I) Théorie cinétique des gaz

Les 3 conditions théoriques d'un gaz parfait sont :

  1. Les molécules doivent être considérées comme des petites sphères indéformables de taille négligeable et n'accumulant pas d'énergie interne.
  2. Les seuls interactions sont des chocs élastiques entre molécules et entre molécule et paroi.
  3. Le nombre de chocs entres molécules est négligeable par rapport au nombre de chocs entre molécule et paroi mais suffisant pour faire évoluer le système vers l'état d'équilibre statistique.

Les chocs intermoléculaires, même s'ils sont en nombres négligeables par rapports aux chocs sur les parois, sont la cause de l'évolution du système vers l'état d'équilibre statistique. Par la suite, le gaz est considéré en équilibre statistique, c'est à dire que le nombre de molécules par élément de volume qui ont une vitesse comprise dans un intervalle donné est le même en tout endroit du gaz, et la vitesse quadratique moyenne `"<"v^2">"` de chaque molécule est égale à la vitesse quadratique moyennée sur l'ensemble des molécules.

La distance intermoléculaire, pour une molécule, est la distance de la plus proche molécule. On estime grosso-modo la distance intermoléculaire moyenne `"<"d">"` comme égale à :

`"<"d">" ~~ (V/N)^(1/3)`

`V` est le volume du gaz. `N` est le nombre de molécules. La densité moléculaire est  :

`D = N/V`

La densité moléculaire a l'avantage d'être une variable intensive, c'est à dire indépendante de la taille du système. Nous avons :

`"<"d">" ~~ D^(-1/3)`

Pour être non relativiste, les vitesses des molécules `v` doivent être trés petites par rapport à la vitesse de la lumière :

`v-<c`

Et pour être non quantique, les distances intermoléculaires `d` doivent être beaucoup plus grande que la longueur d'onde associée de Broglie :

`"<"d">">-h/(mv)`

On en déduit que :

`h/(m"<"d">")-<v-<c`

Conclusion :

Critère pour être non relativiste et non quantique

`D^(1/3)h/m-<v-<c`

`v`  : Norme moyenne de la vitesse des molécules.
`c` : Constante de la vitesse de la lumière, `c = 299.792458×10^6 ms^(-1)`
`m` : Masse d'une molécule.
`h` : Constante de Planck, `h = 662.607004×10^(-36) Js`
`D` : Densité moléculaire. `D = N"/"V`
`V` : Volume du gaz.
`N` : Nombre total de molécules du gaz.

1) La pression

La pression est une force par élément de surface. Elle s'exprime donc en newton par mètre carré `(Nm^(-2))`. Considérons un piston de surface `A` et se plaçant selon un axe des `x` normal à la surface `A`. La force qui s'exerce sur le piston est `F = PA` et sa direction correspond à l'axe des `x`.

Les chocs étant supposés parfaitement élastiques, chaque molécule de composante de vitesse `v_x` entrant en collision avec le piston, va rebondir et ainsi transmettre au piston le double de sa quantité de mouvement en `x`, c'est à dire `2mv_x`. La force est :

`F = (dp)/dt`

`dp` représente la somme des quantités de mouvements transmises au piston par les chocs moléculaires au cours d'un intervalle de temps `dt`. La force s'obtient en divisant cette quantité de mouvment acquise par le piston, par l'intervalle de temps `dt`.

Les molécules de composante de vitesse `v_x` transportent donc à la vitesse `v_x` une petite quantité potentielle de mouvement `2mv_x` qui sera transmise au piston lorsqu'elles rentreront en collision avec lui. Si entre temps une collision avec une autre molécule se produit, la quantité potentielle de mouvement précédemment décrite est changée de façon aléatoire. On néglige cet effet en supposant des tailles moléculaires négligeables et donc l'absence de collision intermoléculaire tout en supposant l'état d'équilibre statistique.

Pour qu'une molécule de composante de vitesse `v_x` vienne frapper le piston dans l'intervalle de temps `dt`, il faut qu'elle se situe à une distance du piston inférieur à `v_xdt`. Toutes les molécules de composante de vitesse `v_x` positives présentes dans le volume `Av_xdt` vont entrer en collision avec le piston pendant l'intervalle `dt`. Le nombres de telles molécules est `DAv_xdt``D` représente ici la densité des molécules ayant une composante de vitesse `v_x`. La quantité de mouvement transmise au piston est `(DAv_xdt)(2mv_x)`. La force résultante est `F = 2DAmv_x^2`. La pression résultante est `P = 2Dmv_x^2`. Puis il faut sommer le résultat pour chaque valeur de vitesse `v_x` positive. Cela revient à prendre une moyenne des `v_x^2` sur toutes les molécules puisque chacune apporte sa contribution, et à diviser par deux car nous excluons les molécules allant dans l'autre sens c'est à dire de composante de vitesse `v_x` négative. Ainsi le facteur `2` s'en va. Maintenant on nomme par `D` la densité moléculaire du gaz comprenant les molécules de toutes vitesses. La densité moléculaire `D` est, par définition, le nombre de molécules du gaz divisés par son volume.

Pression d'un gaz parfait :

`P = Dm"<"v_x^2">"`

`P` : Pression du gaz.
`D` : Densité du gaz. `D = N"/"V`
`"<"v_x^2">"`  : Carré d'une composante de la vitesse selon une direction (ici en `x`), moyénné sur l'ensemble des molécules.

L'état d'équilibre statistique fait qu'il n'existe pas de direction privilégiée et nous avons :

`"<"v_x^2">" = "<"v_y^2">" = "<"v_z^2">"`

Et de même pour n'importe quelle autre direction. D'autre part nous avons :

`v^2 = v_x^2 + v_y^2 + v_z^2`

Et donc :

`"<"v^2">" = "<"v_x^2">"+"<"v_y^2">"+"<"v_z^2">"`

Et donc :

`"<"v^2">" = 3"<"v_x^2">"`

Conclusion :

Pression d'un gaz parfait :

`P = (1/3)Dm"<"v^2">"`

`P` : Pression du gaz.
`D` : Densité du gaz. `D = N"/"V`
`m` : Masse d'une molécule.
`"<"v^2">"` : Carré de la vitesse, moyénné sur l'ensemble des molécules.

Vous remarquerez que cette égalité ne fait intervenir que des variables d'état intensive, les variables d'états `P`, `D`, `m`, `"<"v^2">"`, qui ne dépendent pas de la taille du système.

Puis on considére le volume `V` du gaz et le nombre total de molécules `N` qui sont des variables d'état extensives.

Le gaz étant supposé parfait, les molécules ne possèdent pas de moment cinétique variable, ni d'autre moyen d'accumuler de l'énergie interne autrement que par leur vitesse. L'énergie interne `U` du gaz est alors composée exclusivement des énergies cinétiques de chacune de ses molécules.

`(1/2)mv^2`

L'énergie interne en est la somme, cela revient à prendre une moyenne des `v^2` sur toutes les molécules puisque chacune apporte sa contribution :

Pression et énergie interne d'un gaz parfait  :

`PV = (2/3)U`

`U = N(1/2)m"<"v^2">"`

`P` : Pression du gaz.
`U`  : Energie interne du gaz. Energie cinétique totale du gaz.
`"<"v^2">"` : Carré de la vitesse, moyénné sur l'ensemble des molécules.
`m` : Masse d'une molécule.
`V` : Volume du gaz.
`N` : Nombre total de molécules du gaz.

 

2) La température

La température est la grandeur physique qui préside les échanges de chaleurs. Plusieurs gaz cloisonnés et mis en contact thermique vont s'équilibrer en effectuant des échanges de chaleur (par l'intermédiaire des chocs moléculaires) jusqu'à possèder la même température. Pour des gaz parfaits, cet échange de chaleur consiste à répartir de façon égale l'énergie cynétique moyenne des molécules de chaque gaz. La température est donc déterminée par l'énergie cinétique moyenne des molécules.

On peut définir la températeur selon son sens empirique et historique tout en intégrant par la suite, l'exactitude de la définition thermodynamique. On considère un thermomètre à gaz comprenant un gaz parfait dans un piston maintenu à pression `P` constante et où les parois laissent passer les échanges de chaleurs. A chaque température, ce thermomètre à gaz mesurera son volume `V` de gaz qui servira d'indicateur de températeur. Toute variation de température entrainera une variation du volume de gaz à pression constante du thermomètre. Comme nous avons démontré précédement que `PV"="(2"/"3)U`, et que `V` mesure la température dans notre thermomètre à gaz, et que `P` est constant, on en déduit que la température est proportionnelle à `U`.

La température est exprimée en kelvin (`K`). Le facteur de proportionnalité est noté `ζ`. C'est le facteur qui définie l'unité le kelvin. Il a été choisi de tel sorte que la variation d'un kelvin corresponde à la variation d'un degré Celsius, le degré Celsius étant définie à partir des différentes phases de l'eau sous pression d'une atmosphère, `0°` Celsius pour le changement de phase de l'eau solide-liquide et `100°` Celsius pour le changement de phase de l'eau liquide-gaz.

Température d'un gaz parfait :

`T = ζU/N`

`T` : Température exprimée en kelvin.
`U`  : Energie interne du gaz. Energie cinétique totale du gaz.
`N` : Nombre de molécules du gaz.
`ζ` : Constante de la température pour un gaz parfait, `ζ = 48.286477×10^21 KJ^(-1)`

Le facteur `ζ` est arbitraire. Il permet de maintenir l'usage d'une ancienne unité qu'est le degrés Celsius. Si nous nous libérons de cette contrainte, quel serait la constante qui devrait être choisie ?. On a simplement besoin de changer d'ordre de grandeur. La constante pourrait être posée égale au nombre d'Avogadro, noté `mol`. C'est le nombre d'atomes dans 12 grammes de carbone 12 et qui est égal à `mol = 602.214040×10^21`. Ou bien, on pourrait choisir plus simplement une constante qui soit une puissance de `10`, multiple de `3`, soit `10^21`, le Zetta. On constate qu'il n'est pas utile à ce stade de créer une unité spécifique de températeur. En prenant `1` pour constante, la formule `T = U"/"N` est suffisante. C'est l'énergie cinétique moyenne des molécules du gaz. La température s'exprime alors en joule (`J`), ou d'une façon plus pratique en zepto joule (`zJ`). Le zepto joule valant `10^(-21)` joule, et correspond à environ à `48.3` kelvin.

3) Loi des gaz parfaits

A partir de la définition de la pression `PV = (2"/"3)U` et de celle de la température en kelvin `T = ζ U"/"N`, on déduit la loi des gaz parfaits : `PV = NkT` avec la constante de Boltzmann `k = 2"/"(3ζ)"` qui vaut `k=13.806488×10^(-24) JK^(-1)`

Loi des gaz parfaits :

`PV = NkT`

`PV = (2/3)U`

`T = ζU/N`

`ζk = 2/3`

`P` : Pression du gaz.
`V`
 : Volume du gaz.
`T`
 : Température du gaz exprimée en degré kelvin.
`N` : Nombre de molécules du gaz.
`U` : Energie interne du gaz.
`k` : Constante de Boltzmann, `k=13.806488×10^(-24) JK^(-1)`
`ζ` : Constante de la température, `ζ = 48.286477×10^21 KJ^(-1)`

Si on choisie de n'utiliser que des variables d'état intensive, qui ne dépendent pas de la taille du système, que sont la pression `P`, la température `T = U"/"N` exprimée en Joule, et la densité moléculaire `D = N"/"V` , alors la loi du gaz parfait devient simplement :

Loi des gaz parfaits :

`P = D(2/3)T`

`P` : Pression du gaz.
`D`
 : Densité moléculaire du gaz. `D = N"/"V`
`T`
 : Température du gaz exprimée joule. `T = U"/"N`

4) Thermodynamique

La thermodynamique permet d'aborder des systèmes complexes à l'aide de quelques variables d'état macroscopiques obéissant aux règles de conservation d'énergie et de matière. Elle introduit deux types d'énergie, une énergie mécanique présidée par la pression et une énergie thermique présidée par la température (l'énergie cinétique moyenne des molécules)

Le premier principe de thermodynamique consiste en la conservation de l'énergie, c'est à dire que la variation de l'énergie interne du système est égale au bilan des échanges d'énergies mécanique et thermique avec l'exterieur :

Conservation de l'énergie

`ΔU = ΔQ + ΔW`

`ΔU` : Variation de l'énergie interne du système.
`ΔQ` : Energie calorifique acquise.
`ΔW` : Energie mécanique acquise.

Le système thermodynamique appliqué ici à un gaz parfait en état d'équilibre statistique, se comporte comme un piston. Si pendant un intervalle de temps `dt`, le volume `V` change d'une quantité `dV`, et que cela se passe lentement de tel sorte que le gaz soit en état d'équilibre statstique à tout instant, alors les forces de pression effectuent un travail `PdV` vers l'extérieur, ce qui se traduit par un bilan `dW = - PdV`. Autrement dit le seul travail mécanique est celui des forces exercées par la pression sur les parois contenant le gaz lorsque le volume change.

L'énergie thermique est par nature désordonnée (agitation des molécules) tandis que l'énergie mécanique est par nature ordonnée. L'énergie thermique acquise au cour d'une mise en équilibre thermique, une fois celui-ci atteint, ne peut plus être restituée, tandis que l'énergie mécanique peut dans certain cas être restituée, voir l'exemple du ressort à gaz. L'entropie `S` mesure ce désordre. Si pendant un intervalle de temps `dt`, l'entropie `S` s'accroit d'une quantité `dS`, cela traduit une acquisistion d'énergie thermique `dQ = TdS` car l'autre type d'énergie qu'est l'énergie mécanique n'accroit pas le désordre, seul l'énergie thermique accroit le désordre, un désordre qui progresse logarithmiquement pour des raisons combinatoires, d'où le produit `TdS`.

Lors d'une transformation infinitésimale, c'est à dire lorsque le gaz est en état d'équilibre statistique à chaque instant, le bilan énergétique est :

Conservation de l'énergie lors d'une transformation infinitésimale

`dU = TdS - PdV`

`PdV` : Energie mécanique perdue.
`TdS`
 : Energie calorifique acquise.
`dU`
 : Variation de l'énergie interne du système.
`dV` : Variation du volume.
`dS` : Variation de l'entropie.
`P` : Pression du gaz.
`T` : Température du gaz.

Mais nous n'irons pas plus loin car ce n'est pas l'object de notre exposé. La thermodynamique étudie les transformations de la chaleur en travail mécanique et inversement. Elle met en œuvre une méthode de raisonnement et une approche intuitive globale qui peut être utilisée dans d'autres domaines. Historiquement, elle constitue une science à part avec ses propres lois fondamentales, postulats tirés de l'évidence expérimentale. Puis, la théorie cinétique des gaz, qui constitue une partie de la mécanique statistique, a permis de réunifiée la thermodynamique avec la mécanique.

Un moyen simple d'aborder la théorie cinétique des gaz consiste à se placer dans un univers à une seul dimension.


II) Théorie cinétique des gaz dans un univers unidimensionnel

Dans un univers à une dimension, une cavité correspond à un segment, un fil de longueur L. Les molécules confinées dans un segment se croisent nécessairement et rebondissent sur les bouts du segment.

Pour obtenir la condition des gaz parfaits dans laquelle les molécules ne se choquent que trés rarement, on introduit une probabilité trés faible p de choc lors des croisements de molécules, faisant que les molécules se croisent la plus part du temp sans être perturbées. On conçoit donc que deux molécules puissent être placées au même endroit et puissent ne pas interagir. On néglige les cas rares d'interactions mettant en oeuvre plus de deux molécules à la fois.

Les chocs entre molécules sont sensés être la cause de l'évolution du systèmes vers son état d'équilibre statistique, et ainsi, permettre de définir une distribution des vitesses des molécules du gaz lorsqu'il est en état d'équilibre statistique. Les chocs entre molécules ne servent qu'à cela et leurs effets doivent être négligeables sur les autres variables d'état. C'est pourquoi on n'approfondit pas le calcul de la propbabilité des chocs entre molécules.

Lorsque deux molécules de même masse intéragissent entre-elles, elles intervertissent leurs vitesses, et si on néglige la taille des molécules, cela a donc exactement le même effet que si elles n'intéragissaient pas, à part la seul différence symbolique que les deux molécules sont permutées. On dira que les molécules ponctuelles élastiques indifférenciées n'intéragissent pas. On en conclut que la distribution des vitesses des molécules du gaz ne change pas lors des intéractions moléculaires internes au gaz.

Comment alors définir l'état d'équilibre statistique si nous n'avons pas de moyen originel qui en constitue sa cause ?

D'autre phénomène peuvent être la cause d'un équilibre statistique. On pense tout de suite à la présence d'impuretés. La présence de quelques molécules de masses différentes va créer du désordre. Et ce désordre se traduira par un équilibre statistique correspondant à l'entropie maximum.

Ainsi les 4 conditions théoriques d'un gaz parfait unidimensionnel sont:

  1. Les molécules doivent être considérées comme des petits segments indéformables de taille négligeable et n'accumulant pas d'énergie interne.
  2. Les seuls interactions sont des chocs élastiques entre molécules et entre molécule et extrémité du fil.
  3. Le nombre de chocs entres molécules est négligeable par rapport au nombre de chocs entre molécule et extrémité du fil. Cela s'obtient en choisissant une probabilité d'interaction trés faibles lorsque les molécules se croisent.
  4. La présence de quelques impuretés est nécessaire. Elle est constituée d'une ou deux molécules de masses distinctes de celles du gaz.

La distance intermoléculaire pour une molécule est la distance de la plus proche molécule. On estime grosso-modo la distance intermoléculaire moyenne `"<"d">"` comme égale à:

`"<"d">" ~~ L/N`

`L` est la taille du gaz. `N` est le nombre de molécules du gaz. La densité moléculaire, qui est ici une densitée linéïque, est définie par:

`D = N/L`

Donc dans un espace unidimensionnel, la distance intermoléculaire moyenne est égale à l'inverse de la densité moléculaire (densité linéïque).

`"<"d">"~~1/D`

Pour être non relativiste, les vitesses doivent être trés petites par rapport à la vitesse de la lumière, `v  -<  c`. Et pour être non quantique, les distances intermoléculaires `d` doivent être beaucoup plus grande que la longueur d'onde associée de Broglie:

`"<"d">" >- h/(mv)`

On en déduit que:

`h/(m"<"d">")  -<  v  -<  c`

Conclusion:

Critère pour être non relativiste et non quantique

`D h / m   -<   v   -<   c`

`v`  : Norme moyenne de la vitesse des molécules
`c` : Constante de la vitesse de la lumière, `c = 299.792458×10^6 ms^(-1)`
`m` : Masse d'une molécule.
`h` : Constante de Planck, `h = 662.607004×10^(-36) Js`
`D` : Densité moléculaire (linéïque). `D = N"/"L`
`L` : Taille du gaz.
`N` : Nombre total de molécules du gaz.

1) La pression

Les molécules se déplacent sur un fil rectiligne de longueur `L` et rentrent en colision avec les bouts du fil qui jouent le rôle de piston. La pression est alors une force qui s'applique à chaque bout du fil, à chaque piston, et qui est dans l'axe du fil. Dans un univers unidimensionnel, la pression est une force et s'exprime en newton (`N`).

Les chocs étant parfaitement élastiques, chaque molécule de vitesse `v` entrant en collision avec le piston, va rebondir et ainsi transmettre au piston le double de sa quantité de mouvement, c'est à dire `2mv`. La force est :

`F = (dp)/dt`

`dp` représente la somme des quantités de mouvements transmises au piston par les chocs moléculaires au cours d'un intervalle de temps `dt`. La force s'obtient en divisant cette quantité de mouvment acquise par le piston, par l'intervalle de temps `dt`.

Les molécules de composante de vitesse `v` transportent donc à la vitesse `v` une petite quantité potentielle de mouvement `2mv` qui sera transmise au piston lorsqu'elles rentreront en collision avec lui. Si entre temps une collision avec une autre molécule se produit, la quantité potentielle de mouvement précédemment décrite est changée de façon aléatoire. On néglige cet effet en supposant une probabilité de choc trés trés faible, soit une quasi-absence de collision intermoléculaire tout en supposant l'état d'équilibre statistique.

Pour qu'une molécule de composante de vitesse `v` vienne frapper le piston dans l'intervalle de temps `dt`, il faut qu'elle se situe à une distance du piston inférieur à `vdt`. Toutes les molécules de composante de vitesse `v` positives présentes dans le segment de longueur `vdt` vont entrer en collision avec le piston pendant l'intervalle `dt`. Le nombres de telles molécules est `Dvdt``D` représente ici la densité des molécules ayant une composante de vitesse égale à `v`. La quantité de mouvement transmise au piston est `(Dvdt)(2mv)`. La force résultante est `F = 2Dmv^2`. La pression est exactement cette force `P = 2Dmv^2`. Puis il faut sommer le résultat pour chaque valeur de vitesse `v` positive. Cela revient à prendre une moyenne des `v^2` sur toutes les molécules puisque chacune apporte sa contribution, et à diviser par deux car nous excluons les molécules allant dans l'autre sens c'est à dire de composante de vitesse `v` négative. Ainsi le facteur `2` s'en va. Maintenant on nomme par `D` la densité moléculaire du gaz comprenant les molécules de toutes vitesses. La densité moléculaire `D` est, par définition, le nombre `N` de molécules du gaz divisés par la taille du gaz `L` qui est la taille du fil.

Pression d'un gaz parfait unidimensionnel :

`P = Dm"<"v^2">"`

`P` : Pression du gaz.
`D` : Densité du gaz. `D = N"/"L`
`"<"v^2">"` : Carré de la vitesse, moyénné sur l'ensemble des molécules.
`m` : Masse d'une molécule.

La taille `L` du gaz et le nombre totale de molécules `N` du gaz sont des variables d'état extensives, c'est à dire, qui sont multipliés par `2` si on considère un système `2` fois plus grand composé de deux systèmes initiales identiques réunis en un seul. Parcontre la pression `P`, la densité `D` et la moyenne du carré de la vitesse des molécules `"<"v^2">"` sont des variables d'état intensives, c'est à dire quelles sont invariantes si on considère un système `2` fois plus grand.

Le gaz étant supposé parfait, les molécules ne possèdent pas de moyen d'accumuler de l'énergie interne autrement que par leur vitesse. L'énergie interne `U` du gaz est composée exclusivement des énergies cinétiques de chacune de ses molécules :

`(1/2)mv^2`

L'énergie interne en est la somme, cela revient à prendre une moyenne des `v^2` sur toutes les molécules puisque chacune apporte sa contribution :

`U = N(1/2)m"<"v^2">"`

Pression et énergie interne d'un gaz parfait unidimensionnel :

`PL = 2U`

`U = N(1/2)m"<"v^2">"`

`P` : Pression du gaz.
`L` : Taille du gaz.
`U` : Energie interne du gaz. Energie cinétique totale du gaz.
`N` : Nombre total de molécules du gaz.
`m` : Masse d'une molécule.
`"<"v^2">"` : Carré de la vitesse, moyénné sur l'ensemble des molécules.

2) La température

Dans l'univers unidimensionelle, on ne peut pas se référencer au degrés Celsuis qui dépend de constats empiriques fait dans un monde tridimensionel. Aussi on choisi d'exprimer la température en joule (J). On définie la température comme étant égale à l'énergie cinétique moyenne des molécules du gaz.

Température d'un gaz parfait unidimensionnel :

`T = U/N`

`T` : Température exprimée en joule
`U`  : Energie interne du gaz. Energie cinétique totale du gaz.
`N` : Nombre de molécules du gaz.
Température d'un gaz parfait unidimensionnel :

`T = (1/2)m"<"v^2">"`

`T` : Température exprimée en joule
`m` : Masse d'une molécule.
`"<"v^2">"`  : Moyenne du carré de la vitesse des molécules.

3) Loi des gaz parfaits unidimensionnel

A partir de la définition microscopiques de la pression `PL = 2U` et de celle de la température en joule `T = U"/"N`, on déduit la loi des gaz parfaits unidimensionnel : PL = 2NT. Et si on choisie de n'utiliser que des variables d'état intensive, qui ne dépendent pas de la taille du système, que sont la pression `P`, la température `T = U"/"N` exprimée en joule, et la densité moléculaire `D = N"/"L`, alors la loi du gaz parfait devient simplement :

Loi des gaz parfaits :

`P = 2DT`

`P` : Pression du gaz.
`D`
 : Densité moléculaire du gaz. `D = L"/"N`
`T`
 : Température du gaz exprimée joule. `T = U"/"N`

4) Intéraction entre deux molécules

Pour aller plus loin dans la théorie cinétique des gaz parfait, il convient de connaitre la distribution des vitesses des molécules du gaz lorsqu'il est en état d'équilibre statistique. Mais pour déterminer cet état d'équilibre statistique, il faut introduire une source de désordre qui ne perturbent pas les valeurs des variables d'états déjà définies. Un des moyen consiste à simuler des choques entre molécules.

Lorsque deux molécules de même masse intéragissent entre-elles dans un univers unidimensionnel, elles intervertissent leurs vitesses, et si on néglige la taille des molécules, cela a donc exactement le même effet que si elles n'intéragissaient pas, à part la seul différence symbolique que les deux molécules sont permutées. (On peut dire que dans un espace unidimensionnel les molécules ponctuelles élastiques indifférenciées n'intéragissent pas). On en conclut que la distribution des vitesses des molécules du gaz ne change pas lors des intéractions moléculaires internes au gaz.

Comment alors définire l'état d'équilibre statistique si nous n'avons pas de moyen originel qui en constitue sa cause ?

D'autre phénomène peuvent être la cause d'un équilibre statistique. On pense tout de suite à la présence d'impuretés. La présence de molécules de masses différentes va créer du désordre. Et ce désordre se traduira par un équilibre statistique correspondant à une entropie maximum.

Les seuls interactions considérées entres molécules sont les chocs élastiques. Le choc élastique entre deux molécules se traduit par un brusque changement des vitesses devant respecter la conservation de l'énergie et la conservation de la quantité de mouvement de l'ensemble des deux molécules :

Conservation de l'énergie cinétique et de la quantité de mouvement
au cours d'un choc élastique entre deux molécules

`m_1v_1+m_2v_2 = m_1w_1+m_2w_2`
`m_1v_1^2+m_2v_2^2 = m_1w_1^2+m_2w_2^2`

`m_1` : Masse de la molécule n°1
`m_2` : Masse de la molécule n°2

`v_1` : Vitesse de la molécule n°1 avant le choc
`m_1v_1` : Quantité de mouvement de la molécule n°1 avant le choc
`(1/2)m_1v_1^2` : Energie cinétique de la molécule n°1 avant le choc

`v_2` : Vitesse de la molécule n°2 avant le choc
`m_2v_2` : Quantité de mouvement de la molécule n°2 avant le choc
`(1/2)m_2v_2^2` : Energie cinétique de la molécule n°2 avant le choc

`w_1` : Vitesse de la molécule n°1 après le choc
`m_1w_1` : Quantité de mouvement de la molécule n°1 après le choc
`(1/2)m_1w_1^2` : Energie cinétique de la molécule n°1 après le choc

`w_2` : Vitesse de la molécule n°2 après le choc
`m_2w_2` : Quantité de mouvement de la molécule n°2 après le choc
`(1/2)m_2w_2^2` : Energie cinétique de la molécule n°2 après le choc

Le système d'équation se résoud et offre deux solutions que sont :

`w_1 = v_1`
`w_2 = v_2`

ou bien :

`w_1 = (2m_2v_2 + (m_1 - m_2)v_1) / (m_1+m_2)`

`w_2 = (2m_1v_1 + (m_2 - m_1)v_2) / (m_1+m_2)`

La première solution correspond à l'absence d'interaction, la deuxième solution correspond au choque élastique frontale.

5) Modèle

Pour établir empiriquement la distribution des vitesses d'un gaz parfait dans un univers à une dimension, on va programmer un modèle de gaz parfait unidimensionnel dans lequel on ajoute une impureté composé d'une molécule de masse distincte appelée germe et dont la probabilité de choc lors d'un croisement avec une molécule du gaz sera posée égale à `1"/"2`.

Les molécules du gaz ne s'entrechoquent pas. S'ils s'entrechoquaient, les molécules seraient simplement permutées et comme elles sont identiques, cela ne changeraient rien.

L'espace du piston est représenté par un segment de position `0` à `L`. A chaque étape de calcul, on mémorise la position et la vitesse des molécules. On note `x, v`, la position et la vitesse de la molécule germe, et on note `x_i, v_i`, la position et la vitesse de la ième molécule du gaz. A chaque itération on calcul le temps `t` auquel à lieu l'interaction entre la molécule germe et la `i`ème molécule de gaz dans l'hypothèse ou aucun choc moléculaire ne se produit avant.

`x+vt = x_i+v_it`

Mais il faut tenir compte du rebon sur le piston, c'est à dire du mouvement linéaire périodique des molécules du gaz parfait, étudier les équations de tel mouvement... ce qui complique un peu. Puis on choisie dans cette liste d'intervalle de temps, l'intervalle dle plus petit et on avance le temps à cette date, on recalcule la position de toutes les molécules et on résoud le choc en choisissant une des deux solutions une fois sur 2 au hasard.

Puisqu'il s'agit d'un germe qui ne fait que perturber sans modifier les autres variables d'état, on peu procéder plus simplement à une perturbation au hasard, comme si la molécule germe apparaissait subitement sur le lieu d'une molécule du gaz au hasard, avec sa vitesse quel possédait antérieurement. On procède alors à la résolution du choc, redonnant une nouvelle vitesse à la molécule germe. Puis on fait évolué le gaz parfait d'un petit intervalle de temps en recalculant la position de toutes les particules et en tenant compte des rebond sur le piston. Puis on réitère la perturbation sur une autre molécule de gaz au hasard. Ce procédé nous assure que la quantité de mouvement globale est conservé ainsi que l'énergie totale

N = 10 000
Allouer un tableau de N nombre x[]
Allouer un tableau de N nombre v[]
V = 2
Vg = 0
M = 1
Mg = 0.3
NI = 1 000 000
nH = 21
Pour
i = 0 à N-1 fair
    x[i] = (i+0.5)*L*(1.0/N)
    v[i] = (randn(2)==0) ? V : -V
Nombre de molécules
Position des molécules
Vitesse des molécules
Norme de la vitesse initiales des molécules
Vitesse de la molécule germe
Masse d'une molécule
Masse de la molécule germe
Nombre d'itérations
Nombre de pas pour l'histogramme (doit être impair)
Calcule la position initiale des molécules

 

Procédure choc(i)
Resoud le choc entre
la molécule germe
et la molécule n° i.

v1 = Vg
m1= Mg
v2 = v[i]
m2 = m[i]

w1 = (2*m2*v2 + (m1-m2)*v1)/(m1+m2)
w2 = (2*m1*v1 + (m2-m1)*v2)/(m1+m2)

Vg = w1
v[i] = w2

Procédure evolution(t)
Fait évoluer le gaz parfait
d'un temps t
Pour i = 0 à N-1 fair
    x[i] = x[i] + v[i]*t
    Si x[i]<0 Alors v[i] = - v[i]; x[i] = - x[i]
    Si x[i]>L Alors v[i] = -v[i]; x[i] = 2*L - x[i]

Pour k = 0 à NI-1 fair
    i=randn(N)
    choc(i)
    evolution(0.1)

Simulation en NI itérations
Prend une molécule au hasard
Resoud le choc avec la molécule germe
Fait évolué le gaz d'un intervalle de temps 0.1


Allouer un tableau de nH entiers H[]
Pour i = 0 à nH-1 fair H[i]=0
Pour i = 0 à N-1 fair H[(int)(round(v[i])) + (nH-1)/2]++
Pour i = 0 à nH-1 fair printf("%3i  %5i\n",i-(nH-1)/2,H[i])

v1=0
v2=0
Pour i = 0 à N-1 fair v1 = v1 + v[i]
v1=v1/N
Pour i = 0 à N-1 fair v2 = v2 + v[i]*v[i]
v2=v2/(N-1)
printf("<v> = %f  <v^2> = %f\n",v1,v2

Calcule et affiche
Histogramme



Moyenne


Variance

Programme :    gaz2.c
À compiler à l'aide de l'instruction suivante : 
   gcc gaz2.c -lm
Puis à executer avec l'instruction suivante :     .\a.out

---- Histogramme -----------------
-10 0
-9 0
-8 1
-7 8
-6 23
-5 89
-4 273
-3 703
-2 1160
-1 1780
0 1946
1 1737
2 1217
3 678
4 277
5 81
6 25
7 2
8 0
9 0
10 0
----------------------------------
<v> = -0.008487 <v^2> = 4.000364
----------------------------------

La distribution des vitesses forme une courbe de Gauss. Et on peut le démontrer grâce au théorème central limite.

6) Le théorème central limite

Le théorème central limite est un résultat mathématique puissant qui constitue un des fondements de la statistiques. Il va nous permettre de calculer de façon exacte le résultat précédement obtenue décrivant la distribution des vitesses des molécules. Il affirme que lorsqu'un hasard est la somme d'un nombre important de hasards indépendants entre eux et si l'influence de chaque hasard pris séparément est petite, alors le hasard résultant obéït à une loi de distribution de Gauss.

La formulation exacte du théorème est la suivante : Si `x` est une variable aléatoire de variance finie alors la distribution de la valeur moyenne sur un grand nombre `n` de mesures, `n` tendant vers l'infini, tend vers une distribution de Gauss.

`m_n= (x_0+ x_1 + x_2 + ... + x_(n-1))"/"n`

Application : On estime que la vitesse des molécules résulte d'une sommes d'effet au hasard et indépendant entre eux que sont les chocs moléculaires (en unidimensionnel avec une molécule germe) du gaz. On conséquence la distribution des vitesse des molécules dans l'état d'équilibre statistique obéït à une loi de Gauss.

7) La loi de Gauss

---- 22 Août 2016 ----

 

 

 

 

 

---- 20 août 2016 ----

Par ailleur si `x` possède une moyenne `mu` et une variance `upsilon`, alors `m_n` possède une moyenne `mu` et une variance `upsilon"/"n`.

 

 

Loi de Gauss

`m_n= (x_0+ x_1 + x_2 + ... + x_(n-1))/n`

`P(bbm_bbn∈"[x", "x+"d"x[" )    =    1/sqrt(2πupsilon)e^(-("x"-mu)^2/(2upsilon)) d"x"`

`m_n` : Variable aléatoire obtenue en prennant la moyenne sur `n` tirages de `x`.
`bbm_bbn` : Un tirage de la variable aléatoire `m_n`.
`x`  : Variable aléatoire.
`mu = "<"x">"` : Moyenne de `x`.
`upsilon = "<"x^2">"` : Variance de `x`
`"x"` : Paramètre libre.
`d"x"` : variation infinitésimale du paramètre `"x"`.
`P(bbx∈"[x", "x+"d"x[" )` :
Probabilité qu'un tirage de `bbx` appartiennent à l'intervalle `"[x", "x+"d"x["`

Remarquez qu'il ne faut pas confondre la variable aléatoire `x` avec le paramètre libre `"x"`. Dans l'expression `P(bbm_bbn∈"[x", "x+"d"x[")`, l'expression `m_n` fait référence à `n` tirages de la variable x dont on prend la moyenne, tandis que l'intervalle `"[x", "x+"d"x["` fait référence à un paramètre `"x"` servant de mesure et à un élément différentiel `d"x"` qui est une variation infinitésimale du paramètre `"x"`. De même dans l'expression suivante :

`1/sqrt(2πupsilon)e^(-("x"-mu)^2/(2upsilon)) d"x"`

Les éléments `"x"` et `d"x"` sont des paramètres fini et infinitésimale libres.

---- 22 mars 2015 ----

 

 

Si les vitesses moléculaires v ne suivait pas une disribution de Gauss, on pourrait toujours prendre comme vraiable <v>n

Le changement d'échelle microscopique --> macroscopique qui peut être réprésenté par le nombre d'avogadro

L'histogramme dévoile une distribution de gausse centré en zéro. Cel

Si la vitesse v possède une distribution gaussienne

 

 

 

 

 

 

 

 

On obtient ainsi une distribution normale et centré des vitesses. C'est à dire si nous désignons par dv une variation infinitésimale de la vitesse, par N le nombre totale de molécules du gaz, et par N([v,v+dv]) le nombre de molécules du gaz dont la vitesse est comprise entre v et v+dv, alors nous avons :

N([v,v+dv]) / N = dv * exp(- v2/(2*w)) / (sqrt(2*π*w)

où la viariance w = <v2> est le carré de la vitesse moyénné sur l'ensemble des molécules. En comparant avec l'histogramme, le nombre de molécules de vitesse v plus ou moins aH sera grosso-modo égale à : aH * N * exp(- v 2/(2*w)) / (sqrt(2*π*w). Ainsi la distribution des vitesses des molécules d'un gaz parfait unidimensionel ne dépend que de la variance w = <v2> qui peut s'exprimer en fonction de la température T = m*<v2>/2 et de la masse des molécules m. Nous avons : w =2*T/m.

Distribution des vitesses dans un gaz parfait unidimensionel :

N([v,v+dv]) / N = dv * exp( - (1/2)*m*v2/(2*T)) / (sqrt(4*π*T/m)

N([v,v+dv])
 : Nombre de molécules ayant une vitesse comprise entre v et v+dv
N
 : Nombre totale de molécules.
T
 : Température du gaz exprimée joule. T = U/N, et T = m*<v2>/2
U
: Energie interne du gaz. Energie cinétique totale du gaz.
m
 : Masse d'une molécule.
<v2>
 : Carré de la vitesse, moyénné sur l'ensemble des molécules.

Maintenant considérons un mélange de deux gaz parfait, la formule est-elle toujours valable ? Et quel est la distribution des quantitées de mouvements ?

 

--- 20 mars 2015 ---

 


Dominique Mabboux-Stromberg

Les 3 conditions théoriques d'un gaz parfait sont :

  1. Les molécules doivent être considérées comme des petites sphères indéformables de taille négligeable et n'accumulant pas d'énergie interne.
  2. Les interactions entres molécules sont les chocs élastiques avec les parois
  3. Le gaz est en équilibre statistique : Le nombre de molécules par élément de volume qui ont une vitesse comprise dans un intervalle donné est le même en tout endroit du gaz. La vitesse quadratique moyenne <v2> de chaque molécule est égale à la vitesse quadratique moyennée sur l'ensemble des molécules.

 

 

 

5) Modèle

Pour établire empiriquement la distribution des vitesses d'un gaz parfait dans un univers à une dimension, on va programmer un modèle de gaz unidimensionnel composé de 2 types de molécules.

On traite le cas où les molécules se choquent systématiquement lorsqu'elles se rencontrent. On résoud les chocs de plus de deux molécules à la fois par une succession de chocs toujours de deux molécules à la fois.

Les molécules ne pouvant se croiser, il existe donc un ordre de positionnement des N molécules qui est fixé une fois pour toute et qui subdivise le segment en N+1 intervalles. L'intervalle possède un état dit "négatif" si les molécules se touchent, ou par erreur d'arrondie de calcule, viennent à se croiser x2 <= x1. Et l'intervalle possède un état dit "convergeant" si la différence de vitesse entre les deux molécules dans l'ordre de positionnement est négative v2-v1 < 0. Inversement l'intervalle est dit "positif" si l'ordre de positionnement est respecté strictement x1 < x2. Et l'intervalle est dit "divergeant" si la différence de vitesse entre les deux molécules dans l'ordre de positionnement est positive ou nulle v2-v1 >= 0.

Un intervalle est en situation de choc s'il est négatif et convergeant. S'il est négatif et divergeant c'est que le choc a été résolue. S'il est positif et convergeant c'est qu'il y a un delai annoncé avant le choc. Et s'il est positif et divergeant c'est qu'il n'y a pas de choc en perspective.

A chaque étape de calcul, on mémorise la position et la vitesse des molécules. Pour chaque intervalle positif et convergeant, on calcul le delai annoncé de croisement des deux molécules et on ne retient que le plus petit delai ainsi calculé et le numéro d'intervalle correspondant. Puis on avance le temps de ce delai en recalculant la position de toutes les molécules, puis on effectue le choc dans l'intervalle en question. Puis il se peut qu'il y ait d'autres chocs en même temps dans d'autres intervalles. Pour chaque intervalle négatif et convergeant on résoud le choc.

Programme : gaz1.c

L = 20

N = 1000
V = 2
M = 1
Ms = 0.3

NI = 1000000

nH = 21
 

Taille

Nombre de Molécules
Norme de la vitesse initiales des molécules
Masse des molécules
Masse de la molécule germe

Nombre d'itérations

Nombre de pas pour l'histogramme (doit être impair)

t = 0.0
Nc =0
t : Temps
Nc : Nombre de chocs

for (i=0;i<N;i++) {
   x[i] = (i+0.5)*L*(1.0/N)
   m[i] = M
   v[i] = (randn(2)==0) ? V : -V
}
m[N/2] = Ms
Position initiale

for(k=0; k<NI; k++){
   Tmin = 1/0.0
   for (i=0;i<N+1;i++) if (!negat(i) && converge(i)){
      dT = delai(i)
      if (dT<Tmin){Tmin=dT; Imin=i}
   }

   t = t + Tmin;
   for (i=0;i<N;i++) x[i] += Tmin * v[i]
   choc (Imin)
   for (i=0;i<N+1;i++) if (negat(i) && converge(i)) choc(i)
}
Simulation en NI itérations

int H[nH];
for (i=0;i<nH;i++) H[i]=0
for (i=0;i<N;i++) H[(int)(round(v[i])) + (nH-1)/2]++
for (i=0;i<nH;i++) printf("%3i  %5i\n",i-(nH-1)/2,H[i])
return 0

v1=0
v2=0
for (i=0;i<N;i++) v1 = v1 + v[i]
v1=v1/N
for (i=0;i<N;i++) v2 = v2 + v[i]*v[i]
v2=v2/(N-1)
printf("<v> = %f  <v^2> = %f\n",v1,v2)
printf("Nombre de chocs par seconde : %f\n",Nc/t)


Histogramme



Moyenne

Variance


Nombre de chocs par secondes


delai(i){
   if (i=0) return - (x[0] - 0)/(v[0] - 0)
   else if (i=N) return - (L - x[N-1])/(0 - v[N-1])
   else return - (x[i] - x[i-1])/(v[i] - v[i-1])
}
Retourne le delais du prochain choc dans l'intervalle n° i.
negat(i){
   if (i=0) return (x[0]<=0)
   else if (i=N) return (x[N-1]>=L)
   else return (x[i-1]>=x[i])
}
Retourne 1 si l'intervalle est négatif, retourne 0 sinon.
converge(i){
   if (i=0) return (v[0]<0)
   else if (i=N) return (v[N-1]>0)
   else return (v[i] - v[i-1]<0)
}
Retourne 1 si l'intervalle est convergeant, retourne 0 sinon.
choc(i){
   Nc++
   if (i=0) v[0] = - v[0]
   else if (i=N) v[N-1] = - v[N-1]
   else {
      v1=v[i-1]
      m1=m[i-1]
      v2=v[i]
      m2=m[i]
      v[i-1] = (2*m2*v2 + (m1-m2)*v1)/(m1+m2)
      v[i] = (2*m1*v1 + (m2-m1)*v2)/(m1+m2)
   }
}
Resoud le choc dans l'intervalle n° i.

---- Histogramme -----------------
-5.00 0
-4.50 0
-4.00 0
-3.50 1
-3.00 0
-2.50 6
-2.00 51
-1.50 240
-1.00 935
-0.50 2238
 0.00 3059
 0.50 2239
 1.00 904
 1.50 270
 2.00 43
 2.50 12
 3.00 2
 3.50 0
 4.00 0
 4.50 0
 5.00 0