I) Modèle ondulatoire unidimensionel

S'il y a onde, il y a champ, et donc une variable d'état Y qui indique à une position donnée x et à un instant donné t une grandeur scalaire signée appelé valeur du champ que l'on note Y(x,t). L'onde est décrite par la fonction Y(x,t), qui à chaque position x et à chaque instant t, contient une grandeur scalaire appelé valeur du champ. Les équations locales sont très simples à retrouver car il n'y a pas beaucoup de choix possibles d'équations différentielles capablent de ressembler à une propagation d'onde linéaire pure. On en a vite fait le tour. L'équation de propagation du champ Y, est l'équation aux dérivés partielles suivantes :

d²Y/dx² = (1/c²)*d²Y/dt²

c est la vitesse de propagation de l'onde. Le système est déterminé par l'équation locale à la quelle ont ajoute les conditions aux limites constituées des valeurs du champ Y à l'instant 0 en toute position x, et des valeurs du champ Y' à l'instant 0 en toute position x. (où Y' = dY/dt). On remarque que la connaissance du champ Y à un instant donné ne suffit pas, qu'il faut adjoindre la connaissance d'un autre champ Y' au même instant pour déterminer l'évolution du système, toutes ces données initiales étant libres. Cette équation est résolvable mais nous nous intéressons d'abord à la constructuion d'algorithme de calcule, aussi nous laisserons de coté la solution exacte.

1) Résolution par éléments finis

Cette approximation est basée sur un maillage du temps en une succétion de portions égales, dt, et sur un maillage de l'espace en une succétion de portions égales, dx. Nous allons découvrir l'équation aux mailles en première aproximation à partirde l'équation local comme suit :

L'équation locale : d²Y/dx² = (1/c²)*d²Y/dt² :

(Y(x + dx, t) + Y(x - dx, t) - 2*Y(x, t))/dx² = (1/c²)*(Y(x, t + dt) + Y(x, t - dt) - 2*Y(x,t))/dt²
Y(x, t + dt) = (Y(x + dx, t) + Y(x - dx, t) - 2*Y(x,t))*c²*dt²/dx² - Y(x, t - dt) + 2*Y(x,t)

Pour simplifier, on pose la constante k, le champ Y', et le champ Z comme suit :

k = c²*dt²/dx²
Y'(x,t) = (Y(x,t) - Y(x,t-dt))/dt
Z(x,t) = Y'(x,t)*dt = Y(x,t) - Y(x,t-dt)

L'équation devient alors :

Y(x, t + dt) = Y(x + dx, t)*k + Y(x - dx, t)*k - 2*Y(x,t)*k + Z(x,t) + Y(x,t)
Z(x, t + dt) = Y(x, t + dt) - Y(x,t)

Pour simplifier l'écriture on note :

Y(x) = Y(x,t)
Z(x) = Z(x,t)

newY(x) = Y(x,t+dt)
newZ(x) = Z(x,t+dt)

Et l'on obtient une équation aux mailles :

newY(x) = Y(x + dx)*k + Y(x - dx)*k - 2*k*Y(x) + Z(x) + Y(x)
newZ(x) = Y(x + dx)*k + Y(x - dx)*k - 2*k*Y(x) + Z(x)
newZ(x) = newY(x) - Y(x)

1.1) Singularité

Lorsque c²*dt²/dx² = 1/2, l'équation devient :

Y2(x) = (Y(x + dx) + Y(x - dx))/2 + Z(x)
Z2(x) = (Y(x + dx) + Y(x - dx))/2 + Z(x) - Y(x
)
Z2(x) = Y2(x) - Y(x)
    

1.2) Confinement

Le modèle est confiné de trois façons possible :

1.3) Approximation

Le théorème de l'échantillonnage dit qu'un signal qui ne contient pas de composantes de fréquences supérieures ou égales à une valeur fmax, est entièrement déterminé par la suite de ses valeurs à des instants régulièrements espacés par la demie période de la fréquence fmax, soit régulièrements espacés de la durée 1/(2*fmax).

Autrement dit, un signal ne contenant pas de fréquence supérieure ou égale à fmax peut être haché à la fréquence 2*fmax sans qu'il n'y est aucune perte d'information.

On peut donc effectuer un maillage sans perdre d'information.

3.6) Causalité

L'équation locale suffit pour expliquer les causes. L'information est transmmise par l'onde elle-même. Cette information circule donc à la vitesse de l'onde, et chaque position ignore l'état des positions autres que celles limitrophes.

3.4) Approximation

Le théorème de l'échantillonnage dit qu'un signal qui ne contient pas de composantes de fréquences supérieures ou égales à une valeur fmax, est entièrement déterminé par la suite de ses valeurs à des instants régulièrements espacés par la demie période de la fréquence fmax, soit régulièrements espacés de la durée 1/(2*fmax).

Autrement dit, un signal ne contenant pas de fréquence supérieure ou égale à fmax peut être haché à la fréquence 2*fmax sans qu'il n'y est aucune perte d'information.

 

 

II) Modèle ondulatoire stationnaire unidimensionel

Qu'est ce qu'une onde stationnaire ? C'est une onde Y(x,t) tel que en chaque point x, le champ de l'onde évolue avec le temps t exactement comme une sinusoïdal de fréquence f :

Y(x,t) = A(x)*cos(f*t + B(x))

L'évolution du champ Y de l'onde en un point x, est donc caractérisée par une amplitude A(x) et une phase B(x). L'onde Y se met sous la forme d'un nombre complexe z. Y en est seulement la partie réel que l'on noteY=Re(z).

Y(x,t) = Re( A(x) * ei*(f*t + B(x)) )
Y(x,t) = Re( A(x) * ei*B(x) *  ei*f*t )
Y(x,t) = Re( [A(x),B(x)] * ei*f*t )

On factorise la partie concernant la fréquence f, et on note [A(x),B(x)] le complexe d'amplitude A(x) et de phase B(x). L'évolution du champ de l'onde en un point x, est caractérisée par une amplitude A(x) et une phase B(x) qui forme un nombre complexeP(x) appelé pôle de raisonnance :

P(x) = [A(x),B(x)] = A(x) *ei* B(x)
Y(x,t) = Re( P(x) * ei*f*t )

Lorsqu'il n'y a pas d'ambiguité, on écrit les champs sans préciser le point d'application x ou (x,t) considéré. Les variables muettes x et t sont donc implicites. Nous avons définie 4 variables Y,A,B,P.

Variable
Fonction
Description
Y
Y(x,t)
La valeur du champ de l'onde au point x et à la date t.
A
A(x)
L'amplitude de l'onde stationnaire au point x.
B
B(x)
La phase de l'onde stationnaire au point x.
P
P(x)
Le pôle de raisonnance (nombre complexe) de l'onde statinnaire au point x.

Et nous avons :

Y = A*cos(f*t + B)
Y = Reel ( P * ei*f*t )
P = A*ei* B
P = [A,B]

Ainsi une onde stationnaire est un champ de pôles de raisonnance P immobile. Nous allons établire les équations de ce champ complexe à partir de l'équation locale de l'onde.

d²Y/dx² = (1/c²)*d²Y/dt²
Reel( P'' * ei*f*t ) = - (1/c²)*Reel( f² * P * ei*f*t )
Reel( P'' * ei*f*t + (1/c²)* f² * P * ei*f*t ) = 0
Reel( (P'' + (1/c²)* f² * P) * ei*f*t ) = 0
P'' + (1/c²)* f² * P = 0
P'' + (f/c)²*P = 0

Et l'on obtient l'équation locale :

d²P/dx² + (f/c)²*P = 0

3.1) Résolution par éléments finis

Voici une première approximation basée sur un maillage du temps en une succétion de portions égales dt, et sur un maillage de l'espace en une succétion de portions égales dx. L'équation locale induit en première aproximation l'équation aux mailles suivantes :

d²P/d²x + (f/c)²*P = 0
(P(x + dx) + P(x - dx) - 2*P(x))/dx² + (f/c)²*P(x) = 0
P(x + dx) + P(x - dx) - 2*P(x) + (dx*f/c)²*P(x) = 0
P(x + dx) + P(x - dx) + P(x)*((dx*f/c)² - 2) = 0

Pour simplifier, on calcule la constante k comme suit :

k = (dx*f/c)² - 2
P(x + dx) + P(x - dx) + P(x)*k = 0

--- 14 Novembre 2012 ----