Modèle corpusculaire avec effet retardé

1) Introduction

Une charge électrique soumise à une accélération émet un champ électromagnétique. D'un point de vue quantique et relativiste, l'émission électromagnétique passe par l'émission de photons. Et le photon constitue la particule la plus simple connue ayant une masse propre nulle et se déplaçant à la vitesse de la lumière. Le temps propre du photon est figé, c'est à dire que pour lui, il est émit en même temps qu'il est absorbé, faisant que les causes de son émission peuvent dépendre des conditions de son absorption, bien que pour un autre référentiel un laps de temps important peut séparer ces deux évènements. On peut donc supposer qu'un photon n'est émit que s'il est absorbé et, qu'en écartant cet évènement, aucune émission ne peut se produire. On peut donc supposer qu'une charge électrique puisse être soumise à une accélération sans émettre d'onde électromagnétique. Tout semble se passer comme si une onde électromagnétique venait s'ajouter pour annuler l'émission en cours tel une interférence annihilante dans un jeu de miroir faisant que seul le champ électromagnétique directement émis et non auto-entretenu agit.

On construit un modèle corpusculaire basé sur l'effet retardé, en faisant le moins d'hypothèses possibles sur la dynamique. On part de 4 principes : un principe de causalité, un principe de finitude, un principe d'inertie et un principe de relativité :

1- Le principe de causalité affirme que tout effet est produit par une cause. Pour qu'un évènement ponctuel A influe un évènement ponctuel B, il est nécessaire qu'une information soit partie de A pour aller en B. On dit alors qu'il y a connaissance. Cet échange d'information qui joue un rôle déterminant est appelé le processus causal. Ce processus met en oeuvre un circuit de l'information partant des causes et allant sur les effets.

On complète ce principe en spécifiant que l'information ne circule pas à une vitesse infinie, mais à une vitesse particulière qui est une constante fondamentale de la loi et qui correspond à la vitesse de la lumière. L'effet est ainsi retardé. Quelque soit le système en translation uniforme où nous nous trouvons, la loi s'applique pareillement, le retard entre la cause et l'effet se détermine de la même façon et la vitesse de la lumière est la même.

2- Le principe de finitude affirme que toutes quantités d'information est nécessairement finies.

On ne peut pas diviser la matière indéfiniment sans à un moment donné, en changer sa nature. Et c'est en optant pour cette thèse que les grecs ont défini abstraitement l'atome il y a près de 2500 ans. Ils ont ainsi posé le principe de finitude du nombre d'atomes d'un système physique. Ce principe de finitude se généralise à l'information. Tout échange d'information est de quantité finie. L'état d'un système physique est une quantité d'information finie. Ce principe est nécessaire pour pouvoir remplacer la cause par le calcul.

On complète ce principe en précisant la nature infiniment dérivable de la position des particules. On affirme que toutes les grandeurs de position sont indéfiniment dérivable selon le temps et que leurs séries de Taylor convergent en toute valeur du temps. Le théorème de l'échantillonnage d'un signal, démontré par C.E. Shannon, constitue un premier pas pour assurer dans ce cas la présence d'une quantité d'information finie lorsque le spectre de fréquence est borné.

3- Le principe d'inertie affirme qu'un système ne subissant aucune interaction extérieure est en translation uniforme. Cela correspond au principe de conservation de la quantité de mouvement. Ce principe désigne une classe de mouvements privilégiés que sont les translations uniformes et qui seront définies intrinsèquement dans l'espace sous la forme de référentiel. Un référentiel est un système en translation uniforme.

4- Le principe de relativité affirme qu'il n'y a pas de référentiel absolu et que les lois sont les mêmes dans tous les référentiels (systèmes en translation uniforme). Pour bien appliquer ce principe, il faut définir précisément ce qu'est un référentiel. Un référentiel est la situation propre où un observateur imaginaire fantomatique, c'est à dire en dehors de toute interaction, peut se trouver. Le référentiel porte l'information nécessaire pour trancher, sous forme de choix, toutes les symétries existantes de l'univers, et détermine ainsi totalement la situation subjective propre d'un observateur.

La loi est la même dans chaque référentiel. On sépare ce qui est propre à la loi et ce qui est propre au système physique, c'est à dire les variables globales propre à la loi appelées constantes universelles, et les variables propres au système physique appelées variables d'état du système. Les constantes universelles sont inchangées par changement de référentiel, ce qui n'est pas le cas pour les variables d'état du système à l'exception des attributs invariants du système dont seul le signe dépend par symétrie des signes des attributs invariants de l'observateur.

L'hypothèse première semble bien être l'invariance de la vitesse de la lumière dans tous les systèmes en translation uniforme.

Les transformations de référentiel les plus simples satisfaisant à la fois cette hypothèse et la condition de coïncider aux transformations galiléennes lorsque les vitesses de translation deviennent trés faible devant la vitesse de la lumière, sont les transformations de Lorentz. C'est pourquoi la seconde hypothèse que nous faisons est le choix de ces transformations de Lorentz. C'est le choix de la cinématique relativiste. Et c'est par là que nous commençons notre modèle.

Puis on suppose que les particules subissent une accélération qui est fonction que des seuls paramètres suivants : Les attributs invariants mi, qi, si..., la position ri, la vitesse vi et l'accélération ai, de chaque particule numéro i présente à l'instant retardé du temps de propagation de la lumière vis-à-vis du récepteur. On s'arrète à l'accélération car le modèle de calcul approché choisie et qui a déjà donné ses preuves de pertinence, s'articule sur ces trois attributs variants, la pente d'accèlération étant considéré fixe sur des intervalles de temps arbitrairement petits.

Mais toutes ces lois ne sont pas cohérentes, seul les lois invariantes par transformation de Lorentz pourront être retenues.

Nous avons délibérément écarter toute discussion sur la dynamique à l'exception du principe d'inertie qui définie la notion de référentiel en translation uniforme. Et nous n'avons pas retenue d'attribut variant autre que la position, la vitesse et l' accélération qui sont les attributs variants utilisées dans notre modèle.

Par symétrie du temps, on peut concevoir un même modèle mais basé sur les effets avancés.

L'invariance de la vitesse de la lumière dans tout les référentiels fait qu'il existe un lien temporel fléché entre les corpuscules indépendant de tout référentiel. Le modèle peut donc être enrichie en supposant que les particules subissent une accélération qui n'est pas fonction seulement de l'état retardé des particules mais aussi de l'état avancé des particules, et aussi de l'état retardé et avancé des particules vis-à-vis de chaque particule dans son état retardé et avancé, et ainsi de suite.... Car toutes ces informations découlent de ce lien temporel fléché et peuvent donc s'extraire de toute référence à un référentiel. Le corpuscule se comporte alors comme un miroir et l'interaction devient le résultat d'une reflexion récursive infinie.

2) Cinématique

On considère plusieurs particules en mouvement. On pose un maillage du temps en une succession de portions Δt. Et pendant chaque intervalle de temps Δt, on considère que l'accélération de chaque particule évolue linéairement. Les vecteurs sont notés en caractère gras. On note la position d'une particule par le vecteur r désignant sa position. Et les différentes dérivés de r sont notées par :

r
Position
r
dr/dt
Vitesse
v
d2r/dt2
Accélération
a
d3r/dt3
Pente
p

Chaque maille de temps est numérotée de façon anti-chronologique. La maille numéro 0 correspond à la dernière maille aboutissant à la position r0, à la vitesse v0 et à l'accélération a0, à l'instant présent t0 selon le référentiel du laboratoire. Puis la maille possède un paramètre supplémentaire p0 qui correspond à la pente d'accélération.

La maille numéro 1 correspond à l'avant dernière maille aboutissant à la position r1, à la vitesse v1 et à l'accélération a1, à l'instant t1 = t0 - Δt selon le référentiel du laboratoire et possède une pente d'accélération p1. Les mailles se suivent et durent un intervalle de temps Δt. Nous avons donc t1 + Δt = t0.

La maille numéro n correspond à l'avant n-ième maille aboutissant à la position rn, à la vitesse vn et à l'accélération an, à l'instant tn = t0 - n*Δt selon le référentiel du laboratoire, et possédant une pente d'accélération pn. Dans cette maille, la particule se trouve à l'instant t(n+1) à la position r(n+1) avec une vitesse v(n+1) et une accélération a(n+1), puis se trouve à l'instant tn = t(n+1) + Δt à la position rn avec la vitesse vn et une accéleration an. Et la pente d'accélération vaut pn = (an - a(n+1))/Δt.

On considère une maille. On prend la dernière maille à titre d'exemple. La particule se trouve à l'instant t1 à la position r1 avec une vitesse v1 et une accélération a1, puis se trouve à l'instant t0 = t1 + Δt à la position r0 avec la vitesse v0 et une accélération a0. La variable de temps du laboratoire est noté t. On considère la variable de temps relative à la maille, τ = t - t0, qui vaut τ = -Δt lorsque la particule est au point de départ r1, et qui vaut τ = 0 lorsque la particule est au point d'arrivé r0. Comme nous considérons une accélération évoluant linéairement entre l'instant t1 et l'instant t0, nous pouvons calculer l'accélération à tout instant τ compris entre -Δt et 0. Celle-ci vaut a = a0 + p0. Et la pente d'accélération vaut p = (a0 - a1)/Δt.

Puis par intégration nous déduisons que :

τ = t - t0
τ∈[-Δt,0]

a = a0 + p0
v = v0 + a0*τ + p02/2
r = r0 + v0*τ + a02/2 + p03/6

La trajectoire dans la maille est caractérisée par les 4 vecteurs r0, v0, a0, p0, et par la date t0. La position r, la vitesse v et l'accélération a sont ainsi déterminées à chaque instant τ propre à la maille compris entre -Δt et 0.

La variable de temps du laboratoire est noté t, tandis que la variable de temps relative à la maille numéro 0 est noté τ = t - t0. Ce changement de variable est important pour obtenir un système d'équation identique et ainsi se protéger efficacement contre les erreurs de recopie. La variable relative τ  est simplement translatée et son domaine est restreint à [-Δt, 0].

L'adjonction aux 4 vecteurs r0, v0, a0, p0, du seul vecteur supplémentaire p1 qui représente la pente de l'accélération lors de la maille précédente, permet de déterminer complètement la trajectoire lors de la maille précédente. Car on peut calculer a1, v1, r1 comme suit :

a1 = a0 + p0*(-Δt)
v1 = v0 + a0*(-Δt) + p0*(-Δt)2/2
r1 = r0 + v0*(-Δt) + a0*(-Δt)2/2 + p0*(-Δt)3/6

A chaque instant ͳ relative à cette maille précédente et variant entre -Δt et 0, on détermine la position r, la vitesse v et l'accélération a pareillement :

ͳ = t - t1
ͳ∈[-Δt,0]

a = a1 + p1
v = v1 + a1*ͳ + p12/2
r = r1 + v1*ͳ + a12/2 + p13/6

Les mailles se suivent. Les temps relatifs aux mailles τ et ͳ sont définis en fonction des temps exactes t0 et t1 de passage de la particule respectivement aux points r0 et r1. Nous avons τ = t - t0 et ͳ = t - t1 et t0 = t1 + Δt.

La cinématique est symétrique selon le sens du temps. On peut donc définir les mailles dans le sens inverse avec un temps relatif à la maille variant maintenant de 0 à Δt. On déduit les formules suivantes, déterminant la trajectoire de la maille numéro 0 en fonction des 4 vecteurs r1, v1, a1, p0 :

τ = t - t1
τ∈[0,Δt]

a = a1 + p0
v = v1 + a1*τ + p02/2
r = r1 + v1*τ + a12/2 + p03/6

Chaque particule voie les autres particules à leur position retardée d'un temps d/cd est la distance entre la position du récepteur et la position retardée de la source, et où c est la vitesse de la lumière. Chaque particule mémorise sa trajectoire r0, v0, a0, p0, et mémorise le retard ti de chaque autre particule numéro i.

3) Résolution itérative

On note la maille suivante par rs, vs, as, ps, et l'instant ts = t0 + Δt. La formule précédente s'applique pareillement :

τ = t - t0
τ∈[0,Δt]

a = a0 + ps
v = v0 + a0*τ + ps2/2
r = r0 + v0*τ + a02/2 + ps3/6

Le procédé itératif consiste à poser au départ ps telle qu'il valait lors de la maille précédente ps = p0. Puis à chaque itération, on calcule rs, vs comme suit :

vs = v0 + a0*Δt + ps*Δt2/2
rs
= r0 + v0*Δt + a0*Δt2/2 + ps*Δt3/6

Puis en fonction de la configuration globale à cet itération à l'instant ts, on calcul l'accélération as en fonction des états retardés et on ajuste les retards ti afin qu'ils correspondent bien au temps de propagation de l'information. Puis cela nous donne une autre valeur de ps = (as-a0)/Δt.

Puis on réitère le calcul, on recalcule vs, rs par la formule précédente, puis on recalcule as et ps en fonction de la configuration globale de l'itération à l'instant ts en ajustant les retard ti, et ainsi de suite jusqu'à ce que les valeurs ne bougent plus.

On s'en tiendra à faire systématiquement 2 ou 3 itérations.

4) Le quadrivecteur position

Un évènement ponctuel instantané est désigné par une position x et une date t que l'on regroupe en un quadrivecteur position [x,t]. La composante temporelle est souvent multipliée par la vitesse de la lumière c afin d'obtenir un quadrivecteur position dont les coordonnées sont homogènes. Mais nous pouvons très bien conserver la notation baroque [x,t].

Un quadrivecteur position [a,a] désigne un évènement ponctuelle instantané, de position spatiale a et se déroulant à la date a. Le référentiel implicite Ω est celui du laboratoire. La notation complète désignant l'évènement en question est [a,a]Ω

Le point origine de Ω est désigné par le quadrivecteur position [0,0]Ω, c'est la position 0 à l'instant 0 mesurée dans Ω.

Par convention, on pourra désigner un quadrivecteur position par une majuscule, sa coordonnée spatiale qui est un vecteur de dimension 3, sera désignée par la même lettre mais en minuscule et en gras, et sa coordonnée temporelle sera désignée par la même lettre mais en minuscule et en italique. X = [x,x]. Et le plus souvent on utilisera l'expression X = [x,t].

5) Les référentiels

Un référentiel se définie à partir d'un référentiel parent, à l'aide d'une translation spatiale et temporelle, d'une rotation des axes, et d'une vitesse de fuite, chacun de ces paramètres étant mesurés dans le référentiel parent.

Mais un référentiel peut contenir d'autres informations. Il peut contenir le sens +1 ou -1 de la charge électrique, le sens +1 ou -1 du temps, le sens +1 ou -1 des axes de position (chiralité), etc... Car il y a des symétries, si on inverse les signes des charges électriques, de même si on inverse le sens du temps, et de même si on inverse le sens des axes de position. Et c'est justement le rôle d'un référentiel que de préciser dans quel monde symétrique on se situe et qui prédispose la subjectivité de l'observateur qu'il représente.

Par convention il existe un mécanisme de subsidiarité. Tout ce que ne précise pas le référentiel est supposé identique au référentiel parent à partir duquel il a été définie.

Le référentiel devient l'équivalent d'une particule élémentaire à ceci près qu'il n'intéragit pas avec les autres particules et, ne subissant aucune interaction extérieure, suit, selon le principe d'inertie, un mouvement de translation uniforme. Nous dirons pour résumer que le référentiel est une particule fantôme avec une origine de temps propre. La particule fantôme suit une trajectoire qui est caractérisée dans son propre référentiel par une date variable appelée temps propre et une position spaciale toujours nulle.

L'origine du référentiel R est l'événement [0,0]R. Elle constitue une caractéristique particulièrement simple et importante du référentiel.

Selon l'approche intuitionniste, nous décrivons quelques types de transformation de référentiel particulièrement simple, qui en se composant, engendreront l'ensemble des transformations de référentiel. Chaque transformation s'applique à un référentiel, ici Ω, pour produit un nouveau référentiel. Noter que les paramètres de ces transformations x, t, w, v, s'expriment dans le référentiel Ω sur lequel la transformation s'applique et qui est appellé le référentiel parent. Aussi il convient mieux d'appeler ces transformations, des constructeurs de référentiels.

On commence par les translations spatiales et temporelles Translation(Ω,x,t), les rotations spatiales Rotation(Ω,w), et les fuites Fuite(Ω,v).

6) Notation fonctionnelle

On adopte la notation française qui désigne l'application d'une transformation F sur une variable X, par XF.Ainsi avons-nous :

XF = F(X)

En notation française, la composition d'applications Q, R, S, se note par concaténation dans l'ordre d'application des applications. La notation anglaise ° utilise le sens inverse. Par exemple :

QRS = S°R°Q

et nous avons :

XQRS = (((XQ)R)S

(QRS)(X) = S(R(Q(X)))

(Q°R°S)(X) = Q(R(S(X)))

7) Le référencement à un référentiel

Quant il y a plusieurs référentiels, et que l'on désigne un évènement à l'aide d'un quadrivecteur position, il est nécessaire de préciser dans quel référentiel est mesuré l'évènement. En l'absence de précision, l'évènement est mesuré dans le référentiel en cours, c'est à dire ici Ω. On modifie le référentiel en cours comme suit :

On se place dans le référentiel R

Après cette déclaration, le référentiel en cours, porté par le contexte, est R. Et tout évènement défini par un quadrivecteur position sans autre précision, est alors implicitement défini dans ce référentiel.

Selon le contexte, un quadrivecteur peut ne pas faire référence à un évènement dans notre espace-temps. Dans ce cas il s'agit d'un évènement imaginaire dans un espace-temps imaginaire. Et par simplicité on pose un parallélisme entre ces deux espace-temps permettant de choisir en commun le même référentiel en cours. Cela revient à projeter nos évènements pensés, dans notre propre espace-temps avec le même référentiel en cours.

L'espace vectoriel existe indépendament de toute base et on peut effectuer des opérations sur les vecteurs de cet espace vectoriel. De même l'espace-temps existe indépendament de tout référentiel et on peut effectuer des opérations sur les évènements de cet espace-temps. La structure est un peu plus complexe que celle d'un espace vectoriel mais en est très proche. Pour des raisons pédagogiques nous ne commencerons pas à la définir mathématiquement, mais seulement à y décrire les opérations que l'on peut y effectuer. Et on reportera la démonstration de la cohérence à la fin, lorsque paradoxalement elle ne sera plus nécessaire.

Etant donné un quadrivecteur position X, on précise en indice le référentiel dans lequel il faut intérpréter le quadrivecteur position pour obtenir l'évènement qu'il désigne. Ainsi XΩ désigne l'évènement de coordonnées X dans le référentiel Ω.

---- 24 mai 2012 ----

 

8) Le changement de référentiel

Un même évènement e sera perçu dans les 3 référentiels Q,R,S, avec des coordonnées différentes X,Y,Z :

e = XQ
e = YR
e = ZS

La transformation des coordonnés de l'événement mesurées dans le référentiel Q en les coordonnés de l'événement mesurées dans le référentiel R, se note (Q->R). Ainsi nous avons Y = (Q->R)(X) et de même, nous avons :

X = (R->Q)(Y)
X = (S->Q)(Z)
Y = (Q->R)(X)
Y = (S->R)(Z)
Z = (Q->S)(X)
Z = (R->S)(Y)

Il n'y a pas de référentiel en indice car on ne s'intéresse qu'aux coordonnées X,Y,Z. On peut se placer dans un référentiel arbitraire Ω et au lieu de s'intéresser au quadrivecteur position X,Y,Z, s'intéresser aux 3 évènements XΩ,YΩ,ZΩ. Cela revient strictement au même. La transformation des coordonnées (R->Q) se définie en dehors de tout référentiel et constitue une transformation de l'espace-temps, transformant tout évènement e de cet espace-temps en un évènement (R->Q)(e).

De telles transformation peuvent se composée de manière transitive correspondant à une succession de changement de référentiel. Ainsi si on effectue un premier changement de référentiel passant du référentiel A au réfrérentiel B, puis un second changement de référentiel passant dui référentiel B au référentiel C, etc.. Qu'elle que soit le chemin de transformations successives, puisque ce qui compte est le référentiel de début et de fin,. Ainsi avons nous :

(A->B)(B->C) = (A->C).

La notation d'un référentiel absolu par une lettre telle que R,Q,S, peut être contestable, car on ne peut pas construire de référentiel absolue. D'une certaine façon, un référentiel doit être relatif. Un référentiel est nécessairement définie à partir d'un référentiel parent. Pour retrouver cette relativité, mais ici vis-à-vis du référentiel en cours et non du référentiel parent à partir duquel il a été construit, on définie et on nomme par la même lettre, la transfromation des coordonnées de l'évènement mesurées dans le référentiel en cours en les coordonnés de l'événement mesurées dans le référentiel nommé par cette même lettre. Ainsi, le référentiel en cours étant R, nous avons :

B = (R->B)
A-1 = (A->R)

et comme (A->R)(R->B) = (A->B) nous avons :

A-1B = (A->B)

A l'aide de cette nouvelle notation relative des référentiels, un évènement XR, où R est le référentiel en cours, sera mesuré en dans le référentiel S par S(XR)S

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X = Q(Y)
X = S-1Q(Z)
Y = Q-1(X)
Y = (S->R)(Z)
Z = (Q->S)(X)
Z = (R->S)(Y)

 

 

 

 

Un référentiel S peut être vue comme une particule fantôme, ou comme un référentiel, ou comme une transformation correspondant au changement de référentiel passant du référentiel courant au référentiel S, mais attention cette dernière représentation dépend du référentiel courant, contrairement aux deux premières représentation qui restent d'ordre symbolique et donc absolues.

On définie, pour les transformations, une notation absolue ne dépendant plus du référentiel en cours, en spécifiant explicitement les référentiels de début et de fin. Ainsi X(Q->R) désigne la valeur de l'évènement mesurée dans le référentiel R sachant que, mesurée dans le référentiel Q elle vaut X. Nous avons X(Q->R) = (Q->R)(X)(Q->R) désigne la transformation des coordonnés dans le référentiel Q en les coordonnés dans le référentiel R. Nous avons :

(Q->R)-1 = (R->Q)

En notation française, la composition d'applications Q, R, S, se note par concatenation dans l'ordre d'application des applications. La notation anglaise ° utilise le sens inverse. Par exemple QRS = S°R°Q, et nous avons (QRS)(X) = S(R(Q(X))) et (Q°R°S) = Q(R(S(X))).

Qu'elle que soit le chemin de transformations successives, puisque ce qui compte est le référentiel de début et de fin, deux chemins commençant par le même référentiel A et se terminant par le même référentiel B désigne une même transformation qu'est la transformation (A->B). Ainsi nous avons (A->C)(C->B) = (A->D)(D->B) = (A->B). En posant le référentiel courant égal à R, nous avons (A->B) = (A->R)(R->B) et comme par définition B = (R->B) et A -1 = (A->R), nous en déduisons que (A->B) = A-1B, ce qui s'écrit en notation anglaise par (A->B) = B°A -1

On étend la notation dite "baroque" en définissant le double indiçage : AXB = X(A->B). C'est la mesure dans le référentiel B de l'évènement en question s'il était mesurée dans le référenciel A comme valant X. Nous utilisons les notations baroques, françaises, anglaises et applicatives :

XA = A(X)
      = A-1X

(A->B)(X) = X(A->B)
                        
= (B->A)X
                        = AXB
                        
= (A-1B)(X) 
                        = XA-1B 
                        = B-1AX
                        = (B°A-1)(X) 
                        = XB°A-1
                        = A°B-1X
                        = B(A-1(X))

(A->B) = A-1B
            = B°A-1

Etant donné les référentiels Q, R, S, on note XQ, XR, XS, les mesures de l'événement X dans les référentiels respectifs Q, R, S. La valeur X désigne l'événement mesurée dans le référentiel en cours. La valeur XQ désigne le même événement mais mesurée dans le référentiel Q. Nous avons XQ = Q(X)Q désigne la transformation des coordonnés de l'événement mesurées dans le référentiel en cours en les coordonnés de l'événement mesurées dans le référentiel Q. Et on note QX, RX, SX, la mesure dans le référentiel courant de l'évènement en question s'il était mesurée respectivement dans les référenciels Q, R, S comme valant X. Nous avons QX = Q-1(X)Q-1désigne la transformation des coordonnés de l'événement mesurées dans le référentiel Q en les coordonnés de l'événement mesurées dans le référentiel en cours.

Une valeur X qui est celle perçue dans le référentiel courant, sera perçu dans le référentiel S par XS ou par S(X) selon la notation choisie. XS est le résultat d'une transformation appliquée à X, correspondant au changement de coordonnées passant du référentiel courant au référentiel S. Et SX est le résultat de la transformation inverse appliquée à X, correspondant au changement de coordonnées passant du référentiel S au référentiel courant. SX = S-1(X).

 

 

 

La notation baroque et la notation classique sont proches l'une de l'autre. Elles sont l'inverse l'une de l'autre. Pour bien percevoir la différence, on décrit un exemple. On choisie Ω comme référentiel courant. On construit un référentiel R quelconque. Puis on construit un référentiel S se déplaçant à la vitesse v vis à vis du référentiel R et dont le point de passage à l'instant t = 0 dans R constitue l'évènement noté P. Comme P n'est pas indicé, il est mesuré dans le référentiel courant Ω. L'évènement P mesuré dans R est égale à PR = [x0,0] et, mesuré dans S, il est égale à PS = [0,t0]. Nous avons donc :

(R->S)([x0,0]) = [0,t0] (S->R)([0,t0]) = [x0,0]

en notation baroque :

PR = [x0,0]
PS = [0,t0]
P = R[x0,0]
P = S[0,t0]

et en notation classique :

P = [x0,0]R
P = [0,t0]S
RP = [x0,0]
SP = [0,t0]

Autrement dit la notation baroque donne : R[x0,0] = S[0,t0] tandis que la notation classique donne : [x0,0]R = [0,t0]S.

Pour spécifier de façon absolue à l'aide d'une notation courte à quelle référentiel fait référence une variable, on pourra utiliser un code couleur. On utilise les déclarations suivantes :

Le vert réfère à R
Le rouge réfère à S

Après ces déclarations, une variable X représentant un événement sera mesuré dans Ω ou dans R selon sa couleur, ce qui s'écrit en notation baroque :

X = XΩ
X = XR

On précise en indice le référentiel dans lequel il faut intérpréter le quadrivecteur position, pour obtenir l'évènement auquel il correspond. Ainsi XΩ désigne l'évènement de coordonnées X dans le référentiel Ω.

Etant donné un quadrivecteur X, on précise en indice

 

 

On adopte la notation française qui désigne l'application d'une transformation F sur une variable X, par XF. Et on choisie l'autre notation FX pour désigner l'application de la transformation inverse F-1 sur la variable X. Ainsi avons-nous :

XF = F(X)
FX = F-1(X)

En notation française, la composition d'applications Q, R, S, se note par concatenation dans l'ordre d'application des applications. La notation anglaise ° utilise le sens inverse. Par exemple QRS = S°R°Q, et nous avons (QRS)(X) = S(R(Q(X))) et (Q°R°S) = Q(R(S(X))) et XQRS = (((XQ)R)S

---- 18 mai 2014 ----

 

Etant donné les référentiels Q, R, S, on note XQ, XR, XS, les mesures de l'événement X dans les référentiels respectifs Q, R, S. La valeur X désigne l'événement mesurée dans le référentiel en cours. La valeur XQ désigne le même événement mais mesurée dans le référentiel Q. Nous avons XQ = Q(X)Q désigne la transformation des coordonnés de l'événement mesurées dans le référentiel en cours en les coordonnés de l'événement mesurées dans le référentiel Q. Et on note QX, RX, SX, la mesure dans le référentiel courant de l'évènement en question s'il était mesurée respectivement dans les référenciels Q, R, S comme valant X. Nous avons QX = Q-1(X)Q-1désigne la transformation des coordonnés de l'événement mesurées dans le référentiel Q en les coordonnés de l'événement mesurées dans le référentiel en cours.

Une valeur X qui est celle perçue dans le référentiel courant, sera perçu dans le référentiel S par XS ou par S(X) selon la notation choisie. XS est le résultat d'une transformation appliquée à X, correspondant au changement de coordonnées passant du référentiel courant au référentiel S. Et SX est le résultat de la transformation inverse appliquée à X, correspondant au changement de coordonnées passant du référentiel S au référentiel courant. SX = S-1(X).

Le référentiel S peut être vue comme une particule fantôme, ou comme un référentiel, ou comme une transformation correspondant au changement de référentiel passant du référentiel courant au référentiel S, mais attention cette dernière représentation dépend du référentiel courant, contrairement aux deux premières représentation qui restent d'ordre symbolique et donc absolues.

On définie, pour les transformations, une notation absolue ne dépendant plus du référentiel en cours, en spécifiant explicitement les référentiels de début et de fin. Ainsi X(Q->R) désigne la valeur de l'évènement mesurée dans le référentiel R sachant que, mesurée dans le référentiel Q elle vaut X. Nous avons X(Q->R) = (Q->R)(X)(Q->R) désigne la transformation des coordonnés dans le référentiel Q en les coordonnés dans le référentiel R. Nous avons :

(Q->R)-1 = (R->Q)

En notation française, la composition d'applications Q, R, S, se note par concatenation dans l'ordre d'application des applications. La notation anglaise ° utilise le sens inverse. Par exemple QRS = S°R°Q, et nous avons (QRS)(X) = S(R(Q(X))) et (Q°R°S) = Q(R(S(X))).

Qu'elle que soit le chemin de transformations successives, puisque ce qui compte est le référentiel de début et de fin, deux chemins commençant par le même référentiel A et se terminant par le même référentiel B désigne une même transformation qu'est la transformation (A->B). Ainsi nous avons (A->C)(C->B) = (A->D)(D->B) = (A->B). En posant le référentiel courant égal à R, nous avons (A->B) = (A->R)(R->B) et comme par définition B = (R->B) et A -1 = (A->R), nous en déduisons que (A->B) = A-1B, ce qui s'écrit en notation anglaise par (A->B) = B°A -1

On étend la notation dite "baroque" en définissant le double indiçage : AXB = X(A->B). C'est la mesure dans le référentiel B de l'évènement en question s'il était mesurée dans le référenciel A comme valant X. Nous utilisons les notations baroques, françaises, anglaises et applicatives :

XA = A(X)
      = A-1X

(A->B)(X) = X(A->B)
                        
= (B->A)X
                        = AXB
                        
= (A-1B)(X) 
                        = XA-1B 
                        = B-1AX
                        = (B°A-1)(X) 
                        = XB°A-1
                        = A°B-1X
                        = B(A-1(X))

(A->B) = A-1B
            = B°A-1

La notation baroque et la notation classique sont proches l'une de l'autre. Elles sont l'inverse l'une de l'autre. Pour bien percevoir la différence, on décrit un exemple. On choisie Ω comme référentiel courant. On construit un référentiel R quelconque. Puis on construit un référentiel S se déplaçant à la vitesse v vis à vis du référentiel R et dont le point de passage à l'instant t = 0 dans R constitue l'évènement noté P. Comme P n'est pas indicé, il est mesuré dans le référentiel courant Ω. L'évènement P mesuré dans R est égale à PR = [x0,0] et, mesuré dans S, il est égale à PS = [0,t0]. Nous avons donc :

(R->S)([x0,0]) = [0,t0] (S->R)([0,t0]) = [x0,0]

en notation baroque :

PR = [x0,0]
PS = [0,t0]
P = R[x0,0]
P = S[0,t0]

et en notation classique :

P = [x0,0]R
P = [0,t0]S
RP = [x0,0]
SP = [0,t0]

Autrement dit la notation baroque donne : R[x0,0] = S[0,t0] tandis que la notation classique donne : [x0,0]R = [0,t0]S.

Pour spécifier de façon absolue à l'aide d'une notation courte à quelle référentiel fait référence une variable, on pourra utiliser un code couleur. On utilise les déclarations suivantes :

Le vert réfère à R
Le rouge réfère à S

Après ces déclarations, une variable X représentant un événement sera mesuré dans Ω ou dans R selon sa couleur, ce qui s'écrit en notation baroque :

X = XΩ
X = XR

7) Translation spacio-temporelle

La translation spacio-temporelle possède comme paramètre un quadrivecteur [x0, t0] et s'applique à toute évènement [x, t] pour produire l'évènement [x + x0, t + t0] noté également [x, t] + [x0, t0].

La translation d'un référentiel s'apparente à la translation de son origine. Les coordonnées d'un évènement dans le référentiel translaté semble translatées de façon inverse. Le paramètre [x0, t0] est exprimé dans le référentiel R sur lequel s'applique la translation. La transformation est galiléenne. La translation appliqué au référentiel R va produir un référentiel S et se note comme un constructeur de référentiel :

R = Translation(Ω, x0, t0)
x, ∀t
(S->R)([x,t]) = [x+x0,t+t0] (R->S)([x,t]) = [x-x0,t-t0]

ce qui s'écrit en notation baroque :

S[x,t]R = [x+x0,t+t0]
R[x,t]S = [x-x0,t-t0]
S[x,t] = R[x+x0,t+t0]
R[x,t] = S[x-x0,t-t0]
[x,t]R = [x+x0,t+t0]S
[x,t]S = [x-x0,t-t0]R

et en notation classique :

R[x,t]S = [x+x0,t+t0]
S[x,t]R = [x-x0,t-t0]
[x,t]S = [x+x0,t+t0]R
[x,t]R = [x-x0,t-t0]S
R[x,t] = S[x+x0,t+t0]
S[x,t] = R[x-x0,t-t0]

8) Rotation spatiale

Une rotation dans l'espace tridimensionnel est représentée par un vecteur spin dont la direction indique le sens de rotation selon la règle du tire-bouchon (et selon la constante de chiralité du référentiel). La norme du vecteur représente le nombre de tours de rotation. Ainsi un tel vecteur représente non seulement les rotations de 0 à 360° dans l'espace tridimensionnel, mais également les rotations de 0 à ∞° c'est à dire effectuant plus d'un tour. Et il y a une bijection entre cet espace de rotations et l'espace vectoriel de dimension 3 où elles opèrent.

La rotation possède comme paramètre ce vecteur spin w et consiste à appliquer à tout vecteur x la rotation w. On note w(x) l'iimage de x obtenue par la rotation w. Voir chapitre géométrie.

La rotation de référentiels, notée Rotation(R, w), prend en argument un référentiel R, un vecteur de rotation exprimé dans R et retourne un référentiel S. Les coordonnées d'un évènement dans le référentiel tourné S semble tournées de façon inverse. Le paramètre w est exprimé dans le référentiel R sur lequel s'applique la rotation.. La transformation est galiléenne. Nous avons :

S = Rotation(w)(R)
x, ∀t
(S->R)([x,t]) = [w(x),t] (R->S)([x,t]) = [(-w)(x),t]

 

---- 17 mai 2014 ----

5.3) Fuite

 

 

 

La translation possède comme paramètre un quadrivecteur position [x0,t0] et s'applique à tout évènement [x,t] pour produire l'évènement [x,t] + [x0,t0] égale à [x+x0,t+t0].

La translation de référentiels, notée Translation(x0,t0), appliquée au référentiel R, va produire un référentiel S. Tout ce passe comme si nous appliquions la translation à la particule fantôme R pour produire la particule fantôme S. L'évènement origine du référentiel R et envoyé par la translation en l'évènement origine du référentiel S. que quelque soit un évènement mesuré dans S et noté par [x,t]S, cet évènement soit perçue dans le référentiel R comme ayant subie la translation, c'est à dire avec les coordonnées [x+x0,t+t0]R. La transformation est galiléenne. Nous avons :

La translation de référentiels, notée Translation(x0,t0), appliquée au référentiel R, va produire le référentiel S, tel que quelque soit un évènement mesuré dans S et noté par [x,t]S, cet évènement soit perçue dans le référentiel R comme ayant subie la translation, c'est à dire avec les coordonnées [x+x0,t+t0]R. La transformation est galiléenne. Nous avons :

S = EspaceTemps(x0,t0)(R)
x, ∀t, [x,t]S= [x+x0,t+t0]R

On utilisera aussi la notation vectorielle : [x,t]S= [x,t]R+ [x0,t0]R

 

 

 

 

 

R = Référentiel(Ω, w, v, [x0,t0]Ω = [x1,t1]R)

 

R = RéférentielO(Ω, w, v, x, t ) tel que : [x,t]Ω = [0,0]R
R = RéférentielOP(Ω, w, v, x, t ) tel que : [0,0]Ω = [x,t]R
R = RéférentielP(Ω, w, v, x, t ) tel que : [x,0]Ω = [0,t]R
R = RéférentielPP(Ω, w, v, x, t ) tel que : [0,t]Ω = [x,0]R

 

On peut également le définir à partir d'un point de passage à l'instant t=0 dans ce référentiel parent. Ce point de passage est un évènement ponctuel instantané caractérisé par sa position mesurée dans le référentiel parent et par sa date propre mesuré dans le référentiel lui-même.

Cela donne lieu à deux façons possibles de construire un référentiel.

 

Un référentiel R se définie de deux façons possibles à partir d'un référenciel parent Ω et de sa vitesse de fuite, en précisant soit son point d'origine, ou soit son point de passage avec son temps propre à l'instant 0 dans Ω.

On utilise un premier constructeur comme suit :

R = Référentiel-Origine(Ω, v, x, t)

Le constructeur prend 4 arguments : Le référentiel Ω à partir duquel il construit le nouveau référentiel, la vitesse de translation v du nouveau référentiel, la position d'origine x du nouveau référentiel, la date d'origine t du nouveau référentiel, tout trois v, x, t exprimées dans le référentiel mentionné en premier argument Ω.

On a ainsi définie un autre référentiel R se délaçant à la vitesse v et dont l'origine est [x,t]Ω, c'est la position x à l'instant t relativement au référentiel Ω. Cela correspond à l'évènement ponctuel instantané relatant le passage de la partricule fantôme R au point x et à l'instant t mesurés dans le référentiel Ω, et qui correspond au point 0 et à l'instant 0 dans le référentiel R. Puisque c'est le même évènement, nous avons en notation classique : [x,t]Ω = [0,0]R

La deuxième façon de définir un référentiel consiste à décrire non pas le point origine du référentiel R mais la position de R à l'intant t = 0 dans Ω, avec la valeur de son temps propre t0 à cet instant..

On utilise un second constructeur comme suit :

R = Référentiel-Passage(Ω, v, x0, t0)

Le constructeur prend 4 arguments de même type : Le référentiel Ω à partir duquel il construit le nouveau référentiel, la vitesse de translation v du référentiel R dans Ω, la coordonnée spatiale x0 du référentiel R dans Ω à l'instant t = 0 dans Ω, et le temps propre t0 du référentiel R à l'instant t = 0 dans Ω. Noter que v et x0 sont mesurés dans Ω tandis que t0 est mesuré dans R.

On a ainsi définie un autre référentiel R se délaçant à la vitesse v et dont le point de passage à l'instant t = 0 dans Ω est mesuré dans Ω par [x0,0] et est mesuré dans R par [0,t0]. Puisque c'est le même évènement, nous avons en notation classique : [x0,0]Ω = [0,t0]R

Le référentiel peut aussi subire une rotation, auquel cas, il comprend un paramètre suplémentaire qu'est la rotation en question.

 

 

7) La trajectoire d'une particule

La trajectoire est représentée par un vecteur position x fonction du temps t :

t∈]-∞,∞[
x(t)

La première ligne définie t comme une variable. La seconde ligne définie x comme une fonction analytique de t et qui correspond à la trajectoire d'une particule.

La trajectoire est également représentée par un quadrivecteur position X = [x,x] fonction du temps t, qui se note donc X(t) = [x(t),x(t)]

t∈]-∞,∞[
X(t) = [x(t),x(t)]
X(t) = [x(t),t]

La première ligne définie t comme une variable. La seconde ligne définie X comme un quadrivecteur fonction de t et qui correspond à la trajectoire. La troisième ligne apporte une précision concernant la composante temporelle du quadrivecteur X(t) comme quoi cette composante est égale à t. Cette troisième ligne peut être remplacée par l'équation x(t) = t. Noter qu'un quadrivecteur position, fonction de t, qui ne vérifie pas cette dernière propriété, ne constitue pas une trajectoire. On compresse l'écriture en définissant directement un quadrivecteur position, fonction de sa composante temporelle comme suit :

t∈]-∞,∞[
X(t) = [x(t),t]
.

8) Composantes parallèle et orthogonale

On pose une direction représentée par un vecteur v quelconque (c'est à dire un point projectif, un point sur la sphère celeste) que nous appellerons direction de fuite. Délors chaque vecteur x se décompose en la somme de la composante parallèle à v notée x//v et de la composante perpendiculaire à notée xv :

x = x//v + xv

x//v = (xv/vv)*v
xv = x - x//v

représente le produit scalaire de deux vecteurs. Noter que la composante parallèle x//v possède un signe (relatif à v) qui s'inverse lorsque la direction de fuite v s'inverse et la composante perpendiculaire xv reste invariante.

On formalise la définition d'une direction de fuite et on allège l'écriture en conséqence. On déclare un axe de fuite comme suit :

Axe de fuite v

Cet axe de fuite fait maintenant partie du contexte en cours au même titre que le référenciel en cours. On définie une nouvelle notation plus courte et symétrique. On notera la composante scalaire x//v par le scalaire x, et on notera la composante perpendiculaire xv par le vecteur x en gras. L'expression x ne dénote plus le vecteur en totalité mais seulement sa composante perpendiculaire à v, et l'expression x dénote la composante parallèle à v. Le vecteur dans sa totalité est égale à (x,x) = x + x, et cette addition vectorielle est définie ainsi pour permettre cela.

Lorsqu'un axe de fuite est posé, le quadrivecteur que nous notions précédemment X = [x,t] s'écrit dorénavant X = [x,x,t]. Après cette déclaration, un vecteur spatiale se note (x,x), et un quadrivecteur position se note X = [x,x,x] ou X = [x,x,t].

9) Transformation de Lorentz symétrique

On se place dans le référentiel Ω du laboratoire. On définie un second référentiel R à partir du référentiel Ω comme suit :

R = Référentiel-Origine(Ω, u, x0, t0)

L'origine spatio-temporelle du référentiel R se produit à l'instant t0 et à la position x0 tout deux [x0,t0] mesurés dans Ω. Le référentiel R se délaçe à la vitesse u mesuré dans Ω. La vitesse u qui est un vecteur détermine une direction de fuite. C'est la direction de fuite du référentiel R mesurée dans le référentiel Ω.

Le référentiel R peut être comparé à une particule fantôme se déplaçant à la vitesse u et ayant une trajectoire spaciale x(t) définie comme suit :

x(t) = u*(t-t0) + x0

t∈]-∞,∞[ est une variable. Dans Ω, la composante temporelle de toute trajectoire est nécessairement t car il n'y a qu'un seul temps par référentiel. La trajectoire de la particule fantôme à chaque instant t est donc nécessairement X(t) = [x(t), t] c'est à dire :

X(t) = [u*(t-t0) + x0, t]

 

---- 9 mai 2014 ----

 

Par symétrie, le référentiel Ω peut se définir à partir du référentiel R comme suit :

Ω = Référentiel(R, -u, -x0, -t0)

On remarque que la direction de fuite d'un référentiel par rapport à l'autre représente un même axe de fuite. On pose la direction de fuite comme suit :

Axe de fuite u

Après cette déclaration, un vecteur se note (x,x), et un quadrivecteur position se note X = [x,x,x] ou X = [x,x,t]. Et on note la norme de la vitesse de fuite par v0, et la position spaciale du point origine de R par (x0,x0).

X(t) = [x0, x0 + u*t, t0+t]

x(t) = u*t + x0

Dans le référentiel Ω, à l'instant t = 0, la particule fantôme R se trouve à la position spaciale x0 avec un temps propre t0. Noter que dans cette expression l'origine temporelle t0 de R d'intervient pas. Elle intervient dans la notation quadridimensionnelle qui englobe le temps, la trajectoire X(t) est définie comme suit :

X(t) = [u*t + x0, t + t0]

Ce qui peut se noter :

X(t) = [u*t, t] + [x0, t0]

Ainsi

Par symétrie, le référentiel Ω peut se définir à partir du référentiel R comme suit :

Ω = Référentiel(R, -u, -x0, -t0)

On remarque que la direction de fuite d'un référentiel par rapport à l'autre représente un même axe de fuite. On pose la direction de fuite comme suit :

Axe de fuite u

Après cette déclaration, un vecteur se note (x,x), et un quadrivecteur position se note X = [x,x,x] ou X = [x,x,t]. Et on note la norme de la vitesse de fuite par v0, et la position spaciale du point origine de R par (x0,x0).

X(t) = [x0, x0 + u*t, t0+t]

 

 

 

 

 

 

u, x0, t0 sont mesurés dans le référenciel Ω qui est le référentiel courant. La vitesse u qui est un vecteur détermine une direction de fuite. C'est la direction de fuite du référentiel R mesurée dans le référentiel Ω. Le référentiel R peut être comparé à une particule fantôme se déplaçant à la vitesse u et ayant une trajectoire x(t) t∈]-∞,∞[ est une variable, définie comme suit :

x(t) = u*(t-t0) + x0

Dans le référentiel Ω, à l'instant t = t0 , la particule fantôme R se trouve à la position spaciale x0, et il s'agit du point origine du référentiel R, c'est à dire perçu dans R comme à la position 0 à l'instant 0. En notation quadridimensionnelle, la trajectoire X(t) est définie comme suit :

X(t) = [u*(t-t0) + x0, t]

Ce qui peut se noter :

X(t) = [u*t, t] + [x0, t0]

Ainsi

Par symétrie, le référentiel Ω peut se définir à partir du référentiel R comme suit :

Ω = Référentiel(R, -u, -x0, -t0)

On remarque que la direction de fuite d'un référentiel par rapport à l'autre représente un même axe de fuite. On pose la direction de fuite comme suit :

Axe de fuite u

Après cette déclaration, un vecteur se note (x,x), et un quadrivecteur position se note X = [x,x,x] ou X = [x,x,t]. Et on note la norme de la vitesse de fuite par v0, et la position spaciale du point origine de R par (x0,x0).

X(t) = [x0, x0 + u*t, t0+t]

x(t) = u*t + x0

Dans le référentiel Ω, à l'instant t = 0, la particule fantôme R se trouve à la position spaciale x0 avec un temps propre t0. Noter que dans cette expression l'origine temporelle t0 de R d'intervient pas. Elle intervient dans la notation quadridimensionnelle qui englobe le temps, la trajectoire X(t) est définie comme suit :

X(t) = [u*t + x0, t + t0]

Ce qui peut se noter :

X(t) = [u*t, t] + [x0, t0]

Ainsi

Par symétrie, le référentiel Ω peut se définir à partir du référentiel R comme suit :

Ω = Référentiel(R, -u, -x0, -t0)

On remarque que la direction de fuite d'un référentiel par rapport à l'autre représente un même axe de fuite. On pose la direction de fuite comme suit :

Axe de fuite u

Après cette déclaration, un vecteur se note (x,x), et un quadrivecteur position se note X = [x,x,x] ou X = [x,x,t]. Et on note la norme de la vitesse de fuite par v0, et la position spaciale du point origine de R par (x0,x0).

X(t) = [x0, x0 + u*t, t0+t]

 

 

10) Transformation de Lorentz

La transformation de Lorentz est une solution particulière, particulièrement simple, laissant invariant la vitesse de la lumière c dans tous les référentiels, et se superposant aux transformations galiléennes lorsque la vitesse de translation du référentiel est trés petite devant c.

Etant donné les deux référentiels Ω et R précédement défini, on pose un code couleur :

Le bleu référe à Ω
Le rouge réfère à R

L'évènement X=[x,t] est mesuré dans le référentiel Ω avec v0 comme axe de fuite tandis que le même évènement X=[x,t] est mesuré dans le référentiel R avec toujours v0 comme axe de fuite . La transformation de Lorentz est définie par :

x// = (x// - v*t) * Γ
x = x
t = (t - sqrt(vv)*x// / c2) * Γ

x// = (x// + v*t) * Γ
x = x
t = (t + sqrt(vv)*x// / c2) * Γ

où le facteur gamma est : Γ = 1 / sqrt(1 - vv/c2)
x// est la composante de x parallèle à v
x est la composante de x orthogonale à v
x// est la composante de x parallèle à v
x est la composante de x orthogonale à v

Noter que gamma vérifie la propriété suivante : Γ2 * vv/c2 = Γ2 - 1

On pose l'axe de fuite v0

Axe de fuite v0

Et les équations se réecrive en :

x = x
x = (x - v*t) * Γ

t = (t - v*x/c2) * Γ

x = x
x = (x + v*t) * Γ
t = (t + v*x/c2) * Γ

 

11) Transformation de Lorentz appliquée à une particule parcourant une trajectoire

On reprend les mêmes équation mais avec les deux trajectoires X(t)=[x(t),t] et X(t)=[x(t),t] :

x(t)//= (x(t)// - v*t) * Γ
x(t) = x(t)
t = (t - sqrt(vv)*x(t)// / c2) * Γ

x(t)// = (x(t)// + v*t) * Γ
x(t) = x(t)
t = (t + sqrt(vv)*x(t)// / c2) * Γ

 

 

L'effet retardé entraine que la connaissance n'est pas transmise instantanément mais elle doit l'être paraillement dans tous les référentiel selon une même vitesse de la lumière.

 

Une autre représentation est possible sous la forme d'un quaternion, somme d'un réel et d'un quaternion imaginaire pure :

X = x0 + i*c*x

Et on munie les quaternions du produit scalaire suivant :

(x0 + ix)•(y0 + iy) = (x0 + y0 - x•y)

[x,x0]•[y,y0] = (x0 + y0 - x•y)

X•X = (x0 + y0 - x•y)

X2 = (x0 + y0 - x•y)

L'invariance dans tous les référentiels de la vitesse de la lumière se traduit par l'invariance, par transformation de Loentz, des distances d'univers X2

Cela signifie que pour deux référentiel quelconque XR2 = XΩ2 où autrement dit R(X)2 = Ω(X)2

 

 

2) La cinématique revisitée avec des intervalles de temps arbitraires

On considère plusieurs particules en mouvement. On pose un maillage du temps en une succétion de portions ..., Δt5, Δt4, Δt3, Δt2, Δt1, Δt0 arbitraires. Et pendant chaque intervalle de temps Δtn, on considère que l'accélération de chaque particule évolue linéairement. Les vecteurs sont notés en caractère gras. On note la position d'une particule par le vecteur r désigant sa position. Et les différentes dérivés de r sont notées par :

r
Position
r
dr/dt
Vitesse
v
d2r/dt2
Acceleration
a
d3r/dt3
Pente
p

Chaque maille de temps est numérotée de façon antichronologique. La maille numéro 0 correspond à la dernière maille aboutissant à la position r0, à la vitesse v0 et à l'accélération a0, à l'instant présent t0, et dure un intervalle Δt0, selon le référentiel du laboratoire. Puis la maille possède un paramètre supplémentaire p0 qui correspond à la pente d'accélération.

La maille numéro 1 correspond à l'avant dernière maille aboutissant à la position r1, à la vitesse v1 et à l'accélération a1, à l'instant t1 = t0 - Δt0 selon le référentiel du laboratoire et possède une pente d'accélération p1. Les mailles se suivent et durent un intervalle de temps Δtn. Nous avons donc t1 + Δt0 = t0.

La maille numéro n correspond à l'avant n-ième maille aboutissant à la position rn, à la vitesse vn et à l'accélération an, à l'instant tn = t0 - (Δt0+Δt1+Δt2+...+Δt(n-1)) selon le référentiel du laboratoire, et possèdant une pente d'accélération pn. Dans cette maille, la particule se trouve à l'instant t(n+1) à la position r(n+1) avec une vitesse v(n+1) et une accélération a(n+1), puis se trouve à l'instant tn à la position rn avec la vitesse vn et une accéleration an. Et la pente d'accélération vaut pn = (an - a(n+1))/Δtn.

On considère une maille. On prend la dernière maille à titre d'exemple. La particule se trouve à l'instant t1 à la position r1 avec une vitesse v1 et une accélération a1, puis se trouve à l'instant t0 à la position r0 avec la vitesse v0 et une accéleration a0. La variable de temps du laboratoire est noté t. On considère la variable de temps relative à la maille, τ = t - t0, qui vaut τ = -Δt0 lorsque la particule est au point de départ r1 et qui vaut τ = 0 lorsque la particule est au point d'arrivé r0. Comme nous considérons une accélération évoluant linéairement entre l'instant t1 et l'instant t0, nous pouvons calculer l'accéleration à tout instant τ compris entre -Δt0 et 0. Celle-ci vaut a = a0 + p0. Et la pente d'accélération vaut p = (a0 - a1)/Δt0.

Puis par intégration nous déduisons que :

τ = t - t0
τ∈[-Δt0,0]

a = a0 + p0
v = v0 + a0*τ + p02/2
r = r0 + v0*τ + a02/2 + p03/6

La trajectoire dans la maille est caractérisée par les 4 vecteurs r0, v0, a0, p0, et par la date t0 et la duré Δt0. La position r, la vitesse v et l'accélération a sont ainsi déterminées à chaque instant τ propre à la maille compris entre -Δt0 et 0.

La variable de temps du laboratoire est noté t, tandis que la variable de temps relative à la maille numéro 0 est noté τ = t - t0. Ce changement de variable est important pour obtenir un système d'équation identique et ainsi se protéger efficacement contre les erreurs de recopies. La variable relative τ  est simplement translatée et son domaine est restreint à [-Δt0, 0].

L'adjonction aux 4 vecteurs r0, v0, a0, p0, du vecteur supplémentaire p1 qui représente la pente de l'accelération lors de la maille précédente et de l'intervalle Δt1 de la maille précédente, permet de déterminer complètement la trajectoire lors de la maille précédente. A chaque instant ͳ relative à cette maille précédente et variant entre -Δt1 et 0, on détermine la position r, la vitesse v et l'accélération a pareillement :

ͳ = t - t1
ͳ∈[-Δt1,0]

a = a1 + p1
v = v1 + a1*ͳ + p12/2
r = r1 + v1*ͳ + a12/2 + p13/6

Les mailles se suivents. Les temps relatifs au mailles τ et ͳ sont définis en fonction des temps exactes t0 et t1 de passage de la particule respectivement aux points r0 et r1. Nous avons τ = t - t0 et ͳ = t - t1 et t0 = t1 + Δt0.

La cinématique est symétrique selon le sens du temps. On peut donc définir les mailles dans le sens inverse avec un temps relatif à la maille variant maintenant de 0 à Δt0. On déduit les formules suivantes, déterminant la trajectoire de la maille numéro 0 en fonction des 4 vecteurs r1, v1, a1, p0 :

τ = t - t1
τ∈[0,Δt0]

a = a1 + p0
v = v1 + a1*τ + p02/2
r = r1 + v1*τ + a12/2 + p03/6

Chaque particule voie les autres particules à leur position retardée d'un temps d/cd est la distance entre la position du récepteur et la position retardée de la source, et où c est la vitesse de la lumière. Chaque particule mémorise sa trajectoire, c'est à dire sa dernière maille r0, v0, a0, p0, t0 et les mailles précédentes. Chaque particule mémorise le retard ti de chaque autre particule numéro i.

3) Résolution itérative

On note la maille suivante par rs, vs, as, ps, l'instant ts = t0 + Δts et la duré Δts de cette nouvelle maille. Afin de borner l'erreur on choisie une valeur de Δts proportionnelle à la plus grande variation de pente, mais initialement égale à Δt0.

La formule précédente s'applique pareillemment :

τ = t - t0
τ∈[0,Δt]

a = a0 + ps
v = v0 + a0*τ + ps2/2
r = r0+ v0*τ + a02/2 + ps3/6

Le procédé itératif consiste à poser au départ Δts, et pour chaque particule, ps, telle qu'ils vallaient lors de la maille précédente Δts = Δt0 et ps = p0. Puis à chaque itération, on calcule pour chaque particule rs, vs comme suit :

vs = v0 + a0*Δts+ ps*Δts2/2
rs
= r0 + v0*Δts + a0*Δts2/2 + ps*Δts3/6

Puis en fonction de la configuration globale à cet itération à l'instant ts, on calcule l'accélération as en fonction des états retardés et on ajuste les retards ti afin qu'il correspondent bien au temps de propagation du champ. Puis cela nous donne une autre valeur de ps = (as-a0)/Δt. Puis on calcule Δts = K / max(|ps-p0|) K est une constante posée arbitrairement petite selon la précision souhaitée.

Puis on réitère le calcul, on recalcule vs, rs par la formule précédente, puis on recalcule as et ps en fonction de la configuration globale de l'itération à l'instant ts en ajustant les retard ti, puis on recalcule Δts et ainsi de suite jusqu'à ce que les valeurs ne bougent plus.

On s'en tiendra à faire systématiquement 2 ou 3 itérations.

 

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R = Référentiel-Passage(Ω, u, x0, t0)

L'évènement de passage à lieu lorsque t=0 dans Ω. La position spatiale de R est x0 et est mesurés dans Ω tandis que la position temporelle propre t0 est mesuré dans R. Puisque c'est le même évènement, nous avons en notation baroque :

Ω[x0,0] = R[0,t0]

Le référentiel R se délaçe à la vitesse u mesuré dans Ω. La vitesse u qui est un vecteur détermine une direction de fuite. C'est la direction de fuite du référentiel R mesurée dans le référentiel Ω.

Le référentiel R peut être comparé à une particule fantôme se déplaçant à la vitesse u et ayant une trajectoire spaciale x(t) définie comme suit :

x(t) = u*t + x0

t∈]-∞,∞[ est une variable. Dans Ω, la composante temporelle de toute trajectoire est nécessairement t car il n'y a qu'un seul temps par référentiel. La trajectoire de la particule fantôme à chaque instant t est nécessairement X(t) = [x(t), t] c'est à dire X(t) = [u*t + x0, t].

Mais il existe un temps propre à la particule fantôme qui est mesuré dans le référentiel R et qui joue comme on le verra plus tard un rôle fondamentale.

 

Le choix de cette notation baroque modifie le langage. Le point de passage décrit au chapitre 5 s'énonce différemment. On construit un référentiel R se délaçant à la vitesse v vis à vis du référentiel Ω et dont le point de passage à l'instant t = 0 dans Ω constitue l'évènement noté P qui mesuré dans Ω est égale à PΩ = [x0,0] et qui est mesuré dans R est égale à PR = [0,t0]. Nous avons donc en notation baroque :

PΩ = [x0,0]
PR = [0,t0]

donc Ω(P) = [x0,0] et donc P = Ω-1([x0,0]) et donc P = Ω[x0,0]. De même R(P) = [0,t0] donc P = R-1([0,t0]) et donc P = R[0,t0]. Autrement dit :

Ω[x0,0] = R[0,t0]

Ainsi la notation baroque Ω[x0,0] = R[0,t0] et la notation classique [x0,0]Ω = [0,t0]R sont très proches l'une de l'autre.

La notation baroque identifie le référencement à un référentiel avec la transformation des coordonnées pour passer du référentiel courant au référentiel en question.