Précession du périhélie de Mercure

1) Introduction

La précesssion du périhélie de Mercure permet de mesurer les capacités prédictives de la théorie de Newton, de la relativité restreinte, et de la relativité générale. Elle permet de vérifier par la simulation, appelée expérimentation exacte, l'intégrité de ces 3 théories et de leurs formes appliquées et approchées.

2) Cinématique

On considère plusieurs particules en mouvement. On pose un maillage du temps en une succétion de portions Δt. Et pendant chaque intervalle de temps Δt, on considère que l'accélération de chaque particule évolue linéairement. Les vecteurs sont notés en caractère gras. On note la position d'une particule par le vecteur r. Et les différentes dérivés de r sont notées par :

r
Position
r
r'
Vitesse
v
r''
Acceleration
a
r'''
Pente
p

On considère une maille. La particule se trouve à l'instant t1 à la position r1 avec une vitesse v1 et une accélération a1, puis se trouve à l'instant t2 à la position r2 avec la vitesse v2 et une accéleration a2. On considère la variable de temps relative à la maille τ = t - t1 qui vaut τ=0 lorsque la particule est au point r1 et qui vaut τ=Δt lorsque la particule est au point r2.

Comme nous considérons une accélération évoluant linéairement entre l'instant t1 et l'instant t2, nous pouvons calculer l'accéleration à tout instant τ compris entre 0 et Δt. Celle-ci vaut a = a1 + pet nous déduisons que p = (a2 - a1)/Δt. Il s'en suit par intégration que :

a = a1 + p
v = v1 + a1*τ + p2/2
r = r1 + v1*τ + a12/2 + p3/6

On calcule les valeurs r2 et v2 comme suit :

r2 = r1 + v1*Δt + a1*Δt2/2 + p*Δt3/6
v2 = v1 + a1*Δt + p*Δt2/2

Le procédé itératif consiste à poser au départ p telle qu'il vallait lors de la maille précédente. Puis à chaque itération, on calcule r2, v2 par la formule précédente, puis on calcule a2 en fonction de la configuration globale à cette itération à l'instant t2, ce qui nous donne une autre valeur de p. Puis on recalcule v2, r2 par la formule précédente puis on recalcule a2 et p en fonction de la configuration globale de l'itération à l'instant t2, et ainsi de suite jusqu'à ce que les valeurs de r2 et v2 ne bougent plus. On s'en tiendra à faire systématiquement 2 ou 3 itérations.

3) Méthode de Newton

Étant donné une fonction f : x-->f(x), nous voulons trouver de façon approchée une racine x, c'est à dire telle que f(x)=0. On pose une valeur x proche de la racine, et on répète un petit nombre de fois l'itération suivantes :

x := x - f(x)/f'(x)

Le symbole := indique que la valeur de la variable x va changer. Il faut considérer cette ligne x := x - f(x)/f'(x) comme une instruction impérative d'un programme et non comme une équation.

La démonstration de la méthode de Newton se fait à l'aide des expressions différentielles et de la dérivé. On part d'une valeur x proche de la racine, et on cherche la variation dx telle que x+dx soit la racine, c'est à dire telle que f(x+dx)=0. Selon le calcul différentiel, nous avons :

f'(x) = (f(x+dx) - f(x))/dx
f(x+dx) = f(x) + f'(x)*dx

f(x+dx)=0
f(x) + f'(x)*dx =0
dx = - f(x)/f'(x)

On en déduit que la valeur x+dx, qui est égale à x - f(x)/f'(x), constitue une approximation de la racine autant meilleur que dx est petit.

4) Le système Soleil-Mercure

Dans la suite de l'exposé, on se place dans un référentiel héliocentrique de dimension 2. Le Soleil est posé fixe à la position (0,0). La force de gravité qui s'exerce sur Mercure est centrale. Mercure est initialement positionné sur l'axe des x, à l'aphélie, la plus grande distance du soleil au cours d'une révolution. Et on fait les approximations suivantes :

  1. On ne tient pas compte des autres planètes.
  2. On néglige le mouvement d'entrainement du Soleil du à Mercure.
  3. L'accéleration varie linéairement entre chaque intervalle de temps Δt.

5) Calcul du périhélie et de l'aphélie

On calcule la trajectoire r de Mercure de maille en maille, et on s'arrète sur la maille annonçant la fin du décroissement de la distance ||r||. Puis, pour déterminer plus précisement le moment τ du périhélie, position la plus proche du Soleil à chaque révolution, on pose l'équation du mouvement dans cette maille entre la position r1 et la position r2 en fonction de τ et on cherche le moment τ où le point r est de distance ||r|| minimal.

a = a2 + p
v = v1 + a1*τ + p2/2
r = r1 + v1*τ + a12/2 + p3/6

Lorsque ||r|| est minimal, nous avons rr minimal où l'opération désigne le produit scalaire de deux vecteurs, et donc d(rr)/dt=0, et donc 2*rdr/dt = 0, et donc rv = 0. Ce qui correspond à une équation du cinquième degrés en τ. La solution exacte est trés complexe et n'est pas vraiment utile pour nous. En effet nous sommes déjà dans le cadre d'une approximation sur 15 chiffres, un calcul approché sur la même précision nous suffira. Nous utilisons la méthode de Newton. Nous cherchons τ tel que f(τ)=0 où la fonction f est définie comme suit :

f(τ) = rv

f'(τ) = d(rv)/dτ
f'(τ) = (dr/dτ)•v + rdv/dτ
f'(τ) = vv + ra

La position de départ est τ=0, l'itération est τ := τ - f(τ)/f'(τ), c'est à dire τ := τ - rv/(vv + ra) que l'on répète trois fois.

Si τ est négatif, c'est que l'aphélie s'est produite lors de la maille précédente. On refait le calcul sur la maille précédente.

La trajectoire dans la maille est complètement caractérisée par les 4 vecteurs r1, v1, a1, p. A chaque instant τ propre à la maille, c'est à dire valant τ=0 lorsque la particule est au point r1 et valant τ=Δt lorsque la particule est au point r2, on détrermine la position r, la vitesse v et l'accélération a comme suit :

a = a1 + p
v = v1 + a1*τ + p2/2
r = r1 + v1*τ + a12/2 + p3/6

La cinématique est symétrique selon le sens du temps t. On en déduit la formule symétrique suivante, déterminant la trajectoire en fonction des 4 vecteurs r2, v2, a2, p :

a = a2 + p*(Δt-τ)
v = v2 + a2*(Δt-τ) + p*(Δt-τ)2/2
r = r2 + v2*(Δt-τ) + a2*(Δt-τ)2/2 + p*(Δt-τ)3/6

L'adjonction aux 4 vecteurs r1, v1, a1, p, du seul vecteur supplémentaire p0 représentant la pente de l'accelération lors de la maille précédente, permet de déterminer complètement la trajectoire lors de la maille précédente. A chaque instant ͳ propre à cette maille précédente c'est à dire vallant ͳ=0 lorsque la particule est au point r0 et valant ͳ=Δt lorsque la particule est au point r1, on détermine la position r, la vitesse v et l'accélération a comme suit :

a = a1 + p0*(Δt-ͳ)
v = v1 + a1*(Δt-ͳ) + p0*(Δt-ͳ)2/2
r = r1 + v1*(Δt-ͳ) + a1*(Δt-ͳ)2/2 + p0*(Δt-ͳ)3/6

Les mailles se suivents. Les temps propres au mailles τ et ͳ sont définis en fonction des temps exactes t0 et t1 de passage de la particule respectivement aux points r0 et r1.

τ = t - t1
ͳ = t - t0

Et comme chaque maille dure un intervalle de temps Δt = t1 - t0, nous avons :

ͳ = τ + Δt

Le calcul du périhélie se met sous forme d'une procédure que voici :

function Perihelie(r1,v1,a1,p,p0)

       h=0
       Répéter 3 fois
          |    Si (h>=0) Alors
          |       |    r = r1 + v1*h + a1*h*h/2 + p*h*h*h/6
          |       |    v = v1 + a1*h + p*h*h/2
          |       |    d = sqrt(r.x*r.x + r.y*r.y)
          |       |    a = - G*M*(r / d) / (d * d)
          |       |    rv = r.x*v.x + r.y*v.y
          |       |    vv = v.x*v.x + v.y*v.y
          |       |    ra = r.x*a.x + r.y*a.y
          |    Sinon
          |       |    r = r1 - v1*h + a1*h*h/2 - p0*h*h*h/6
          |       |    v = v1 - a1*h + p0*h*h/2
          |       |    d = sqrt(r.x*r.x + r.y*r.y)
          |       |    a = - G*M*(r / d) / (d * d)
          |       |    rv = r.x*v.x + r.y*v.y
          |       |    vv = v.x*v.x + v.y*v.y
          |       |    ra = r.x*a.x + r.y*a.y
          |     fin
          |     h = h - rv/(vv+ra)
       fin
       Afficher ((acos(r1.x/d1)*180e6/3.1415) / (t*1e-6))
       Afficher (t*1e-6)
       Afficher (sqrt(r.x*r.x+r.y*r.y)*1e-6)

La fonction Perihelie prend 5 arguments décrivant la maille et la précédente

      Valeur initiale τ=0
      Répéter 3 fois l'itération suivante
         |    Si τ>=0 Alors
         |       |    Calcul de r dans la maille
         |       |    Calcul de v dans la maille
         |       |    Calcul de |r| dans la maille
         |       |    Calcul de a dans la maille
         |       |    Calcul de rv dans la maille
         |       |    Calcul de vv dans la maille
         |       |    Calcul de ra dans la maille
         |    Sinon
         |       |    Calcul de r dans la maille précédente
         |       |    Calcul de v dans la maille précédente
         |       |    Calcul de |r| dans la maille précédente
         |       |    Calcul de a dans la maille précédente
         |       |    Calcul de rv dans la maille précédente
         |       |    Calcul de vv dans la maille précédente
         |       |    Calcul de ra dans la maille précédente
         |      └--------------------------------------------
         |    Itération τ := τ - rv/(vv + ra)
        └--------------------------------------------
         Afficher la précession en micro degré par Méga seconde (µ°/Ms)
         Afficher la période en Méga seconde (Ms)
         Afficher la distance minimale en Méga mètre (Mm)

Le calcul de l'aphélie s'obtient de la même façon, et permet de calculer la distance maximal Soleil-Mercure atteinte à chaque révolution avec une grande précision.

6) Données astronomiques

wikipedia (Mercure)
Intitulé
Symbôle
Valeur
Constante des forces de gravité
G
6.6738*10-11 m3*kg-1*s-2
Constante de la vitesse de la lumière
c
2.99792458*108 m*s-1
Masse du Soleil
Masse du Soleil
M
1.9891*1030 Kg
1.9885*1030 Kg
Masse de Mercure
m
3.3022 *1023 Kg
Aphélie de Mercure
6.9817079*1010 m
Vitesse minimale de Mercure
3.886*104 m*s-1
Périhélie de Mercure
4.6001272*1010 m
Vitesse maximale de Mercure
5.898*104 m*s-1
Période de révolution   7.600551*106 s
Rayon du Soleil
r0
6.96342*108 m
Rayon de Mercure
2.4397*106 m

wikipedia (Précession du périhélie de Mercure)

1 seconde d'arc = 1°/3600 (degré)
1 µ° (micro degré) = 277.77 seconde d'arc
1 siècle = 36525 jours
1 Ms (Mega seconde) = 11.574 jours.

Précession observée :
574.8 secondes d'arc par siècle
50.60 µ°/Ms
Précession causée par l'influence
des autres planètes selon Newton :
531.7 secondes d'arc par siècle
46.80 µ°/Ms
Ecart inexpliquée :
43.1 secondes d'arc par siècle
3.79 µ°/Ms

7) Modèle newtonien

Force de gravité s'exerçant sur Mercure :

Force de gravité (modèle newtonien)

f = G*M*m / r2


f : Force de gravité
G : Constante des forces de gravité
M : Masse du Soleil
m : Masse de Mercure
r : Distance Soleil-Mercure

Principe d'inertie :

Principe d'inertie (modèle newtonien)

f = m*dv/dt

f : Force de gravité s'exerçant sur Mercure
m : Masse de Mercure
v : Vitesse de Mercure
t : Temps

De ces deux principes, on déduit l'accélération de Mercure a=dv/dt qui est égale à f/m. Cette accélération ne dépend pas de la masse m de Mercure mais seulement de la position r et de la masse M du soleil, et s'applique donc à tout object se trouvant à la position r. Aussi, cela constitue un champ d'accéleration a, appelé champ de gravité.

Champ de gravité (modèle de newtonien)

a = - (r / r) * G*M / r 2

a
= dv/dt


a : Accélération de Mercure, champ de gravité
M : Masse du Soleil
G : Constante des forces de gravité
r : Position de Mercure par rapport au Soleil
r : Distance Soleil-Mercure, r=||r||
v : Vitesse de Mercure
t : Temps

Le terme - (r / r) signifie que le champ de gravité a ainsi que la force de gravité f sont centraux et attractifs.

Programme :  newton.c
(Le programme se compile à l'aide de la commande : gcc newton.c -lm)

G = 6.6738e-11
M = 1.9891e30
T = 1
N = 2
r1.x = 6.9817079e10
r1.y = 0
v1.x = 0
v1.y = 3.886e4
t = 0
A = 0
d1 = sqrt(r1.x*r1.x + r1.y*r1.y)
a1 = - G*M*(r1 / d1) / (d1 * d1)
p = 0
Constante des forces de gravité
Masse du Soleil
Intervalle de temps d'une maille Δt=1
Nombre d'itération par maille N=2
Position initiale de Mercure à l'aphélie
...
...
...
Temps initial t=0
Mercure est en phase de rapprochement du Soleil
Distance Soleil-Mercure
Accélération de Mercure
La pente est initialement posée égale à 0
Répéter
   |     Répéter N fois
   |        |     r2 = r1 + v1*T + a1*T*T/2 + p*T*T*T/6
   |        |     v2 = v1 + a1*T + p*T*T/2
   |        |     d2= sqrt(r2.x*r2.x + r2.y*r2.y)
   |        |     a2 = - G*M*(r2 / d2) / (d2 * d2)
   |        |     p = (a2 - a1)/T
   |     fin
   |     Si (d2>d1 && A==0) Alors A=1 et Perihelie (t,r1,v1,a1,p)
   |     Si (d2<d1 && A==1) Alors A=0 et Aphelie(t,r1,v1,a1,p)
   |     r1 = r2
   |     d1 = d2
   |     v1 = v2
   |     a1 = a2
   |     t = t + T
fin
Boucle indéfinie
   |    Répéter N fois de suite
   |       |    Position à l'intant t+Δt
   |       |    Vitesse à l'intant t+Δt
   |       |    Distance à l'intant t+Δt
   |       |    Accélération à l'instant t+Δt.
   |       |    Pente de la maille [t, t+Δt].
   |      └---------------------------
   |    Si Mercure est au périhélie Alors A=1 et calculer le périhélie
   |    Si Mercure est à l'aphélie Alors A=0 et calculer l'aphélie
   |    Déplacement à l'instant t+Δt
   |    ...
   |    ...
   |    ...
   |    ...
  └---------------------------

Mesure de la précession :

La précession, qui est ici due aux approximations de calculs, devient négligeable lorsque Δt est inférieur à dix secondes et lorsque le nombres N d'itérations par maille est au moins égale à 2.

 

8) Modèle newtonien tenant compte de la masse du champ de gravité

Le Soleil crée un champ de gravité E (en italique). La masse de ce champ de gravité va créer un second champ de gravité qui se rajoute au premier. Mais la masse de ce second champ de gravité va également créer un troisième champ de gravité qui devra être ajouté aux précédents, et ainsi de suite.... On s'en tient qu'au second ordre, c'est à dire à un premier champ de gravité produit par le Soleil augmenté d'un second champ de gravité produit par la masse du premier champ.

On procède par analogie avec le champ électromagnétique pour lequel nous savons calculer l'énergie du champ. L'énergie du champ électrique est égale à dU = (ε0/2)*EE*dvdv représente un élément de volume, où E représente le champ électrique présent dans cet élément de volume, et où ε0 représente la constante de permittivité diélectrique du vide. On exprime dU en fonction de la constante des forces électriques ζ = 1/(4πε0) :

dU = (1/8πζ)*EE*dv

On procède de façon analogue pour les forces de gravité. On note f la force de gravité créée par le Soleil de masse M et s'exerçant sur Mercure de masse m. On note E (en italique) le champ de gravité créé par le Soleil à l'endroit où se trouve Mercure. On note dU (en italique) l'énergie du champ de gravité. On note G la constante des forces de gravitation. Par analogie nous avons :

dU = (1/8πG)*EE*dv

Et selon la définition d'un champ lié à une force, le champ de gravité E et la force de gravité f appliqués à Mercure satisfont les règles suivantes :

f = E*m

f = - (r / r) *G*M*m / r2
E = - (r / r) *G*M / r2

Le terme - (r / r) spécifie la direction de la force. La force de gravité est centrale et attractive.

Puis, grâce à la formule d'Einstein liant l'énergie à la masse, nous avons dU = dM*c2, et nous déduisons la masse du champ :

dM = dU/c2
dM
= (1/(8*π*G*c2))*EE*dv
dM = (1/(8*π*G*c2))*G2*M2*(1/r4)*dv

Dans le cas d'une distribution de masse selon une symétrie sphérique, la force attractive s'exerçant sur un point placé à un rayon r du centre est la même que si toutes les masses se trouvant dans la sphère centrée de rayon r étaient regroupées au centre, et les masses se trouvant au delà du rayon r n'interviennent pas ou plus exactement leurs effets en terme de force s'annulent (loi de Gauss).

Le calcul de la masse du champ agissant sur Mercure s'obtient alors en intégrant l'expression précédente sur la sphère de rayon r :

M = (G*M2/(8*π*c2))*r∈[r0,r[ (1/r4)*dv

Pour calculer r∈[r0,r[ (1/r4)*dv, on utilise la symétrie sphérique et on considère un élément dv égal au volume acquit par l'accroissement de la sphère passant du rayon r au rayon r+dr. La surface d'une sphère de rayon r est 4π*r2, le volume acquit lors d'un accroissement dr est dv = 4*π*r2*dr.

On intégre en partant du rayon r0 du Soleil jusqu'au rayon r de la position de Mercure.

r∈[r0,r[ (1/r4)*dv = r∈[r0,r[ (1/r4)*4*π*r2*dr
r∈[r0,r[ (1/r4)*dv = 4*π* r∈[r0,r[ (1/r2)*dr
r∈[r0,r[ (1/r4)*dv = 4*π* Ir∈[r0,r[ (-1/r)*dr
r∈[r0,r[ (1/r4)*dv = 4*π* (1/r0 - 1/r)

On néglige la masse du champ de gravité dans le Soleil que l'on peut considèrer comme faisant partie de la masse du Soleil. La masse du champ de gravité du Soleil est donc égale à :

M = (1/r0 - 1/r)*G*M2/(2*c2)

Force de gravité s'exerçant sur Mercure :

Force de gravité (modèle newtonien avec masse du champ de gravité)

f = G*(M+M)*m / r2

M = (1/r0 - 1/r)*G*M2/(2*c2)

f : Force de gravité
G : Constante des forces de gravité
c : Constante de la vitesse de la lumière
M : Masse du Soleil
M : Masse du champ de gravité du Soleil occupant la sphère de rayon r
m : Masse de Mercure
r : Distance Soleil-Mercure
r0 : Rayon du Soleil

Principe d'intertie :

Principe d'inertie (modèle newtonien)

f = m*dv/dt

f : Force de gravité s'exerçant sur Mercure
m : Masse de Mercure
v : Vitesse de Mercure
t : Temps

De ces deux principes, on déduit l'accélération de Mercure a = dv/dt. Cette accélération ne dépend pas de la masse m de Mercure mais seulement de la position r et de la masse du soleil M et s'applique donc à tout object se trouvant à la position r. Aussi, cela constitue un champ d'accéleration a, appelé également champ de gravité.

Champ de gravité (modèle newtonien avec masse du champ de gravité)

a = - (r / r) * G*(M+M) / r 2
M = (1/r0 - 1/r)*G*M2/(2*c2)

a = dv/dt

a : Accélération de Mercure
M : Masse du Soleil
M : Masse du champ de gravité du Soleil occupant la sphère de rayon r
G : Constante des forces de gravité
c : Constante de la vitesse de la lumière
r : Position de Mercure par rapport au Soleil
r : Distance Mercure-Soleil, r=||r||
r0
: Rayon du Soleil
v : Vitesse de Mercure
t : Temps

Programmenewton+M.c

 Le calcul ne change pas sauf pour la masse du Soleil qui n'est plus constante mais égale à :

M + M
avec M = (1/r0 - 1/r)*G*M2/(2*c2)

G = 6.6738e-11
M = 1.9891e30
r0 = 6.96342e8
c = 2.99792458e8
K = G*M*M/(2*c*c)
T= 1
N=2
r1.x = 6.9817079e10
r1.y = 0
v1.x = 0
v1.y = 3.886e4
t = 0
A=0
d1 = sqrt(r1.x*r1.x + r1.y*r1.y)
M1 = M + (1/r0 - 1/d1)*K
a1 = - G*M1*(r1 / d1) / d12
p = 0
Constante des forces de gravité
Masse du Soleil
Rayon du Soleil
Vitesse de la lumière
Constante servant au calcul de la masse du champ
Intervalle de temps d'une maille Δt=1
Nombre d'itération par maille N=2
Position initiale de Mercure à l'aphélie
...
...
...
Temps initial t=0
Mercure en phase de rapprochement du Soleil
Distance Soleil-Mercure
Masse du Soleil avec la masse de son champ de gravité
Accélération de Mercure
La pente est initialement posée égale à 0
Répéter
   |     Répéter N fois
   |        |     r2 = r1 + v1*T + a1*T*T/2 + p*T*T*T/6
   |        |     v2 = v1 + a1*T + p*T*T/2
   |        |     d2 = sqrt(r2.x*r2.x + r2.y*r2.y)
   |        |     M2 = M + (1/r0 - 1/d2)*K
   |        |     a2 = - G*M2*(r2 / d2) / (d2 * d2)
   |        |     p = (a2 - a1)/T
   |     fin
   |     Si (d2>d1 && A==0) Alors A=1
   |     Si (d2<d1 && A==1) Alors A=0 et Aphelie(t,r1,v1,a1,p)
   |     r1 = r2
   |     d1 = d2
   |     M1 = M2
   |     v1 = v2
   |     a1 = a2
   |     t = t + T
fin
Boucle indéfinie
   |    Répéter N fois de suites
   |       |    Position à l'intant t+Δt
   |       |    Vitesse à l'intant t+Δt
   |       |    Distance à l'intant t+Δt
   |       |    Masse du Soleil avec la masse de son champ de gravité
   |       |    Accélération à l'instant t+Δt.
   |       |    Pente de la maille [t, t+Δt].
   |      └---------------------------
   |    Si Mercure est au périhélie Alors A=1
   |    Si Mercure est à l'aphélie Alors A=0 et calculer l'aphélie
   |    Déplacement à l'instant t+Δt
   |    ...
   |    ...
   |    ...
   |    ...
   |    ...
  └---------------------------

Mesure de la précession :
En prenant un intervalle de temps Δt égal à une seconde et un nombre d'itération de 2 par maille, le modèle de Newton avec masse du champ de gravité donne une précession égale à 0.315 µ°/Ms.

 

9) Modèle en relativité restreinte

Principe d'inertie en relativité restreinte :

Principe d'inertie (en relativité restreinte)

f = dp/dt
p = m*Γ*v
Γ= 1 / sqrt(1- (v/c)2)


f : Force s'exerçant sur la particule
p : Quantité de mouvement de la particule
m : Masse de la particule au repos
Γ : Facteur gamma de la particule
v : Vitesse de la particule
v : Norme de la vitesse. v=||v||
c : Constante de la vitesse de la lumière
t : Temps

Le facteur gamma de la particule augmente son inertie. Le produit m*Γ est appelé masse relativiste de la particule, et la masse m est appelé masse au repos de la particule. L'énergie totale d'une particule en mouvement dans le vide est :

E = m*Γ*c2

C'est la célèbre formule d'Einstein ici appliquée à la masse relativiste. L' énergie totale au repos est :

E0 = m*c2

L'énergie totale d'une particule au repos doit constituer un invariant quelque soit le référentiel. De part la définition de Γ et d'après ces deux équations, nous avons les égalités suivantes :

E0 = E / Γ

E0 = E * sqrt(1 - (v/c)2)

E02 = E2 * (1 - (v/c)2)

E02 = E2 - (v/c)2*E2

E02 = E2 - (v/c)2 * (m*Γ*c2)2

E02 = E2 - (m*Γ*v*c)2

E02 = E2 - p2*c2

E0 = sqrt( E2 - p2*c2)

Et cela doit constituer un invariant de Lorentz. C'est à dire que, si nous changeons de référentiel, les valeurs de p et de E qui sont perçues différemment dans le nouveau référentiel p-->p', E-->E', doivent toujours vérifier l'égalité E0 = sqrt(E'2 - p'2*c'2).

Du principe d'inertie, on peut calculer l'accélération a = dv/dt en fonction de f et de v comme suit :

f = m * d(Γ*v)/dt
f = m * (v * dΓ/dt + Γ * dv/dt)
f = m * (v * dΓ/dt + Γ * a)

dΓ/dt = d((1 - v2/c2)-1/2)/dt
dΓ/dt = - (1/2) * (1 - v2/c2)-3/2 * d(1 - v2/c2)/dt
dΓ/dt = - (1/2) * (1 - v2/c2)-3/2 * (-1) * d(v2/c2)/dt
dΓ/dt = - (1/2) * Γ3 * (-1) * 2 * v•(dv/dt) / c2
dΓ/dt = Γ3 * va / c2


f
= m * (v * Γ3 * va / c2 + Γ * a)
f = m * Γ * (v * va * Γ2 / c2 + a)

On décompose l'accélération en une composante parallèle à v et une composante orthogonale complémentaire a = a// + a. On note v=||v|| et v2 = vv. Nous avons a// = av * v / v2. De même nous avons f = f// + f et f// = fv * v / v2.

f = m * Γ * (a// * v2 * Γ2 / c2 + a)

Et comme Γ2 * v2/ c2 = Γ2 - 1 nous avons :

f = m * Γ * (a//* (Γ2 - 1) + a)
f = m * Γ * (a//* Γ2 + a - a//)
f = m * Γ * (a//* Γ2 + a)

Ce qui se traduit par les égalités suivantes :

f// = m * Γ3 * a//
f
= m * Γ * a

a = a// + a
a
= f// / (m * Γ3) + f / (m * Γ)
a = (f// + f * Γ2) / (m * Γ3)
a = (f// + (f - f//)* Γ2) / (m * Γ3)
a = (f//*(1- Γ2) + f2) / (m * Γ3)

Et comme Γ2 * v2/ c2 = Γ2 - 1 nous avons :

a = (- f// * Γ2 * v2/ c2 + f2) / (m * Γ3)
a = (f2 - f// * Γ2 * v2/ c2 ) / (m * Γ3)
a = (f2 - f•v * v * Γ2 / c2 ) / (m * Γ3)
a = (f - fv * v / c2 ) / (m * Γ)

Le facteur gamma de la particule n'augmente pas seulement sa masse d'inertie m*Γ, mais également sa masse gravifique m*Γ, car il n'y a pas de différence entre masse d'inertie et masse gravifique. La masse relativiste de la particule m*Γ doit donc être prise en compte dans le calcul de la force de gravité :

Force de gravité s'exerçant sur Mercure :

Force de gravité (en relativité restreinte)

f = - (r / r) * G*M*m*Γ / r2


f : Force de gravité
G : Constante des forces de gravité
M : Masse du Soleil
m : Masse de Mercure
m*Γ : Masse relativiste de Mercure
r : Position de Mercure
r : Distance Soleil-Mercure r=||r||

Finalement la masse relativiste de Mercure m*Γ n'intervient pas dans le calcul de son accélération.

a = ((- (r / r) + (r / r)•v * v / c2) / (m*Γ)) * G*M*m*Γ / r2
a = ((rv * v / c2r) / r ) * G*M / r2

Du principe de la force de gravitation en relativité restreinte f = - (r / r) * G*M*m*Γ / r 2 et du principe d'inertie en relativité restreinte f = m*d(Γ*v)/dt, on en déduit l'accélération de Mercure.

Accélération de Mercure (en relativité restreinte)

a = ((rv * v / c2r) / r ) * G*M / r2

a = dv/dt

a : Accélération de Mercure
M : Masse du Soleil
m : masse de Mercure
G : Constante des forces de gravité
r : Position de Mercure
r : Distance Mercure-Soleil, r=||r||
v : Vitesse de Mercure
v : Norme de la vitesse de mercure, v=||v||
c
: Constante de la vitesse de la lumière
t : Temps

Programme : newton+r.c

 Le programme est le même que pour le modèle newtonien sauf pour le calcul de l'accéleration.

G = 6.6738e-11
c = 2.99792458e8
M = 1.9891e30
T = 1
N = 2
r1
.x = 6.9817079e10
r1.y = 0
v1.x = 0
v1.y = 3.886e4
t = 0
A=0
d1 = sqrt(r1.x*r1.x + r1.y*r1.y)
u1 = sqrt(v1.x*v1.x + v1.y*v1.y)
rv1 = r1.x*v1.x + r1.y*v1.y
a1
= ((rv1*v1/(c*c) - r1)/d1) * G * M / (d1*d1)
p = 0

Constante des forces de gravité
Constante de la vitesse de la lumière
Masse du Soleil
Intervalle de temps d'une maille Δt=1
Nombre d'itération par maille N=2
Position initale de Mercure à l'aphélie
...
...
...
Temps initial t=0
Mercure en phase de rapprochement du Soleil
Distance Soleil-Mercure
Vitesse de Mercure
Produit scalaire de la position et de la vitesse
Accélération de Mercure
La pente est initialement posée égale à 0
Répéter
   |     Répéter N fois
   |        |     r2 = r1 + v1*T + a1*T*T/2 + p*T*T*T/6
   |        |     v2 = v1 + a1*T + p*T*T/2
   |        |     d2= sqrt(r2.x*r2.x + r2.y*r2.y)
   |        |     u2 = sqrt(v2.x*v2.x + v2.y*v2.y)
   |        |     rv2 = r2.x*v2.x + r2.y*v2.y
   |        |     a2 = ((rv2*v2/(c*c) - r2)/d2) * G * M / (d2*d2)
   |        |     p = (a2 - a1)/T
   |     fin
   |     Si (d2>d1 && A==0) Alors A=1
   |     Si (d2<d1 && A==1) Alors A=0 et Aphelie(t,r1,v1,a1,p)
   |     r1 = r2
   |     v1 = v2
   |     d1 = d2
   |     u1 = u2
   |     rv1 = rv2
   |     a1 = a2
   |     t = t + T
fin
Boucle indéfinie
   |    Répéter N fois de suites
   |       |    Position à l'intant t+Δt
   |       |    Vitesse à l'intant t+Δt
   |       |    Distance à l'intant t+Δt
   |       |    Norme de la vitesse à l'instant t+Δt
   |       |    Produit scalaire de la position et de la vitesse à l'intant t+Δt
   |       |    Accélération à l'instant t+Δt.
   |       |    Pente de la maille [t, t+Δt].
   |      └---------------------------
   |    Si Mercure est au périhélie Alors A=1
   |    Si Mercure est à l'aphélie Alors A=0 et calculer l'aphélie
   |    Déplacement à l'instant t+Δt
   |    ...
   |    ...
   |    ...
   |    ...
   |    ...
   |    ...
  └---------------------------

Mesure de la précession :
En prenant un intervalle de temps Δt égal à une seconde et un nombre d'itération de 2 par maille, le modèle en relativité restreinte ainsi programmé donne une précession de 1.26 µ°/Ms (micro degré par Méga seconde).

Marie-Antoinette TONNELAT, "Les principes de la théorie électromagnétique et de la relativité", Masson et Cie 1959.
Rémi HAKIM , " Gravitation relativiste ", CNRS éditions 1994.

 

10) Modèle de translation semi-relativiste

La différence avec le modèle newtonien tient dans l'existence d'un temps propre aux référentiels en translation, et de l'interprétation naïve qui en est faite. Les référentiels en translations subissent un ralentissement de leur horloge, mais on néglige toutes les autres modifications de l'espace supposé rester galiléen.

Le facteur sqrt(1 - (v/c)2) intervient comme un rapport de proportionnalité de l'écoulement du temps. La valeur v représente la vitesse de translation. Le moyen mnémotechnique, pour se souvenir dans quel sens joue ce rapport, consiste à se placer dans le cas d'un photon. Le photon est une particule se déplaçant à la vitesse c et dont l'horloge interne est comme figé. Pour le photon, il est émit en même temps qu'il est absorbé. Aussi, les conditions d'émission du photon peuvent-elle être subordonnés aux conditions de réception du photon, bien que, perçu dans un autre référenciel, un laps de temps trés grand peut avoir lieu entre ces deux évènements.

Principe de l'écoulement du temps en translation semi-relativiste :

Temps propre à un référentiel en translation de vitesse v

dτ = dt * sqrt(1 - (v/c)2)

τ : Temps propre au référentiel en translation
t : Temps
v : Vitesse de translation du référentiel
c : Constante de la vitesse de la lumière

Principe naïf d'intertie soumis à un temps propre lié à la vitesse de translation du référentiel et où on néglige les autres modifications de l'espace supposé rester galiléen.

Principe naïf d'inertie soumis à un temps propre

f = m * dv/dτ

f
: Force s'exerçant sur Mercure
m : Masse de Mercure
v : Vitesse de Mercure
dv/dt : Accéleration de Mercure
dv/dτ : Accéleration de Mercure dans son référentiel en translation
t
: Temps
τ
: Temps propre au référentiel en translation lié à Mercure

De ces deux principes et de la force de gravitation newtonienne f = G*M*m / r2, on déduit l'accélération de Mercure :

a = dv/dt
a = (dv/dτ) * (dτ/dt)

a = (f / m) * sqrt(1 - (v/c)2)
a = (f / m*Γ)

Γ = 1/sqrt(1 - (v/c)2). Finalement la masse de Mercure n'intervient pas dans le calcul de son accélération. Le champ de gravité f / m s'applique à un réféentiel fixe, tandis que le champ de gravité f / (m*Γ) s'applique à un référentiel en translation de vitesse v.

Accélération de Mercure (modèle de translation semi-relativiste)

a = - sqrt(1 - (v/c)2) * (r / r) * G*M / r2

a : accélération de Mercure, a=dv/dt
M : masse du Soleil
G : Constante des forces de gravité
r : Position de Mercure
r : Distance Mercure-Soleil, r=|r|
v : Vitesse de Mercure
v : Norme de la vitesse de mercure, v=|v|
c : Constante de la vitesse de la lumière
t : Temps

Programmenewton+t.c

 Le programme est le même que pour le modèle newtonien sauf pour le calcul de l'accéleration qui est multipliée par le facteur suivant :

sqrt(1 - (v/c)2)

G = 6.6738e-11
c = 2.99792458e8
M = 1.9891e30
T= 1
N = 2
r1
.x = 6.9817079e10
r1.y = 0
v1.x = 0
v1.y = 3.886e4
t = 0
A=0
d1 = sqrt(r1.x*r1.x + r1.y*r1.y)
u1 = sqrt(v1.x*v1.x + v1.y*v1.y)
a1
= - sqrt(1-(u1/c)*(u1/c))*G*M*(r1 / d1) / (d1*d1)
p = 0
Constante des forces de gravité
Constante de la vitesse de la lumière
Masse du Soleil
Intervalle de temps d'une maille Δt=1
Nombre d'itération par maille N=2
Position initale de Mercure à l'aphélie
...
...
...
Temps initial t=0
Mercure en phase de rapprochement du Soleil
Distance Soleil-Mercure
Vitesse de Mercure
Accélération de Mercure
La pente est initialement posée égale à 0
Répéter
   |     Répéter N fois
   |        |     r2 = r1 + v1*T + a1*T*T/2 + p*T*T*T/6
   |        |     v2 = v1 + a1*T + p*T*T/2
   |        |     d2= sqrt(r2.x*r2.x + r2.y*r2.y)
   |        |     u2 = sqrt(v2.x*v2.x + v2.y*v2.y)
   |        |     a2 = - sqrt(1-(u2/c)*(u2/c))*G*M*(r2 / d2) / (d2 * d2)
   |        |     p = (a2 - a1)/T
   |     fin
   |     Si (d2>d1 && A==0) Alors A=1
   |     Si (d2<d1 && A==1) Alors A=0 et Aphelie(t,r1,v1,a1,p)
   |     r1 = r2
   |     d1 = d2
   |     v1 = v2
   |     u1 = u2
   |     a1 = a2
   |     t = t + T
fin
Boucle indéfinie
   |    Répéter N fois de suites
   |       |    Position à l'intant t+Δt
   |       |    Vitesse à l'intant t+Δt
   |       |    Distance à l'intant t+Δt
   |       |    Norme de la vitesse à l'instant t+Δt
   |       |    Accélération à l'instant t+Δt.
   |       |    Pente de la maille [t, t+Δt].
   |      └---------------------------
   |    Si Mercure est au périhélie Alors A=1
   |    Si Mercure est à l'aphélie Alors A=0 et calculer l'aphélie
   |    Déplacement à l'instant t+Δt
   |    ...
   |    ...
   |    ...
   |    ...
   |    ...
  └---------------------------

Mesure de la précession :
En prenant un intervalle de temps Δt égal à une seconde et un nombre d'itération de 2 par maille, le modèle de translation semi-relativiste donne une précession de 0,63 µ°/Ms (micro degré par Méga seconde).

 

11) Modèle de potentiel semi-relativiste

La différence avec le modèle newtonien tient dans l'existence d'un temps propre lié au lieu, fonction du potentiel de gravité, et de son implentation simple dans le calcul de l'inertie en négligeant les autres modifications de l'espace supposé rester galiléen.

Le potentiel de gravité est définie par :

P = - G * Σ(mi / ri)

C'est la sommation des potentiels émanant de toutes les particules de masse mi chacune placée à une distance ri du point de mesure. Le principe liant le potentiel de gravité à l'écoulement du temps se base sur une analogie liant l'horloge au photon. A cause du décalage vers le rouge, les horloges sur un astre massif, vues de loin, sont perçues comme ralenties.

Le potentiel est défini à une constante près. On pose arbitrairement cette constante de telle sorte que le potentiel de gravité de l'observateur soit nul.

Etant donné deux points de potentiel respectifs P et zéro, étant donné un photon passant par ces deux points, de fréquence ν au premier point, et de fréquence ν0 au second point. Au premier point, l'énergie du photon est h*ν, la masse du photon est h*ν/c2, l'énergie potentiel du photon est P*h*ν/c2. L'énergie totale est conservée : h*ν + P*h*ν/c2 = h*ν0 et donc h*ν(1 + P/c2) = h*ν0 et donc ν/ν0 = 1 + P/c2 et comme on pose l'analogie entre les horloges et les photons, nous avons dτ/dt = ν/ν0 et donc nous avons = dt * (1+P/c2).

Principe de l'écoulement du temps en potentiel semi-relativiste :

Temps propre du lieu soumi à un potentiel P

dτ = dt * (1 + P/c2)
P = - G * M / r

τ : Temps propre du lieu
t : Temps
P : Potentiel de gravité du lieu
c : Constante de la vitesse de la lumière

Le potentiel de gravité engendré par Mercure à sa surface étant 100 fois plus petit que celui engendré par le Soleil, il est négligé.

Principe naïf d'intertie soumis à un temps propre lié au lieu et où on néglige les autres modifications de l'espace supposé rester galiléen.

Principe naïf d'inertie soumis à un temps propre

f = m * dv/dτ

f
: Force s'exerçant sur Mercure
m : Masse de Mercure
v : Vitesse de Mercure
dv/dt : Accéleration de Mercure
dv/dτ : Accéleration de Mercure dans le référentiel lié au lieu
t
: Temps
τ
: Temps propre au référentiel lié au lieu

De ce principe, du principe d'inertie soumis à un temps propre lié au lieu dans lequel on néglige les autres modifications de l'espace supposé rester galiléen, et de la force de gravitation newtonienne f = G*M*m / r2, on déduit l'accélération de Mercure.

a = dv/dt
a = (dv/dτ) * (dτ/dt)

a = (1+P/c2) * f / m

Accélération de Mercure (modèle de potentiel semi-relativiste)

a = - (1+P/c2) * (r / r) * G*M / r 2
P = - G*M / r

a : accélération de Mercure, a=dv/dt
M : masse du Soleil
G : Constante des forces de gravité
r : Position de Mercure
r : Distance Mercure-Soleil, r=|r|
v: Vitesse de Mercure
P : Potentiel de gravité du lieu ou se trouve Mercure
c : Constante de la vitesse de la lumière
t : Temps

Programmenewton+p.c

Le programme est le même que pour le modèle newtonien sauf pour le calcul de l'accéleration qui est multiliée par le facteur suivant :

(1 + P/c2)
avec P = - G * M / r

G = 6.6738e-11
c = 2.99792458e8
M = 1.9891e30
T= 1
N=2
r1
.x = 6.9817079e10
r1.y = 0
v1.x = 0
v1.y = 3.886e4
t = 0
A=0
d1 = sqrt(r1.x*r1.x + r1.y*r1.y)
P1 = - G*M/d1
a1
= - (1+P1/(c*c))*G*M*(r1 / d1) / (d1*d1)
p = 0
Constante des forces de gravité
Constante de la vitesse de la lumière
Masse du Soleil
Intervalle de temps d'une maille Δt=1
Nombre d'itération par maille N=2
Position initale de Mercure à l'aphélie
...
...
...
Temps initial t=0
Mercure en phase de rapprochement Soleil
Distance Soleil-Mercure
Potentiel de gravité
Accélération de Mercure
La pente est initialement posée égale à 0
Répéter
   |     Répéter N fois
   |        |     r2 = r1 + v1*T + a1*T*T/2 + p*T*T*T/6
   |        |     v2 = v1 + a1*T + p*T*T/2
   |        |     d2 = sqrt(r2.x*r2.x + r2.y*r2.y)
   |        |     P2 = - G*M/d2
   |        |     a2 = - (1+P1/(c*c))*G*M*(r2 / d2) / (d2 * d2)
   |        |     p = (a2 - a1)/T
   |     fin
   |     Si (d2>d1 && A==0) Alors A=1
   |     Si (d2<d1 && A==1) Alors A=0 et Aphelie(t,r1,v1,a1,p)
   |     r1 = r2
   |     d1 = d2
   |     v1 = v2
   |     P1 = P2
   |     a1 = a2
   |     t = t + T
fin
Boucle indéfinie
   |    Répéter N fois de suites
   |       |    Position à l'intant t+Δt
   |       |    Vitesse à l'intant t+Δt
   |       |    Distance à l'intant t+Δt
   |       |    Potentiel de gravité à l'intant t+Δt
   |       |    Accélération à l'instant t+Δt.
   |       |    Pente de la maille [t, t+Δt].
   |      └-------------------------------------
   |    Si Mercure est au périhélie Alors A=1
   |    Si Mercure est à l'aphélie Alors A=0 et calculer l'aphélie
   |    Déplacement à l'instant t+Δt
   |    ...
   |    ...
   |    ...
   |    ...
   |    ...
  └---------------------------

Mesure de la précession :
En prenant un intervalle de temps Δt égal à une seconde et un nombre d'itération de 2 par maille, le modèle de potentiel semi-relativiste donne une précession encore égale à 0,63 µ°/Ms.

 

12) Modèle cumulé de translation et potentiel semi-relativistes

Principe de l'écoulement du temps en translation et potentiel semi-relativiste :

Temps propre dépendant du potentiel P et de la translation v

dτ = dt * (1+P/c2) * sqrt(1 - (v/c)2)
P = - G*M / r

τ : Temps propre au référentiel soumis à un potentiel de gravité et à une translation
t : Temps
P : Potentiel de gravité du lieu
v : Vitesse de translation
c : Constante de la vitesse de la lumière

Le potentiel de gravité engendré par Mecure à sa surface étant 100 fois plus petit que celui engendré par le Soleil, il est négligé.

De ce principe, du principe d'inertie soumis à un temps propre dans lequel on néglige les autres modifications de l'espace supposé rester galiléen, de la force de gravitation newtonienne f = G*M*m / r2, on déduit l'accélération de Mercure.

a = dv/dt
a = (dv/dτ) * (dτ/dt)

a = (1+P/c2) * sqrt(1 - (v/c)2) * f / m

Accélération de Mercure (modèle cumulé de translation et potentiel semi-relativistes)

a = - (1+P/c2) * sqrt(1 - (v/c)2) * (r / r) * G*M / r 2
P = - G*M / r

a : accélération de Mercure, a=dv/dt
M : masse du Soleil
G : Constante des forces de gravité
r : Position de Mercure
r : Distance Mercure-Soleil, r=|r|
v: Vitesse de Mercure
v : Norme de la vitesse de mercure, v =|v|
P : Potentiel de gravité au lieu où se trouve Mercure
c : Constante de la vitesse de la lumière
t : Temps

Programme : newton+p+t.c

Le programme est le même que pour le modèle newtonien sauf pour le calcul de l'accéleration qui est multipliée par le facteur suivant :

(1+P/c2) * sqrt(1 - (v/c)2)
avec P = - G * M / r

G = 6.6738e-11
c = 2.99792458e8
M = 1.9891e30
T= 1
N=2
r1
.x = 6.9817079e10
r1.y = 0
v1.x = 0
v1.y = 3.886e4
t = 0
A=0
d1 = sqrt(r1.x*r1.x + r1.y*r1.y)
P1 = - G*M/d1
a1
= - (1+P1/(c*c))*sqrt(1-(u1/c)*(u1/c))*G*M*(r1 / d1) / (d1*d1)
p = 0
Constante des forces de gravité
Constante de la vitesse de la lumière
Masse du Soleil
Intervalle de temps d'une maille Δt=1
Nombre d'itération par maille N=2
Position initale de Mercure à l'aphélie
...
...
...
Temps initial t=0
Mercure en phase de rapprochement du Soleil
Distance Soleil-Mercure
Potentiel de gravité
Accélération de Mercure
La pente est initialement posée égale à 0
Répéter
   |     Répéter N fois
   |        |     r2 = r1 + v1*T + a1*T*T/2 + p*T*T*T/6
   |        |     v2 = v1 + a1*T + p*T*T/2
   |        |     d2= sqrt(r2.x*r2.x + r2.y*r2.y)
   |        |     u2 = sqrt(v2.x*v2.x + v2.y*v2.y)
   |        |     P2 = - G*M/d2
   |        |     a2 = - (1+P1/(c*c))*sqrt(1-(u1/c)*(u1/c))*G*M*(r2 / d2) / (d2 * d2)
   |        |     p = (a2 - a1)/T
   |     fin
   |     Si (d2>d1 && A==0) Alors A=1
   |     Si (d2<d1 && A==1) Alors A=0 et Aphelie(t,r1,v1,a1,p)
   |     r1 = r2
   |     d1 = d2
   |     v1 = v2
   |     u1 = u2
   |     P1 = P2
   |     a1 = a2
   |     t = t + T
fin
Boucle indéfinie
   |    Répéter N fois de suites
   |       |    Position à l'intant t+Δt
   |       |    V itesse à l'intant t+Δt
   |       |    Distance à l'intant t+Δt
   |       |    Norme de la vitesse à l'instant t+Δt
   |       |    Potentiel de gravité à l'intant t+Δt
   |       |    Accélération à l'instant t+Δt.
   |       |    Pente de la maille [t, t+Δt].
   |      └---------------------------
   |    Si Mercure est au périhélie Alors A=1
   |    Si Mercure est à l'aphélie Alors A=0 et calculer l'aphélie
   |    Déplacement à l'instant t+Δt
   |    ...
   |    ...
   |    ...
   |    ...
   |    ...
   |    ...
  └---------------------------

Mesure de la précession :
En prenant un intervalle de temps Δt égal à une seconde et un nombre d'itération de 2 par maille, le modèle cumulé de translation et de potentiel semi-relativiste donne une précession égale à 1,26 µ°/Ms, soit exactement la somme des deux effets pris séparément, et soit exactement l'effet calculé dans le modèle de relativité restreinte.

Cela laisse penser que le modèle en relativité restreinte pourrait être très similaire au modèle cumulé de translation et potentiel semi-relativiste.

 

---- 14 mars 2015 ----

 

 

 

 

 

 

13) Modèle cumulé de relativité restreinte et tenant compte de la masse du champ.

 

 

Le potentiel de gravité, P, est calculer à partir de la masse M du Soleil et en tenant compte de la masse du champ de gravité du Soleil qui génère un second champ de gravité s'ajoutant au premier.

Le champ de gravité est :

a = - (r / r) * G*(M+M) / r 2
M = (1/r0 - 1/r)*G*M2/(2*c2)

Le champ dérivant du potentiel, on obtient le potentiel en intégrant le champ.

a = G*(M+M) / r 2
a = G*M / r 2+ G*M / r 2
a = G*M / r 2+ (G*(1/r0 - 1/r)*G*M2/(2*c2)) / r 2
a = G*M / r 2+ G2*M2 / (2*c2*r0*r 2) - G2*M2 / (2*c2*r3)
a = (1 / r 2)*G*M + (1 / r 2)*G2*M2 / (2*c2*r0) - (1/r3) * G2*M2 / (2*c2)

P = r∈[r0,r[ a*dr
P = ( r∈[r0,r[ dr / r 2 ) * G*M + ( r∈[r0,r[ dr / r 2 ) * G2*M2 / (2*c2*r0)   -  ( r∈[r0,r[ dr / r3) * G2*M2 / (2*c2)
P = ( Ir∈[r0,r[ - 1 / r ) * G*M + ( Ir∈[r0,r[ - 1 / r ) * G2*M2 / (2*c2*r0)   -  ( Ir∈[r0,r[ - 1 /(2*r2) ) * G2*M2 / (2*c2)

P = (1/r0 -1/r) * G*M + (1/r0 -1/r) * G2*M2 / (2*c2*r0)  - (1 / r02 - 1 / r2) * G2*M2 / (4*c2)

P = (1/r0 - 1/r) * (G*M + G*K/(2*r0)) - (1/r02 - 1/r2)*G*K/4  avec  K = G*M2/c2

P = (1/r0 - 1/r) * G * ( M + K/(2*r0) - (1/r02 - 1/r2)*K/4 )

Principe de l'écoulement du temps en translation et potentiel semi-relativiste :

Temps propre au lieu soumi à un potentiel P et subissant une translation v

dτ = dt * (1+P/c2) * sqrt(1 - (v/c)2)
P = (1/r0 - 1/r) * G * ( M + K/(2*r0) - (1/r02 - 1/r2)*K/4 )
K = G*M2/c2

τ : Temps propre au référentiel en translation et au potentiel P
t : Temps
P : Potentiel de gravité du lieu
v : Vitesse de translation
c : Constante de la vitesse de la lumière

De ce principe, du principe d'inertie soumis à un temps propre dans lequel on néglige les autres modifications de l'espace supposé rester galiléen, de la force de gravitation tenant compte de la masse du champ du Soleil, on déduit l'accélération de Mercure.

Accélération de Mercure (Modèle combiné de translation et potentiel semi-relativiste)

a = - (1+P/c2) * sqrt(1 - (v/c)2) * (r / r) * G*(M+M) / r 2
M = (1/r0 - 1/r)*G*M2/(2*c2)
P = (1/r0 - 1/r) * G * ( M + K/(2*r0) - (1/r02 - 1/r2)*K/4 )
K = G*M2/c2

a : accélération de Mercure, a=dv/dt
M : masse du Soleil
M : Masse du champ de gravité du Soleil
G : Constante des forces de gravité
r : Position de Mercure
r : Distance Mercure-Soleil, r=|r|
r0 : Rayon du Soleil
v: Vitesse de Mercure
v : Norme de la vitesse de mercure, v =|v|
P : Potentiel de gravité au lieu où se trouve Mercure
c : Constante de la vitesse de la lumière
t : Temps

Programme : newton+p+t+M.c

Le programme est le même que pour le modèle newtonien sauf pour le calcul de la masse du soleil qui n'est plus constante mais égale à :

M + M avec M = + (1/r0 - 1/r)*G*M2/(2*c2)

et l'accéleration est multipliée par le facteur suivant :

(1+P/c2) * sqrt(1 - (v/c)2) avec P = (1/r0 -1/r) * (G*M + G2*M2 / (2*c2*r0) )  -   (1 / r02 - 1 / r2) * G2*M2 / (4*c2)

G = 6.6738e-11
M = 1.9891e30
r0 = 6.96342e8
c = 2.99792458e8
K = G*M*M/(2*c*c)
Afficher le point (0,0)
T= 1
N=3
r1
.x = 6.9817079e10
r1.y = 0
v1.x = 0
v1.y = 3.886e4
t = 0
A=0
d1 = sqrt(r1.x*r1.x + r1.y*r1.y)
M1 = M + (1/r0 - 1/d1)*K
P1 = (1/r0 - 1/r) * (G*M + G*K/r0) - (1/r02 - 1/r2)*G*K/2
a1
= - (1+P1/(c*c))*sqrt(1-(u1/c)*(u1/c))*G*M*(r1 / d1) / (d1*d1)
p = 0

Constante des forces de gravité
Masse du Soleil
Rayon du Soleil
Vitesse de la lumière
Constante servant au calcul de la masse du champ
Affiche la position du Soleil
Intervalle de temps d'une maille Δt=1
Nombre d'itération par maille N=3
Position initale de Mercure à l'aphélie
...
...
...
Temps initial t=0
Mercure en phase de rapprochement du Soleil
Distance Soleil-Mercure
Masse du Soleil avec la masse de son champ de gravité
Potentiel de gravité
Accélération de Mercure
La pente est initialement posée égale à 0

Répéter
   |     Afficher le point r1
   |     Répéter N fois
   |        |     r2 = r1 + v1*T + a1*T*T/2 + p*T*T*T/6
   |        |     v2 = v1 + a1*T + p*T*T/2
   |        |     d2= sqrt(r2.x*r2.x + r2.y*r2.y)
   |        |     u2 = sqrt(v2.x*v2.x + v2.y*v2.y)
   |        |     M2 = M + (1/r0 - 1/d2)*K
   |        |     P2 = - G*M2/d2
   |        |     a2 = - (1+P2/(c*c))*sqrt(1-(u1/c)*(u1/c))*G*M2*(r2 / d2) / (d2 * d2)
   |        |     p = (a2 - a1)/T
   |     fin
   |     Si (d2>d1 && A==0) Alors A=1
   |     Si (d2<d1 && A==1) Alors A=0 et Aphelie(t,r1,v1,a1,p)
   |     r1 = r2
   |     d1 = d2
   |     M1 = M2
   |     v1 = v2
   |     u1 = u2
   |     P1 = P2
   |     a1 = a2
   |     t = t + T
fin
Boucle indéfinie
   |    Affiche la position de Mercure
   |    Calcul répété N fois de suites
   |       |    Position à l'intant t+Δt
   |       |    V itesse à l'intant t+Δt
   |       |    Distance à l'intant t+Δt
   |       |    Norme de la vitesse à l'instant t+Δt
   |       |    Potentiel de gravité à l'intant t+Δt
   |       |    Accélération à l'instant t+Δt.
   |       |    Pente de la maille [t, t+Δt].
   |      └---------------------------
   |    Si Mercure est au périhélie Alors A=1
   |    Si Mercure est à l'aphélie Alors A=0 et calculer l'aphélie
   |    Déplacement à l'instant t+Δt
   |    ...
   |    ...
   |    ...
   |    ...
   |    ...
   |    ...
   |    t := t + Δt
  └---------------------------

 

14) Modèle cumulé de translation semi-relativiste, de potentiel semi-relativiste et tenant compte de la masse du champ

Le potentiel de gravité, P, est calculer à partir de la masse M du Soleil et en tenant compte de la masse du champ de gravité du Soleil qui génère un second champ de gravité s'ajoutant au premier.

Le champ de gravité est :

a = - (r / r) * G*(M+M) / r 2
M = (1/r0 - 1/r)*G*M2/(2*c2)

Le champ dérivant du potentiel, on obtient le potentiel en intégrant le champ.

a = G*(M+M) / r 2
a = G*M / r 2+ G*M / r 2
a = G*M / r 2+ (G*(1/r0 - 1/r)*G*M2/(2*c2)) / r 2
a = G*M / r 2+ G2*M2 / (2*c2*r0*r 2) - G2*M2 / (2*c2*r3)
a = (1 / r 2)*G*M + (1 / r 2)*G2*M2 / (2*c2*r0) - (1/r3) * G2*M2 / (2*c2)

P = r∈[r0,r[ a*dr
P = ( r∈[r0,r[ dr / r 2 ) * G*M + ( r∈[r0,r[ dr / r 2 ) * G2*M2 / (2*c2*r0)   -  ( r∈[r0,r[ dr / r3) * G2*M2 / (2*c2)
P = ( Ir∈[r0,r[ - 1 / r ) * G*M + ( Ir∈[r0,r[ - 1 / r ) * G2*M2 / (2*c2*r0)   -  ( Ir∈[r0,r[ - 1 /(2*r2) ) * G2*M2 / (2*c2)

P = (1/r0 -1/r) * G*M + (1/r0 -1/r) * G2*M2 / (2*c2*r0)  - (1 / r02 - 1 / r2) * G2*M2 / (4*c2)

Principe de l'écoulement du temps en translation semi-relativiste et potentiel semi-relativiste :

Temps propre au lieu soumi à un potentiel P et subissant une translation v

dτ = dt * (1+P/c2) * sqrt(1 - (v/c)2)
P = (1/r0 -1/r) * (G*M + G2*M2 / (2*c2*r0) )  -   (1 / r02 - 1 / r2) * G2*M2 / (4*c2)

τ : Temps propre au référentiel en translation et au potentiel P
t : Temps
P : Potentiel de gravité du lieu
v : Vitesse de translation
c : Constante de la vitesse de la lumière

De ce principe, du principe d'inertie soumis à un temps propre dans lequel on néglige les autres modifications de l'espace supposé rester galiléen, de la force de gravitation tenant compte de la masse du champ du Soleil, on déduit l'accélération de Mercure.

Accélération de Mercure (Modèle combiné de translation et potentiel semi-relativiste)

a = - (1+P/c2) * sqrt(1 - (v/c)2) * (r / r) * G*(M+M) / r 2
M = (1/r0 - 1/r)*G*M2/(2*c2)
P = (1/r0 -1/r) * (G*M + G2*M2 / (2*c2*r0) )  -   (1 / r02 - 1 / r2) * G2*M2 / (4*c2)

a : accélération de Mercure, a=dv/dt
M : masse du Soleil
M : Masse du champ de gravité du Soleil
G : Constante des forces de gravité
r : Position de Mercure
r : Distance Mercure-Soleil, r=|r|
r0 : Rayon du Soleil
v: Vitesse de Mercure
v : Norme de la vitesse de mercure, v =|v|
P : Potentiel de gravité au lieu où se trouve Mercure
c : Constante de la vitesse de la lumière
t : Temps

Programme : newton+p+t+M.c

Le programme est le même que pour le modèle newtonien sauf pour le calcul de la masse du soleil qui n'est plus constante mais égale à :

M + M
avec M = + (1/r0 - 1/r)*G*M2/(2*c2)

et l'accéleration est multipliée par le facteur suivant :

(1+P/c2) * sqrt(1 - (v/c)2)
avec P = (1/r0 -1/r) * (G*M + G2*M2 / (2*c2*r0) )  -   (1 / r02 - 1 / r2) * G2*M2 / (4*c2)

G = 6.6738e-11
M = 1.9891e30
r0 = 6.96342e8
c = 2.99792458e8
K = G*M*M/(2*c*c)
T= 1
N=3
r1
.x = 6.9817079e10
r1.y = 0
v1.x = 0
v1.y = 3.886e4
t = 0
A=0
d1 = sqrt(r1.x*r1.x + r1.y*r1.y)
M1 = M + (1/r0 - 1/d1)*K
P1 = (1/r0 - 1/r) * (G*M + G*K/r0) - (1/r02 - 1/r2)*G*K/2
a1
= - (1+P1/(c*c))*sqrt(1-(u1/c)*(u1/c))*G*M*(r1 / d1) / (d1*d1)
p = 0

Constante des forces de gravité
Masse du Soleil
Rayon du Soleil
Vitesse de la lumière
Constante servant au calcul de la masse du champ
Intervalle de temps d'une maille Δt=1
Nombre d'itération par maille N=3
Position initale de Mercure à l'aphélie
...
...
...
Temps initial t=0
Mercure en phase de rapprochement du Soleil
Distance Soleil-Mercure
Masse du Soleil avec la masse de son champ de gravité
Potentiel de gravité
Accélération de Mercure
La pente est initialement posée égale à 0

Répéter
   |     Afficher le point r1
   |     Répéter N fois
   |        |     r2 = r1 + v1*T + a1*T*T/2 + p*T*T*T/6
   |        |     v2 = v1 + a1*T + p*T*T/2
   |        |     d2= sqrt(r2.x*r2.x + r2.y*r2.y)
   |        |     u2 = sqrt(v2.x*v2.x + v2.y*v2.y)
   |        |     M2 = M + (1/r0 - 1/d2)*K
   |        |     P2 = - G*M2/d2
   |        |     a2 = - (1+P2/(c*c))*sqrt(1-(u1/c)*(u1/c))*G*M2*(r2 / d2) / (d2 * d2)
   |        |     p = (a2 - a1)/T
   |     fin
   |     Si (d2>d1 && A==0) Alors A=1
   |     Si (d2<d1 && A==1) Alors A=0 et Aphelie(t,r1,v1,a1,p)
   |     r1 = r2
   |     d1 = d2
   |     M1 = M2
   |     v1 = v2
   |     u1 = u2
   |     P1 = P2
   |     a1 = a2
   |     t = t + T
fin
Boucle indéfinie
   |    Affiche la position de Mercure
   |    Calcul répété N fois de suites
   |       |    Position à l'intant t+Δt
   |       |    V itesse à l'intant t+Δt
   |       |    Distance à l'intant t+Δt
   |       |    Norme de la vitesse à l'instant t+Δt
   |       |    Potentiel de gravité à l'intant t+Δt
   |       |    Accélération à l'instant t+Δt.
   |       |    Pente de la maille [t, t+Δt].
   |      └---------------------------
   |    Si Mercure est au périhélie Alors A=1
   |    Si Mercure est à l'aphélie Alors A=0 et calculer l'aphélie
   |    Déplacement à l'instant t+Δt
   |    ...
   |    ...
   |    ...
   |    ...
   |    ...
   |    ...
   |    t := t + Δt
  └---------------------------

 

---- 31 mars 2014 ----

 

 

Marie-Antoinette TONNELAT, "Les principes de la théorie électromagnétique et de la relativité", Masson et Cie 1959.
Rémi HAKIM , " Gravitation relativiste ", CNRS éditions 1994.

D. Mabboux-Stromberg (2013)

 

 

Dans le cas d'une distribution des masses selon une symétrie sphérique, la loi de Gauss affirme que la force résultante au point de hauteur r est exactement égale à la force qu'exercerait sur ce point une masse centrale regroupant toute les masses comprises dans la sphère centrée de rayon r. (Principe de concervation du flux). Cela signifie aussi que les masses à l'exterieur de la sphère de rayon r engendre des forces qui s'annulent et que parconséquent le potentiel de gravité qu'ils engendrent est constant à l'interieur de la sphère de rayon r. (La force dérive du potentiel).

La différence avec le modèle newtonien tient dans le fait que un référentiels se déplaçant à une vitesse v subit une contraction du temps d'un facteur sqrt(1-(v/c)2), et une contraction des longueurs dans le sens de la vitesse de déplacement d'un même facteur sqrt(1- (v/c)2).

.../...

En relativité restreinte, les positions, les vitesses, et les forces s'expriment toujours relativement à un référentiel en translation, sous forme de quadrivecteurs que sont, le quadrivecteur position-temps, le quadrivecteur vitesse ou impulsion-énergie et le tenseur force-champ. Et pour changer de référentiel, on applique une transformation de Lorentz à ces quadrivecteurs. Si la force dérive d'un potentiel et est porté par un champ se déplaçant à la vitesse de la lumière c, alors ce champ obéït aux équations de Maxwell et se comporte donc de façon analogue à un champ électromagnétique.

.../...

f// = fv * v / v2
f = f - fv * v / v2

m * Γ3 * a// = fv * v / v2
m * Γ * a = f - fv * v / v2

a// = fv * v / (m * Γ3 * v2)
a = (f * v2- fv * v ) / (m * Γ * v2)

a = a// + a
a = fv * v / (m * Γ3 * v2) + (f * v2- fv * v) / (m * Γ * v2)
a = (fv * v + Γ2 * f * v2 - Γ2 * fv * v) / (m * Γ3 * v2)
a = (Γ2 * f * v2 - (Γ2 - 1)* fv * v) / (m * Γ3 * v2)
a = (Γ2 * f * v2 - Γ2 * v2 * fv * v / c2) / (m * Γ3 * v2)
a = (Γ2 * f - Γ2 * fv * v / c2) / (m * Γ3 )
a = (f - fv * v / c2) / (m * Γ)

 

newton+t.c

Masse du Soleil et période de révolution de Mercure :
Pour une masse du Soleil de 1.98866*1030 Kg le calcul donne une duré de révolution de 7.600550 Ms.