Le ressort à gaz

1) Introduction

Pour montrer que le travail de la pression est une énergie mécanique conservative qui peut être ainsi restituée, on construit le ressort à gaz. C'est un piston, thermiquement isolant, mobile horizontalement et possédant une grande masse d'inertie.

Selon la position x du piston, la cavités possèdent un volume V. Le piston possède une surface A et sépare la cavité de l'exterieur où se trouve une atmosphère à pression constante. Le piston possède une masse M, une vitesse v et subie une force f et donc une accélération Γ. La configuration physique du piston est résumée par les équations suivantes :

Le piston

V = A*x + B
dx = v*dt
dv = Γ*dt
f = M*Γ

A : Surface du piston séparant la cavité de l'extérieur
B : Volume initiale de la cavité
V : Volume de la cavité
x : Position du piston
v : Vitesse du piston
Γ : Accélération du piston
f : Force s'exerçant sur le piston
M : Masse du piston

Noter que les éléments différentiels exactes dx, dv, dt sont tous relatifs à l'élement différentiel dt. Ainsi dx signifie en quelque sorte la vitesse dx/dt, et dv signifie en quelque sorte l'accélération dv/dt.

2) Le ressort à gaz

On introduit dans la cavité un gaz parfait constitué de N molécules de masse m. A l'état initial, la cavité possède une température T et une pression P.

Lorsque le piston est de vitesse nulle, la force qui s'y exerce est simplement f = P*A - Pext*A. Mais si le piston se déplace à une vitesse v, il faut recalculer la pression comme étant la somme des quantitées de mouvements apportées par les molécules rebondissant sur le piston en mouvement pendant un intervalle de temps dt le tout divisé par dt. Et nous ne sommes plus dans un état d'équilibre statistique.

Néanmoins deux approximations sont possibles de faire : Si la vitesse du piston est trés petite par rapport à la vitesse moyenne des molécules, on peut alors supposer que l'état d'équilibre statistique se rétablie plus rapidement qu'il n'est perturbé par la vitesse du piston et, qu'ainsi, il peut être considéré comme maintenu. D'autre part, toujours si la vitesse du piston est trés petite, on peut négliger le différentiel de pression du à la vitesse du piston.

L'accélération du piston est alors Γ = (P - Pext)*A/M.

dv = Γ*dt
dx = v*dt

dV = A*dx
dV = A*v*dt

d2V = A*dv*dt
d2V = A*Γ*dt2
d2V = (P - Pext)*A2*dt2/M

Noter que tous les éléments différentiels sont exactes et sont tous relatifs à l'élement différentiel dt.

On établie le bilan énergétique sur un intervalle de temps dt pour la cavité, dU = dQ + dW. Comme les parois sont thermiquement isolantes, il n'y a pas d'échange d'énergie thermique, dQ = 0. Seul le travail des pressions dW = - P*dV va opérer un échange d'énergie mécanique entre la cavités, l'exterieur et l'énergie cinétique du piston en mouvement. Pour la cavité nous avons le bilan énergétique suivant au cours d'un intervalle de temps dt :

dU = - P*dV

On suppose que l'évolution se déroule suffisamment lentement pour que le gaz soit en état d'équilibre statistique à tout instant. Nous avons la loi des gaz parfaits qui s'applique dans la cavités :

T = ζ*U/N
P*V = N*k*T
P*V = (2/3)*U
ζ*k = 2/3

Et nous déduisons :

dT = ζ*dU/N
dT = - ζ*P*dV/N

d(P*V) = N*k*dT
dP*V + P*dV = N*k*dT
dP = (N*k*dT
- P*dV)/V
dP = ( - N*k*ζ*P*dV/N - P*dV)/V
dP = ( - (2/3)*P*dV - P*dV)/V
dP = - (1 + 2/3)*P*dV/V
dP = - (5/3)*P*dV/V

Nous obtenons ainsi un système d'équations différentielles qui ne fait intervenir ni la température T ni la masse m des molécules ni leur nombre N :

Système d'équations différentielles

dP = - (5/3)*P*dV/V
d2V = (P - Pext)*A2*dt2/M

Pext : Pression extérieur.
P : Pression dans la cavité.
V : Volume de la cavité.
A : Surface du piston.
M : Masse du piston.
dt : Elément différentiel de temps.

Certains systèmes d'équations différentielles peuvent être compliqués à résoudre voir être formellement irrésolvables. Mais il est parcontre toujours possible de résoudre par iteration le système d'équations différentielles délors que les variations élémentaires des inconnues sont déterminées. Il suffit de choisir une quantification appropriée appelée modèle et d'itérer le calcul.

Ce système est résolvable itérativement en prenant une position initiale caractérisée par A, M, Pext, P, V, dV. Le calcul se fait itérativement en prenant un pas Δt suffisament petit. On pose par approximation que l'accélération du volume et l'accélération de la pression varient linéairement au cours de l'intervalle Δt, et on réitère 3 fois le calcul en réajustant à chaque fois les pentes de ces accélérations.

Le bilan énergétique totale se scinde en trois bilans énergétiques, celui de la cavité dU, celui du piston dE et celui de l'exterieur , et la somme doit être nul dΩ + dW + dU = 0. Pour la cavité, le travaille des forces de pression entraine une variation d'énergie interne dU = - P*dV. Pour le piston, la variation de sa vitesse entraine une variation de son énergie cinétique dE = d((1/2)*M*v2) = M*v*dv. Pour l'exterieur, le travaille des forces de pression exterieur entraine une variation d'énergie à l'exterieur dΩ = -Pext*(-dV) = Pext*dV. Et le bilan énergetique totale doit être nul dE + dW + dU = 0. Nous avons donc Pext*dV - P*dV + M*v*dv = 0. Cette propriété peut être utilisée pour vérifier l'exactitude des calculs.

Notre méthode de résolution par calcul itératif nécessite pour être efficace que les inconnues recherchées aient une expression différentielle du deuxième ordre. Connaissant la différentielle seconde de V, on calcule donc maintenant la différentielle seconde de P :

dP = - (5/3)*P*dV/V
d2P = - (5/3)*(dP*dV/V + P*d2V/V - P*(dV)2/V2)

3) Résolution par itération

Approximation :

  1. L'accéleration du volume V varie linéairement entre chaque intervalle Δt.
  2. L'accéleration de la pression P varie linéairement entre chaque intervalle Δt.

Position initiale :

  1. A=1, M=100, P = 1, Pext = 1, V=1, dV/dt = 0.1, Δt = 0.1

Programme :

T = 0.1
A = 1
M = 100

Q = 1
P = 1
V = 1
dV = 0.1
t = 0

dP = - (5/3)*P*dV/V
aV = (P-Q)*A*A*/M
aP = - (5/3)*(dP*dV/V + P*aV/V - P*dV*dV/(V*V))

pV=0
pP=0

Intervalle de temps d'une maille Δt = 0.1
Surface du piston A = 1
Masse du piston M = 100

Pression Pext = 1
Pression P = 1
Volume V = 1
Vitesse de volume dV/dt = 0.1
Temps initial t=0

Variation de pression dP/dt
Accélération de volume d2V/dt2
Accélération de pression d2P/dt2

Les pentes sont initialement posée égale à 0

Répéter
   |     Afficher V, dV
   |     Répéter 3 fois
   |        |     V2 = V + dV*T + aV*T*T/2 + pV*T*T*T/6
   |        |     dV2 = dV + aV*T + pV*T*T/2
   |        |     dP2 = - (5/3)*P2*dV2/V2
   |        |     aP2 = - (5/3)*(dP2*dV2/V2 + P2*aV2/V2 - P2*dV2*dV2/(V2*V2))
   |        |     pP = (aP2 - aP)/T
   |        |     P2 = P + dP*T + aP*T*T/2 + pP*T*T*T/6
   |        |     aV2 = (P2-Q)*A*A/M
   |        |     pV = (aV2 - aV)/T
   |     fin
   |     V = V2
   |     dV = dV2
   |     aV = aV2
   |     P = P2
   |     dP = dP2
   |     aP = aP2
   |     t = t + T
fin

Boucle indéfinie
   |    Affiche l'état courant
   |    Calcul répété 3 fois de suites
   |       |    Volume à l'intant t+Δt
   |       |    Vitesse du volume à l'intant t+Δt
   |       |    Vitesse de pression à l'intant t+Δt
   |       |    Accélération de pression à l'intant t+Δt
   |       |    Pente de pression à l'intant t+Δt
   |       |    Pression à l'instant t+Δt.
   |       |    Accélération de volume à l'intant t+Δt
   |       |    Pente de volume à l'intant t+Δt
   |      └---------------------------
   |    Déplacement à l'instant t+Δt
   |    ...
   |    ...
   |    ...
   |    ...
   |    ...
   |    t := t + Δt
  └---------------------------

Evolution du volume au cours du temps : Le résultat ressemble à une sinusoïde déformée.


Evolution de l'accélération au cours du temps :

 


D. Mabboux-Stromberg