1. L'algèbre des unités physiques

On formalise le système d'unitées physiques en une algèbre, que l'on étend à chaque nouvelle unité physique. Une grandeur physique est le produit d'un nombre et d'une unité physique. Les unités physiques complètent ainsi l'algèbre des nombres.

1.1 Les grandeurs

Il convient d'abord de décrire une première échelle sans unitée, dite de "notation scientifique", qui sert de préfixe aux unités, que sont les puissances de 10, multiples de 3, auxquelles on ajoute les échelles 0.01, 0.1, 10, 100 :

Valeur Symbole Préfixe
Echelle
101
da
deca
Dix
102
h
hecto
Cent
103
k
kilo
Millier
106
M
méga
Million
109
G
giga
Milliard
1012
T
téra
Billion
1015
P
péta
Billiard
1018
E
exa
Trillion
1021
Z
zetta
Trilliard
1024
Y
yotta
Quadrillion
Valeur Symbole Préfixe
Echelle
10-1
d
déci
Dixième
10-2
c
centi
Centième
10-3
m
milli
Millième
10-6
µ
micro
Millionième
10-9
n
nano
Milliardième
10-12
p
pico
Billionième
10-15
f
femto
Billiardième
10-18
a
atto
Trillionième
10-21
z
zepto
Trilliardième
10-24
y
yocto
Quadrillionième

On considère les 4 unités du système international MKSA : m, kg, s, A, que sont le mètre, le kilogramme, la seconde et l'ampère. On remplace la quatrième unité, l'ampère, par le coulomb jugé plus fondamental.

C'est au tout début du XXième siècle que l'Italien Giovanni Giorgi montra qu'on obtenait un système cohérent à l'aide de ces quatres unités seulement.

Il faut considérer une notion un peu plus générale que l'unité, qui est l'espèce (ou la dimension). Une espèce est une unité à un facteur numérique multiplicatif près. Il convient de poser 4 espèces (ou dimensions), et de les ordonnées en privilègiant les espèces les plus fondamentales d'abord. La première espèce sera le temps, puis la longueur, définissant ainsi l'espace-temp où se propage le champ électromagnétique, et où se crée la charge électrique et l'énergie qui permet de définir la masse grace à la célèbre formule d'Einstein E=m*c². L'ordre des espèces que nous choisissons est donc T, L, C, M, le temps, la longueur, la charge et la masse. Toute grandeur physique x possède une dimension notée [x] = Tt * Ll * Cc * Mm caractérisée par les paramètres signature(x) = (t,l,c,m). L'équation aux dimensions permet de vérifier l'homogénéité des formules.

Le kilogramme est composé du préfixe kilo et de l'espèce gramme. Si le système d'unité avait été défini par des linguistes, ils auraient probablement choisi le gramme, une racine, héritage de la langue, au lieu du kilogramme, comme unité de masse. Mais il en est autrement, et nous ne le modifierons pas pour ne pas avoir à redéfinir les unitées dérivées, de force et d'énergie.

Puis on définie les espèces dérivées que sont la force, l'énergie, la puissance, le potentiel électrique, l'ampère, l'ohm, le farad. On définie une unité de force N, le newton. Un newton mesure une force qui, si elle est appliquée sur une masse d'un kilogramme, l'accélère d'un mètre par seconde par seconde. On définie une unité d'énergie J, le joule. Un joule correspond à l'énergie dépensée par une force d'un newton déplaçant un objet d'un mètre dans le sens de la force : J = N*m. Puis on définie une unité de puissance W, le watt. Un watt correspond à un débit d'énergie d'un joule par seconde : W = J/s. Puis on définie une unité de potentiel électrique V, le volt. Un volt représente l'énergie d'un joule par Coulomb : V = J/C. Puis on définie une unité de débit électrique A, l'ampère. Un ampère représente le débit d'un coulomb par seconde : A = C/s. Puis on définie une unité de résistance électrique Ω, l'ohm. Un ohm répresente un voltage par ampère : Ω = V/A. Puis on définie une unité de capacité électrique F, le farad. Un farad représente un coulomb par volt : F = C/V.

Espèce
Dimension
Unité
Unité
symbole
Unité
Valeur
Variable Symbole
Relation
de définition
Temp T seconde
s
 
t
Distance L mètre
m
 
x
Charge électrique C Coulomb
C
 
q
Masse M kilogramme
kg
 
m
Quantité de mouvement T-1 * L * M      
p
p = m*v
Action T-1 * L2 * M      
S
S = p•x
Force T-2 * L * M newton
N
s-2 * m * kg
F
F = dp/dt
Energie T-2 * L2 * M joule
J
s-2 * m2 * kg
W
dW = F•dl
Puissance T-3 * L2 * M watt
W
s-3 * m2 * kg
P
P = dW/dt
Potentiel électrique T-2 * L2 * C-1 * M volt
V
s-2 * m2 * C-1 * kg
U
W = q*U
Courant électrique T-1 * C ampère
A
s-1 * C
I
I = dC/dt
Résistance électrique T-1 * L2 * C-2 * M ohm
Ω
s-1 * m2 * C-2 * kg
R
U=R*I
Capacité électrique T2 * L-2 * C2 * M-1 farad
F
s2 * m-2 * C2 * kg-1
C
q = C*U

A partir de ce système d'unité, nous allons exposer différentes lois physiques selon un ordre proche de la chronologique :

1.2) La loi du mouvement et de la gravitation de Newton

Isaac Newton (1642 - 1727) est un philosophe, mathématicien, physicien, alchimiste, astronome et théologien anglais.

On commence par exposer la conception newtonienne du mouvement et des forces qui est à la base de la mécanique classique. Elle comprend 4 lois : Le principe d'inertie, le principe fondamental de la dynamique, le principe des actions réciproques, puis la loi de gravitation universelle.

Le principe d'inertie stipule qu'une particule en mouvement ne subissant aucune force extérieure, va continuer son mouvement de façon rectiligne et uniforme. Autrement dit, sans l'action d'une force extérieur, la vitesse d'une particule ne peut pas changer. Ce principe donne la définition des référentiels galiléens que sont les référentiels en translation uniforme dans un espace euclidien.

Le principe fondamentale de la dynamique stipule que la force résultante appliquée à une particule est égale à la dérivé par rapport au temps, de la quantité de mouvement de la particule. On note en gras les vecteurs et en non gras les scalaires.

Loi de Newton

p = m*v
f = dp/dt
f = d(m*v)/dt

f : Somme des forces s'exerçant sur la particule (vecteur)
p : Quantité de mouvement de la particule (vecteur)
m : Masse au repos de la particule
v : Vitesse de la particule (vecteur)
t : Temps

Le principe des actions réciproques stipule que si une particule A exerce une force sur une particule B alors la particule B exerce au mêmes instants une force égale et opposée sur la particule A.

Ces trois principes entrainent ; le principe de relativité galiléennes, la conservation de la quantité de mouvement, et si les forces sont centrales, la conservation du moment cinétique, et si les forces dérivent de potentiels, la conservation de l'énergie.

Le principe de relativité galiléennes stipule que les lois de la mécanique sont invariantes par transformation galiléenne. Autrement dit, dans un référentiel en translation uniforme les lois de la mécanique sont les mêmes.

La conservation de la quantité de mouvement signifie qu'un système de particules qui n'est soumis à aucune force extérieur possède une quantité de mouvement totale, somme vectorielle des quantités de mouvement de chaque particule, qui est constante.

La conservation du moment cinétique signifie qu'un système de particules qui n'est soumis à aucune force extérieur possède un moment cinétique total qui est constant. Le moment cinétique total est la somme vectorielle des momments cinétiques de chaque particule auquel on ajoute la somme des moments des quantitées de mouvement de chaque particule raportés au réfrentiel galiléen quelconque (moment cinétique décentré). Mais le plus souvent et de façon implicite on choisira d'exprimer le moment cinétique centré c'est à dire raporté au centre de masse du système.

La conservation de l'énergie signifie qu'un système de particules qui n'est soumis à aucune force extérieur possède une énergie totale, somme des énergies potentielles de chaque particule et des énergies cinétiques de chaque particule, qui est constante.

La loi de gravitation universelle stipule que deux particules s'attirent selon une force proportionnelle au produit des masses divisé par le carré de la distance les séparant. Le facteur de proportionnalité constitue une constante fondamentale qu'est la constante des forces gravitationnelles G :

Force attractive de gravité

F = G * m1 * m2 / r2

F : Force attractive subit par la masse m1 et qui est créée par la masse m2
m1 : Masse de la particule 1.
m2 : Masse de la particule 2.
r : Distance entre les deux particules.
G : Constante des forces gravitationnelles.

La valeur approximative de la constante des forces gravitationnelles dans le système MKSA est :

G ≃ 6.6738*10-11 m3*kg-1*s-2

Les dimensions de G sont :

[G] = T-2 * L3 * M-1                        signature(G) = (-2,3,0,-1)

Cette loi affirme le principe d'équivalence entre masse d'inertie et masse gravifique. Ce principe d'équivalence est vérifié expérimentalement : Le rapport entre la masse d'inertie et la masse gravifique est égale à 1 jusqu'à une précision de 10-12.

1.3) La loi de Coulomb

Charles-Augustin Coulomb (1736, Angoulême - 1806, Paris), est un officier, ingénieur et physicien français.

La loi de coulomb (qui n'est valable que si les charges électriques sont fixes) stipule que la force répulsive électrique entre deux particules est proportionnelles au produit des charges divisé par le carré de la distance les séparant. Le facteur de proportionnalité constitue une constante fondamentale qu'est la constante de Coulomb appellé aussi constante des forces électriques ζ :

Force répulsive électrique

F = ζ * q1 * q2 / r2

F : Force répulsive subit par la particule 1 et qui est créée par la particule 2
q1 : Charge électrique de la particule 1
q2 : Charge électrique de la particule 2
r: Distance entre les deux particules
ζ : Constante des forces électriques (Constante de Coulomb)

La force est attractive losque la force répulsive devient négative, ce qui arrive lorsque les charges sont de signes opposés.

La valeur approximative de la constante des forces électriques dans le système d'unités MKSA est :

ζ ≃ 8,987553*109 m*F-1

Les dimensions de ζ sont :

[ζ ] = T-2 * L3 * C-2 * M                     signature(ζ) = (-2,3,-2,1)

1.4) Le théorème de Gauss

Johann Carl Friedrich Gauss (1777, Brunswick - 1855, Göttingen) est un mathématicien, astronome et physicien allemand. Il a apporté de très importantes contributions à ces trois domaines. Surnommé « le prince des mathématiciens », il est considéré comme l'un des plus grands mathématiciens de l'histoire.

Une particule A exerce une force sur une particule B par l'intermédiaire d'un champ qu'elle émet. La force subit par la particule B correspond à l'effet du champ émis par la particule A et qui a atteint la particule B. Ainsi la loi de Coulomb se scinde en deux loi. La première loi indique la force exercée par un champ électrique sur la particule B. Et la seconde loi indique la création du champ émie par la particule A.

Force créée par un champ électrique

F = q*E

F : Force subit par la particule
q : Charge électrique de la particule
E : Champ électrique là ou se trouve la particule et qui est produit par les autres particules

C'est la définition du champ électrique. Noter qu'il n'y a pas de coefficient de proportionnalité.

Champ répulsif créée par une charge électrique fixe

E = ζ * q / r2

E : Champ répulsif créée à la distance r de la particule.
q : Charge électrique de la particule
r : Distance entre la particule et la mesure du champ
ζ : Constante des forces électriques

Par convention on appel un champ répulsif, un champ qui est centrale et dirigé vers l'extérieur (s'éloignant de la source) lorsque la charge est positive. Et il devient attractif lorsque la charge est négative.

Le champ électrique est perçu comme un flux conservatif dont les sources sont les charges électriques ponctuelles, et qui part dans toutes les directions en respectant pour chaque charge électrique ponctuelle une symétrie sphérique. Il en découle le théorème de Gauss que voici :

Le flux du champ électrique à travers une surface S fermée est égal à la somme des charges contenues dans le volume V délimité par cette surface divisée par une constante ε0.

Ce principe correspond à la forme intégrale d'une des équations locales de Maxwell qui est div(E) = ρ/ε0

Ce théorème s'applique pour tous les champs qui sont centraux et dont la grandeur est inversement proportionnelle au carré de la distance. Donc il s'applique également pour le champ de gravité en remplaçant les charges par les masses.

Ce théorème détermine le champ créée à une distance r par une charge q fixe qui doit être égale à E = ζ*q/r2 et qui permet ainsi de lier la constante de Coulomb ζ aussi appellée constante des forces électrique, avec la constante de permittivité diélectrique du vide ε0 :

ζ = 1/(4πε0)

Le correspond à l'angle solide complet (surface complète de la sphère de rayon 1), et ε0 correspond à la permittivité diélectrique du vide. Sa valeur approximative dans le système d'unités MKSA est :

ε0 ≃ 8,854187*10-12 F*m-1

Les dimensions de ε0 sont :

0] = T2 * L-3 * C2 * M-1                     signature(ζ) = (2,-3,2,-1)

1.5) La définition de l'ampère

Un ampère est par définition égale à un débit d'un coulomb par seconde. A = C/s.

André-Marie Ampère (1775, Lyon - 1836, Marseille) est un mathématicien, physicien, chimiste et philosophe français. Il était membre de l'Académie des sciences et professeur à l'École polytechnique et au Collège de France.

La loi d'ampère stipule que la force linéique attractive entre deux fils conducteurs rectilignes, parallèles, de longueur infinie et de section négligeable, séparé d'une distance r, et parcourue par des intensités i1 et i2 comptabilisées dans le même sens, que cette force linéique attractive est proportionelle au produit des intensités divisé par la distance r. Le facteur de proportionnalité constitue une constante fondamentale qu'est la constante d'Ampère k :

Force linéique attractive magnétique

F = k * I1* I2 / r

F : Force linéique attractive subit par le fil 1 et qui est créée par le fil 2
I1 : Inensité électrique parcourant le fil 1
I2 : Intensité électrique parcourant le fil 2 et qui est comptabilisé dans le même sens que le fil 1
r : Distance entre les deux fils.
k : Constante d'Ampère.

La force linéique est exprimée en newton par mètre. Elle représente une force qui s'applique à chaque portion du fil. La force linéique est répulsive losque la force linéique attractive devient négative, ce qui arrive lorsque les courants sont de sens contraire.

Dans le système d'unités MKSA, l'unité d'un ampère est définie comme étant l'intensité de courant constant nécessaire, maintenu dans deux fils conducteurs rectilignes, parallèles, de longueur infinie et de section négligeable, placés à un mètre l'un de l'autre, pour produit entre ces deux fils une force linéique exactement égale à 2*10-7 newton par mètre. La force linéique s'applique sur toute la longueur du fil, chaque portion d'un mètre de fil est soumis à une force magnétique attractive de 2*10-7 newton, tendant ainsi à rapprocher les fils parallèles parcouru par des courants de même sens.

Donc dans le système d'unités MKSA, la constante d'Ampère k vaut par définition exactement :

Constante d'Ampère

k = 2*10-7 m-1 * C * kg-1
  

Le coulomb peut être définie d'une façon similaire à la définition de l'ampère en utilisant la loi de Coulomb : Un coulomb est la charge électrique nécessaire devant être placée sur chacune de deux sphères conductrices de rayon négligeable, séparées d'un mètre, pour produire entre ces deux sphères une forces répulsive égale à 8,987553*109 newton. Cette définition est évidement éloigner de la pratique, mais elle aurait été tout autant valable que la définition de l'ampère. Ceci dit, c'est la constante d'Ampère k qui a été fixé dans le système d'unités MKSA. Donc c'est la constante de Coulomb, ou constante des forces électriques, ζ , qui porte l'incertitude de nos connaissances sur la valeurs des constantes fondamentales.

Constante de Coulomb

ζ ≃ 8,987553*109 * s-2 * m3 * C-2 * kg
  

http://www.ampere.cnrs.fr/parcourspedagogique/zoom/courant/force/index.php
http://www.ampere.cnrs.fr/parcourspedagogique/zoom/unitelec/systeme/index.php

1.6) Les équations de Maxwell et la théorie de la relativité restreinte

James Clerk Maxwell (1831, Édimbourg, Écosse - 1879, Cambridge, Angleterre), physicien et mathématicien écossais unifia en un système de 4 équations locales, l'électricité, le magnétisme et la lumière. Ces équations, publiées en 1864, constitue l'une des plus grandes avancées théoriques de l'histoire. Ces équations contiennent en germe la relativité restreinte.

Hendrik Antoon Lorentz (1853, Arnhem - 1928, Haarlem) est un physicien néerlandais qui s'est démarqué par ses travaux théoriques sur la nature de la lumière et la constitution de la matière. Il est co-lauréat avec Pieter Zeeman du prix Nobel de physique de 1902. Il découvre les transformations de Lorentz (qui portent son nom) et qui correspondent aux changement de référentiels en translation uniforme, en relativité restreinte.

Albert Einstein (1879 Ulm, Allemagne - 1955 Princeton Etats-Unis), physicien théoricien, présenta en 1905 la relativité restreinte qui révolutionna la physique. La théorie de la relativité constitue l'une des plus grandes avancées théoriques de l'histoire, créant la notion d'espace-temps et supprimant la notion absolue de simultanéité distante car celle-ci s'avère dépendante de l'observateur. Albert Einstein fut successivement allemand puis apatride (1896), suisse (1901), suisse-autrichien (1912), suisse-allemand (1914), suisse (1933), et suisse-américain (1940).

Cette nouvelle conception de l'espace-temps et du champ électromagnétique est le résultat combinée de l'électromagnétisme de Maxwell et de la relativité restreinte d'Einstein. Elle permet de définir le champ électromagnétique, la force de Lorentz, les portentiels et l'énergie du champ. Et elle permet de passer du champ électrique au champ magnétique par transformation de Lorentz, c'est à dire par changement de repère en translation uniforme.

On définit tout d'abord ce qu'est un champ scalaire φ et un champ vectoriel E. On note en gras les vecteurs et en non gras les scalaires. Etant donnée un repaire (appelé l'observateur), chaque point de l'espace-temps possède 4 coordonnées ; 3 spatiales x,y,z, et une temporelle t. Un champ scalaire φ représente une valeur scalaire, c'est à dire un nombre avec une même unité physique en chaque point de l'espace-temps et que l'on peut notée sous forme fonctionnelle φ(x,y,z,t). Cette fonction est analytique par principe (ou plus exactement on choisie pour notre exposé une configuration où toutes ces fonctions sont analytiques).

Un vecteur E possède 3 composantes spatiales notées Ex, Ey, Ez. Un champ de vecteur couvre tout l'espace-temps en associant à chaque point de l'espace-temps (x,y,z,t), un vecteur E que l'on peut noter sous forme fonctionnelle E(x,y,z,t). De même, cette fonction est analytique par principe.

On définit ensuite des opérations sur les vecteurs que sont le produit scalaire noté, et le produit vectoriel noté . Puis on définie la divergence d'un champ de vecteurs, le rotationnel d'un champ de vecteurs et le gradient d'un champ de scalaires :

Le produit scalaire de deux vecteurs A, B :

AB = Ax*Bx + Ay*By + Az*Bz

Le produit vectoriel de deux vecteurs A, B :

(AB)x = Ay*Bz - Az*By
(AB)y = Az*Bx - Ax*Bz
(AB)z = Ax*By - Ay*Bx

Le nabla est l'opérateur vecteur suivant :

x = ∂/∂x
y = ∂/∂y
z = ∂/∂z

Le laplacien est l'opérateur scalaire suivant :

Δ = 2φ =

Δφ = ∂2(φ)/∂2x + ∂2(φ)/∂2y + ∂2(φ)/∂2z

La divergence d'un champ de vecteur E est :

div(E) = E

div(E) = ∂(E)/∂x + ∂(E)/∂y + ∂(E)/∂z

Le rotationnel d'un champ de vecteur E est le vecteur suivant :

rot(E) = E

rot(E)x = ∂(Ez)/∂y - ∂(Ey)/∂z
rot(E)y = ∂(Ex)/∂z - ∂(Ez)/∂x
rot(E)z = ∂(Ey)/∂x - ∂(Ex)/∂y

Le gradient d'un potentiel scalaire φ est le vecteur suivant :

grad(φ) = φ

grad(φ)x = ∂(φ)/∂x
grad(φ)y = ∂(φ)/∂y
grad(φ)z = ∂(φ)/∂z

Puis on expose les 4 équations de Maxwell, l'énergie du champ électromagnétique, le potentiel du champ électromagnétique, la loi de conservation de la charge. Ces équations sont dites locales car elles ne font intervenir que des variables d'état locales au point de coordonnée (x,y,z,t) et ces équations s'appliquent pareillement en tout point de l'espace-temps.

Equations de Maxwell

Maxwell-Gauss : Le champ électrique engendré par la charge électrique

div(E) = ρ/ε0

Maxwell-Faraday : Le champ électrique engendré par induction

rot(E) = - ∂(B)/∂t

Maxwell-Thomson : Il n'existe pas de monopôle magnétique

div(B) = 0

Maxwell-Ampère : Le champ magnétique engendré par courant et par induction

  rot(B)*c2 = J0 + ∂(E)/∂t


E : Champ électrique (vecteur)
B
: Champ magnétique (vecteur)
ρ
: Densité de charge électrique
J: Densité de courant électrique (vecteur)
t : Temps
c : Constante de la vitesse de la lumière dans le vide
ε0 : Permittivité du vide


Energie

U = ε0 * (EE + c2*BB)/2 * dV

U : Energie du champ électromagnétique
E : Champ électrique (vecteur)
B : Champ magnétique (vecteur)
dV : Elément différentiel de volume
c : Constante de la vitesse de la lumière dans le vide
ε0 : Permittivité du vide


Potentiel

E = -grad(φ) - ∂(A)/∂t

B = rot(A)

2φ - (1/c2)*∂2(φ)/∂2t = ρ/ε0

2A - (1/c2)*∂2(A)/∂2t = j/(ε0*c2)

E : Champ électrique (vecteur)
B : Champ magnétique (vecteur)
φ : Potentiel électrique
A : Potentiel vecteur (vecteur)
ρ : Densité de charge
J : Densité de courant (vecteur)
c : Constante de la vitesse de la lumière dans le vide
ε0 : Permittivité du vide

Les potentiels sont définis à une constante près. Néanmoins il existe une détermination particulièrement intéressante appellée la jauge de Lorenz et qui permet de réunir les composantes du potentiel vecteur avec le potentiel scalaire en un quadrivecteur potentiel sur lequel s'applique alors les transformations de Lorentz lors d'un changement de référentiels en translation uniforme, conformement à la relativité restreinte.

Jauge de Lorenz

div(A)*c2 + ∂φ/∂t = 0

A : Potentiel vecteur (vecteur)
φ : Potentiel électrique
c : Constante de la vitesse de la lumière dans le vide
t : Temps

L'équation aux limites est une équation local qui traduit la conservation de la charge électrique :

Conservation de la charge

div(J) + ∂ρ/∂t = 0

J : Densité de courant (vecteur)
ρ : Densité de charge
t : Temps

Puis on expose la force de Lorentz, qui est une équation corpusculaire.

Force de Lorentz

F = q*(E + vB)

F : Force exercée sur la particule (vecteur)
q : Charge électrique de la particule
v : Vitesse de la particule (vecteur)
E : Champ électrique (vecteur)
B : Champ magnétique (vecteur)

Les dimensions de ε0, E, B, J, ρ, A, φ sont :

Espèce
Dimension
Signature
Unité
Unité
symbole
Unité
Valeur
Symbole
Relation
de définition
Champ électrique T-2 * L * C-1 * M
(-2, 1, -1, 1)
volt par mètre
V/m
s-2 * m * C-1 * kg
E
U = x*E
Champ magnétique T-1 * C-1 * M
(-1, 0, -1, 1)
tesla
T
s-1 * C-1 * kg
B
rot(E) = -∂(B)/∂t
Densité de courant électrique T-1 * L-2 * C
(-1, -2, 1, 0)
A/m²
s-1 * m-2 * C
J
div(J) + ∂ρ/∂t = 0
Densité de charge électrique L-3 * C
(0, -3, 1, 0)
C/m³
m-3 * C
ρ
dq = ρ*dV
Potentiel vecteur T-2 * L2 * M
(-2, 2, 0, 1)
joule
J
s-2 * m2 * kg
A
div(A)*c2 + ∂φ/∂t = 0
Potentiel scalaire T-3 * L2 * M
(3, 2, 0, 1)
watt
W
s-3 * m2 * kg
φ
E = -grad(φ)
Constante ε0 T2 * L-3 * C2 * M-1
(2, -3, 2, -1)
   
ε0
div(E) = ρ/ε0

1.7) Invariance de la vitesse de la lumière

Le principe de base de la relativité restreinte est l'invariance de la vitesse de la lumière (dans le vide) dans tout répère en translation uniforme. La vitesse de la lumière est alors égale à une constante fondamentale notée c connue avec une grande précision, une précision de 0.2 m*s-1. Et comme la seconde est également déterminée avec une trés grande précision, il a été convenue en 1983 de définir le mètre à partir de cette vitesse et de la seconde : « Le mètre est la longueur du trajet parcouru dans le vide par la lumière pendant une durée de 1/299792458 seconde. ». Délors la constante c est par définition égale exactement à :

Vitesse de la lumière

c = 299792458 m*s-1
  

Cette constante établit un lien canonique entre les deux espèces que sont le temps et la longueur. Le temps est transformé en une longueur en le multipliant par c, et la longueur est transformée en un temps en la divisant par c.

La constante c représente la vitesse de déplacement de l'information dans le vide, de quelque nature qu'elle soit. Du point de vue corpusculaire, cela signifie que les particules de masse nulle (masse au repos) se déplacent dans le vide à la vitesse c.

1.8) Champ de potentiel

Selon les équations de Maxwell et de la relativité restreinte, une particule A exerce une force sur une autre particule B par l'intermédiaire d'un champ dont elle est la source et qui se propage à la vitesse c. La vitesse de propagation du champ (et de l'information) n'étant pas infini, l'effet n'est pas instantané.

Le potentiel, qui est ainsi retardé, est définie par les intégrales locales suivantes :

Intégrales locales du potentiel

φ(t) = ζ * ρ(t-r/c)/r dV
A(t) = (ζ / c2 ) * J(t-r/c)/r dV

φ(t) : Potentiel scalaire à l'intant t
A(t) : Potentiel vecteur à l'intant t
ρ(t) : Densité de charge distante à l'instant t
J(t) : Densité de courent distante à l'instant t
r : Distance
t : Temps
dV : Élément différentiel de volume distant
∫... dV : Intégrale sur tout l'espace pour une valeur de t
c : Constante de la vitesse de la lumière
ζ = 1/(4πε0) : Constante des forces électriques

Et le champ électromagnétique, qui est ainsi retardé, s'obtient à partir des potentiels grace aux équations de Maxwell suivantes :

E = - grad(φ) - ∂(A)/∂t
B = rot(A)

La particule source de champ, n'est pas influencée par son propre champ car celui-ci se déplaçant à la vitesse de la lumière n'est jamais rattrapé par la particule source.

La version corpusculaire de ces équations découverte par Liénard et Wiechert, calcule les potentiels retardées engendrés par une charge ponctuelle en mouvement quelconque. Puis les potentiels, comme les champs électriques, et comme les forces électriques, s'ajoutent linéairement.

Alfred-Marie Liénard (Amiens, 1869 - Paris, 1958) est un physicien français.
Emil Johann Wiechert (1861, Tilsit, Province de Prusse - 1928, Göttingen, Allemagne) est un géophysicien allemand.

Potentiels de Liénard-Wiechert.

φ = ζ * q / (r - vr)
A = (ζ / c2 ) * q * v / (r - vr)

φ : Potentiel scalaire
A : Potentiel vecteur (vecteur)
q : Charge électrique de la particule
r : Distance retardée de la particule au point de mesure
r : Distance retardée de la particule au point de mesure (vecteur)
v : Vitesse retardée de la particule
v : Vitesse retardée de la particule (vecteur)
r/c : Temp de retard
c : Constante de la vitesse de la lumière
ζ = 1/(4πε0) : Constante des forces électriques

Noter que le temps de retard r/c est définie par rapport à la position retardé r. (Il s'agit d'une définition récursive mais qui converge.)

Le calcul du potentiel en un point ne dépend pas des positions et des vitesses des particules mais seulement des positions retardées et des vitesses retardées des particules. Car, l'information ne pouvant pas circuler plus vite que la vitesse de la lumière, la transmission instantanée n'éxiste pas, et l'information la plus grande possible reste portée par les positions et vitesses juste retardées du temps de parcours par la vitesse lumière entre la particule et le point de mesure.

1.9) Champ électromagnétique

Selon Feynman, une particule chargée, animé d'un mouvement quelconque, engendre un champ électromagnétique décrit par ces deux équations corpusculaires :

Champ électromagnétique

E = ζ * q * ( r/r3 + (r/c)*d(r/r3)/dt + (1/c2)*d2(r)/dt2 )
c*B = (r/r)∧ E

E : Champ électrique (vecteur)
B : Champ magnétique (vecteur)
q : Charge électrique de la particule
r : Distance retardée de la particule au point de mesure
r : Distance retardée de la particule au point de mesure (vecteur)
r/c : Temp de retard
c : Constante de la vitesse de la lumière
ζ = 1/(4πε0) : Constante des forces électriques

Le cours de physique de Feynman Tome II Electromagnétisme 1, Edition Bilingua Addison-Wesley 1969
Cours d'électromagnétisme de Mr Joffrin, Université Pierre & Marie Curie, 2001

1.10) Rayonnement du corps noir

---- 14 décembre 2013 ----

 

1.11) Quantification de la charge électrique

La quantification de la charge électrique fut découverte par Robert Millikan en 1909.

Robert Millikan (1868, Illinois - 1953, SanMarino) est un physicien américain, prix nobel de physique en 1923 « pour ses travaux sur la charge élémentaire de l'électricité et l'effet photoélectrique»

La charge élémentaire e est considérée comme indivisible. Les quarks, dont l'existence est postulée dès les années 1960, sont censés posséder une charge électrique fractionnaire (des multiples de e/3) mais sont confinés à l'intérieur d'hadrons, particules dont la charge est un multiple de la charge élémentaire, et n'ont pour l'instant jamais été détectés séparément.

La valeur approximative de la charge électrique élémentaire dans le système d'unités MKSA est :

e ≃ 1.602 176 56*10-19 C

 

---- 17 octobre 2013 ----

 

 

 

 

1.11) Quantification de l'énergie

La troisième loi est la théorie des quantas, la loi de quantification de l'énergie découverte par Max Planck, et ici appliqué aux particules par Louis de Broglie.

Max Planck (1858 Kiel, duché de Schleswig - 1947 Göttingen, Allemagne) physicien allemand, découvre en 1900 la loi spectrale du rayonnement d'un corps noir calculée à partir d'une hypothèse de quantification qui sera appellée plus-tard la théorie des quantas.

Louis Victor de Broglie, prince, puis duc de Broglie (1892 Dieppe - 1987 Louveciennes) mathématicien et physicien français, soutient en 1924 une thèse de doctorat purement théorique sur la dualité onde-corpuscule. Elle lui vaudra le prix Nobel de physique pour la « découverte de la nature ondulatoire de l’électron », sa thèse théorique ayant été totalement confirmée par deux expérimentateurs américains Davisson et Germer qui ont observé la première diffraction d’électron par un cristal.

Quanta d'énergie électromagnétique

E = h * c / (λ * 2π)

E : Energie du photon.
λ : Longueur d'onde du photon.
h
: Constante de Planck.
c : Vitesse de la lumière.

A partir de cette équation, nous pouvons déterminer les dimensions de h qui sont T-1 * L2 * M

 

1.12) E=m*c2

 

 

1.10) Symétrie entre charge électrique et charge magnétique

Il apparait dans les équations de Maxwell une symétrie remarquable entre le champ électrique et le champ magnétique, de tel sorte que l'on peut compléter les équations de maxwell afin qu'elles tiennent compte de la présence des monopoles magnétiques, des densités de charges magnétiques et des courants de charges magnétiques. L'extension des équations de Maxwell va simplifier les relations en mettant en exergue la symétrie entre charge électrique et charge magnétique.

http://en.wikipedia.org/wiki/Magnetic_monopole

Equations de Maxwell avec monopoles magnétiques

Maxwell-Gauss : Le champ électrique engendré par la charge électrique

div(E) = ρe0

Maxwell-Faraday : Le champ électrique engendré par induction

rot(E) = - ∂(B)/∂t - µ0*Jm

Maxwell-Thomson : Le champ magnétique engendré par la charge magnétique

div(B) = µ0m

Maxwell-Ampère : Le champ magnétique engendré par courant et par induction

  rot(B) = µ0*∂(E)/∂t + µ00*Je

E : Champ électrique (vecteur)
B
: Champ magnétique (vecteur)
ρe
: Densité de charge électrique
ρm
: Densité de charge magnétique 0
Je: Densité de courant électrique (vecteur)
Jm: Densité de courant magnétique (vecteur)
t : Temps
c : Constante de la vitesse de la lumière dans le vide
ε0 : Constante de permittivité du vide
µ0 : Constante de perméabilité du vide

Et d'après les équations de Maxwell, nous avons toujours cette relation :

Permittivité et perméabilité du vide

ε0 * µ0 = 1/c²

ε0 : Constante de permittivité du vide
µ0 : Constante de perméabilité du vide
c : Constante de la Vitesse de la lumière

La force de Lorentz se généralise pour tenir compte de la présence des monopoles magnétiques :

Force de Lorentz avec monopoles magnétiques

F = qe*(E + v ∧ B) + qm*(B - v ∧ E/c2)

F : Force exercée sur la particule (vecteur)
qe : Charge électrique de la particule
qm : Charge magnétique de la particule
v : Vitesse de la particule (vecteur)
E : Champ électrique (vecteur)
B : Champ magnétique (vecteur)

Le champ électrique E produit par transformation de Lorentz un champ magnétique B. De la même façon, le champ magnétique B se comporte comme un champ électrique vis-à-vis des charges magnétique, et produit par transformation de Lorentz un champ magnétique-magnétique qui est (- E/c2).

1.9) Force électrique et force magnétique

Par symétrie, La force mangnétique s'obtient comme la force éléctrique. C'est une force répulsive entre deux monopôles magnétiques, qui est proportionnelles au produit des charges magnétiques divisé par le carré de la distance les séparant. Forces électriques et forces magnétiques sont caractérisées par deux facteurs de proportionnalités qui constitue deux constantes fondamentales ζ et ξ :

Force répulsive électrique et force répulsive magnétique

Fe = ζ * qe1 * qe2 / r2
Fm = ξ * qm1 * qm2 / r2

Fe : Force répulsive électrique subit par la particule 1 et qui est créée par la particule 2
Fm : Force répulsive magnétique subit par particule 1 et qui est créée par la particule 2
qe1 : Charge électrique de la particule 1
qe2 : Charge électrique de la particule 2
qm1 : Charge magnétique de la particule 1
qm2: Charge magnétique de la particule 1
r : Distance entre les deux particules
ζ : Constante des forces électriques
ξ : Constante des forces magnétiques

L'équation locale div(E) = ρe0 permet de déduire le champ électrique créée par une charge électrique fixe E = ζ * qe / r2 et de déterminer la constante des forces électriques ζ = 1/(4πε0). De même l'équation locale div(B) = µ0m permet de déduire le champ magnétique créée par une charge magnétique fixe B = ξ * qm / r2 et de déterminé la constante des forces magnétiques ξ = µ0 / 4π.

Constantes des forces électriques et magnétique

ζ = 1/(4πε0)
ξ = µ0 / 4π

ζ / ξ = c2
ε0 * µ0 = 1/c²

ζ : Constante des forces électriques
ξ
: Constante des forces magnétiques
ε0
: Constante de permittivité du vide
µ0 : Constante de perméabilité du vide
c : Constante de la Vitesse de la lumière

A partir de ces équations, nous pouvons déterminer les dimensions de ζ et ξ qui sont :

[ζ] = [1/ε0] = T-2 * L3 * C-2 * M
[ξ] = [µ0] = L * C-2 * M
0] = L * C-2 * M
0] = T2 * L-3 * C2 * M-1
[c] = T-1 * L

 

---- 13 octobre 2013 ----

 

 

 

1.10) Symétrie entre charge électrique et charge magnétique (suite)

 

 

 

 

 

 

 


 

 


 

 

2) Les unité naturelles

On choisie un système d'unité dans lequel les contstantes fondamentales indépendantes sont ramenées à la valeur de 1. Ces constantes élémentaires sont c, h, e, G.

Le site Fondamental Physical constants (NIST) nous donne les valeurs connues de ces constantes avec leur incertitude. La notation condencée 1.2345(67) signifie 1.2345 plus ou moins 0.0067.

Constante
Valeur
Incertitude
relative
Nombre
de chiffres
Unité
Dimension
c
299 792 458(00)
0
m * s-1
T-1 * L
(-1,1,0,0)
h
6.626 069 57(29) * 10-32
4.4 * 10-8
7.4
J * s
T-1 * L2 * M
(-1,2,0,1)
e
1.602 176 565(35) * 10-19
2.2 * 10-8
7.7
C
C
(0,0,1,0)
G
6.673 84(80) * 10-11
1.2 * 10-4
3.9
m3 * kg-1 * s-2
T-2 * L3 * M-1
(-2,3,0,-1)

 

 

 


D. Mabboux-Stromberg