Modèle corpusculaire unidimensionel

1) Introduction

Les lois physiques fondamentales sont plus vivantes sous forme de modèle. Et on peut concevoir des lois imaginaires plus simples, dans un espace unidimensionel, permettant rapidement la programmation de modèles et la simulation que nous préférons appeler expérimentations exactes. Ces modèles sont des exemples de construction à la fois théorique et algorithmique.

Un modèle s'expriment sous forme d'un système d'équations différentielles aux dérivées partielles. Et un tel système peut toujours se mettre sous forme d'un calcul itératif, en effectuant une quantification et un changement de variable approprié. Dans la plus part des cas, le calcul itératif est approché, mais rien ne nous interdit qu'un calcul itératif ne puisse être exacte et constituer la loi proprement dite.

On modélisera les particules, les ondes, les ondes stationnaires, la quantification, la relativité..., en proposant aux lecteurs non pas seulement la description des lois qu'il n'est pas en mesure de vérifier, mais accompagnées d'un modèle qu'il pourra à loisir expérimenter sur son ordinateur personnel avec différentes conditions initiales.

On appelle expérimentation exacte, le calcul du modèle par l'ordinateur, essayant un certain nombre de conditions initiales et de paramètres. Tandis qu'on appelle expérimentation réel, la comparaison du modèle avec la réalité. Par la seul expérimentation exacte, on peut tirer certains enseignements. Et cette science basée sur l'expérimentation du calcul de modèle a l'avantage d'être abordable par tous, et d'être transmissible par simple duplication. Elle peut donc constituer à elle seul un véhicule pour transmettre un argumentaire, autrement dit un vecteur pour la propagande.

Le modèle permet à l'utilisateur final d'expérimenter. Il permet d'observer la cohérence de la théorie en vérifiant que, dans les simulations, les propriétés attendues se réalisent bien. L'algorithme et la loi sont misent sur un même pied d'égalité. Ils sont transmis par copie : la copie d'une théorie, et la copie d'un programme. Cette dualité offre un mécanisme de vérification d'erreur de copie de haut-niveau : l'exécution du programme vérifie les propriétés intrinsèques de la théorie. La charge de cette vérification revient à l'utilisateur final. Et selon la maxime de Saint Thomas "Je ne crois que ce que je vois", la preuve n'est plus antérieur au programme, inévitablement soumise à l'appropriation et à la rétention d'information de la part du concepteur, mais postérieur au programme, s'effectuant lors de l'exécution de celui-ci, sous l'entière responsabilité de l'utilisateur final qui satisfait ainsi à la maxime. L'expérimentation exacte se comporte alors comme un élément du démonstrateur de théorèmes.

La même problèmatique existe en mathématiques. Un théorème doit être accompagné de sa preuve qui est un programme. Et à défaut d'une preuve exacte, une preuve partielle qui assure une grande probabilité nous suffit. Le modèle joue ce rôle, et constitue cette preuve partielle.

Le sens physique que nous proposons est basé sur quatres principes : un principe de causalité qui affirme que toute action a une cause, un principe de relativité qui affirme la neutralité du choix du référentiel, un principe de finitude qui affirme que la quantité d'information est finie, et un quatrième principe sur la nature différentielle de la position, le principe analytique, qui affirme que toutes les grandeurs de position sont infiniment dérivables selon le temps et que leurs series de Taylor convergent en toute valeur du temps.

L'approche intuitionniste se sert de ce sens physique pour construire des structures mathématiques. Une large place est donnée à la description des équations, des structures, des algorithmes, et à leurs langages, véhicules du savoir, permettant la construction d'outils. Mais ces outils ne seront utilisés que d'une manière paresseuse, c'est à dire en étant ni définies ni prouvées complètement. La charge de la preuve doit revenir à l'utilisateur final, rappelez-vous, et se fait donc après coup. La construction propre à l'approche intuitionniste constitue cette preuve qui se déroule par la construction même, et qui apparait donc nécessairement après ou en même temps.

2) Principes

2.1) Principe de causalité

"Toute action a une cause"

Pour qu'un évènement ponctuel `A` influe un évènement ponctuel `B`, il est nécessaire qu'une information soit partie de `A` pour aller en `B`. On dit alors qu'il y a connaissance. Cet échange d'information qui joue un rôle déterminant est appelé le processus causal. Ce processus met en oeuvre un circuit de l'information partant des causes et allant sur les effets.

Le temps est à la base du processus causal, et réciproquement, le processus causal est sucesptible de définir le temps. L'approche intuitionniste met en avant le principe de calculabilité, et épouse le principe de causalité en remplaçant la cause par le calcul et le temps par l'effectivité.

Tout effet a une cause. Ce principe philosophique est un moteur essentiel dans la recherche en science exacte, car s'il n'y a pas de cause il n'y a pas à les rechercher. Dire qu'un effet est indéterminé signifie que sa cause est inconnue.

On ne peut pas être juge et partie prenante. Ce principe juridique coïncide avec le principe d'incertitude d'Heisenberg. Si l'observation perturbe l'expérience alors il n'est pas possible d'observer en tout indépendance, et de connaitre ce qui se serait passé si on n'avait pas observé. L'observation ne peut donc pas nous donner une connaissance exacte de l'expérience. Si on considère l'univers comme doué d'une conscience, il sera dans cette même situation, juge et partie prenante, et il ne pourra pas avoir une conscience exacte et complète de lui-même. La part indéterminée de l'univers découle de ce paradoxe.

2.2) Principe de finitude

"Toutes quantitées d'information est finie"

On ne peut pas diviser la matière indéfiniment sans à un moment donné, en changer sa nature. Et c'est en optant pour cette thèse, sa négation étant beaucoup trop contraignante pour la nature avec des conséquences beaucoup trop impondérables, que les Grecs ont défini abstraitement l'atome il y a près de 2500 ans. Ils ont ainsi posé le principe de finitude du nombre d'atomes d'un système physique.

Ce principe de finitude se généralise à l'information. Tout échange d'information est de quantité finie. L'état d'un système physique est une quantité d'information finie. Ce principe est nécessaire pour pouvoir remplacer la cause par le calcul.

On peut penser que l'information possède une masse minimum, et qu'une quantité d'information infinie possederait une masse infinie.

2.3) Principe d'inertie

Le principe d'inertie affirme qu'une particule soumise à aucune force est en mouvement rectiligne uniforme. Cela correspond au principe de conservation de la quantité de mouvement.

Ce principe désigne une classe de mouvements privilégiés que sont les translations uniformes et qui seront définies intrinsèquement dans l'espace sous la forme de référentiels galiléens

Le principe d'inertie s'étend en un principe plus générale appelé principe de relativité qui affirme que la loi s'exprime identiquement dans chaque référentiel galiléens, faisant qu'il n'existe pas de référentiel absolu. La loi ne discrimine pas les référentiels galiléens.

2.4) Principe de relativité

"Il n'y a pas de référentiel absolu, les lois sont les mêmes dans tous les référentiels"

Pour appliquer ce principe, il faut définir ce qu'est un référentiel. Un référentiel est une situation où un observateur imaginaire peut se trouver. Le référentiel porte l'information nécessaire pour trancher, sous forme de choix, toutes les symétries existantes de l'univers, et détermine ainsi totalement la situation subjective d'un observateur.

Il découle de la définition du référentiel que la loi est la même dans chaque référentiel. On sépare ce qui est propre à la loi et ce qui est propre au système physique, c'est à dire les variables globales propres à la loi, appelées constantes universelles, et les variables locales au système physique qui peuvent dépendre du référentiel. Les constantes universelles sont inchangées par changement de référentiel, ainsi que certaines variables d'état du système, et le système possède un référentiel propre.

On se limite aux seuls référentiels galiléens, qui sont obtenus à partir du prima-référentiel par translations et fuites.

2.5) Principe de transmission instantané sans rémanence de l'information

A partir du principe de finitude et du principe de causalité, on peut compléter les hypothèses sur le processus causal en optant pour un principe de transmission instantané et efficiente de l'information. Cela définie la mécanique classique avec un champ instantané.

Une première hypothèse affirme donc que l'information sur la position des particules est transmise de manière instantanée.

Il s'en suit que le temps publique est le même pour toutes les particules, et que la particule connait instantanément la configuration présente des autres particules quelque soit leur éloignement et leur état.

Le temps publique est représenté par la variable `t`. Les paramètres d'état du sytème physique sont donc fonction de `t`.

Une seconde hypothèse affirme qu'il n'y a pas de résurgence ni de rémanence du passé, c'est à dire que les effets de cette information transmise instantanément ne sont pas différés dans le temps, l'information agit tout de suite.

Il s'en suit que la part déterministe de l'univers est déterminée par la connaissance de toutes ses variables d'état à l'instant `t`, et que la connaissance des états antérieurs n'apportent aucune information supplémentaire.

Il est alors inutile de considérer un espace-temps, seul la connaissance de l'espace à un instant `t` précis suffit.

2.6) Principe analytique

Les variables de position `x` fonction du temps `t`, sont toutes supposées infiniment dérivables et telles que leurs séries de Taylor soient convergentes en toute valeur du temps. Ce principe est aussi appelé l'hypothèse analytique des forces, c'est à dire l'hypothèse que la force est une fonction analytique de la position, de la vitesse, de l'accélération..., de la dérivé n-ième de la position..., de l'ensemble des particules. Il s'en suit que la position, la vitesse, l'accélération..., la dérivé n-ième de la position...., d'une particule sont également des fonctions analytiques, c'est à dire des quantitées `x` indéfiniment dérivables tel que la série de Taylor convergent quelque soit t.

Ce principe fondamentale donne aux mouvements une signification aux propriétés mathématiques étonnantes. En particulier, si on connait la position `x` sur un intervalle quelconque de temps `]t_1, t_2[`, ou bien si on connaît la suite de ses dérivés n-ième en un instant précis `t_1`, alors on connaît `x` en tout instant `t`.

En prenant comme convention que `x` désigne la position de la particule à l'instant `t=0`, que `x', x'', x''', x''''` désignent les dérivés successives selon `t` de `x`, et que `x^((n))` désigne la dérivé n-ième de `x`, la position de la particule à tout instant `t`, notée `x(t)`, est calculée par la série de Taylor :

`x(t) = x + sum_(n=1)^oo x^((n))t^n/(n!)`
`x(t) = x + x't + x''t^2/2 + x'''t^3/(3!) + x''''t^4/(4!) +....`

Une autre façon de représenter la série de Taylor :

`x(t) = x+t(x^((1))/1 +t(x^((2))/2 +t(x^((3))/3 + t(x^((4))/4+...))))`

Remarquez qu'il y a ici une surdéfinition de la variable `t`. La variable `x` est posée comme une fonction de `t` et en posant `t=0`, puis on redéfinie un nouveau paramètre `t` qui masque alors le précédent. Pour accéder au précédent paramètre on ajoutera une sorte d'anticote comme préfixe, ainsi `‘t` désignera l'ancienne variable `t` qui est posé égale à zéro. Mais les arguments par défaut sont toujours les mêmes faisant que `x` désigne à présent `x(‘t)` c'est à dire toujours `x(0)` et de même pour `x'` qui désigne `x'(0)` et pour `x^((2))` qui désigne `x^((2))(0)`. On a recours à cette surdéfinition pour ne pas démultiplier les noms de variables, surtout lorsque ces variables portent une même définition intuitive en se distinguant de part leur seul référentielle.

On pourrait s'intéresser au cas où la série de Taylor ne converge pas en certains points, des points singuliers, mais ce sont des cas isolées qui n'apportent rien de nouveau et qui peuvent être approchés aussi finement que l'on veut par des fonctions partout analytiques. La quantité d'information étant supposé finie, ce seul moyen d'approche analytique nous assure de pouvoir répondre à toutes les situations, et possède l'avantage d'écarter les valeurs infinies et toutes les indéterminations qui en découlent.

Le principe analytique ne doit pas contredire le principe de finitude. Le théorème de l'échantillonnage découvert par C.E.Shannon, affirme qu'un signal qui ne comprend pas de fréquence égale ou supérieur à `F` peut être échantillonné à la fréquence `2F` sans qu'il n'y ait aucune perte d'information. Ce théorème constitue un premier pas pour assurer qu'une grandeur indéfiniment dérivable ne contienne qu'une quantité d'information finie lorsque son spectre de fréquence est borné. Puis le principe de quantification de l'action de la trajectoire d'une particule va limiter les cas possibles en un nombre fini.

On définie la particule comme un système physique source de forces, possédant une position `x` fonction du temps `t`, c'est à dire une trajectoire notée `x(t)`, et possédant des paramètres propres invariants par changement de référentiel galiléen, spécifiant une source de la force qui doit être une fonction analytique de la position, de la vitesse, de l'accélération...., de la dérivé n-ième de la position..., de l'ensemble des particules.

3) Espace

L'hypothèse newtonienne affirme que l'espace est représenté par un ensemble mathématique de points, qu'est l'espace vectoriel euclidien de dimension 3. Cet espace est obtenu par le produit directe de corps de réels comme suit :

` RR × RR × RR   =   RR^3`

Chaque point est caractérisé par trois nombres réels `(x, y, z)` que sont ses coordonnées cartésiennes absolues et qui définissent sa position :

`(x, y, z) in RR^3`

L'espace est munie de la norme canonique suivante qui traduit algèbriquement le théorème de Pythagore :

`|"("x, y, z")"| = sqrt(x^2+y^2+z^2)`

Cela permet de définir la distance entre deux points quelconques :

`"dist("(x, y, z),(a,b,c)")" = |"("x,y,z")" - "("a,b,c")"| = |"("x-a, y-b, z-c")"| = sqrt((x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2)`

L'espace est munie du produit scalaire `bb*` qui complète la définition de la norme :

`(x, y, z)bb*(a,b,c) = (xa + yb + zc)`

`(x, y, z)^2 = |"("x, y, z")"|^2 = (x, y, z)bb*(x, y, z) = (x^2 + y^2 + z^2)`

Ce produit scalaire affirme que `"("(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)")"` constitue une base orthonormée, et il permet de définir les angles entre deux droites comme suit :

`0 <=theta<= pi/2`    et    `cos(theta)= |vec u bb*vec v|/(|vec u| |vecv|)`

Par convention d'écriture, les variables vectorielles sont notées avec une flêche ou bien en caractère gras, et lorsqu'elles sont notées sans la flêche ou en non gras, il s'agit alors de leur norme. Pour tout vecteur `bbv` nous avons :

`v = |vecv|`

`v = sqrt(vecvbb*vecv)`

`v^2 = vecvbb*vecv`

4) Système différentiel et cinématique

On considère une particule de coordonnée `(x,y,z)` évoluant au cours du temps `t`, se déplaçant selon une trajectoire, c'est à dire que `x` et `y` et `z` sont des fonctions de `t`. Par défaut lorsque on évoque `x` ou `y` ou `z` il faut entendre respectivement `x(t)` ou `y(t)` ou `z(t)` les coordonnées de la particule à l'instant `t`. On pose ce comportement par défaut par la déclaration suivante qui définie complétement les liens de dépendance avec le choix des arguments par défaut.

`t|->x`
`t|->y`
`t|->z`

La position est notée par le vecteur `vecl` qui, de part sa définition, étant un triplet d'éléments fonctions de `t`, est lui-même fonction de `t`. Et comme il n'y a pas d'ambiguïté, l'argument par défaut sera également `t`.

`vecl = (x,y,z)`

Par convention les dérivés selon `t` de `x`, de `y`, de `z` et du vecteur `vec l` se notent respectivement `dot x`, `doty`, `dot z` et `dot vec l`, et sont également fonctions de `t` et auront également par défaut cet argument. Et nous avons évidement l'égalité suivante :

`dot vecl = (dot x,dot y,dot z)`

Au cours d'un intervalle de temps `dt`, les coordonnées `(x,y,z)` vont changer et devenir `(x+dx,y+dy,z+dz)`. Plus précisement nous avons :

`x(t)+dx(t) = x(t+dt)`
`y(t)+dx(t) = y(t+dt)`
`z(t)+dx(t) = z(t+dt)`
`((x(t)),(y(t)),(z(t))) + ((dx(t)),(dy(t)),(dz(t))) = ((x(t+dt)),(y(t+dt)),(z(t+dt)))` `vec(l(t)) + vec(dl(t)) = vec(l(t+dt))`

Et en utilisant la notation par défaut, c'est à dire l'argument `t` par défaut comme précisé dans la définition de `x, y, z, vec l`, cela s'écrit comme suit :

`x+dx = x(t+dt)`
`y+dy = y(t+dt)`
`z+dz = z(t+dt)`
`((x),(y),(z)) + ((dx),(dy),(dz)) = ((x(t+dt)),(y(t+dt)),(z(t+dt)))` `vec(l) + vec(dl) = vec(l(t+dt))`

Mais cette écriture entretien une ambiguïté entre produit et application, confondant par exemple `fa` avec `f(a)`. Pour lever cette ambiguïté on adopte un autre type de parenthèse `(: :)` pour appliquer une fonction à des arguments. Ainsi une fonction `f` appliquée aux arguments `(a,b+c)` s'écrira `f(:a,b+c:)`, et l'expression `f(a,b+c)` correspondra au produit et sera égale à `(fa,fb+fc)` `f` désigne la valeur de l'application `f` appliqué à ses arguments par défaut tel que précisé dans sa définition. Les équations se réécrivent alors comme suit :

`t|->x`
`t|->y`
`t|->z`
`l = (x,y,z)`

`x+dx = x(:t+dt:)`
`y+dy = y(:t+dt:)`
`z+dz = z(:t+dt:)`
`((x),(y),(z)) + ((dx),(dy),(dz)) = ((x(:t+dt:)),(y(:t+dt:)),(z(:t+dt:)))` `vec(l) + vec(dl) = vec(l(:t+dt:))`

Remarquez que les vecteurs peuvent être représentés en ligne ou en colonne et que cela n'a pas d'importance à ce stade.

Remarquez que ces expressions ne sont exactes qu'au premier ordre, c'est à dire qu'elles négligent les termes en `dt^2`, `dx^2`, `dy^2`, `dz^2` et plus exactement qu'elles négligent tous les termes doublement infinitésimaux dit en `epsilon^2`. Ces expressions couvrent deux ordres que sont les nombres réels et les nombres infinitésimaux, et se mettent sous la forme `a+epsilonb` où `a` et `b` sont deux nombres réels, les nombres hyperreéls d'ordre supérieurs en `epsilon^2, epsilon^3,...` sont tout simplement retirés et ignorés. C'est un artifice mathématique qui consiste à se placer dans le corps des hyperréels, un corps totalement ordonnée possédant une infinité d'ordres notés `(..., epsilon^(-2), epsilon^(-1), 1, epsilon, epsilon^(2), epsilon^(3), ...)`. Les expressions `dt`, `dx`, `dy`, `dz` sont dits du premier ordre ou dits de l'ordre d'`epsilon`, c'est à dire que leur valeur hyperréel se mettent sous la forme `epsilona` où a est un hyperréel fini. Cela signifie que ces grandeurs ont une norme infiniment petit par rapport à tous nombres réels strictements positifs. Les expressions `dt^2`, `dx^2`, `dy^2`, `dz^2` sont dits du second ordre ou dits de l'ordre d'`epsilon^2`, c'est à dire que leur valeur hyperréel se mettent sous la forme `epsilon^2a` où a est un hyperréel fini. Cela signifie que ces grandeurs ont une norme infiniment petit par rapport à `epsilon` multiplié par tous nombres réels strictements positifs. Et ainsi de suite. Cette classification est pertinente parceque les fonctions analytiques respectent ces ordres de grandeurs.

L'élément `dt` est un intervalle de temps infinitésimal dit libre c'est à dire qui peut être choisi arbitrairement du moment qu'il reste infinitésimal. Parcontre les éléments `dx` et `dy` et `dz` sont déterminés par ce `dt` et par la trajectoire de la particule. En effet ils sont de par leur définition des fonctions non seulement de `t` mais aussi de `dt`. Leurs arguments par défaut sont `dx(:t,dt:)` et `dy(:t,dt:)` et `dz(:t,dt:)`. Et un appel partiel sera également complété par défaut comme suit, par exemple `x(:2t:)` désignera `x(:2t,dt:)`, autre exemple `x(:,2dt)` désignera `x(:t,2dt:)`.

L'élément `vec(dl)` représente le déplacement de la particule entre l'instant `t` et `t+dt`.

`vec(dl) = (dx,dy,dz)`

De façon explicite, nous avons :

`vec(dl(:t,dt:)) = (dx(:t,dt:), dy(:t,dt:), dz(:t,dt:))`

On voit bien que l'usage des partamètres par défaut permet de les enlever et de rendre lisible la formule en mettant en avant les seuls prinicpes que l'on souhaite exposer.

La première règle cinématique s'écrie ainsi :

`dx = dot xdt`
`dy = dot ydt`

`dz = dot zdt`
`((dx),(dy),(dz)) = ((dot x),(dot y),(dot z))dt` `vec(dl) = dot vec l dt`

Remarquez que ces expressions ne sont exactes qu'au premier ordre, c'est à dire qu'elles négligent les termes en `dt^2`, `dx^2`, `dy^2`, `dz^2` ou plus exactement qu'elles négligent tous les termes doublement infinitésimaux en `epsilon^2`. Mais cette approximation mathématique reste physiquement exacte, c'est là toute la force du calcul différentiel.

`dl` est appellé l'élément de longueur du déplacement. Il permet de mesurer la longueur des trajectoires par intégration. Comme nous avons :

`vec(dl) = dot vec l dt`

`dl = |vec(dl)| = |dot vec l| |dt|`

Si on s'impose la condition `dt >0` alors nous avons :

`dl = |dot vec l| dt`

Lors de l'intervalle de temps infinitésimal `[t, t+dt[`, la particule de coordonnée `(x,y,z)` se déplace d'une translation infinitésimale de longueur `dl`. La longueur parcourue entre l'instant `t_1` et `t_2` est alors donnée par l'intégrale suivante :

`int_(t=t_1)^(t=t_2) dl`

Et comme nous avons `dl = |dot vecl| dt` en prenant toujours `dt > 0`, la longueur parcourue entre l'instant `t_1` et `t_2`, en faisant parcourir `t` de `t_1` à `t_2` avec `t_1 < t_2`, est calculée par :

`int_(t=t_1)^(t=t_2) |dot vecl| dt`

Autrement dit :

`int_(t=t_1)^(t=t_2) sqrt(dot x^2+dot y^2+dot z^2) dt`

4) Base orthonormée

On nomme la base orthonormée origine `(bbi, bbj, bbk)` et on l'appelle la prima-base. Cette base n'est qu'un artifice mathématique qui permet de nommer tous les vecteurs de l'espace.

`bbi = (1,0,0)`
`bbj = (0,1,0)`
`bbk = (0,0,1)`

Un vecteur `bbv` est identifié par ses coordonnées absolues `(x,y,z)`. Ce sont ses coordonnées dans la prima-base que l'on présente entre parenthèse :

`bbv = (x, y, z) = xbbi + ybbj + zbbk`

Une base `A = (bb(e_1),bb(e_2),bb(e_3))` est orthonormée ssi les vecteurs de la base sont normés et orthogonaux deux à deux, c'est à dire ssi ils vérifient ces 6 égalités :

`bb(e_1)bb*bb(e_1) = 1`
`bb(e_2)bb*bb(e_2) = 1`  
`bb(e_3)bb*bb(e_3) =1`
`bb(e_1)bb*bb(e_2) = 0`
`bb(e_2)bb*bb(e_3) = 0`

`bb(e_3)bb*bb(e_1) = 0`

On choisie une base orthonormée quelconque `A = (bb(e_1),bb(e_2),bb(e_3))`. Tout vecteur `bbv` admet des coordonnées dans cette base

`bbv = (x,y,z)bb*A`
`bbv = (x,y,z)bb*(bb(e_1),bb(e_2),bb(e_3))`
`bbv = xbb(e_1)+ybb(e_2)+zbb(e_3)`

Le produit scalaire appliqué à `bbv` et aux vecteurs de la base `A` orthonormé permet d'obtenir les coordonnées de `bbv` relatives à cette base :

`x = bbv bb* bb(e_1)`
`y = bbv bb* bb(e_2)`
`z = bbv bb* bb(e_3)`

La base orthonormée `A` est directe ssi le determinant est égale à 1, c'est à dire ssi `det(bb(e_1), bb(e_2), bb(e_3)) = 1`, c'est à dire ssi `bb(e_1) ^^ bb(e_2) bb* bb(e_3) = 1`.

4.1) Application linéaire, bilinéaire, symétrique, antisymétrique

On considère des applications de `RR^3->RR` et de `RR^3->RR^3`. Et on considère `AA a in RR, AA vec u in RR^3, AA vec v in RR^3, AA vecw in RR^3`

Une application `f` est linéaire ssi elle respecte les combinaisons linéaires :

`f(vec u + vec v) = f(vec u) + f(vec v)`   et   `f(a vec v) = af(vec v)`

Une application `f` est bilinéaire ssi elle respecte les combinaisons linéaires pour chacun de ces deux arguments :

`f(vec u + vec v, vecw) = f(vec u,vec w) + f(vec v, vec w)`    et    `f(a vec v, vec w) = af(vec v, vec w)`
`f(vecw, vec u + vec v) = f( vec w, vec u) + f( vec w, vec v)`
   et    `f( vec w, a vec v) = af( vec w, vec v)`

Une application bilinéaire `f` est symétrique ssi `f(vec u,vec v) = f(vec v,vecu)`

Une application bilinéaire `f` est antisymétrique ssi `f(vec u,vec v) = -f(vec v,vecu)`

4.2) Produit scalaire `bb*`

On définie le produit scalaire, noté `bb*`, comme l'application bilinéaire symétrique satisfaisant ces 6 équations :

`bbibb*bbi = 1`
`bbjbb*bbj = 1`       
`bbkbb*bbk =1`
`bbibb*bbj = 0`
`bbjbb*bbk = 0`

`bbkbb*bbi = 0`

Notez que ces 6 equations s'obtiennent par permutation circulaire de `(bbi,bbj,bbk)` à partir des deux premières équations `bbibb*bbi = 1` et `bbibb*bbj = 0`.

La définition de ce produit scalaire entraine la définition de la norme `|bbv| =bbv bb* bbv` et pose que la prima-base est orthonormée. Deux vecteurs sont orthogonaux ssi leur produit scalaire est nul. Le produit scalaire appliqué aux vecteurs de la prima-base permet d'obtenir les coordonnées absolues d'un vecteur `bbv` quelconque, car la prima-base est orthonormée.

`x = bbv bb* bbi`
`y = bbv bb* bbj`
`z = bbv bb* bbk`

Un triplet de vecteurs `(bb(e_1), bb(e_2), bb(e_3))` constitue une base orthonormée ssi ces vecteurs sont normés et orthogonaux deux à deux, c'est à dire ssi ils vérifient ces 6 égalités :

`|bb(e_1)| = 1`
`|bb(e_2)| = 1`
`|bb(e_3)| = 1`
`bb(e_1)bb*bb(e_2) = 0`
`bb(e_2)bb*bb(e_3) = 0`
`bb(e_3)bb*bb(e_1) = 0`

Notez que ces 6 equations s'obtiennent par permutation circulaire de `(bb(e_1), bb(e_2), bb(e_3))` à partir des deux premières équations `|bb(e_1)| = 1` et `bb(e_1)bb*bb(e_2) = 0`.

4.3) Produit vectoriel `^^`

On définie le produit vectoriel, noté `^^`, comme l'application bilinéaire antisymétrique satisfaisant ces 3 équations :

`bbi^^bbj = bbk`
`bbj^^bbk = bbi`
`bbk^^bbi = bbj`

Notez que ces 6 equations s'obtiennent par permutation circulaire de `(bbi,bbj,bbk)` à partir des deux premières équations `bbi^^bbi = vec0` et `bbi^^bbj = bbk`.

Ce produit vectoriel apporte une connaissance nouvelle sur l'espace qu'est la classe d'orientation des bases et qui correspond en dimension 3 à la chiralité de la base. Elle pose que l'orientation de la prima-base est directe, ou autrement dit, elle pose que la chiralité de la prima-base est égale à 1.

La chiralité d'une base orthonormée `(bb(e_1), bb(e_2), bb(e_3))` est donnée par la valeur du déterminant qui est 1 ou -1, et qui est le produit mixte et dont la norme correspond au volume du parallélépipède construit sur ces trois vecteurs :

`det(bb(e_1), bb(e_2), bb(e_3))` `=` `bb(e_1) ^^ bb(e_2) bb* bb(e_3) in {-1,1}`

5) Application linéaire orthonormée (isométrie vectorielle)

Une application linéaire `A` est complétement définie par son image de la prima-base. Ainsi l'application `A` est identifiée au triplet de vecteurs `(A(:bbi:), A(:bbj:), A(:bbk:))`. Ce triplet correspond à une matrice dont les colonnes sont ces 3 vecteurs images exprimés dans la prima-base et qui constitue l'expression matriciel de `A` exprimés dans la prima-base.

Si l'application linéaire `A` est inversible. Alors ce triplet de vecteurs constitue une base.

Si l'application linéaire `A` est inversible et orthonormée. Alors ce triplet de vecteurs constitue une base orthonormée. Et si le déterminant de `A` est `1` alors la base en question est directe. Et si le déterminant de `A` est `-1` alors la base en question est indirecte.

L'application linéaire orthonormée `A` est identifiée à la base orthonormée image `(A(:bbi:), A(:bbj:), A(:bbk:))` qui en constitue sa représentation matricielle absolue relative à la prima-base. Réciproquement une base orthonormée est identifié à l'application linéaire orthonormée qui envoie la prima-base sur elle.

Prenons un exemple :

`bb(e_1) = bbj +bbk `
`bb(e_2) = - bbi - bbk `
`bb(e_3) = 2bbi -2bbj +2bbk`
`A = (bb(e_1),bb(e_2),bb(e_3)) `
`bbv = bbi + bbj + bbk`

Les expressions absolues de ces vecteurs et application sont données par :

`bb(e_1) = ((0),(1),(1))`

`bb(e_2)=((-1),(0),(-1))`

`bb(e_3)=((2),(-2),(2))`

`A = ((0,-1,2),(1,0,-2),(1,-1,2))` `bbv = ((1),(1),(1))`

`A(:bbv:) = A×bbv = ((0,-1,2),(1,0,-2),(1,-1,2))×((1),(1),(1)) = ((1),(1),(2))`         où `×` désigne le produit matriciel.

`A(:bbv:) = bbi+bbj+2bbk`

Il y a deux types d'application linéaire orthonormée celle qui laisse invariant la chiralité et celle qui inverse la chiralité. Les premières sont les rotations dans l'espace, et elles ont un déterminant égal à `1`. Les secondes sont obtenues à partir des premières en effectuant une symétrie centrale, c'est à dire en inversant les signes, et elles ont un déterminant égal à `-1`.

6) Changement de base

Un vecteur `bbv` est identifié à ses coordonnées absolues `(x,y,z)`.

`bbv=(x,y,z)=xbbi+ybbj+zbbk`

Considérons une base `A = (bb(e_1),bb(e_2),bb(e_3))`. Cela définie également une application linéaire `A`. L'application `A` transforme la base `(bbi,bbj,bbk)` en la base `(bb(e_1),bb(e_2),bb(e_3))`. Et l'application inverse `A^(-1)` transforme la base `(bb(e_1),bb(e_2),bb(e_3))` en la base `(bbi,bbj,bbk)`.

6.1) Interprétation de `bbv` dans une base `A`, noté `bbvbb*A`

Un vecteur `bbv=(x,y,z)` désigne des coordonnées dans la prima-base. Ces coordonnées `(x,y,z)` interprétées dans une autre base `A=(bb(e_1),bb(e_2),bb(e_3))` définissent un nouveau vecteur que l'on note `bbvbb*A` :

`bbvbb*A = (x,y,z)bb*(bb(e_1),bb(e_2),bb(e_3))`
`bbvbb*A = xbb(e_1)+ybb(e_2)+zbb(e_3)`

Nous avons :

`A^(-1)(:bbvbb*A:) = A^(-1)(:xbb(e_1)+ybb(e_2)+zbb(e_3):)`
`A^(-1)(:bbvbb*A:) = xA^(-1)(:bb(e_1):)+yA^(-1)(:bb(e_2):)+zA^(-1)(:bb(e_3):)`
`A^(-1)(:bbvbb*A:) = xbbi+ybbj+zbbk`
`A^(-1)(:bbvbb*A:) = bbv`

`bbvbb*A = A(:bbv:)`

On en conclut que interpréter les coordonnées du vecteur `bbv` dans une autre base `A` produit un autre vecteur noté `bbvbb*A` qui est égale à `A(:bbv:)`.

6.2) Expression de `bbv` dans une base `A`, noté `bbv_A`

Le vecteur `bbv` se décompose dans une base `A=(bb(e_1),bb(e_2),bb(e_3))` en une combinaison linéaire `bbv = abb(e_1)+b bb(e_2)+cbb(e_3)`. Les coordonnées `(a,b,c)` sont dites coordonnées du vecteur `bbv` dans la base `A=(bb(e_1),bb(e_2),bb(e_3))`. Ces coordonnées `(a,b,c)` forment un nouveau vecteur que l'on note `bbv_A = (a,b,c) = abbi+b bbj+c bbk`. Nous avons :

`bbv = abb(e_1)+b bb(e_2)+cbb(e_3)`
`bbv = (a,b,c)bb*(bb(e_1), bb(e_2), bb(e_3))`
`bbv = bbv_A bb* A`
`bbv = A(:bbv_A:)`
`bbv_A = A^(-1)(:bbv:)`

On en conclut que l'expression des coordonnées du vecteur `bbv` dans une autre base `A` produit un autre vecteur noté `bbv_A` qui est égale à `A^(-1)(:bbv:)`.

6.3) Interprétation dans deux bases

Un vecteur `bbv=(x,y,z)` interprétées dans deux bases `A=(bb(e_1),bb(e_2),bb(e_3))` et `B=(bb(f_1),bb(f_2),bb(f_3))` définissent deux nouveaux vecteurs que l'on note `bbvbb*A` et `bbvbb*B` :

`bbvbb*A = (x,y,z)bb*(bb(e_1),bb(e_2),bb(e_3))`
`bbvbb*A = xbb(e_1)+ybb(e_2)+zbb(e_3)`
`bbvbb*B = (x,y,z)bb*(bb(f_1),bb(f_2),bb(f_3))`
`bbvbb*B = xbb(f_1)+ybb(f_2)+zbb(f_3)`

Nous avons :

`bbvbb*A = A(:bbv:)`
`bbvbb*B = B(:bbv:)`
`bbvbb*B = B(:A^(-1)(:bbvbb*A:):)`

`bbvbb*B = BA^(-1)(:bbvbb*A:)`

Notez que le produit d'application linéaire `BA^(-1)` correspond à la composition d'application en notation anglaise et au produit matriciel.

Remarquez que l'application `BA^(-1)` transforme la base `A=(bb(e_1),bb(e_2),bb(e_3))` en la base `B= (bb(f_1),bb(f_2),bb(f_3))`.

On en conclut que l'interprétation les coordonnées du vecteur `bbv` dans une base `A` produit un vecteur noté `bbvbb*A` et que l'interprétation du vecteur `bbv` dans une base `B` produit un vecteur noté `bbvbb*B` et que pour passer d'une interprétation à l'autre `BA^(-1)(:bbvbb*A:) = bbvbb*B`, on applique à l'interpretation l'application qui transforme la base de l'une à l'autre :

`bbvbb*A   |->_(BA^(-1))   bbvbb*B`
      `A   |->_(BA^(-1))   B`

6.4) Expression dans deux bases

Le vecteur `bbv` s'exprime dans deux autres bases `A=(bb(e_1),bb(e_2),bb(e_3))` et `B=(bb(f_1),bb(f_2),bb(f_3))` par les coordonnées `(a,b,c)` et `(r,s,t)`. Ces coordonnées forment des nouveaux vecteurs que l'on note `bbv_A=(a,b,c)` et `bbv_B=(r,s,t)` :

`bbv = abb(e_1)+b bb(e_2)+cbb(e_3)`
`bbv = (a,b,c)bb*(bb(e_1),bb(e_2),bb(e_3))`
`bbv = bbv_Abb*A`
`bbv = A(:bbv_A:)`
`bbv = rbb(f_1)+s bb(f_2)+tbb(f_3)`
`bbv = (r,s,t)bb*(bb(f_1),bb(f_2),bb(f_3))`
`bbv = bbv_Bbb*B`
`bbv = B(:bbv_B:)`

Nous avons :

`bbv_B = B^(-1)(:bbv:)`
`bbv_B = B^(-1)(:A(:bbv_A:):)`
`bbv_B = B^(-1)A(:bbv_A:)`

Notez que le produit d'application linéaire `B^(-1)A` correspond à la composition d'application en notation anglaise et au produit matriciel.

Remarquez que l'application `B^(-1)A` transforme la base `(A^(-1)(:bbi:), A^(-1)(:bbj:), A^(-1)(:bbk:))` en la base `(B^(-1)(:bbi:), B^(-1)(:bbj:), B^(-1)(:bbk:))` c'est à dire transforme la base `A^(-1)` en la base `B^(-1)`.

On en conclut que l'expression des coordonnées du vecteur `bbv` dans une base `A` produit un vecteur noté `bbv_A` et que l'expression des coordonnées du vecteur `bbv` dans une base `B` produit un vecteur noté `bbv_B` et que pour passer d'une expression à l'autre `B^(-1)A(:bbv_A:)=bbv_B`, on applique à l'expression l'application qui transforme la base inverse de l'une en la base inverse de l'autre :

   `bbv_A   |->_(B^(-1)A)   bbv_B`
`A^(-1)   |->_(B^(-1)A)   B^(-1)`

7) Changement de base

Considérons une base `A=(bbi,bbj,bbk)`. On note `bbv_A` les coordonnées du vecteur `bbv` dans la base `A`. On pose `bbv_A = (x,y,z)`. Cela signifie que le vecteur `bbv` possède les coordonnées `(x,y,z)` dans la base `A`. Cela signifie que :

`bbv = (x,y,z)bb*A`
`bbv = (x,y,z)bb*(bbi,bbj,bbk)`
`bbv = xbbi + ybbj + zbbk`

`x = bbv bb* bbi`
`y = bbv bb* bbj`
`z = bbv bb* bbk`

Quelque soit la base orthonormée `A` nous avons `bbv = bbv_Abb*A`

Considérons une autre base `B=(bb(e_1),bb(e_2),bb(e_3))`. On note `bbv_B` les coordonnées du vecteur `bbv` dans la base `B`. On pose `bbv_B = (a,b,c)`. Cela signifie que le vecteur `bbv` possède les coordonnées `(a,b,c)` dans la base `B`. Cela signifie que :

`bbv = (a,b,c)bb*B`
`bbv = (a,b,c)bb*(bb(e_1),bb(e_2),bb(e_3))`
`bbv = abb(e_1) + b bb(e_2) + cbb(e_3)`

`a = bbv bb* bb(e_1)`
`b = bbv bb* bb(e_2)`
`c = bbv bb* bb(e_3)`

Nous avons :

`((a),(b),(c)) = ((bbvbb*bb(e_1)),(bbvbb*bb(e_2)),(bbvbb*bb(e_3))) = (((xbbi + ybbj + zbbk)bb*bb(e_1)),((xbbi + ybbj + zbbk)bb*bb(e_2)),((xbbi + ybbj + zbbk)bb*bb(e_3)))`

`((a),(b),(c)) = ((x(bbibb*bb(e_1)) + y(bbjbb*bb(e_1)) + z(bbkbb*bb(e_1))),(x(bbibb*bb(e_2)) + y(bbjbb*bb(e_2)) + z(bbkbb*bb(e_2))),(x(bbibb*bb(e_3))+ y(bbjbb*bb(e_3)) + z(bbkbb*bb(e_3))))`

`((a),(b),(c)) = ((bbibb*bb(e_1), bbjbb*bb(e_1), bbkbb*bb(e_1)), (bbibb*bb(e_2), bbjbb*bb(e_2), bbkbb*bb(e_2)), (bbibb*bb(e_3), bbjbb*bb(e_3), bbkbb*bb(e_3)))((x), (y), (z))`

`bbv_B = (bbi_B, bbj_B, bbk_B)bbv_A`

Nous avons :

`((x),(y),(z)) = ((bbvbb*bbi),(bbvbb*bbj),(bbvbb*bbk)) = (((abb(e_1) + b bb(e_2) + cbb(e_3))bb*bbi),((abb(e_1) + b bb(e_2) + cbb(e_3))bb*bbj),((abb(e_1) + b bb(e_2) + cbb(e_3))bb*bbk))`

`((x),(y),(z)) = ((a(bb(e_1)bb*bbi) + b(bb(e_2)bb*bbi) + c(bb(e_3)bb*bbi)),(a(bb(e_1)bb*bbj) + b(bb(e_2)bb*bbj) + c(bb(e_3)bb*bbj)),(a(bb(e_1)bb*bbk)+ b(bb(e_2)bb*bbk) + c(bb(e_3)bb*bbk)))`

`((x),(y),(z)) = ((bb(e_1)bb*bbi, bb(e_2)bb*bbi, bb(e_3)bb*bbi),(bb(e_1)bb*bbj, bb(e_2)bb*bbj, bb(e_3)bb*bbj),(bb(e_1)bb*bbk, bb(e_2)bb*bbk, bb(e_3)bb*bbk))((a), (b), (c))`

`bbv_A = (bb(e_1)_A, bb(e_2)_A, bb(e_3)_A)bbv_B`

 

---- 31 mars 2016 ----

 

 

 

 

Considérons l'application `f` définie par `A|->B`, c'est à dire qui transforme la base `A` en la base `B`. Nous avons :

`f(:bbv:) = f(:xbbi + ybbj + zbbk:)`
`f(:bbv:) = xf(:bbi:) + yf(:bbj:) + zf(:bbk:)`
`f(:bbv:) = xbb(e_1) + ybb(e_2) + zbb(e_3)`

`f^(-1)(:bbv:) = f^(-1)(:abb(e_1) + b bb(e_2) + cbb(e_3):)`
`f^(-1)(:bbv:) = af^(-1)(:bb(e_1):) + bf^(-1)(:bb(e_2):) + cf^(-1)(:bb(e_3):)`
`f^(-1)(:bbv:) = abbi + b bbj + cbbk`

 

`bbv = abb(e_1)+b bb(e_2)+cbb(e_3)`
`bbv = (a,b,c)bb*(bb(e_1), bb(e_2), bb(e_3))`
`bbv = bbv_A bb* A`
`bbv = A(:bbv_A:)`
`bbv_A = A^(-1)(:bbv:)`

On en conclut que l'expression des coordonnées du vecteur `bbv` dans une autre base `A` produit un autre vecteur noté `bbv_A` qui est égale à `A^(-1)(:bbv:)`.

9.1) Interprétation dans une base

Un vecteur `bbv=(x,y,z)` désigne des coordonnées. Ces coordonnées `(x,y,z)` interprétées dans une autre base `A=(bb(e_1),bb(e_2),bb(e_3))` définissent un nouveau vecteur que l'on note `bbvbb*A` :

`bbvbb*A = (x,y,z)bb*(bb(e_1),bb(e_2),bb(e_3))`
`bbvbb*A = xbb(e_1)+ybb(e_2)+zbb(e_3)`

Nous avons :

`A^(-1)(:bbvbb*A:) = A^(-1)(:xbb(e_1)+ybb(e_2)+zbb(e_3):)`
`A^(-1)(:bbvbb*A:) = xA^(-1)(:bb(e_1):)+yA^(-1)(:bb(e_2):)+zA^(-1)(:bb(e_3):)`
`A^(-1)(:bbvbb*A:) = xbbi+ybbj+zbbk`
`A^(-1)(:bbvbb*A:) = bbv`

`bbvbb*A = A(:bbv:)`

On en conclut que interpréter les coordonnées du vecteur `bbv` dans une autre base `A` produit un autre vecteur noté `bbvbb*A` qui est égale à `A(:bbv:)`.

 

6.3) Interprétation dans deux bases

Un vecteur `bbv=(x,y,z)` interprétées dans deux autres bases `A=(bb(e_1),bb(e_2),bb(e_3))` et `B=(bb(f_1),bb(f_2),bb(f_3))` définissent deux nouveaux vecteurs que l'on note `bbvbb*A` et `bbvbb*B` :

`bbvbb*A = (x,y,z)bb*(bb(e_1),bb(e_2),bb(e_3))`
`bbvbb*A = xbb(e_1)+ybb(e_2)+zbb(e_3)`
`bbvbb*B = (x,y,z)bb*(bb(f_1),bb(f_2),bb(f_3))`
`bbvbb*B = xbb(f_1)+ybb(f_2)+zbb(f_3)`

Nous avons :

`bbvbb*A = A(:bbv:)`
`bbvbb*B = B(:bbv:)`
`bbvbb*B = B(:A^(-1)(:bbvbb*A:):)`

`bbvbb*B = BA^(-1)(:bbvbb*A:)`

Notez que le produit d'application linéaire `BA^(-1)` correspond à la composition d'application en notation anglaise et au produit matriciel.

Remarquez que l'application `BA^(-1)` transforme la base `(bb(e_1),bb(e_2),bb(e_3))` en la base `(bb(f_1),bb(f_2),bb(f_3))`.

On en conclut que l'interprétation les coordonnées du vecteur `bbv` dans une base `A` produit un vecteur noté `bbvbb*A` et que l'interprétation du vecteur `bbv` dans une base `B` produit un vecteur noté `bbvbb*B` et que pour passer d'une interprétation à l'autre `BA^(-1)(:bbvbb*A:) = bbvbb*B`, on applique à l'interpretation l'application qui transforme la base de l'une à l'autre :

`bbvbb*A   |->_(BA^(-1))   bbvbb*B`
      `A   |->_(BA^(-1))   B`

6.4) Expression dans deux bases

Le vecteur `bbv` s'exprime dans deux autres bases `A=(bb(e_1),bb(e_2),bb(e_3))` et `B=(bb(f_1),bb(f_2),bb(f_3))` par les coordonnées `(a,b,c)` et `(r,s,t)`. Ces coordonnées forment des nouveaux vecteurs que l'on note `bbv_A=(a,b,c)` et `bbv_B=(r,s,t)` :

`bbv = abb(e_1)+b bb(e_2)+cbb(e_3)`
`bbv = (a,b,c)bb*(bb(e_1),bb(e_2),bb(e_3))`
`bbv = bbv_Abb*A`
`bbv = A(:bbv_A:)`
`bbv = rbb(f_1)+s bb(f_2)+tbb(f_3)`
`bbv = (r,s,t)bb*(bb(f_1),bb(f_2),bb(f_3))`
`bbv = bbv_Bbb*B`
`bbv = B(:bbv_B:)`

Nous avons :

`bbv_B = B^(-1)(:bbv:)`
`bbv_B = B^(-1)(:A(:bbv_A:):)`
`bbv_B = B^(-1)A(:bbv_A:)`

Notez que le produit d'application linéaire `B^(-1)A` correspond à la composition d'application en notation anglaise et au produit matriciel.

Remarquez que l'application `B^(-1)A` transforme la base `(A^(-1)(:bbi:), A^(-1)(:bbj:), A^(-1)(:bbk:))` en la base `(B^(-1)(:bbi:), B^(-1)(:bbj:), B^(-1)(:bbk:))` c'est à dire transforme la base `A^(-1)` en la base `B^(-1)`.

On en conclut que l'expression des coordonnées du vecteur `bbv` dans une base `A` produit un vecteur noté `bbv_A` et que l'expression des coordonnées du vecteur `bbv` dans une base `B` produit un vecteur noté `bbv_B` et que pour passer d'une expression à l'autre `B^(-1)A(:bbv_A:)=bbv_B`, on applique à l'expression l'application qui transforme la base inverse de l'une en la base inverse de l'autre :

   `bbv_A   |->_(B^(-1)A)   bbv_B`
`A^(-1)   |->_(B^(-1)A)   B^(-1)`

C'est quand même bizarre car la base inverse n'est pas définie indépendament de la prima-base. Refaisant la démonstration sans utiliser la prima-base.

 

 

 

Considérons l'application linéaire `A` qui transforme les vecteurs `bbu`, `bbi`, `bbj`,`bbk` en les vecteurs respectifs `bbv`, `bb(e_1)`, `bb(e_2)`, `bb(e_3)`. Nous avons :

`A(:bbu:) =bbv`

`A(:bbi:) =bb(e_1)`
`A(:bbj:) =bb(e_2)`
`A(:bbk:) =bb(e_3)`

`A=(bb(e_1),bb(e_2),bb(e_3))`

L'application `A` étant linéaire, elle conserve les relations linéaires. Et donc les coordonnées de `bbu` dans la base `(bbi,bbj,bbk)` sont égales aux coordonnées de `bbv` dans la base `(bb(e_1),bb(e_2),bb(e_3))`, c'est à dire que `bbu = bbv_A`. Et donc nous avons :

`bbv_A = A^(-1)(:bbv:)`

On démontre ainsi que le changement de base est l'application inverse de transformation de base. Autrement dit l'application de changement de base est l'application linéaire qui envoie la base arrrivée sur la base de départ.

La base par défaut est la prima-base notée `O` de tel sorte que pour un vecteur quelconque `bbv` nous avons `bbv = bbv_O`.

L'application de changement de base `bbv_O |-> bbv_A` correspond à l'applicatrtion `A^(-1)`. L'application de changement de base `bbv_A |-> bbv_O` correspond à l'application `A`. Considérons une autre base `B`. L'application de changement de base `bbv_A |-> bbv_O |-> bbv_B` correspond à l'application `A` suivie de l'application `B^(-1)` c'est à dire en notation française à l'application `AB^(-1)`.

L'application qui envoie la base `O` sur la base `A` notée `O|->A` est l'application `A`. L'application qui envoie la base `A` sur la base `O` notée `A|->O` est l'application `A^(-1)`. L'application qui envoie la base `A` sur la base `B` est qui se note `A|->O|->B` correspond à l'application `A^(-1)` suivie de l'application `B` c'est à dire en notation française à l'application `A^(-1)B`.

L'inverse `(AB^(-1))^(-1) = BA^(-1)` devrait correspondre à la transformation de la base `A` en la base `B`. C'est à dire devrait être égale à `A^(-1)B`. Où est l'erreur ?!.

 

 

7) Application à un cas simple dans `RR^2`

On concidère le plan `RR^2`
On pose la prima-base `O = (bbu,bbv)`
On considère la rotation d'un quart de tour notée `B = (bbv, -bbu) = ((0,-1),(1,0))`
On considère la symétrie selon l'axe `bbu` notée `A = (bbu,-bbv) = ((1,0),(0,-1))`
On considère la base `A= (bbu,-bbv)` et la base `B = (bbv, -bbu)`. Les bases sont identifiées aux applications qui les produisent à partir de la prima-base.

L'application qui envoie la base `A` sur la base `B` est qui se note `A|->O|->B` correspond à l'application `A^(-1)` suivie de l'application `B` c'est à dire en notation française à l'application `A^(-1)B`, ici égale à `AB` (car `A` est une symétrie, `A = A^(-1)`)

`AB=B@A=B×A=((0,-1),(1,0))×((1,0),(0,-1)) = ((0,1),(1,0)) = (bbv,bbu)`

`AB(bbu) = ((0,1),(1,0))×((1),(0)) = ((0),(1)) = bbv`
`AB(-bbv) = ((0,1),(1,0))×((0),(-1)) = ((-1),(0)) = -bbu`

L'application de changement de base `bbw_A |-> bbw_O` correspond à l'application `A`.

Considérons le vecteur `bbw = 2bbu + 3(-bbv)` qui est bien de coordonné `(2,3)` dans la base `A`. Donc `bbw_A = (2,3) = 2bbu+3bbv`. Ce vecteur a pour coordonnées absolues `bbw = (2,-3) = 2bbu-3bbv`. Appliquons à `bbw_A` l'application `A`.

`A×bbw_A = ((1,0),(0,-1))×((2),(3)) = ((2),(-3)) = bbw`

L'application de changement de base `bbw_O |-> bbw_B` correspond à l'application `B^(-1)`.Appliquons à `bbw_O` l'application `B^(-1)`.

L'inverse de `B` est la rotation de moins un quart de tour.

`B^(-1) = (-bbv,bbu) = ((0,1),(-1,0))`

`B^(-1)(bbw) = ((0,1),(-1,0))×((2),(-3)) = ((-3),(-2)) = bbw_B`

Donc `bbw` doit être égale à -3v-2(-u) ce qui est exacte.

 

 

L'application de changement de base `bbv_A |-> bbv_O |-> bbv_B` correspond à l'application `A` suivie de l'application `B^(-1)` c'est à dire en notation française à l'application `AB^(-1)`.

`AB^(-1)=B^(-1)@A=B^(-1)×A=((0,1),(-1,0))×((1,0),(0,-1)) = ((0,-1),(-1,0)) = (-bbv,-bbu)`

Considérons le vecteur `bbv = 2bbu +3(-bbv)` qui est bien de coordonné `(2,3)` dans la base `A`. Donc `bbv_A = (2,3) = 2bbu+3bbv`. Ce vecteur a pour coordonnées absolues `(2,-3) = 2bbu-3bbv = bbv`. Appliquons à `bbv_A` l'application `AB^(-1)`.

`AB^(-1)(bbv) = ((0,-1),(-1,0))×((2),(-3)) = ((3),(-2))`

`bbv_B` doit avoir comme coordonnées `(3,-2)`. Autrement dit `bbv` doit avoir comme coordonnées `(3,-2)`dans la base `B`, c'est à dire que `bbv` doit être égal à `3bbv-2(-bbu)`. Or ceci est faux !

 

 

 

 

 

 

Mais l'application AB-1 n'est pas l'application de changement de base de la base A à la base B

Ainsi l'aplication de changement de base (x --> xA) est égale à A-1. On démontre que le changement de base est l'application inverse de transformation de base.

A(xA) = x
A(x)A = x

 

 

 

---- 25 mars 2016 ----

6) Les rotations dans l'espace

Une rotation dans l'espace est représentée par un vecteur appelé "spin" dont la direction indique le sens de rotation (selon la règle du tire-bouchon et selon la constante de chiralité du référentiel). La norme du vecteur représente l'angle de rotation en nombre de tours.

Ainsi un tel vecteur représente non seulement les rotations de 0 à 1 tours dans l'espace, mais également les rotations d'un nombre quelconques de tours, c'est à dire effectuant plus d'un tour. Et il y a une bijection entre cet espace de rotations et l'espace où elles opèrent.

Le vecteur spin `vec w` représente une rotation. Tout vecteur `vec v` est transformé par la rotation `vec w` en le vecteur `vec w(:vecv:)`. Et nous avons :

`vec w = (|vec w|** (vec v^^vec w(:vec v:)))/v^2`

 

Chaque rotation est représenté par un vecteur dit "spin". Le spin nul désigne l'identité (rotation d'angle nulle), le spin `vec v` désigne la rotation dans le plan perpendiculaire à `vec v` et d'angle égale à `|vec v|` dans le sens droits `(bbi,bbj,bbk)` .

La loi de composition des rotations correspond au produit des quaternions.:

`vec u ° vec v = `

 

 

 

 

 

`det(A(bbi),A(bbj),A(bbk)) = A(bbi)•A(bbj)^^A(bbk) !=0`

Le déterminant correspond au produit mixte de trois vecteurs, et cela correspond au volume du parallépipède construit sur ces trois vecteurs.

 


Une application affine A est définie par l'image du point origine qui constitue une translation, et par l'image de la base origine qui constitue une application linéaire. On identifie toute application affine à ce point image et à cette base image, représentée entre braquette.

A(x) = <x0,(e1,e2,e3)>(x)
        = x0 + (e1,e2,e3)(x)

(e1,e2,e3)(x) représente
<x0,(e1,e2,e3)>(x) représente l'image du point x par l'application affine <x0,(e1,e2,e3)>

(e1,e2,e3) représente la matrice de l'application linéaire envoyant la base origine (i,j,k) sur la base (e1,e2,e3).

e1=1 et e2=1 et e3=1 et e1e2 = 0 et e1e3=0 et e2e3 = 0

 

 

4) Repère orthonormé

Dans l'espace euclidien de dimension 3, on fixe un point origine o et une base orthonormée origine (i, j, k) qui constituera le prima-repère.

Un point x est définie par ses coordonnées absolues, c'est à dire ses coordonnées dans le prima-repère, que l'on présente par convention entre parenthèse :

x = (x, y, z)

Un repère orthonormé A est défini simplement par une application affine orthonormée qui envoie le point origine en celui du référentiel A, et qui envoie la base orthonormée origine (i, j, k) en celle du référentiel A. Ainsi, un repère orthonormé est bien défini par un point quelonque et une base orthonormée quelconque, que l'on présente par convention entre braquette :

A = <x0, (e1, e2, e3)>
avec (e1, e2, e3) orthonormée

C'est par souci de simplicité que l'on pose d'abord un repère par defaut. Ce repère quoique arbitraire est appellé le prima-repère. Il comprend un point origine et une base orthonormée origine. Et il est simplement premier relativement au langage utilisé. Les coordonnées d'un point dans ce prima-repère sont dites absolues. Et les coordonnées d'un repère dans ce prima-repère sont dites absolues. On opère une simplification d'écriture en identifiant tout point à ses coordonnées absolues que l'on présente entre parenthèse, et en identifiant tout repère à ses coordonnées absolues que sont son point d'origine et sa base orthonormée exprimés dans le prima-repère, que l'on présente entre braquette.

5) Changement de repère

Une application linéaire inversible A est définie par l'image de la base origine qui en constitue sa matrice. On identifie toute application linéaire à cette base image, que l'on présente par convention entre parenthèses :

A=(e1,e2,e3)

Cette application linéaire transforme les vecteurs de la base origine i,j,k en les vecteurs respectifs e1,e2,e3, et correspond à la matrice dont les colonnes sont les vecteurs e1,e2,e3.

Une base est donc définie par une transformation linéaire A inversible. Et pour simplifier l'écriture on identifie toutes base à une transformation linéaire inversible, celle qui envoi la prima-base sur la base en question.

Un vecteur x est identifié à ses coordonnées absolues. Dans une autre base A, le vecteur x possède des coordonnées relatives à cette base, que l'on note xA et qui correspond à un nouveau vecteur. L'application x --> xA est l'application de changement de base passant de la prima-base à la base A. C'est une application linéaire. Appliqué à un vecteur x, elle produit un nouveau vecteur traduisant les coordoonnée de x dans la base A.

L'application A transforme les vecteurs i, j, k, x en les vecteurs respectifs e1, e2, e3, A(v) en conservant les relations linéaires. Donc les coordonnées de x dans la prima-base (i,j,k) seront égales aux coordonnées de v dans la base (e1,e2,e3), ce qui se traduit par l'égalité suivante :

x = vA

x = A(x)A

On procéde à un changement de variable. On remplaçe x par A-1(x) :

A-1(x) =A(A-1(x))A

A-1(x) = xA

A(xA) = x
A(x)A = x

Ainsi l'application de changement de base (x --> xA) est égale à A-1. On démontre ainsi une évidence, que le changement de base est l'application inverse de transformation de la base.

A(xA) = x
A(x)A = x

La relation est lié au prima-référenciel. Pour la généraliser, on considère deux bases quelconques A et B, et on applique la formule deux fois en passant par une base intermédiaire qu'est la prima-base :

L'application xA --> xB est l'application de changement de base passant de la base A à la base B. Elle se décompose en notation française comme suit :

(xA --> xB) = (xA --> x) (x --> xB)
(xA --> xB) = AB-1

L'application AB-1 est l'application de changement de base de la base A à la base B. L'inverse (AB-1)-1 = BA-1 devrait correspondre à la transformation de la base A en la base B. c'est à dire devrait être égale à A-1B. Où est l'erreur? .

 

--- 29 mars 2015 ---

C'est par souci de simplicité que l'on pose d'abord un repère par defaut. Ce repère quoique arbitraire est appellé le prima-repère. Il comprend un point origine et une base orthonormée origine. Et il est simplement premier relativement au langage utilisé. Les coordonnées d'un point dans ce prima-repère sont dites absolues. Et les coordonnées d'un repère dans ce prima-repère sont dites absolues. On opère une simplification d'écriture en identifiant tout point à ses coordonnées absolues que l'on présente entre parenthèse, et en identifiant tout repère à ses coordonnées absolues que sont son point d'origine et sa base orthonormée exprimés dans le prima-repère, que l'on présente entre braquette.

 

Le prima-référentiel, aussi appelé le référentiel absolu, est le résultat de cette construction de l'espace-temps. Il est premier relativement au langage utilisé. On le not note Ω. C'est un référentiel arbitraire..., mais premier dans le raisonnement intuitionniste, et qui est utilisé par défaut. Un évènement ponctuel instantané est identifié par ses coordonnées absolues, qui sont celles dans le prima-référentiel Ω.

Le point origine de Ω est désigné par le quadrivecteur [0,0,0,0]. C'est un évènement ponctuel instantané désignant l'origine spatio-temporelle de Ω. C'est la position (0,0,0) à l'instant 0 mesurée dans Ω.

Le quadrivecteur [1,0,0,0] désigne l'unité de distance orientée selon le premier axe, le quadrivecteur [0,1,0,0] désigne l'unité de distance orientée selon le deuxième axe, le quadrivecteur [0,0,1,0] désigne l'unité de distance orientée selon le troisième axe, et le quadrivecteur [0,0,0,1] désigne l'unité de temps orientée. Ces unitées sont relatives au prima-référentiel Ω.

Dans l'espace affine euclidien de dimension 2, on considère prima-référentiel composé d'un point O et d'une base (i,j). un point x = (x,y) est définie par ses coordonnées absolues (qui sont ses coordonnées dans le prima-référentiel). Un référentiel affine A est définie simplement par une appliquation affine. Cette application envoit le point origine O en celui du référentiel A, et envoit la base origine (i,j) en celle du référentiel A.

Ainsi un référentiel affine est défini par un point quelonque et une base quelconque. A = <x, y, x1,y1,x2,y2> avec det((x1,y1),(x2,y2)) =/= 0

Et nous avons , la coordonné de x dans le référentiel A qui est égale à l'intervalle A-x.

 

3.2) Temps absolu

Le temps, désigné par la variable t, est dit absolu ou universel. C'est un nombre réel :

t ∈ ℝ

3.3) Espace-temps newtonien

L'espace-temps newtonnien est représenté par un ensemble mathématique de points. C'est un espace affine euclidien de dimension 4, mais dans lequel il n'y a pas de norme canonique. L'espace-temps newtonien n'est pas normé, car aucune expérience à l'époque de Galilée ne permet de lier de façon canonique l'étalon de distance avec l'étalon de temps, et de définir ainsi une distance dans cet espace à 4 dimensions. On pourrait poser mathématiquement comme distance ||(x,y,z,t)||2 = x2 + y2 + z2 + t2, mais ce choix serait dépendant du système d'unité choisi donc incohérent si on ne l'a pas fixé avant. Cela s'explique par l'indépendance entre l'unité de distance et l'unité de temps, rendant la formule précédente incohérente puisque non homogène en terme d'unité.

La distance est définie séparément sur l'espace et le temps. C'est pourquoi l'espace-temps newtonien est noté comme produit à part de l'espace et du temps :

ℝ×ℝ×ℝ * ℝ = ℝ3 * ℝ

Un point de l'espace-temps est définie par son quadrivecteur position [x,y,z,t]. Les trois premières coordonnées (x, y, z) déterminent une position dans l'espace et la dernière coordonnée t détermine une date ou posistion dans le temps. On utilise des parenthèses pour regrouper les coordonnées d'un vecteur lorsque celui-ci fait parti d'un espace euclidien normé, et on utilise des crochets pour regrouper les coordonnées d'un vecteur lorsque celui-ci fait parti d'un espace euclidien non canoniquement normé.

t ∈ ℝ
(x, y, z) ∈ ℝ3
[x,y,z,t] ∈ ℝ3 * ℝ

Le prima-référentiel, aussi appelé le référentiel absolu, est le résultat de cette construction de l'espace-temps. Il est premier relativement au langage utilisé. On le not note Ω. C'est un référentiel arbitraire..., mais premier dans le raisonnement intuitionniste, et qui est utilisé par défaut. Un évènement ponctuel instantané est identifié par ses coordonnées absolues, qui sont celles dans le prima-référentiel Ω.

Le point origine de Ω est désigné par le quadrivecteur [0,0,0,0]. C'est un évènement ponctuel instantané désignant l'origine spatio-temporelle de Ω. C'est la position (0,0,0) à l'instant 0 mesurée dans Ω.

Le quadrivecteur [1,0,0,0] désigne l'unité de distance orientée selon le premier axe, le quadrivecteur [0,1,0,0] désigne l'unité de distance orientée selon le deuxième axe, le quadrivecteur [0,0,1,0] désigne l'unité de distance orientée selon le troisième axe, et le quadrivecteur [0,0,0,1] désigne l'unité de temps orientée. Ces unitées sont relatives au prima-référentiel Ω.

Un point de cet espace-temps est un évènement ponctuel instantané de coordonnées [x,y,z,t] dans le prima-référentiel.

Par convention, on pourra désigner un quadrivecteur position par une majuscule X, sa coordonnée spatiale qui est un vecteur de dimension 3, sera désignée par la même lettre mais en minuscule et en gras, et sa coordonnée temporelle sera désignée par la même lettre mais en minuscule et en italique. X = [x,x] = [x,y,z,x]. Et quelque fois on utilise l'expression X = [x,t] = [x,y,z,t] lorsque la composante temporelle coïncide avec le temps absolu t.

x = (x,y,z)
dx = (dx,dy,dz)

Noter alors que la norme de ||x|| et de ||dx|| ne peuvent pas être notée par x et dx puisque ces notations sont déjà utilisées pour désigner la première composante spatiale. Conventionnellement on utilisera la lettre l, appelée longueur, pour cela.

l = ||x||
l = ||(x,y,z)||
l = sqrt(x2 + y2 + z2)
l2 = x2 + y2 + z2
l2 = xx

dl = ||dx||
dl = ||(dx,dy,dz)||
dl = sqrt(dx2 + dy2 + dz2)
dl2 = dx2 + dy2 + dz2
dl2 = dxdx

Comme nous ne pouvons pas pour l'instant définire de norme sur l'espace-temps, nous nous en tenons aux seuls quadrivecteurs X et dX :

X = [x,x]
X = [x,y,z,x]

dX = [dx,dx]
dX = [dx,dy,dz,dx]

Les éléments différentiels dx, dy, dz, dx nous amènent à définir une trajectoire d'une particule comme une succession de petits déplacements spaciaux et temporelles infinitésimaux [dx, dy, dz, dx]. La position spatio-temporelle [x,x] d'une particule évolue donc en fonction du temps absolu t, selon une fonction analytique du temps t c'est à dire indéfiniment dérivable selon t. La quatrième composante x transcrit l'écoulement du temps propre à la particule et qui doit être une fonction croissante du temps absolu t. Le temps propre x de la particule peut s'écouler plus lentement ou plus rapidement que le temps absolu t.

L'intérêt de cette écriture alourdie X(t) = [x(t),x(t)], ouvre une capacité d'expression nouvelle, celle d'exprimer un temps propre à la particule pouvant s'écouler plus lentement ou plus rapidement que le temps absolu t. La particule est une horloge qui indique comme temps x(t).

X(t+dt) = X(t) + dX
[x(t+dt),x(t+dt)] = [x(t),x(t)] + [dx,dx]
[x(t+dt), y(t+dt), z(t+dt), x(t+dt)] =
[x(t), y(t), z(t), x(t)] + [dx, dy, dz, dx]

Ainsi le modèle newtonien, même s'il ne le fait pas, peut définir un temps propre distinct du temps absolu, pour chaque particule, à l'aide de ce formalisme quadridimensionelle. Il est alors possible de modifier les principes du modèle newtonien sans perdre l'essentiel de ses fondations grâce au guide que constitue ce formalisme quadridimensionnel.

Comme nous nous intéressons aux fonctions analytiques, il convient de considérer pour le temps propre x(t) toutes les fonctions analytiques possibles de t, même celles qui ne sont pas croissantes. Lorsque dx est négatif cela signifie que la particule évolue dans le sens inverse du temps. La particule peut alors se trouver à différents endroits en même temps propre, mais pas en même temps absolu.

3.4) Espace-temps newtonnien avec une seul dimension spatiale

Si nous nous restreignons à une seul dimension spatiale, alors on ne retient que la seul coordonnée spatiale x. L'élément de translation est dx. L'élément de longueur est dl = |dx|.

L'espace-temps newtonnien à une seul dimension spatiale est obtenu par le produit directe de corps de réels comme suit ℝ * ℝ mais dans lequel il n'y a pas de norme canonique du fait de l'indépendance entre l'unité de temps et l'unité de distance. Un point de cet espace-temps se présente par ses coordonnées absolues [x,t] et s'appelle un bivecteur position. La premières coordonnées x détermine une position dans l'espace et la seconde coordonnée t détermine une date (ou posistion dans le temps). On utilise des crochets pour regrouper les coordonnées du vecteur afin d'indiquer que celui-ci fait parti d'un espace euclidien non canoniquement normé, c'est à dire dans lequel on ne peut pas définir de distance canonique, ou autrement dit, dont les composante du vecteur n'ont pas la même unité.

t ∈ ℝ
x ∈ ℝ
[x,t] ∈ ℝ * ℝ

Par convention, on pourra désigner un bivecteur position par une majuscule X, sa coordonnée spatiale sera désignée par la même lettre mais en minuscule et sa coordonnée temporelle sera désignée par la même lettre mais en minuscule et en italique. X = [x,x].

Un point [x,t] dans cet espace-temps correspond à un événement ponctuel instantané de position x et de date t.

Une particule en mouvement sera représentée dans cet espace-temps par une trajectoire indiquant sa position spatiale x en fonction du temps absolu t, et sa position temporelle x généralement croissante en fontion du temps absolu t. Ainsi le temps propre à la particule, qui est noté x(t), peut posséder une origine différente, et peut s'écouler plus lentement 0<dx<dt ou plus rapidement 0<dt<dx que le temps absolu t, et l'on peut aussi concevoir dans le cadre de la généralisation analytique une remontée du temps propre dx<0.

Dans tous les cas, la particule est une horloge qui indique comme temps x(t).

La trajectoire X d'une particule, comprenant sa postion x et son temps propre x, peut se notée comme suit :

X(t) = [x(t),x(t)]

4) Les référentiels

4.1) Notation fonctionnelle

On adopte la notation française qui désigne l'application d'une application F sur un élément x, par l'expression xF. Ainsi avons-nous :

xF = F(x)

En notation française, la composition d'applications Q, R, S, se note par concaténation dans l'ordre d'application des applications. La notation anglaise ° utilise le sens inverse. Par exemple :

QRS = S°R°Q

xQRS = (((xQ)R)S
xQRS = (QRS)(x)
xQRS = S(R(Q(x)))
xQRS = (S°R°Q)(x)

4.2) Notation référentielle

L'usage du prima-référentiel lève une ambiguité récurante entre évènement et coordonnées d'évènement en identifiant toujours l'évènement à ses coordonnées absolues, celles dans le prima-référentiel Ω. Ainsi tout évènement est identifié à un couple de coordonnées que sont ses coordonnées absolues. Puis pour préciser le sens physique on précisera que c'est un bivecteur position.

Pour désigner un évènement α de coordonnés [x,t] dans le référentiel R, on précisera simplement le référentiel en indice comme suit :

α = [x,t]R

Et cela correspondra à une transformation pour obtenir les coordonnées absolues de α, celles dans le prima-référentiel Ω qui est le référentiel par défaut :

α = [x,t]R
α = R([x,t])
α = [x',t']

Les oordonnée absolue de α sont [x',t']. On associe ainsi à chaque référentiel R, l'application de même nom R qui transforme les coordonnées relatives au référentiel R en les coordonnées absolues. Les coordonnées de l'évènement α dans R sont [x,t], tandis que dans Ω elles sont [x',t']. Et nous avons [x',t'] = R([x,t]). Pour obtenir les coordonnées [x,t] à partir des coordonnées [x',t'], il faut appliquer l'application inverse R-1, ce qui correspond également à un changement de référentiel :

[x,t] = R-1([x',t'])
[x,t] = [x',t']R-1

Il existe donc un référentiel opposé à R que l'on note pareillement que l'application R-1, et il existe également des référentiels composés RS ou R et S sont deux référentiels quelconques. Il convient de décrire le sens physique de ces référenciels opposé ou composé. Ω étant le référentiel par défaut, nous avons pour tout bivecteur positiont [x,t], l'égalité suivante [x,t] = Ω([x,t]) et donc Ω = id. Tout référentiel R est identifié à l'application qui transforme les cordonnées dans R en celles dans Ω.

 

 

Sur la droite des réels, un point x est définie par sa coordonnée absolue, et un référentiel A fixe est définie par un point. Et nous avons xA, la coordonné de x dans le référentiel A qui est égale à l'intervalle A-x.

A(x) = A-x

 

 

4.3) Les référentiels galiléens

Dans la mécanique newtonienne stricto sensu, le temps s'écoule pareillement dans chaque référentiel galiléen, et même davantage, il s'écoule pareillement pour chaque particule en mouvement quelconque. Mais rien n'interdit de choisir une origine des temps différentes. Les équations peuvent avoir une expression plus simple lorsque l'on change l'origine des temps.

Un référentiel galiléen R est un référentiel lié à une particule en mouvement rectiligne uniforme. Il est donc caractérisé par la vitesse v de la particule, appelé vitessse de fuite, ou simplement fuite, et par un point d'origine [r,r] désignant l'instant où le temps propre de la particule vaut 0, et le lieu où se trouve la particule lorsque cela se produit. Ce point [r,r] est l'origine du référentiel R. C'est l'événement [0,0]R. Il constitue une caractéristique particulièrement simple du référentiel.

[0,0]R = [r,r]

Par convention, on désignera un référentiel galiléen par une majuscule R, sa vitesse de fuite sera désignée par la même lettre mais en italique, sa coordonnée spatiale sera désignée par la même lettre mais en minuscule et sa coordonnée temporelle sera désignée par la même lettre mais en minuscule et en italique. R = <R,r,r>. Un référentiel galiléen est un bivecteur position enrichie d'une vitesse de fuite.

Un évènement ponctuel instantané X est définie par ses 2 coordonnées absolues. De même un référentiel galiléen R est défini par ces 3 coordonnées absolues :

X = [x,x]

R = <R,r,r>

 

--- 27 mars 2015 ---

 

Le changement de référentiel, qui s'applique à un bivecteur position, s'étend, et s'applique à un référentiel galiléen.

Les tansformations galiléennes sont simples et pourtant il n'est pas facile de les écrire. Car il manque le cheminement algébrique qui permet de les écrire mécaniquement sans faire appel à l'expérience réel. A quoi est égale R(X) ?.

--- 25 mars 2015 ---

 

 

 

 

Nous avons :

X = XΩ = [x,x]Ω = [x,x]

R = RΩ = <v,a,a>Ω = <v,a,a>
Ω = ΩΩ = <0,0,0>Ω = <0,0,0>

Un point X = [x,x] désigne un évènement ponctuel instantané. Il peut être étendu en lui attribuant une vitesse de fuite X toujours relative à Ω. Il devient alors un référentiel X = <X,x,x> lié à une particule fantôme en mouvement rectiligne uniforme de vitesse X passant à son instant propre 0, à la position x et à l'instant x. L'instant x est mesurée dans le prima-référentiel. L'instant propre 0 est mesurée dans le référentiel X.

 

 

4.4) Les transformations galiléennes de référentiel galiléen

 

 

 

Nous avons vu au §4.2 qu'un référentiel R peut être perçu comme une application qui transforme les cordonnées de n'importe quel évènement exprimées dans le référentiel R en ses coordonnée absolues c'est à dire en ses coordonnées exprimées dans le prima-référentiel.

[x,t]R = R([x,t])

Selon le point de vu symétrique. Le référentiel R peut être perçu comme une application qui transforme le prima-référentiel en le référentiel R. Ce qui se note par R(Ω) = R. Et cela signifie donc que ΩR = R c'est à dire que le référentiel de coordonnée <0,0,0> relativement au référentiel R désigne le référentiel R, ce qui correspond bien à l'intuition. <0,0,0>R = R

 

Le prima-référentiel, noté Ω, est un référentiel arbitraire, certe premier dans le raisonnement, mais arbitraire. Cette transformation peut donc s'appliquer à n'importe quel référentiel S = <S,s,s> pour produire un autre référenciel U = <U,u,u>. Et cela signifie que SR = U, c'est à dire que le référentiel de coordonnée <S,s,s> relativement au référentiel R désigne le référentiel U de coordonnées <U,u,u> relativement au prima-référentiel Ω :

<S,s,s>R = <U,u,u>Ω
<S,s,s>R = <U,u,u>

R(S) = SR
R(R) = RR= Ω = <0,0,0>
Ω(R) = RΩ = R
R(Ω) = ΩR = R

Noter que dans l'expression SR, le référentiel S est identifié à ses coordonnés <S,s,s> dans le prima référentiel. Puis par la suite, ces coordonnées sont interprétées dans un nouverau référentiel noté en indice ici R.

Selon notre méthodologie, on commence par rechercher la notation adéquate. La moitier du problème est souvent résolue lorsque l'on détient cette bonne notation. Pour cela il faut révéler l'object mathématique sous-jacent. C'est ici un ensemble, l'ensemble des référentiels galiléens, que l'on fait opérer sur lui-même. Etant donné trois référentiels A, B, C sastisfaisant A(B) = C. Nous avons :

A(B) = C
BA= C

Cela signifie que si on utilise les coordonnées du référentiel B (qui sont implicitement relatives au prima-référentiel Ω) dans un autre référentiel que Ω, qui est le référentiel A, alors on obtient le référentiel C.

Symétriquement cela signifie que la transformation de référentiel qui transforme le prima-référentiel Ω en A, appliquée au référentiel B produit le référentiel C.

Définir les transformations galiléennes consiste à développer les formules suivantes :

Les tansformations galiléennes sont simples et pourtant il n'est pas facile de les écrire. Car il manque le cheminement algébrique qui permet de les écrire mécaniquement sans faire appel à l'expérience réel.

---- 30 novembre 2014 ----

 

 

Se pose alors la questtion De tels transformations sont-elle associatives. Pourquoi ?.

 

 

Après la déclaration R = Référentiel(Ω, v, x0, t0), toutes les variables sont implicitement relative au référentiel en cours R sauf mention contraire, et sauf les trois paramètres v, x0, t0 qui sont posés comme absolus. Nous aurons donc les égalités suivants x = xR, t = tR

Un point (x,t) exprimée dans le référentiel R peut s'exprimer dans le référenciel précédent (ici Ω) comme suit :

xΩ = x + x0 + v*t
tΩ = t + t0

Le point (0,0) dans R correspond exactement au point (x0,t0) dans Ω, ce qui s'écrit par R(0,0) = Ω(x0,t0) ou simplement par (0,0) = Ω(x0,t0). Et en effectuant la transformation R-->Ω on obtient que (0,0)Ω = (x0,t0) ce qui signifie que le point origine de R à comme coordonnée dans Ω le couple (x0,t0).

En regroupant les deux équations, on obtient :

(x,t)Ω = (x + x0 + v*t, t + t0)
(x,t)Ω = (x + v*t, t) + (x0,t0)
(x,t)Ω = (x,t) + (v*t,0) + (x0,t0)

Inversement une position transformée dans le référentiel précédant (ici Ω) que l'on note (xΩ,tΩ) ou simplement (x,t)Ω, peut s'exprimer dans le référentiel R en se notant simplement (x,t) puisque le référentiel R est celui du contexte en cours, et cela se calcul à partir des équations précédentes :

x = xΩ - x0 - v*t
t = tΩ - t0

x = xΩ - x0 - v*t0 + v*tΩ
t = tΩ - t0

(x,t) = (x, t)Ω + (v*t,0)- (x0 + v*t0, t0)

Et donc, pour définir le référenciel précédent à partir R on pose :

Ω = Référentiel(R,  -v,  -x0-v*t0,  -t0)

Noter ici que les arguments -v, -x0-v*t0, -t0, ne sont pas des variables mais des expressions. Elles correspondent alors à des variables anonymes. Pour expliciter complétement, on donne des noms de variables v', x0', t0' et la définition du référentiel Ω à partir du référentiel R devient :

Ω = Référentiel(R,  v' = -v,  x0' = -x0-v*t0,  t0' = -t0)

Les variables v', x0', t0' sont implicitement relative au référentiel R, et les variables v, x0, t0 sont implicitement relative à Ω ainsi que tout nouvelle variable.

 

---- 25 octobre 2014 ----

on conclut qu'une transformation quelconque est caractérisée par les trois valeurs sommées <> qui forme ainsi les coordonnés cartésiennes du référentiel relativment à Ω.

R = S*Trans(<v,a,a>)    =>     [x(t),t]R= [a + x(t) + v*(t+a), t+a]S

 

 

 

 

 

 

 

 

Un référentiel galiléen se définie à partir d'un autre référentiel galiléen dit parent, en opérant sur celui-ci une transformation de référentiel, que l'on note sous forme d'un produit *, et qui peut être soit une translation spatiale Trans(x), ou une fuite Fuite(v) c'est à dire un référentiel se déplaçant à la vitesse constante v, chacun de ces paramètres x et v étant mesurés dans le référentiel parent. Par exemple étant donné deux référentiels R et S, l'expresion suivante R = S*Trans(x) signifie que le référentiel R est définie à partir du référentiel S en lui appliquant une transformation de référentiel qui est une translation spatiale de paramètre x exprimé dans le référenciel S. De même, l'expresion suivante R = S*Fuite(v) signifie que le référentiel R est définie à partir du référentiel S en lui appliquant une transformation de référentiel qui est une fuite de vitesse v exprimée dans le référenciel S.

Les équations ont une expression plus simples lorsque l'on change de façon approprié l'origine des temps. C'est pourquoi on ajoute une transformation de référentiel supplémentaire qu'est la translation temporelle, et qui permet ainsi de définir des référentiels avec une origine des temps translatée. Dans la mécanique newtonienne, le temps s'écoule pareillement dans chaque référentiel galiléen, mais rien n'interdit de choisir une origine des temps différentes. Le référentiel possède donc un temps propre dont l'origine peut être translaté.

Selon l'approche intuitionniste et algèbrique, nous décrivons quelques types de transformation de référentiel particulièrement simples, qui, en se composant, engendreront l'ensemble des transformations de référentiel, et donc à partir du référentiel absolu, engendreront l'ensemble des référentiels.

Chaque transformation s'applique sous forme d'un produit à un référentiel parent, ici S, pour produit un nouveau référentiel R. Les paramètres de ces transformations s'expriment dans le référentiel sur lequel la transformation s'applique. On commence par les translations spatiales Trans(x), les translations temporelles Avance(t) et les fuites Fuite(v). Cela engendrera l'ensemble des référentiels galiléens.

6.3) D'autres référentiels

Mais un référentiel peut être davantage que seulement galiléen, il peut contenir d'autres informations. Il peut contenir le sens +1 ou -1 de la charge électrique, le sens +1 ou -1 du temps, le sens +1 ou -1 de l'axe de position, etc... Car il y a des symétries, si on inverse les signes des charges électriques, de même si on inverse le sens du temps, et de même si on inverse le sens de l'axe de position. Et c'est justement le rôle d'un référentiel que de préciser dans quel monde symétrique on se situe et qui prédispose la subjectivité de l'observateur qu'il représente.

Par convention il existe un mécanisme de subsidiarité. Tout ce que ne précise pas le référentiel est supposé identique au référentiel parent à partir duquel il a été définie.

Le référentiel devient l'équivalent d'une particule élémentaire à ceci près qu'il n'intéragit pas avec les autres particules et, ne subissant aucune interaction extérieure, suit, selon le principe d'inertie, un mouvement de translation uniforme. Nous dirons pour résumer que le référentiel est une particule fantôme.

Puis il est possible de définir des référentiels non inertiels et non newtoniens qui suivent une trajectoire quelconque et qui possède un temps propre s'écoulant d'une manière quelconque. Un tel référentiel est définie par un quadriveceur position [x(t),x(t)] fonction du temps absolu t.

---- 20 Octobre 2014 ----

 

 

 

 

 

 

5.7) Approche physique

On peut définir un référentiel de façon plus empirique. Un référentiel quelconque se définie à partir d'un référenciel précèdent (qui est ici Ω) comme suit :

R = Ω * Transforme(v, x0, t0)

Le nouveau référentiel R dépend de 4 paramètres : Le référentiel Ω à partir duquel il est construit, sa vitesse de translation v et son origine spaciaux-temporelle [x0,t0], tout trois v, x0, t0 exprimées dans le référentiel mentionné en premier argument Ω.

(x0,t0) correspond à l'évènement ponctuel instantané relatant le passage de la partricule fantôme R au point x0 et à l'instant t0 dans le référentiel Ω.

Après cette déclaration, le référenciel en cours, porté par le contexte, est R. Et toutes nouvelles variables sera implicitement relative à ce référentiel.

Cette déclarion de référenciel précise d'autres informations qui viennent se rajouter au contexte. Elle déclare un nom de variable v qui représente la vitesse de R dans Ω. Elle déclare deux noms de variables (x0,t0) qui représentent l'origine spatio-temporelle de R exprimés dans le référentiel Ω, c'est à dire, dans Ω, la position d'origine de la particule fantome ainsi que le temps où cela se produit et qui correspond au temps propre 0 de la particule fantôme.

4.1) Le référencement à un référentiel

Etant donné une variable x exprimée dans le référentiel en cours R. Celle-ci contient une caractéristique du système, une valeur d'état du système, mesurée dans le référentiel en question. Si on change de référentiel alors la caractéristique du système sera mesurée différement. On adopte une notation pour désigner les différentes valeurs d'une même caractéristique physique mesurée dans différents référentiels.

On adoptera la notation française qui désigne l'application d'une transformation F sur une variable x, par xF. Et on choisi l'autre notation Fx pour désigner l'application de la transformation inverse F-1 sur la variable x. Ainsi avons-nous

xF = F(X)
Fx = F-1(x)

Etant donné les référentiels Q, R, S, on note xQ, xR, xS, les valeurs mesurées de la même caractéristique x dans les référentiels respectifs. Et on note Qx, Rx, Sx, la mesure physique qu'auraient cette même valeur si elle était mesurée dans les différents référenciels.

xS est le résultat d'une transformation appliquée à x, correspondant au changement de référentiel passant du référentiel courant R au référentiel S. Et Sx est le résultat de la transformation inverse appliquée à x, correspondant au changement de référentiel passant du référentiel S au référentiel courant R.

Le référentiel S peut être vue comme une particule fantôme ou comme une transformation correspondant au changement de référentiel passant du référentiel courant au référentiel S. Ainsi une valeur x sera perçu dans le référentiel S par xS ou par S(x) selon la notation choisie. De même nous avons les égalités suivantes écrite avec les deux notations :

S(xS) = x                S-1(S(x)) = x
(Sx)S = x                S(S-1(x)) = x

La variable x ne porte pas seulement une valeur numérique, elle porte aussi un type lié à son sens physique. Et pour chaque type, la transformation S se distingue tout en portant le même nom. Par annalogie à la programmation orienté objet, la transformation S est spécifique à chaque type d'objet sur lequel elle s'applique, et sa définition est mémorisée dans le type (la classe) de l'objet.

Le référentiel S peut ne pas être défini de façon absolut. Il peut être défini à partir du référentiel courant en constituant un référentiel également courant, c'est à dire que si le référentiel courant change alors S change puisqu'il est définie toujours de la même façons à partir du nouveau référentiel courant.

Mais pour aborder simplement les changements de référentiel, il vaut mieux commencer par n'utiliser que des référentiels et évènements absolus, et n'utiliser comme référentiel courant que le seul référentiel absolu.

La variable peut être anonyme. Par exemple, si on convient qu'un couple désigne un évènement composé d'une position et d'un temps. Le sens physique est bien définie. Et lorsqu'un sens physique est donné au contenant, ce contenant se comporte alors comme une variable anonyme. Ainsi l'évènement S(0,0) désigne l'origine spatio-temporelle du référentiel S, et le résultat de cette expression est exprimé dans le référentiel absolu Ω. Parcontre l'évènement (0,0)S désigne l'origine spacio-temporelle de Ω mesuré dans le référentiel S.

L'évènement (0,0) est l'origine spatio-temporelle de Ω. Et nous avons (0,0) = Ω(0,0) = (0,0)Ω car le référentiel par défaut est Ω.

---- jeudi 24 octobre 2013 ----

4.2) Le changement de référentiel

Après la déclaration R = Référentiel(Ω, v, x0, t0), toutes les variables sont implicitement relative au référentiel en cours R sauf mention contraire, et sauf les trois paramètres v, x0, t0 qui sont posés comme absolus. Nous aurons donc les égalités suivants x = xR, t = tR

Un point (x,t) exprimée dans le référentiel R peut s'exprimer dans le référenciel précédent (ici Ω) comme suit :

xΩ = x + x0 + v*t
tΩ = t + t0

Le point (0,0) dans R correspond exactement au point (x0,t0) dans Ω, ce qui s'écrit par R(0,0) = Ω(x0,t0) ou simplement par (0,0) = Ω(x0,t0). Et en effectuant la transformation R-->Ω on obtient que (0,0)Ω = (x0,t0) ce qui signifie que le point origine de R à comme coordonnée dans Ω le couple (x0,t0).

En regroupant les deux équations, on obtient :

(x,t)Ω = (x + x0 + v*t, t + t0)
(x,t)Ω = (x + v*t, t) + (x0,t0)
(x,t)Ω = (x,t) + (v*t,0) + (x0,t0)

Inversement une position transformée dans le référentiel précédant (ici Ω) que l'on note (xΩ,tΩ) ou simplement (x,t)Ω, peut s'exprimer dans le référentiel R en se notant simplement (x,t) puisque le référentiel R est celui du contexte en cours, et cela se calcul à partir des équations précédentes :

x = xΩ - x0 - v*t
t = tΩ - t0

x = xΩ - x0 - v*t0 + v*tΩ
t = tΩ - t0

(x,t) = (x, t)Ω + (v*t,0)- (x0 + v*t0, t0)

Et donc, pour définir le référenciel précédent à partir R on pose :

Ω = Référentiel(R,  -v,  -x0-v*t0,  -t0)

Noter ici que les arguments -v, -x0-v*t0, -t0, ne sont pas des variables mais des expressions. Elles correspondent alors à des variables anonymes. Pour expliciter complétement, on donne des noms de variables v', x0', t0' et la définition du référentiel Ω à partir du référentiel R devient :

Ω = Référentiel(R,  v' = -v,  x0' = -x0-v*t0,  t0' = -t0)

Les variables v', x0', t0' sont implicitement relative au référentiel R, et les variables v, x0, t0 sont implicitement relative à Ω ainsi que tout nouvelle variable.

---- 20 octobre 2007 ----

 

On étend la notation indicée aux expressions entre crochet { }. Par exemple le couple {(x + v*t, t)}Ω désigne le couple (xΩ + vΩ*tΩ, tΩ). L'indice Ω se comporte ainsi comme un espace de noms, considérant toutes les variables mentionnées dans l'expression entre crochet comme relative au référenciel en question.

 

 

5) Porté des variables

Comme on privilègie l'algorithme sur la loi, il nous faut définir précisement un langage de programmation pour exprimer ces algotrithmes. Cela passe par un formalisme sur la déclaration des variables selon un context courant qui évolue au cours des déclarations, et on conçois deux types de contextes agissant conjointement, un premier contexte de variables précisant les variables encours et sur quelles référentiels elles sont définie, et un second contexte de référentiel qui précise le référentiel en cours.

La porté d'une variable est locale. Si une nouvelle définition de la variable x est posée masquant une ancienne définission de x comme attribut d'un object R, l'ancienne variable x est alors masquée. Pour y faire référence on adopte la notation orientée objet R.x, ou la notation abrégé avec anticote `x pour remonter d'un niveau de déclaration. Cela constitue un contexte du premier type, qui précise le sense par défaut des variables.

On réserve la notation indicée xR, pour désigner l'expression de x dans le référentiel R. Il existe un contexte de deuxième type qui définie le référentiel en cours, et qui correspond au dernier déclaré comme tel, ou à défaut, au prima-référentiel Ω. Ce référentiel est celui dans lequel seront écrites les équations, autrement dit, celui où se trouve le législateur. N'importe quel déclaration de variable x intervenant après sera faite implicitement dans ce référentiel (sauf mention contraire). On convient aussi que la déclaration d'un référentiel définie implicitement la variable t comme celle du temps propre du référentiel.

Dans la déclaration d'une fonction, les variables d'appel ont une porté réduite au corps de la fonction. Cela constitue un mini contexte de premier type.

Une déclaration de variable de position x quelconque est faite implicitement dans le référentiel en cours, et est implicitement fonction de la variable de temps t du référentiel en cours, de tel sorte qu'on peut ommettre de préciser t dans les équations. Nous avons x = x(t). Et si on souhaite désigner la fonction alors on l'écrit en italique x = t-->x(t). Nous avons donc :

x = x(t)
x = x(t)
x = s-->x(s)
x = t-->x(t)
x = t-->x

Si le référenciel en cours utilise t comme variable de temps alors on peut écrire x = t-->x, la variable x est implicitement fonction de la variable t du référencie en cours, et cette variable t est masquée par la variable local t de définition de fonction t-->x.

La notion de position est ici intérprété dans un sens général faisant qu'une vitesse, une accéleration, une dérivé n-ième de la position constitue encore une position. Les dérivés des variables de position sont également des variables de position. Ainsi le comportement implicite décrit précédemment s'applique aussi pour l'accélération x'' = x''(t). Et de même si on souhaite désigner la fonction alors on l'écrit en italique x'' = t-->x''(t). Parcontre s'il l'on souhaite appliquer à une variable de position, une autre valeur du temps que celle du référentiel, la notation doit être explicite tel que x(t + dt)dt joue ici le rôle d'une variable quelconque.

6) Les lois de Newton

6.1) Principe d'inertie (Première loi de Newton)

Le principe d'inertie affirme qu'une particule soumise à aucune force est en translation uniforme.

Ce principe désigne une classe de mouvements privilégiés que sont les translations uniformes et qui sont définies intrinsèquement dans l'espace sous la forme de référentiel.

Le principe d'inertie s'étend en un principe plus générale appelé principe de relativité qui affirme que la loi s'exprime identiquement dans chaque référentiel en translation, faisant qu'il n'existe pas de référentiel absolu. La loi ne discrimine pas les référentiels

6.2) Principe fondamental de la dynamique (Deuxième loi de Newton)

La loi d'inertie permet de calculer l'accéleration x'' d'une particule en fonction de sa masse m et de la force f qu'elle subit :

f = m*x''

La loi d'inertie explique la cause du mouvement, et la trajectoire est alors calculée par la cinématique.

6.3) Principe d'égalité (Troisième loi de Newton)

Si la particule P1 exerce sur la particule P2 une force f2,1 alors cette force est égale et opposée à la force f1,2 exercé sur la particule P1 par la particule P2.

f1,2 = - f2,1

7) Particule et forces

On considère un premier type de particule générant un premier type de force défini ainsi :

Etant donnée une particule n°1 de position x1 et de paramètre invariant p1, et une particule n°2 de position x2 et de paramètre invariant p2. La force que subit la particule n°1 à cause de la présence de la particule n°2 est une fonction de (x1-x2),p1,p2 qui doit vérifiée le principe d'égalité (Troisième loi de Newton), c'est à dire qui doit être égale à la force que subit la particule n°2 à cause de la présence de la particule n°1.

On se place dans le référentiel de la particule n°1 subissant la force, cela correspond à déplacer l'origine sur l'axe des x. Dans ce référentiel la coordinnée de la particule n°2 est égale à x=(x2-x1). La force s'appliquant sur la particule n°1 est alors définie comme une fonction de x et des paramètres p1,p2. Le principe d'égalité fait que l'ordre des paramètres p1,p2 n'a pas d'importance, à savoir que f(x,p1,p2) = f(x,p2,p1) ce qui se résume en disant que f = f(x,{p1,p2}), et l'inversion du signe de x inverse le signe de la force f(x,{p1,p2}) = - f(-x,{p1,p2}). La force doit être analytique c'est à dire infiniment dérivable et de série de Taylor convergente. Elle peut ne pas l'être en certains points mais alors ces points doivent être inaccessibles.

On remarque alors que cette force dérive d'un potentiel.

8) Particule et énergie

A chaque particule on définie une énergie cinétique Ec et une énergie potentielle Ep dont l'évolution obéït à la règle suivante : Si une particule subie une force f pendant un intervale de temps dt, et que pendant cet intervale elle se déplace de dx, alors un transfert d'énergie à lieu de l'énergie potentielle vers l'énergie cinétique égale à f*dx. On dit que la force a travaillé, et comme elle dérive d'un potentiel, l'énergie depensée par ce travail a été prise sous forme potentiel et remise sous forme cinétique.

Le potentiel s'obtient en intégrant la force et réciproquement la force s'obtient en dérivant le potentiel. On exprime le potentiel de la particule également dans son référentiel :

f(x,{p1,p2}) = dEp(x,{p1,p2})/dx

Le potentiel est définie à une constante près. Le potentiel d'une particule en un point quelconque x est alors obtenue en intégrant f*dx de l'infini jusqu'à la position x si on a fixé le potentiel zéro à l'infini, ou en intégrant de x0 à x si on a fixé le potentiel zéro en x0. Noter que l'on utilise le terme de potentiel pour désigner l'énergie potentielle, alors que souvent le potentiel désigne le potentiel électrique qui pour être égale à l'énergie potentielle doit être multplié par la charge de la particule.

L'énergie totale est la somme des énergies potentielles de chaque particule pour chaque force, aux quelles on ajoute la somme des énergies cinétiques de chaque particule. L'energie totale est constante, c'est le premier principe de la thermodynamique.

9) Force électrique (Loi de Coulomb)

On considére des forces électriques qui obéissent à la loi de Coulomb. Considérons deux charge q1, q2 séparées d'une distance x. La force électrique f est définie ainsi :

f = - sign(x)*q1*q2/x²

Le signe moins dénote une force répulsive pour des mêmes particules (la force est opposé à x=(x2-x1)). Considérons une charge q1 placée en x1 et une charge q2 placée en x2. La force électrique f1,2 qui s'applique sur la particule q1 et qui est exercé par la particule q2 a pour valeur :

f1,2 = - q1*q2*sign(x2 - x1)/(x2 - x1)²

La force électrique est une fonction analytique tant que les charges ne se croisent pas. Des charges de mêmes signes ne peuvent se croisées car la force est sans limite, parcontre des charges de signes opposés tombent l'une sur l'autre et la force devient infinie.

10) Energie d'un ensembles de charges électriques

L'énergie s'obtient en sommant l'énergie potentiel et l'énergie cinétique de chaque particules. L'énergie cinétique d'une charge de masse m et de vitesse v est :

Ec = (1/2)*m*v²

L'énergie potentiel apportée à une charge q1 par une charge q2 mis à une distance |x1-x2| de la charge q1 est :

Ep1 = (1/2)*q1*q2 / |x1-x2|

La constante 1/2 vient du fait que l'énergie potentielle est comptée deux fois, celle apportée par q1 sur q2 et celle apportée par q2 sur q1.

11) Confinement

  1. Le modèle peut être confiné par des barrières matérielles disposées aux deux bouts. La barrière matérielle est constituée d'une particule dont la trajectoire est imposée (noter que celle-ci doit être analytique).
  2. Le modèle peut être confiné par des barrières topologiques, constituées soit par deux miroirs, soit en rejoingnant les deux bouts. La force doit alors être sommée sur toutes les images.

12) Cinématique

La cinématique décrit le mouvement d'une particule ponctuelle.

12.1) Principe analytique

La force est une fonction analytique de la position, de la vitesse, de l'acceleration...., de la dérivé n-ième de la position..., de l'ensemble des particules. Il s'en suit que la position, la vitesse, l'acceleration..., la dérivé n-ième de la position...., d'une particule sont également des fonctions analytiques, c'est à dire des quantitées z indéfiniment dérivables tel que la série de taylor z(0) + z'(0)*t + z''(0)*t²/2 + z'''(0)*t³/3! + z''''(0)*t⁴/4! +...., convergent quelque soit t.

Ce principe fondamentale donne aux mouvements une signification mathématique aux propriétés spéctaculaires. En particulier, si on connait la position x sur un interval quelconque de temps ]t1,t2[, ou bien si on connait la suite de ses dérivés n-ième en un temps précis t, alors on connais x en tout temps.

12.2) Suite des dérivées

La position d'une particule x étant une fonction analytique du temps t, elle est déterminée par la suite de ses dérivées à l'instant t=0 qui se note ainsi :

x(0), x'(0), x''(0), x'''(0), x''''(0)....

La suite des dérivées permet de construire la série de Taylor qui permet de calculer la position x à l'instant t :

x(t) = x(0) + x'(0)*t + x''(0)*t²/2! + x'''(0)*t³/3! + x''''(0)*t⁴/4! +...

On définie l'application Taylor qui prend en argument une suite de valeurs pour produire une trajectoire, c'est à dire une fonction analytique du temps comme suit :

Taylor(x0,x1,x2,x3,x4...) = t --> x0 + x1*t + x2*t²/2 + x3*t³/6 + x4*t⁴/24...

On définie l'application inverse qui prend en argument une trajectoire x, pour produire la suite de ses dérivés à l'instant 0.

L'espace des telles suites est vectoriel et de dimension infinie. Etant donné deux trajectoires x et y la trajectoire somme x+y : t--> x(t)+y(t) a comme suite des dérivés la somme des suites des dérivés, et la trajectoire k*x : t-->k*x(t) a une suite des dérivés égale à k fois la suite des dérivés de x. La trajectoire dérivée x' : t-->x'(t) a comme suite des dérivés la suite des dérivé de x shifttée comme suit :

Taylor-1(x) = (x(0), x'(0), x''(0), x'''(0)...)

Taylor-1(x+y) = (x(0)+y(0), x'(0)+y'(0), x''(0)+y''(0), x'''(0)+y'''(0)...)
                      = (x(0), x'(0), x''(0), x'''(0)...) + (x(0), x'(0), x''(0), x'''(0)...)
                      = Taylor-1(x) + Taylor-1(y)

Taylor-1(k*x) = (k*x(0), k*x'(0), k*x''(0), k*x'''(0)...)
                      = k * (x(0), x'(0), x''(0), x'''(0)...)
                      = k * Taylor-1(x)


Taylor-1(x
') = (x'(0), x''(0), x'''(0), x''''(0)...)
                   = (x(0), x'(0), x''(0), x'''(0)...)'
                   = (Taylor-1(x))'

12.3) Approximation (Expérimentation exacte en javascript à consulter avec Mozilla Firefox)

Cette approximation est basée sur les 4 premiers termes de la serie de Taylor. On pose un maillage du temps en une succétion de portions dt. Pendant chaque intervale de temps dt, on considère que l'accélération évolue linéairement. Puis les portions dt peuvent être adaptées en fonction de la situation afin que quelque soit la situation, l'erreur soit toujours bornée.

On note les différentes dérivés de x par :

Position
x
x
Vitesse
v
x'
Acceleration
a
x''
Pente
p
x'''
Double-pente
s
x''''

Ces variables sont implicitement fonction de t. Le mouvement est calculé à l'aide de la série de Taylor :

x(t+dt) = x + v*dt + a*dt²/2 + p*dt³/6 + s*dt⁴/24 +....
x(t+dt) = x(t) + v(t)*dt + a(t)*dt²/2 + p(t)*dt³/6 + s(t)*dt⁴/24 +....

Condition initale

Le système est déterminé si on connait les valeurs de position x(0) et de vitesse v(0) pour toutes les particules.

Dans cette approximation, l'accélération varie linéairement pendant la portion de temps dt, passant de la valeur a1 au point x1 à la valeur a2 au point x2.

On effecture un changement de variable τ = t - t1

A l'instant τ=0 la particule est à la position x1. A l'instant τ=dt la particule est à la position x2. On considère l'accélération, notée a, aucours de cette portion de temps dt. Comme on a effectué un changement de variable, a est une fonction de τ. Pour s'en rappeler on écrit a = a(τ).

a = a1 + p*τ

Il s'en suit par intégration que :

a = a1 + p*τ
v = v1 + a1*τ + p*τ²/2
x = x1 + v1*τ + a1*τ²/2 + p*τ³/6

Noter que x, v, a, sont des fonctions de τ, et représentent la position, la vitesse et l'acceleration à l'instant τ.

τ varie de 0 à dt
x varie de x1 à x2
v varie de v1 à v2
a varie de a1 à a2

Nous pouvons calculer les valeur de x, v, a lorsque τ=0 et τ=dt, et qui correspondent aux valeurs x1, x2, v1, v2, a1, a2.

a2 = a(dt)
a2 = a1 + p*dt

On en déduit la valeur de p en fonction de a1 et a2 :

p = (a2 - a1)/dt

p désigne la dérivé de l'acceleration, et dans notre approximation, celle-ci est constante aux cours de l'intervale dt

On calcule les valeurs x2 et v2 comme suit :

x2 = x1 + v1*dt + a1*dt²/2 + p*dt³/6
v2 = v1 + a1*dt + p*dt²/2

x2 = x1 + v1*dt + a1*dt²/3 + a2*dt²/6
v2 = v1 + a1*dt/2 + a2*dt/2

Le procédé itératif consiste à poser au départ a2 = a1. A chaque itération, on calcule x2, v2 par la formule précédente, puis on calcule a2 en fonction de la configuration globale calculée à cette itération à l'instant t2. Puis on recalcule v2, x2 par la formule précédente puis on recalcule a2 en fonction de la configuration globale de l'itération à l'instant t2, et ainsi de suite jusqu'à ce que les valeurs de x2 et v2 ne bougent plus.

Estimation de l'erreur

Le développement de taylor est :

x = x(0) + x'(0)*dt + x''(0)*dt²/2 + x'''(0)*dt³/6 + x''''(0)*dt⁴/24 + ....
x = x(0) + v(0)*dt + a(0)*dt²/2 + a'(0)*dt³/6 + a''(0)*dt⁴/24 + ....

Au cours d'une maille de temps, on ne tient compte que des 4 premier termes, et l'erreur est estimée par le terme suivant : a''(0)*dt⁴/24.

On choisie dt de tel sorte que ce terme a''(0)*dt⁴/24 soit inferieur à ε. On considère une particule placée à une distance r. L'acceleration est alors donnée par a=G/r² et tenant compte de la vitesse relative v, la variation de l'acceleration est égale à a' = -2*G*v/r³, la variation de la variation de l'acceleration est égale à 6*G*v²/r⁴ - 2*G*r''/r³ avec r'' égale à deux fois l'acceleration ce qui donne 6*G*v²/r⁴ - 4*G²/r⁵. Le terme est alors égale à (6*G*v²/r⁴ - 4*G²/r⁵)*dt⁴/24, et on considère alors la somme des deux termes en valeurs absolue, c'est à dire en remplaçant r, v par leur valeur absolues, cela donne :

(6*G*v²/r⁴ + 4*G²/r⁵)*dt⁴/24 < ε

S'il y a d'autres particules en jeux, il faut ajouter en valeur absolu le même calcul pour chacune d'elles :

N*(6*G*v²/r⁴ + 4*G²/r⁵)*dt⁴/24 < ε

On obtient une valeur de dt garantissant la précision ε comme suit :

dt < (24*ε/(6*N*G*v²/r⁴ + 4N*G²/r⁵))^(1/4)

r est la plus petite distances et v la plus grande vitesse relative, N le nombre de particule moins une, G le carré de la charge divisé par la masse dans un ensemble de particules de même charge et de même masse.

13) Forces

Intéressons-nous maintenant aux différentes formes de force du premier type qu'il est possible d'imaginer. Comme il est plus facile de calculer la force à partir du potentiel par simple dérivation que l'inverse par intégration, on explorera d'abord les différentes formes de potentiel parmis les plus simples. Le potentiel étant défini à une constante près, trois valeurs clef apparaissent (- ∞, 0, + ∞). Si à l'infini le potentiel est fini, alors on choisie de fixer à zéro. Si à la distance 0 le potentiel est infini il ne peut être que +∞, la force devant être répulsive afin que le croisement ne puisse avoir lieu et ainsi assurer que les fonctions de positions soient toujours analytiques.

Ep(0)
Ep(+∞)
Ep(x)
Ep(x)
F(x)
F(x)
+1
0
1/(x²+1)
-2*x/(x²+1)²
Répulsif
-1
0
-1/(x²+1)
2*x/(x²+1)²
Attractif
0
-∞
-x²
-2*x
Répulsif
0
+∞
2*x
Attractif
+ ∞
0
1/|x|
-sign(x)*1/x²
Répulsif
Force de
Coulomb

14) Différentes particules et leur champ

Plusieurs types de particules peuvent être définie en ajoutant ou en retirant des sources de forces.

Bille : On définie une particule appelée "une bille", munie d'une masse m définissant son inertie appelée aussi charge inertielle, et d'un rayon r définissant une force répulsive exponentielle de courte portée.

Charge : On définie une particule appelée "une charge", munie d'une masse m définissant son inertie, et d'une charge electrique q définissant la force de Coulomb en 1/x².

Bille chargée : On définie une particule appelée "une bille chargée", munie d'une masse m, d'un rayon r et d'une charge électrique q

Boule chargée : On définie une particule appelée "une boule chargée", munie d'une masse m, d'une charge électrique q et d'un rayon r définissant une force neutralisant la force electrique, qui est exponentielle et de courte porté. La force exponentielle annule la force électrique aux petites distances et permet ainsi aux boules chargées de se croiser. Les valeurs de force infinies sont ainsi éliminées.

Chaque particule est source de force. On appel champ de force, la force répartie dans l'espace. Et de même on appel champ de potentiel, le potentiel répartie dans l'espace. Un champ de force n'a d'effet que sur les particules source de tel champ, pour ainsi toujours vérifier la troisième loi de Newton. Ainsi les Billes intéragissent avec les Billes, les Billes chargées et n'interagissent pas avec les Charges ni les Boules chargées. La Boule chargée se comporte comme une Charge vis-à-vis d'une autre Charge.

15) Force répulsive exponentielle de courte portée

On considére deux billes de rayons r1 et r2. La force qui rend compte du choc de ces deux billes doit tendre vers l'infini lorsque la distance tend vers 0 et doit tendre vers 0 lorsque la distance tend vers l'infini. La force doit avoir une courte portée. L'ordre de grandeur à un facteur près n'a pas d'importance puisque la variation est exponentielle. Le principe d'égalité entre la force agissante et la force réagissante fait que le rôle des rayons r1 et r2 doit être symétrique. Par analogie au choc de deux billes, on choisi pour ce rôle, la distance d'impacte d = r1 + r2. Cette distance correspond alors à la distance ou la force de répulsion est unitaire. L'unité de force est liée aux unité de masse, de temps et de distance par le principe fondamentale de la dynamique f = m*x''. On considère 3 unités, une unité de distance, une unité de temps et une unité de masse. Dans le référentiel Ω, l'unités de distance est 1, l'unité de temps est 1, l'unité de masse est 1, l'unité de vitesse v=dx/dt est 1, l'unité d'acceleration a=dv/dt est 1, et l'unité de force f = m*a est 1.

Nous commençons par poser un potentiel de la forme ed/|x|d est la distance d'impacte d = r1+r2 et où x est la position de la bille n°2 exerçant la force dans le référentiel de la bille n°1 qui subit la force, x = x2-x1. La force associée s'obtient en prenant la dérivée qui est égale à -ed/|x|*sign(x)/x². Et comme nous souhaitons la normer de tel sorte que lorsque x=d la force soit égale à l'unité de force 1, on la divise par -e/d. Ainsi nous avons définie une force, d*e(d/|x|-1)*sign(x)/x², obéissantà tous nos critères :

Considérons deux billes de rayon r1 et r2 séparées d'une distance x. La force électrique f est définie ainsi :

f = - signe(x)/x² * d² * e(d/|x| - 1)

Considérons une bille de rayon r1 placée en x1 et une bille de rayon r2 placée en x2. La bille n°1 est soumise à une force f1,2 qui est causée par la présence de la bille n°2 :

f1,2 = - sign(x2 - x1)/(x2 - x1)² * (r1+r2)² * e((r1+r2)/|x2-x1| - 1)

La force de répulsion est une fonction analytique tant que les billes ne se croisent pas, ce qui est impossible car la force répulsive croît indéfiniment. Le potentiel de répulsion de la particule est :

Ep1 = d*e(d/|x|-1)

16) Force électrique bridée exponentiellement

On ajoute à la force electrique une force la neutralisant aux petites distances. On considére deux boules chargées de rayons r1 et r2. La force neutralisante doit tendre vers 0 lorsque la distance d entre les deux boules tend vers l'infini. Cette force doit être de courte portée. Lorsqu'elle est sommée à la force électrique, la somme doit tendre vers 0 lorsque la distance tend vers 0, annulant ainsi la force coulombienne. Pour ne pas avoir de paramètre mutiplicatif supplémentaire à tenir compte, on choisie une force de type exponentiel. L'ordre de grandeur à un facteur près n'a alors pas d'importance puisque la variation est exponentielle.

Considérons une boule de rayon r1 placée en x1 et une boule de rayon r2 placée en x2. Posons d = r1+r2 et x = x2-x1

On note f la force de coulomb que la particule n°2 exerce sur la particule n°1. On note g la force neutralisante qui s'applique sur la particule n°1. La forme la plus simple est la suivante :

f + g = f / ed/|x|
f + g = f *e-d/|x|

Si l'on veut, de plus, que la distance d'impacte d = r1 + r2 correspond à la distance où la force neutralisante va diviser la force coulombienne par un facteur B (une base exponentielle souvent choisie égale à 2), il faut alors ajouter à la formule le coefficient multiplicatif e/B comme suit :

f + g = f *e-d/|x| * e/B
g = f*(ed/|x| *e/B - 1)

Voici l'expression de la force électrique f et de la force neutralisante g :

f = - q1*q2*sign(x)/x²
g = - q1*q2*sign(x)/x² * (e1-d/|x| / B - 1)

La sommes de la force électrique et de la force neutralisante donne la force électrique bridée :

f+g = - q1*q2*sign(x)/x² * e1-d/|x| / B

Coïncidence, la force neutralisante g peut s'intégrer facilement (à l'aide d'un logiciel de calcul formel tel que MuPad). Par intégration de f et de g on obtient le potentiel de charge, et le potentiel neutralisant :

Epf = q1*q2/|x|
Epg = - q1*q2/|x| + q1*q2*(1- e-d*/|x|)*e/(B*d)

La somme des deux potentiels donne le potentiel de charge bridé :

Ep = q1*q2*(1- e-d*/|x|)*e/(B*d)


Dominique Mabboux-Stromberg

--- 14 Novembre 2012 ---

 

Approximation niveau 2 (s'avère de moins bonnes précisions)

Dans cette approximation, l'accéleration évolue en fonction du temps selon une courbe du second degré, passant de la valeur a1 au point x1 à la valeur a2 au point x2 puis à la valeur a3 au point x3. Il faut en effet 3 points pour pouvoir définir une courbe du second degré.

On effectue un changement de variable τ = t - t1 de tel sorte que à l'instant τ=0 la particule est au point x1, à l'instant τ=dt la particule est au point x2, et à l'instant τ=2*dt la particule est au point x3. L'accélération aucours de cette portion de temps 2*dt est fonction de τ que l'on note a = a(τ) est qui vaut :

a = a1 + p*τ + s*τ²

Par intégration on obteint la valeur de la vitesse v et de la position x à l'instant τ :

a = a1 + p*τ + s*τ²
v = v1 + a1*τ + p*τ²/2 + s*τ³/3
x = x1 + v1*τ + a1*τ²/2 + p*τ³/6 + s*τ⁴/12

Noter que x, v, a, sont des fonctions de τ, et représentent la position, la vitesse et l'acceleration à l'instant τ.

τ varie de 0 à dt puis à 2*dt
x varie de x1 à x2 puis à x3
v varie de v1 à v2 puis à v3
a varie de a1 à a2 puis à a3

Nous pouvons calculer les valeur de x, v, a lorsque τ=0, τ=dt, et τ=2*dt qui correspondent aux valeurs x1, x2, x3, v1, v2, v3, a1, a2, a3.

a2 = a1 + p*dt + *dt²
a3 = a1 + 2*p*dt + 4*s*dt²

On en déduit les valeurs de p et s en fonction de a1, a2, a3 :

p = (-3*a1 + 4*a2 - a3)/(2*dt)
s = (a1 - 2*a2 + a3)/(2*dt²)

p désigne la dérivé de l'acceleration, et dans l'approximation de niveau 1, celle-ci varie linéairement aux cours de l'intervale dt
s désigne la dérivé seconde de l'acceleration, et dans l'approximation de niveau 1, celle-ci varie selon une courbe du second degré aux cours de l'intervale dt

On calcule les valeur x2,v2, x3,v3 comme suit :

v2 = v1 + a1*dt + p*dt²/2 + s*dt³/3
x2 = x1 + v1*dt + a1*dt²/2 + p*dt³/6 + s*dt⁴/12
v3 = v1 + a1*2*dt + p*4*dt²/2 + s*8*dt³/3
x3 = x1 + v1*2*dt + a1*4*dt²/2 + p*8*dt³/6 + s*16*dt⁴/12

v2 = v1 +5*a1*dt/12 + 2*a2*dt/3 - a3*dt/12
x2 = x1 + v1*dt +7*a1*dt²/24 + a2*dt²/4-a3*dt²/24
v3 = v1 + a1*dt/3 + 4*a2*dt/3 + a3*dt/3
x3 = x1 + 2*v1*dt + 2*a1*dt²/3 + 4*a2*dt²/3

Le procédé itératif consiste à poser au départ a3=a2, puis à calculer les positions x2,v2,x3,v3 pour toutes les particules. Puis on recalcule a2 et a3 en fonction de la configuration globale calculée à cette itératiosn à l'instant t2 et t3. Puis on recalcule les positions x2,v2,x3,v3. Et ainsi de suite, jusqu'à ce que les valeurs x2,v2,x3,v3 n'évoluent plus. On passe alors au pas dt suivant en décalant x2 en x1 et x3 en x2.

 

 

La variable peut être anonyme. Par exemple, si on convient qu'un couple désigne un évènement composé d'une position et d'un temps. Le sens physique est bien définie. Et lorsqu'un sens physique est donné au contenant, le contenant se comporte alors comme une variable anonyme. Ainsi le point S(0,0) désigne l'origine du référentiel S, et le résultat de cette expression est exprimé dans le référentiel en cours R, celui-ci diffère donc de (0,0) sauf si R=S. Parcontre le point (0,0)S désigne le point origine de R mesuré dans le référentiel S.

 

 

5.4) Les Translations

Nous posons R = S*Trans(a). Cela signifie que le référentiel R est obtenue à patir du référentiel S en effectuant une translation spatiale des axes d'une valeur a. Donc un évènement [x,t]R s'exprimera dans S avec la même valeur temporelle mais avec une valeur spatiale augmentée de a :

[x,t]R= [x + a, t]S

Et une trajectoire [x(t),t]R s'exprimera dans S avec la même valeur temporelle mais avec une valeur spatiale augmentée de a :

[x(t),t]R = [x(t) + a, t]S

On constate alors que deux translations à la suite se combinent en une translation somme des deux :

Trans(a)*Trans(b) = Trans(a+b)

5.5) Les Avances

Nous posons R = S*Avance(a). Cela signifie que le référentiel R est obtenue à patir du référentiel S en effectuant une translation temporelle des axes d'une valeur a. Donc un évènement [x,t]R s'exprimera dans S avec la même valeur spatiale mais avec une valeur temporelle augmentée de a :

R = S*Avance(a)    =>    [x,t]R= [x, t+a]S

Et dans le cas d'une trajectoire [x(t),t]R, celle-ci s'exprimera dans S par [x(t), t+a]S. On effectura alors un changement de variable afin de rendre la représentation normale en remplaçant le paramètrre t par t-a, ce qui donne la trajectoire [x(t-a), t]S :

R = S*Avance(a)    =>    [x(t),t]R = [x(t-a), t]S

On constate alors que deux translations temporelles à la suite se combinent en une translation temporelle somme des deux :

Avance(a)*Avance(b) = Avance(a+b)

Puis il convient de regarder ce que produit la combinaison d'une translation et d'une avance. On remarque qu'elles commutent

Avance(a)*Trans(a) = Trans(a)*Avance(a)

Celles-ci commutent faisant que l'on peut les sommer séparément. On défini alors la translation spatio-temporelle Trans([a,a]) comme suit. Nous posons R = S*Trans([a,a]). Cela signifie que le référentiel R est obtenuà patir du référentiel S en effectuant une translation spaco-temprelle des axes d'une valeur [a,a]. Donc un évènement [x,t]R s'exprimera dans S avec une valeur spatiale augmentée de a et une valeur temporelle augmentée de a :

R = S*Trans([a,a])    =>     [x,t]R= [x+a, t+a]S

Et dans le cas d'une trajectoire [x(t),t]R, celle-ci s'exprimera dans S par [x(t)+a, t+a]S. On effectura alors un changement de variable afin de rendre la représentation normale en remplaçant le paramètrre t par t-a, ce qui donne la trajectoire [x(t-a)+a, t]S :

R = S*Trans([a,a])    =>    [x(t),t]R= [x(t-a) + a, t]S

On constate alors que deux translations spatio-temporelles à la suite se combinent en une translation spatio-temporelle somme des deux :

Trans([a,a])*Trans([b,b]) = Trans([a+b,a+b])

5.6) Les Fuites

Nous posons R = S*Fuite(v). Cela signifie que le référentiel R est obtenue à patir du référentiel S en effectuant une translation uniforme de vitesse v, et en supposant qu'à l'instant t=0 les deux référentiels se superposent. Donc un évènement [x,t]R s'exprimera dans S avec la même valeur temporelle mais avec une valeur spatiale augmentée de v*t :

R = S*Fuite(v)    =>    [x,t]R= [x + v*t, t]S

Et une trajectoire [x(t),t]R s'exprimera dans S avec la même valeur temporelle mais avec une valeur spatiale augmentée de v*t :

R = S*Fuite(v)    =>    [x(t),t]R = [x(t) + v*t, t]S

On constate alors que deux fuites à la suite se combinent en une fuite somme des deux :

Fuite(u)*Fuite(v) = Fuite(u+v)

Puis il convient de regarder ce que produit la combinaison d'une Fuite et d'une Translation. On remarque qu'elles commutent

Fuite(v)*Trans(a) = Trans(a)*Fuite(v)

Elles peuvent donc être sommés indépendament l'une de l'autre.

Puis il convient de regarder ce que produit la combinaison d'une Fuite et d'une Avance. Nous posons R = S*Avance(a)*Fuite(v). On passe par une étape intermédiaire M = S*Avance(a) et R = M*Fuite(v). Nous avons donc :

M = S*Avance(a)    =>    [x,t]M = [x, t+a]S
R = M*Fuite(v)    =>    [x,t]R= [x + v*t, t]M
M = S*Avance(a) et R = M*Fuite(v)    =>     [x,t]R= [x + v*t, t]M= [x + v*(t+a), t+a]S

R = S*Avance(a)*Fuite(v)    =>    [x,t]R= [x + v*(t+a), t+a]S

Puis il convient de regarder ce que produit la combinaison d'une Avance et d'une Fuite. Nous posons R = S*Fuite(v)*Avance(a). On passe par une étape intermédiaire M = S*Fuite(v) et R = M*Avance(a). Nous avons donc :

M = S*Fuite(v)    =>    [x,t]M = [x + v*t, t]S
R = M*Avance(a)    =>    [x,t]R = [x, t+a]M
M = S*Fuite(v) et R = M*Avance(a)    =>    [x,t]R = [x, t+a]M = [x + v*(t+a), (t+a)]S

R = S*Fuite(v)*Avance(a)    =>    [x,t]R = [x + v*(t+a), (t+a)]S

On remarque ainsi qu'elles commutent Fuite(v)*Avance(a) = Avance(a)*Fuite(v). Elles peuvent donc être sommés indépendament l'une de l'autre. Et pour une trajectoire [x(t),t]R nous avons :

R = S*Avance(a)*Fuite(v)    =>    [x(t),t]R= [x(t-a) + v*t, t]S

Puisque ces trois types de transformations commutent entre-elles, Et que pour chacun des trois types de transformations elles s'ajoutent entre-elles, on conclut qu'une transformation quelconque est caractérisée par les trois valeurs sommées <v,a,a> qui forme ainsi les coordonnés cartésiennes du référentiel relativment à Ω.

R = S*Trans(<v,a,a>)    =>     [x(t),t]R= [a + x(t) + v*(t+a), t+a]S

Et pour une trajectoire [x(t),t]R

R = S*Trans(<v,a,a>)    =>     [x(t),t]R= [a + x(t-a) + v*(t), t]S

 

Table des matières :

  1. Introduction
  2. Principes
    1. Principe de causalité
    2. Principe de finitude
    3. Principe d'inertie
    4. Principe de relativité
    5. Principe de transmission instantané sans rémanence de l'information
    6. Principe analytique
  3. Espace et temps absolus
    1. Espace absolu
    2. Temps absolu
    3. Espace-temps newtonien
    4. Espace-temps newtonien avec une seul dimension spatiale
  4. Référentiel absolu
  5. La trajectoire d'une particule
  6. Référentiels
    1. Notation fonctionnelle et référentielle
    2. Les référentiels galiléens
    3. D'autres référentiels
  7. Principe de superposition

 

On pose la prima-base (i,j,k)
On pose une application linéaire A qui transforme (i,j,k) en respectivement (e1,e2,e3)
On pose un vecteur quelconque x.
On pose le vecteur v = A(x)

A(i) = e1
A(j) = e2
A(k) = e3
A(x) = v

Conservation des relations linéaires : x(i,j,k) = v(e1,e2,e3)
(i,j,k) est la prima-base donc x = x(i,j,k) x = v(e1,e2,e3)

x = A(x)(e1,e2,e3)
Changement de variable. On remplaçant x par A-1(x) : A-1(x) =A(A-1(x))(e1,e2,e3)

A-1(x) = x(e1,e2,e3)

(e1,e2,e3)-1(x) = x(e1,e2,e3)

 

Il existe une autre convention d'écriture où les oordonnées sont désignées par la même lettre que le vecteur mais indicé. Ainsi nous avons :

`t|->vec x`
`vec x = (x_1,x_2,x_3)`

 

Remarquez ici que le vecteur `bbx` porte le même nom que la première coordonnée `x`. Dans ce cas la norme `|bbx|` ne pourra être désignée par `x` à cause de l'ambiguité. Le vecteur `bbx` désigne souvent une position dans un espace de dimension `n` et les coordonnées sont souvent désignées par `x,y,z,...` ou par `x_1,x_2,x_3,...`.