Analyse vectorielle

A revoir ............................................

1) Introduction

Approche algèbrique

 

2) La base vectorielle de référence

Dans un espace vectoriel, l'usage de coordonnées nécessite une base, appelé base de référence. Mais le choix de cette base étant arbitraire, les coordonnées (qui en dépendent) perdent de leur pertinances. Les valeurs indépendantes du choix de la base, dites invariantes par changement de base, constitues des caractéristiques remarquables. Elles permettent d'établir une classification et finalement une compréhenssion des différents configurations possibles, indépendante du choix arbitraire de la base qui est utilisée comme référence.

Le référentiel apparait ici comme le moyen de comparaison, l'étalon de mesure, permettant de définir de façon simple des objets relatif à ce référentiel. Le référentiel s'enrichira par étape, et à chaque étape, il procure une nature plus précise de l'espace, et une notion d'invariance plus précise. Au départ le référenciel ne contient qu'une base, c'est à dire 3 vecteurs non coplanaires de l'espace vectoriel R3. Et plus exactement il contient la base canonique (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1).

3) Le produit vectoriel

Nous n'utiliserons pas les notations de l'algèbre tensoriel qui sont particulièrement obscures pour les personnes non initiées. On présente le calcul matriciel sous sa forme géométrique et procédurale, c'est à dire que l'on décrit un processus de calcul opérant sur un tableau de coordonnée représenté géométriquement. Cela est beaucoup plus parlant qu'une somme indicée avec un ordre d'indice savant.

La définition géométrique nous amène à considérer des matrices colonnnes et des matrice lignes.

La définition du calcul matriciel est récurcive, en ce que les éléments d'une matrice peuvent être eux-même des matrices. La seul contrainte est la suivante : étant donné deux matrices A et B, le produit est autorisé si et seulement si le nombre de colonnes de la matrice A est égale au nombre de lignes de la marice B et que leurs éléments peuvent à leur tours se combiner en produits.

Le produit matriciel est associatif dans la mesure où il est autorisé.

Notation : On fait le choix de noter l'indice de ligne en premier, puis l'indice de colonne en second, de tel sorte qu'une matrice A s'écrit ainsi :

       [A11  A12  A13]                 [V1]                    [A11*V1 + A12*V2 + A13* V3]
A = [A21  A22  A23]         V =  [V2]        A*V = [A21*V1 + A22*V2 + A23* V3]
       [A31  A32  A33]                 [V3]                    [A31*V1 + A32*V2 + A33* V3]

Dans A*V, on passe d'une coordonnée à la suivante en incrémentant le premier indice de A : A(i,j) --> A(i+1,j). Chaque coordonnée est une somme de mônômes, on passe d'un monôme au suivant en incrémentant l'indice de V et le second indice de A : A(i,j) et V(k) --> A(i,j+1) et V(k+1). De même :

       [A11  A12  A13]                 [B11  B12  B13] 
A = [A21  A22  A23]         B =  [B21  B22  B23]   
       [A31  A32  A33]                 [B31  B32  B33]   

             [A11*B11 + A12*B21 + A13* B31, A11*B12 + A12*B22 + A13* B32, A11*B13 + A12*B23 + A13* B33]
A*B =  [A21*B11 + A22*B21 + A23* B31, A21*B12 + A22*B22 + A23* B32, A21*B13 + A22*B23 + A23* B33]
             [A31*B11 + A32*B21 + A33* B31, A31*B12 + A32*B22 + A33* B32, A31*B13 + A32*B23 + A33* B33]

Dans A*B, on passe à la coordonnée de droite en incrémentant le second indice de B : B(i,i) --> B(i,j+1), et on passe à la coordonné en dessous en incrémentant le premier indice du coéfficient A : A(i,j) --> A(i+1,j). Chaque coordonnée est une somme de mônômes, on passe d'un monôme au suivant en incrémentant le second indice de A et le premier indice de B : A(i,j) et B(p,q) --> A(i,j+1) et B(p+1,q).

4) Les changements de base

On définie le rang d'une liste de vecteurs dim(u,v,w,...) comme étant la dimenssion de l'espace vectoriel engendré par ces vecteurs. Le rang constitue un invariant par automorphisme vectoriel. C'est à dire quelque soit un automorphisme A de l'espace vectoriel E, et des vecteurs (par exemple trois vecteurs, mais cela est valable pour n vecteurs) u,v,w appartenant à E, nous avons dim(u,v,w) = dim(A(u),A(v),A(w)) et donc dim(u,v,w) constitue bien un invariant par automorphisme vectoriel.

A revoir : Pour déterminer s'il existe d'autres invariants il faut étudier les automorphismes vectoriels qui correspondent aux changement de base. Dans un répère, l'automorphisme se présente sous forme d'une matrice non dégénéré (de déterminant non nul).

Etant donné une base (e1, e2, e2) et une autre base (e1', e2', e3'). Soit l'automorphisme r qui transforme la base (e1,e2,e3) en la base (e1', e2', e3'). Nous avons :

r(e1) = e1'
r(e2) = e2'
r(e3) = e3'

Soit un vecteur v que nous exprimons dans la base (e1,e2,e3) puis dans la base (e1', e2', e3') comme suit :

v = x*e1 + y*e2 + z*e3
v = x'*e1' + y'*e2' + z'*e3'

La représentation matricielle V du vecteur v dans la base (e1,e2,e3), est la matrice colonne contenant les coordonnées x, y, z. La représentation matricielle V' du vecteur v dans la base (e1', e2', e3'), est la matrice colonne contenant les coordonnées x', y', z'. On les note aussi de façon transposés en lignes, avec l'opérateur de transposition t . Ainsi nous avons les deux matrices colonnes suivantes :

V = (x, y, z)t
V'= (x', y', z')t

x*e1 + y*e2 + z*e3 = x'*e1' + y'*e2' + z'*e3'
x*e1 + y*e2 + z*e3 = x'*r(e1) + y'*r(e2) + z'*r(e3)

Puisque r est linéaire, nous avons :

x*e1 + y*e2 + z*e3 = r(x'*e1 + y'*e2 + z'*e3)

Soit R la représentation maticielle de r dans le base (e1,e2,e3), nous avons donc :

V = R*V'

Soit un endomorphisme vectoriel m quelconque. Soit sa représentation matricielle M dans la base (e1,e2,e3) et M' dans la base (e1',e2',e3'). Soit u le vecteur image de v par m. Soit sa représentation matricielle U dans la base (e1,e2,e2) et U' dans la base (e1',e2',e3').

m(v) = u.

M*V = U

M*(R*U') = R*V'

R-1*M*R*U' = V'

R-1*M*R = M'

Ainsi lorsque l'on change de base la représentation matricielle M d'un endomorphisme est conjugué par la matrice de changement de base R pour produire une nouvelle matrice M' = R-1*M*R. Les matrices M et M' sont dites semblables. De même deux endomorphismes sont dits semblables si il existe un automorphisme qui conjugue l'un pour produire l'autre.

Ce qui est invariant par changement de base, dans une matrice M, est alors représenté par l'ensemble des matrices semblables à M :

{ R-1*M*R / R est un automorphisme de R3}

5) Le polynôme caractéristique

Le polynôme caractéristique d'un endomorphisme m, noté Pm, est par définition :

Pm(X) = det(X*id - m)

Pm(X) = (X-λ1)*(X-λ2)*(X-λ3)

Pm(X) = X3 - tr(m)*X2 + Z(m)*X - det(m)

Les caractéristiques det (determinant), Z (caracteristique seconde), tr (trace) sont invariantes par changement de base et peuvent donc être appliqués aussi bien à une matrice qu'à un endomorphisme.

tr(A) = A11
        + A22
        + A33

Z(A) = A11*A22 - A12*A21
        + A22*A33 - A23*A32
        + A33*A11 - A31*A13

det(A) = A11*(A22*A33 - A23*A32)
            +A22*(A33*A11 - A31*A13)
            +A33*(A11*A22 - A12*A21)

On passe d'une ligne à la suivante en incrémentant les indices de façon cyclique 1-->2-->3-->1-->2.

Z(A) = (tr(A)2 - tr(A2))/2
det(A) = tr(A3)/3 - tr(A2)*tr(A)/2 + tr(A)3/6
(valable que pour la dimenssion 3)

Le polynôme caractéristique annule l'endomorphisme. Ainsi Pm(m) = 0. Le polynome minimale (Le polynôme de plus petit degré qui annule m) divise le polynôme caractèristique.

6) La suite des invariants de similitude (Réduction de frobenius)

Tout endomorphisme u se décompose en un produit directe d'endomorphismes dont les polynômes caractéristiques sont ordonnés selon la relation de divisibilité. La suite des invariants de similitude de u est la suite de ces polynôme annulateur (Pi(u)=0) partant du polynôme minimale pour aller au polynôme caractéristique P1, P2, P3... avec Pi divise Pi+1. Elle constituent l'ensemble exhaustifs des invariants associés à la matrice. Cela signifie que tout autre invariant se calcule à partir de ceux là. Cela est équivalent à dire que deux matrices, ayant la même suite d'invariants de similitude, sont nécessairement semblables.

7) Les formes linéaires et l'espace dual

On définie l'espace dual des formes linéaires. Soit une base (e1,e2,e3), on définie canoniquement la base duale (f1,f2,f3) qui constitue une base de l'espace dual, l'espace des formes linéaires sur E, de la façon suivante :

f1(e1)=1, f1(e2)=0, f1(e3)=0
f2(e1)=0, f2(e2)=1, f2(e3)=0
f3(e1)=0, f3(e2)=0, f3(e3)=1

Soit un vecteur v de composante (v1,v2,v3) dans la base (e1,e2,e3). Nous avons :

v = v1*e1 + v2*e2  + v3*e3  

f1(v) = v1
f2(v) = v2

f3(v) = v3

Soit une forme linéaire k de composante (k1,k2,k3) dans la base (f1,f2,f3). Nous avons :

k = k1*f1 + k2*f2 + k3*f3  

k(v) = k1*v1 + k2*v2 + k3*v3

On note le produit scalaire k*v = k(v) = v*k = v(k). Car il y a un isomorphisme canonique entre l'espace et son dual dual : v-->(k-->k(v)).

Etant donné un endomorphisme m, la représentation matricielle de m dans la base (e1, e2, e3) est :

[f1(m(e1))  f1(m(e2))  f1(m(e3))]
[f2(m(e1))  f2(m(e2))  f2(m(e3))]
[f3(m(e1))  f3(m(e2))  f3(m(e3))]

Soit une autre base (e1', e2', e3'). Soit les composantes (v1', v2', v3') de v dans cette base, et soit les formes linéaires (f1',f2',f3') constituant la base dual de (e1',e2',e3') :

v' = x'*e1' + y'*e2' + z'*e3'

f1'(e1')=1, f1'(e2')=0, f1'(e3')=0
f2'(e1')=0, f2'(e2')=1, f2'(e3')=0
f3'(e1')=0, f3'(e2')=0, f3'(e3')=1

La représentation matricielle V du vecteur v dans la base (e1,e2,e3), est la matrice colonne contenant les coordonnées x, y, z. La représentation matricielle V' du vecteur v dans la base (e1', e2', e3'), est la matrice colonne contenant les coordonnées x', y', z'. On les note aussi de façon transposés en lignes, avec l'opérateur de transposition t . Ainsi nous avons les deux matrices colonnes suivantes :

V = (x, y, z)t
V'= (x', y', z')t

x*e1 + y*e2 + z*e3 = x'*e1' + y'*e2' + z'*e3'
x*e1 + y*e2 + z*e3 = x'*m(e1) + y'*m(e2) + z'*m(e3)

Puisque m est linéaire, nous avons :

x*e1 + y*e2 + z*e3 = m(x'*e1 + y'*e2 + z'*e3)

Soit M la représentation maticielle de m dans le base (e1, e2, e3), nous avons donc :

V = M*V'

Soit un endomorphisme vectoriel m quelconque. Soit sa représentation matricielle M dans la base (e1,e2,e3) et M' dans la base (e1',e2',e3'). Soit u le vecteur image de v par m. Soit sa représentation matricielle U dans la base (e1,e2,e2) et U' dans la base (e1',e2',e3').

m(v) = u.

M*V = U

M*(R*U') = R*V'

R-1*M*R*U' = V'

R-1*M*R = M'

Ainsi lorsque l'on change de base la représentation matricielle M d'un endomorphisme est conjugué par la matrice de changement de base R pour produire une nouvelle matrice M' = R-1*M*R. Les matrices M et M' sont dites semblables. De même deux endomorphismes sont dits semblables si il existe un automorphisme qui conjugue l'un pour produire l'autre.

Ce qui est invariant par changement de base, dans une matrice M, est alors représenté par l'ensemble des matrices semblables à M :

{ R-1*M*R / R est un automorphisme de R3}

 


5) Le produit scalaire

L'espace vectoriel ne peut définire le produit scalaire (bien que son espace sous-jacent R3 possède de façon canonique un produit scalaire). Il faut ajouter un opérateur supplémentaire à la structure d'espace vectoriel, ce que nous faisons en ajoutant le produit scalaire, une opération bilinéaire non dégénéré que par pragmatisme on explicite dans une base de référence. Sans altérer à la généralité, l'analyse vectorielle nous assure que le produit scalair s'exprime relativement à une base, par une matrice symétrique comme suit :

                       [0  -c   b] [B1]
A·B = AGB = [A1 A2 A3] [c   0  -a] [B2]
                       [-b  a   0] [B3]

La matrice de Gram, où matrice métrique, G est une matrice symétrique, non dégénéré (de déterminant non nul). G est la matriceunité lorque le repère est orthonormé.

 

 

On définie une métriue