i"⩾"k,`
`(|A_i|"⩽"n|B_i| "et" |B_i|"⩽"m|A_i|)`
`A "≺" B` 
`A "=" o(B)` 
`A`
est négligeable devant `B`.
`A` est d'un ordre strictement inférieur à `B`.
`AA n"∈" NN,``EEk"∈" NN, AAi"∈" NN "/" i"⩾"k,`
`n|A_i|"<"|B_i|`
`A "≼" B`
`A "=" O(B)`
`A`
est d'un ordre inférieur ou égal à `B`.
`EE n "∈" NN,` `EEk"∈" NN, AAi"∈" NN "/" i"⩾"k,`
`|A_i|"⩽"n|B_i|`

 

 

 

----- 3 février 2018 -----

 

6) Le corps des hyperréels `"*"RR`

---- 10 septembre 2017 ----

Remarquez qu'entre `1` et `omega`, il existe des ordres de grandeurs intermédiaires. En effet, on peut calculer la racine carré d'un réel `c` par la méthode de Héron (Héron d'Alexandrie, ingénieur, mécanicien et mathématicien grec du Ier siècle apr. J.-C). Cette méthode ce met sous la forme d'une suite de cauchy calculable :

`(f^i(0))_(i=0)^oo`

`f` est la fonction suivante :

`f : x|->x + (c-x^2)/(2x)`

Et on remarquera que `sqrt(omega)` constitue bel et bien un infini d'un ordre plus petit que `omega`.

 

 

L'ensemble des ordres de grandeurs dans `bar("*"RR)` forme un coprs ordonné, mais n'est pas archimédien :

`AA n "∈" NN, omega^n < omega^omega`

L'ensemble des ordres de grandeurs de `bar("*"RR)` forme encore un corps ordonné isomorphe à `bar("*"RR)` .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6) Les éléments différentiels

Pour définir formellement les éléments différentiels, on se place dans le corps des hyperréels `bar("*"RR)` qui est une extension du corps ordonné en ajoutant l'élément `omega`, et désignant l'infini du premier ordre, le tout complété métriquement. :

`bar("*"RR) = bar(RR[omega]"/"{AA r "∈" RR,  r < omega})`

Étant donné des variables `(h,f,g,x,y,t)` hyperréels, dite `O(1)`, c'est à dire telle que leurs dépendances explicites seront définies à `o(1)` près, une approximation exacte pour les valeurs réels, car elle ne n'églige que les seuls infiniments petits devant les réels. Notez qu'un infiniment petit est nul à `o(1)` près.

Étant donné les liens de dépendance par exemple suivants  :

`h"←"(f,g)`
`f"←"(x,y)`
`g"←"(x,y)`
`x"←"t`
`y"←"t`

Pour chaque variable, on définie sa variable différentielle comme une nouvelle variable `(dh,df,dg,dx,dy,dt)`, de valeur infiniment petite, dite `O(epsilon)`, c'est à dire telle que leurs dépendances explicites seront définies à `o(epsilon)` près, une approximation exacte pour les valeurs de `O(epsilon)`.

Puis on les lie comme correspondant à une variation de la variable. Les liens de dépendances étant supposés différentiables, pour chaque lien de dépendance des variables, il existe un lien de dépendance explicite des variables différentielles :

`dh"←"(f,g,df,dg)`
`df"←"(x,y, dx,dy)`
`dg"←"(x,y,dx,dy)`
`dx"←"(t,dt)`
`dy"←"(t,dt)`

`dh(f,g,df,dg) = h(f+df,g+dg) - h   + o(epsilon)`
`df(x,y, dx,dy) =f(x+dx,y+dy) -f   + o(epsilon)`
`dg(x,y,dx,dy)=g(x+dx,t+dy)-g   + o(epsilon)`
`dx(t,dt)=x(t+dt)-x   + o(epsilon)`
`dy(t,dt)=y(t+dt)-y   + o(epsilon)`

L' approxiamtion à `o(epsilon)` près est nécessaire. C'est cette approximation exacte qui fait que l'opérateur de dérivée est linéaire. Sans cette approximation exacte, il n'y a pas de linéarité.

Les variables différentielles ainsi définies sont appelées éléments différentiels.

7) Les dérivées partielles

Étant donné un système de variables `(h,f,g,x,y,t)`. Chaque neurone permet de définir les dérivées partielles de la variable lié par les variables liantes. Ces dérivées partielles, d'une variable liée par rapport à une autre liante, constitue de nouvelles variables satisfaisant ces liens de dépendance explicites correspondant à chaque neurone :

`(delh)/(delf)"←"(f,g)`
`(delh)/(delg)"←"(f,g)`
`dh = (delh)/(delf)df + (delh)/(delg)dg`
`(delf)/(delx)"←"(x,y)`
`(delf)/(dely)"←"(x,y)`
`df = (delf)/(delx)dx + (delf)/(dely)dy`
`(delg)/(delx)"←"(x,y)`
`(delg)/(dely)"←"(x,y)`
`dg = (delg)/(delx)dx + (delg)/(dely)dy`
`(delx)/(delt)"←"t`
`dx = (delx)/(delt)dt`
`(dely)/(delt)"←"t`
`dx = (dely)/(delt)dt`

Dans les deux dernières lignes on remarque que la dérivée partielle est en faite une dérivée exacte car `x` et `y` de dépendent que de `t` :

`x"←"t     =>    (delx)/(delt) "=" dx/dt`
`y"←"t     =>    (dely)/(delt) "=" dy/dt`

Puis à partir de cette définition des dérivées partielles, on constate qu'une dérivée partielle de `h` par rapport à une variable `u` n'a de sens que si `h` dépend de `u` et cela peut être une dépendance indirecte. Par exemple `h` dépend indirectement de `t`. Et le moyen de calculer cette dérivée partielle ce fait par rétropropagation neuronale :

`(delh)/(delu) = (delh)/(delf) (delf)/(delu) + (delh)/(delg) (delg)/(delu)`

8) L'aspect fondamentalement linéaire des éléments différentielles

Etant donné des fonctions différentiables `f,g,h`. Les éléments différentielles `df,dg,dh`, qui se définissent par le biais des hyperréels à `o(epsilon)` près comme suit :

`dh(f,g,df,dg) = h(f+df,g+dg) - h`
`df(x,y,dx,dy) =f(x+dx,y+dy) -f `
`dg(x,y,dx,dy)=g(x+dx,t+dy)-g`

On ne rappel par l'ordre `o(epsilon)` car celui-ci est implicite dès qu'apparait un élément différentiel non multiplié par un transfinie :

Ces fonctions, à l'ordre de `o(epsilon)` sont linéaires, ou plus exactement multilinéaires.

 

 

 

 

 

 

 

*) Liste finie de variables

On étend notre langage afin de pouvoir définir d'autre type de lien. Une variable `f` peut être lié à une liste de variables notée `x"*"`

`f"←"(x"*")`   

`x"*"` désigne une liste finie de variables toutes réels et inconnues, mais la taille de la liste est également inconnue et peut même être nul. La taille est néanmoins fixe (pour de simple raison de continuité), et elle peut être égale à au moins deux variables par exemple auquel cas on notera :

`f"←"(x,y,z"*")`   

 

---- 20 Août 2017 ----

 

metaheuristiques/optimisation-continue.htm

physique/variationnel/variationnel.htm

physique/cinematique.htm
physique/mercure.htm

physique/maxwel.htm
physique/maxwel0.htm
physique/modeleonde.htm
physique/tome1.htm

statistique/distribution.htm
statistique/distribution2.htm
statistique/distribution3.htm
statistique/distribution4.htm

statistique/stat.htm
Mathematique/statistique.htm
Mathematique/neurone.htm
Mathematique/resolution_equation.htm

Mathematique/probabilite_information.htm
Mathematique/probabilite2_information.htm
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physique/tenseur.htm
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---- 23 Août 2017 ----