Probabilité et quantité d'information (suite)

Découvrons les objects élémentaires servant à la construction d'univers instaurant les suites causales, et donc d'une certaine manière, le sense du temps.

Les intuitions premières sont toujours démeusurées et ne correspondent pas à la démarche réelle, mais elles restent toujours utiles sur le plan onirique.

Une chose trés difficile en physique consiste à définir le temps. Qu'est-ce que le temps ?. Le temps n'a de raison d'être que s'il existe des suites causales. Et donc c'est à partir de ces suites causales que nous tenterons de définir le temps. Puis une fois le temps défini, l'espace n'est pas loin.... La mécanique quantique montre comment la physique vue dans l'infiniment petit peut être ramenée à des mécanismes logiques trés rudimentaires, et nous montre aussi la dualité qui peut exister entre une particule et ses interactions, et par analogie entre l'object mathématique et ses propriétés faisant que les propriétés deviennent elles-mêmes des objects, et donnant ainsi au langage un rôle majeur. Le langage est la clef, car ce qui différencie le monde intelligible du monde inintelligible, c'est le langage. Ce qui est inintélligible n'est tout simplement pas exprimable. Ainsi expérimentons la construction du temp à partir d'une logique élémentaire, source de langages, et inspirons-nous des théories physique basées sur les invariances par symétries et transformations, pour aboutir à des lois macroscopiques nouvelles. Le changement d'échelle apporte un autre point de vue insoupçonnable.

Une approche des réseaux de neuronnes est faite par le calcul des probabilités. Elles consiste à découvrire les objects élémentaires servant à la construction des suites causales, et de voir comment les utiliser pour résoudre de façon efficace les équations booléennes, et ainsi construire des réseaux de neurones auto-apprenant. Et quoi de plus ambitieux que de vouloir concevoir un systèmes capable d'apprendre tout seul et de résoudre les problèmes par lui-même. Ce sujet est donc aussi fondamental que celui voulant fonder la réalité. A ce stade nous pourrions dire que ces deux questions fondamentales épousent celles qui sont à la base des mythologies : Pourquoi le monde existe-t-il ? et pourquoi y a-t-il une intelligence, nous en l'occurrence, capable d'apprendre par elle-même et de déchiffrer cette question ?.

Ce travail constitue une appoche constructive de l'algèbre et de l'informatique, en procédant par le bas. Un sujet général et fondamental touche nécessairement à tous les sujets à la fois et en particulier à la pédagogie, l'art de transmettre le témoin. C'est pourquoi, on attachera une importance à ce que ce document soit compréhensible sans connaissances préalables, et sans effort. La seul lecture dans l'ordre chronologique devra procurer au lecteur, l'agilité de l'esprit nécessaire pour appréhender les différents conceptes qui y sont développés. Se faisant les démonstrations des propriétés n'y sont décrites qu'accessoirement, seuls les conceptes et les outils permettant de les utiliser et de les comprendre y sont décrits principalement.

Une deuxième lecture des probabilités est faite avec une écriture plus harmonieuse mettant en exergue, la construction des univers et des langages, les symétries, et procédant à une classification. On essaira toujours d'exprimer le non-dit, l'intuition qui accompagne le squelette des constructions et qui en constitue sa chaire, le moyen de voir les analogies globales, le sens transcendant qui alimente l'attrait et convaint de la pertinence des choix fait.

1) Construction d'univers

Tout est langage, et pour bien comprendre le processus de construction, il faut formaliser non seulement les évènements et leur probabilité mais également les contraintes sur les probabilités qui sont représentées par des équations et qui constitues des objects à part entière, qui ont une logique propre, une raison d'être, et qui présente ainsi une "nouvelle physique" sur la quelle le même procédé dichotomique peut-être appliqué. Cela crée autant de langages duaux, d'une complexité exponentielle, sauf que nous commençons notre exploration par les cas les plus simples, l'univers à 1 seul degré booléen de liberté.

1.1) Univers à une dimension

Considérons une seul variable booléenne x libre. Cela représente un degré de liberté pour l'univers. Et dans cette univers il y a deux mondes possibles, celui où x=1 c-à-d où l'évènement x est réalisé, et celui où x=0 c-a-d où l'évènement ¬x est réalisé. La variable booléenne x peut être vue comme un évènement. Par définition, l'évènement x est réalisé ssi x=1 et l'évènement ¬x est réalisé ssi x=0 dans le monde qui a été tiré au sort. Un évènement élémentaire correspond à un monde.

Dans chaque univers, est associé à la variable booléenne x, une probabilité P, la probabilité que x se réalise (c'est à dire que x=1) et qui se note P = P(x). L'univers est caractérisé par le paramètre P qui est libre dans le model d'univers. On dira que l'espace des probabilités possède une dimension, ou un degré de liberté. Et on shématisera l'univers de paramètre P comme suit :

Le modèle d'univers comprend autant d'univers qu'il y a de paramètre P différents. Mais la probabilité P doit être un réelle comprise entre 0 et 1. On verrra comment par la suite on peut étendre ou réduire ce domaine de probabilité. Chaque univers possède deux mondes possibles, un monde par évènement élémentaire.

Pour chaque univers on définie la table de vérité comme suit. Elle comprend la liste des mondes possibles (ou évènements élémentaires) avec leur probabilité respective.

x
Probabilité élémentaire
0
P0
1
P1

Les mondes sont des un-uplet, car il n'y a qu'une composante. Et il y a deux mondes possibles (0) et (1), qui ont chacun respectivement une probabilité P0 et P1. L'univers Ω pourra être construit de cette façon comme un ensemble de couples monde-probabilité contenant tous les mondes possibles.

Ω = {((0), P0), ((1), P1)}

L'ordre big-endian permet de décrire cette table de vérité plus simplement par un couple de probabilité. Et l'univers Ω pourra être construit de cette façon :

Ω = TableVérité(P0, P1)

Le symbole TableVérité est le constructeur d'univers à partir de la table de vérite de l'univers selon l'ordre big-endian des générateurs. Néanmoins il y a une redondance à cause de la loi d'exhaustivité :

Exhaustivité : P0 + P1 = 1

Dans ce modèle d'univers il existe une symétrie en x appelée négation en x. Les symétries sont moteurs. Ce sont elles qui nous permettent d'appréhender l'ensemble sans être submergé par la multiplicité des cas. Chaque symétrie divise le nombre de cas par deux, tandis que chaque degré de liberté supplémentaire booléenne multiplie le nombre de cas par deux.

Deux univers sont symétriques si on passe de l'un à l'autre en négativant leur probabilité (A, B) ---> (1-A, 1-B), ou ce qui revient au même, en permuttant leur probabilités (A, B) ---> (B, A). On établie alors une bijection entre ces deux univers symériques, en faisant correpondre leurs mondes en négativant la valeur de x, passant de x à ¬x, sans changer de probabilité.

Si nous quantifions les valeurs de P comme étant des multiples de 1/n, il y a alors seulement n+1 valeurs possibles parmis les probabilités et il y a alors seulement n+1 univers possibles.

1.2) Les univers à 2 dimensions

Considérons deux variables booléennes libres (x,y). Cela représente deux degrés de liberté pour l'univers, et cela engendre 22 = 4 mondes possibles chacun cararactérisée par une probabilité, dont la somme est égale à 1. Cela correspond à 22 - 1 = 3 probabilités libres. Voici la table de vérité de l'univers :

Ω = TableVérité(P0, P1, P2, P3)

x
y
Probabilité
élémentaire
0
0
P0
0
1
P1
1
0
P2
1
1
P3
Exhaustivité : P0 + P1 + P2 + P3 = 1

On construit un langage, ou plus exactement on utilise une règle de nommage : Les probabilités élémentaires sont numérotées selon un ordre précis, leur nom est composés de la lettre P indicé de leur numéro, un numéro dont la décomposition en base deux correspond exactement aux valeurs de x et de y de l'événement élémentaire dont il représente la probabilité. Et l'on choisie x comme bit de poid fort et y comme bit de poid faible. En effet, il convient d'annoncer d'abord ce qui est important et en second ce qui l'est moins. En cela, ce choix n'est pas arbitraire.

Indépendament de cet ordre canonique des composantes qui accorde implicitement un poid distinct à chaque booléen libre, définissant une numérotation canonique des évènements, l'ordre aurait pu ne pas exister ni être définissable. Le couple (x,y) comprend une première composante x et une seconde composante y. Il ne faut donc pas le confondre avec le multi-ensemble de 2 booléens {x,y} qui constitue un couple à l'ordre près de ses composantes et donc, dans lequel on ne peut définir d'ordre indépendament des valeurs de x et y. Il faudra étudier ce cas de dégénérescence à part.

Ainsi nous avons :

P0   =   P00  =  P(x=0 et y=0)   =   P(¬x et ¬y)
P1   =   P01  =  P(x=0 et y=1)   =   P(¬x et y)
P2   =   P10  =  P(x=1 et y=0)   =   P(x et ¬y)
P3   =   P11  =  P(x=1 et y=1)   =   P(x et y)

L'univers peut donc être décrit complètement par le quadruplet de nombre (P0, P1, P2, P3) qui représentent les 4 probabilités élémentaires. La table de vérité représente une liste d'évènements disjoints et exhaustif. Il s'en suit que la somme de leur probabilité est égale à 1. Ces probabilités sont donc déterminés par trois d'entres elles, où par trois autres probabilités issue d'équations indépendantes, trois paramètres libres compris entre 0 et 1. Voici quelques exemples simples de définissions de trois probabilités caractéristiques déterminant les 4 probabilités élémentaires, et qui peuvent se généraliser à un nombre quelconque de degrés de liberté :

Distribution élémentaire :    P(x et ¬y), P(¬x et y), P(x et y), c'est à dire :       P1, P2, P3.
Distribution égalitaire :        P(x), P(y), P(x=y), c'est à dire :                           P2+P3, P1+P3, P0+P3.
Distribution conjonctive :    P(x), P(y), P(x et y), c'est à dire :                        P2+P3, P1+P3, P3.
Distribution disjonctive :     P(x), P(y), P(x ou y), c'est à dire :                       P2+P3, P1+P3, P1+P2+P3.

Dans un univers à deux degrés de liberté, l'espace des probabilités possède 3 degrés de liberté.

1.2.1) Les brouillages

C'est alors qu'intervient une méthode de construction pertinente. On ne s'intéresse pas à tous les univers, mais à certain univers vérifiant une propriété jugée simple et fondamentale, définissant un lien de cause à effet, une suite causale, donnant un sense à la construction tout en restant générale pour offrir la plus grande liberté de constrution possible.

L'hypothèse consiste en l'existence d'un brouillage de probabilité (a,b), une probabilité anisotrope de non changement, de x vers y. Physiquement cela signifie qu'une copie de x est transmise via un canal, qui selon la valeur de x, effectue soit un brouillage du 0 avec une probabilité a de non-erreur, ou soit un brouillage du 1 avec une probabilité b de non-erreur, pour être finalement enregistré dans la variable booléenne y. Ce qui est résumé par les deux équations :

P(x=y / x) = a
P(x=y / ¬x) = b

Et il n'y a pas d'autre condition. Les relations d'indépendances des brouillages ne peuvent pas s'exprimer faute de candidat. Le cas isotrope où a=b fera l'object d'une classification particulière. A la lumière des travaux précédents, nous savons qu'il existe une probabilité dite atemporelle inaccessible qui est celle de la source x de la suite causale, et que nous nommons µ.

P(x) = µ

Ces trois probabilités (µ,a,b) qui sont libres, permettent de déterminer les 4 probabilités (P0, P1, P2, P3) et donc de déterminer l'univers. (voir §7.12 du volume 1) :

P0   =   (1-µ) * a
P1   =   (1-µ) * (1-a)
P2   =   µ * (1-b)
P3   =   µ * b

L'hypothèse de l'existance d'une suite causale est-elle restrictive ?. Autrement dit, un univers à deux dimensions possède-t-il nécessairement une suite causale ?. Pour le savoir on inverse le système :

µ = P2 + P3
a = P0 / (P0 + P1)
b = P3 / (P2 + P3)

La réponse est donc oui dans le cas général, sauf lorsque P0+P1=0 ou lorsque P2+P3=0, c'est à dire lorsque µ=0 ou lorsque µ=1.

On définie le constructeur d'univers Brouillage prenant en argument la probabilité de la source x(1er composante) et les probabilités de brouillage (a,b). Lorsque l'univers Ω possède deux dimensions et met en oeuvre un brouillage de source x (1er composante), il se note ainsi :

Ω = Brouillage(µ,(a,b))

1.2.2) Les sources indépendantes

Une autre méthode de construction pertinente consiste en la juxtaposition de deux sources indépendantes. Noter la création des différents conceptes : un évènement élémentaire tel que (x et y), qui correpond à un monde possible, et une source x, qui constitue un évènement plus complexe, une disjonction de deux évènements élémentaires (x et y) ou (x et ¬y) mais qui constitue surtout une composante booléenne libre de l'univers.

L'indépendance des deux sources x et y se traduit par l'équation :

P(x et y) = P(x)*P(y)
P(x et y) = (P(x et y) + P(x et ¬y))*(P(y et x) + P(y et ¬x))
P3 = (P3 + P2)*(P3 + P1)

P3 = P3*P3 + P3*P1 + P2*P3 + P2*P1
P3*(1-P3-P2-P1) = P2*P1
P3*P0 = P2*P1

Et avec l'équation d'exhaustivité P0 + P1 + P2 + P3 = 1, cela fait deux équations qui réduisent le nombre de degrés de liberté de l'espace des probabilités de tel sorte qu'il ne reste plus que deux degrés de liberté. Et nous choisissons naturellement pour ces deux paramètres, la probabilité de x que nous appellerons µ, et la probabilité de y que nous appellerons β, qui jouent tous les deux, le rôle de sources indépendantes.

µ = P(x)
µ = P(x et y) + P(x et ¬y)
µ = P3 + P2

β = P(y)
β = P(y et x) + P(y et ¬x)
β = P3 + P1

L'univers est alors complètement défini par ces deux paramètres µ et β. Les 4 lois de l'univers permettent de calculer les 4 probabilitées élémentaires de l'univers, c-a-d la probabilité des 4 mondes possibles.

Exhaustivité :
Première source :
Seconde source :
Indépendance :
P0 + P1 + P2 + P3 = 1
P3 + P2 = µ
P3 + P1 = β
(P3 + P1)*(P3 + P2)  =  P3
P0 = (1-µ)*(1-β)
P1 = (1-µ)*β
P2 = µ*(1-β)
P3 = µ*β

On définie le constructeur d'univers Indépendant prenant en argument la probabilité de la source x(1er composante) et de la source y(2ième composante). Lorsque l'univers Ω possède deux dimensions et met en oeuvre deux source x(1er composante) et y(2ième composante) indépendantes de probabilité respectives µ et β, il se note ainsi :

Ω = Indépendant(µ,β)

1.2.3) Les 24 symétries de l'espace

Dans un univers à deux dimensions, les symétries génératives visibles auxquelles on pense en premier sont une symétrie en x qui transforme le monde (x, y) en (¬x, y) notée n. Puis la permutation qui transforme le monde (x, y) en (y, x) notée s. Puis un changement de base qui transforme le monde (x, y) en (x, x=y) notée r. Ces trois symétries n, s, r vont engendrer les 24 symétries de l'espace (des transformations nilpotentes d'ordre 1, 2, 3 et 4), qui correspondent au 24 permutations possibles des 4 probabilités élémentaires.

On choisie une notation intuitive pour désigner ces 24 symétries :

1 signifie la première composante (noté aussi d)
2 signifie la secondes composante (noté aussi g)
¬1 signifie la négation de la première composante (noté aussi ¬d)
¬2 signifie la négation de la seconde composante (noté aussi ¬g)
= signifie l'égalité entre les deux composantes
signifie l'inégalité entre les deux composantes.

Ainsi la transformation nilpotente notée (¬2, =) correspond à l'application transformant le monde (x,y) en le monde (¬y, x=y). Et on calcule les 4 probabibilté élémentaire de ce nouveau monde :

Q0 = P(¬y et ¬(x=y))
Q1 = P(
¬y et (x=y))
Q2 = P(y et ¬(x=y))
Q3 = P(y et (x=y))

Q0 = P(¬y et x)
Q1 = P(
¬y et ¬x)
Q2 = P(y et ¬x)
Q3 = P(y et x)

Q0 = P2
Q1 = P0

Q2 = P1
Q3 = P3

Cela correspond dans l'univers à la permutation des probabilités suivantes :

(P0, P1, P2, P3) --> (P2, P0, P1, P3)

et qui s'écrit en notation cyclique par :

(0,2,1)

et qui est donc une transformation nilpotente d'ordre 3. Cela se vérifit simplement parceque (x<=>y)<=>¬y = x et parce que (x w y)<=>¬x = y. Nous avons (¬2, =) ° (¬2, =)   =   (≠, ¬1).

La notation cyclique permet de voir les cycles et l'ordre de nilpotence, et en prenant à chaque fois pour chaque début de cycle le plus petit nombre apparaissant, on obtient une représentation unique.

Voici le tableau listant les 24 symétries de l'espace :

Nom de
la symétrie
Effet dans l'espace
des booléens
Notation explicite
Effet dans l'espace
des probabilité
Notation cyclique
(1,2)
(x, y) --> (x, y)
( )
(1,¬2)
(x, y) --> (x, ¬y)
(0,1)(2,3)
(¬1,2)
(x, y) --> (¬x, y)
(0,2)(1,3)
(¬1,¬2)
(x, y) --> (¬x, ¬y)
(0,3)(1,2)
(2,1)
(x, y) --> (y, x)
(1,2)
(2,¬1)
(x, y) --> (y, ¬x)
(0,2,3,1)
(¬2,1)
(x, y) --> (¬y, x)
(0,1,3,2)
(¬2,¬1)
(x, y) --> (¬y, ¬x)
(0,3)
(1, =)
(x, y) --> (x, x=y)
(0,1)
(1, ≠)
(x, y) --> (x, x≠y)
(2,3)
(¬1, =)
(x, y) --> (¬x, x=y)
(0,2,1,3)
(¬1, ≠)
(x, y) --> (¬x, x≠y)
(0,3,1,2)
(2, =)
(x, y) --> (y, x=y)
(0,2,1)
(2, ≠)
(x, y) --> (y, x≠y)
(1,2,3)
(¬2, =)
(x, y) --> (¬y, x=y)
(0,1,3)
(¬2, ≠)
(x, y) --> (¬y, x≠y)
(0,3,2)
(=, 1)
(x, y) --> (x=y, x)
(0,1,2)
(=, ¬1)
(x, y) --> (x=y, ¬x)
(0,2,3)
(≠, 1)
(x, y) --> (x≠y, x)
(1,3,2)
(≠, ¬1)
(x, y) --> (x≠y, ¬x)
(0,3,1)
(=, 2)
(x, y) --> (x=y, y)
(0,2)
(=, ¬2)
(x, y) --> (x=y, ¬y)
(0,1,2,3)
(≠, 2)
(x, y) --> (x≠y, y)
(1,3)
(≠, ¬2)
(x, y) --> (x≠y, ¬y)
(0,3,2,1)

Chacune de ces symétries correpond à une permutation des 4 probabilités élémentaires P0, P1, P2, P3 de l'univers.

1.2.4) Les 24 permutations d'un quadruplet (0,1,2,3)

Le groupe des 24 permutations s'énumère ainsi :

Nilpotent
d'ordre 1

Nilpotent
d'ordre 2

Nilpotent
d'odre 3
Nilpotent
d'ordre 4
( )
(01)
(02)
(03)
(12)
(13)
(23)
(01)(23)
(02)(13)
(03)(12)
(012)
(013)
(021)
(023)
(031)
(032)
(123)
(132)
(0123)
(0132)
(0213)
(0231)
(0312)
(0321)

Ce groupe possède 3 générateurs (01), (02), (03) à partir desquels on peut construire les autres éléments du groupe :

Nilpotent
d'ordre 1
Nilpotent
d'ordre 2
Nilpotent
d'odre 3
Nilpotent
d'ordre 4
( )
(01)
(02)
(03)
(12) = (01)(02)(01)
(13) = (01)(03)(01)
(23) = (02)(03)(02)
(01)(23) = (01)(02)(03)(02)
(02)(13) = (02)(01)(03)(01)
(03)(12) = (03)(01)(02)(01)
(012) = (01)(02)
(021) = (02)(01)
(013) = (01)(03)
(031) = (03)(01)
(023) = (02)(03)
(032) = (03)(02)
(123) = (01)(02)(03)(01)
(132) = (01)(03)(02)(01)
(0123) = (01)(02)(03)
(0132) = (01)(03)(02)
(0213) = (02)(01)(03)
(0231) = (02)(03)(01)
(0312) = (03)(01)(02)
(0321) = (03)(02)(01)

1.2.5) Les différentes notations des univers

Il y a de nombreuses façons de décrire un univers. L'intérêt d'une notation est importante car elle transporte une intuition, tout un ensemble de non dit, de mécanisme de reconnaissance, et de règles simple de déductions. Qu'est-ce qui rend si difficile le dévoilement des différents conceptes et nous arrête dans notre élans créateur ?. C'est le conformisme et l'absence d'intuition. L'intuition joue un rôle moteur, essentiel dans la génèse des concepts. Il y a donc tout un travail préliminaire pour appréhender un espace, sans préjugé, et pour l'étoffer de sens, d'analogies..., d'une gnose, seul moyen de transmettre cette intuition (aux autres ou à soit-même). Mais qu'est-ce qui différencie l'intuition du préjugé ? C'est le jour et la nuit, l'animé et l'inerte. L'intuition crée. L'intuition est naissance, source de développements potentiels, tout en gardant quelques grands schémas informels, tel un guide spirituel, mais d'avantage comme un rêve, aux mutiples formes mouvantes qui se métamorphosent au fur et à mesure qu'il se construit. Le préjugé est au contraire formel, et n'ouvre pas à discution. Il clos la question. Mais de la même façon que la mort est nécessaire à la vie, le préjugé est nécessaire à l'intuition, sans quoi nous partirions dans toutes les directions à la fois et rien ne pourrait être fonder ni construit. Il faut seulement avoir les bons préjugés pour entérer ce qui doit l'être et les bonnes intuitions pour découvrir les voies qui nous intéressent.

(x,y) représentent une base de l'univers, ses axes logiques, sa géométrie logique en quelque sorte, qui permet de définir l'espace logique, et à partir desquels on peut définir ses symétries. On note un évènement élémentaire de l'univers, c'est à dire un monde de l'univers, par un couple de valeurs booléennes (u,v). L'évènement élémentaire (u,v) est par définition l'événement élémentaire (x=u et y=v).

La symétrie en x est une application qui transforme le monde (u,v) en (¬u,v), et la symétrie en y est l'application qui transforme le monde (u,v) en (u,¬v). D'une manière générale une transformation est une application de l'ensemble des mondes de l'univers dans l'ensemble des mondes de l'univers. Donc une transformation réversible correspond à une permutation des mondes de l'univers. Combien existe-t-il de transformation réversible de l'univers à deux degrés booléens de liberté ? Cela correpond aux permutations de l'ensemble des 4 mondes, il y a 4! = 24 permutations.

L'ensemble des mondes de l'univers est {(0,0), (0,1), (1,0), (1,1)}. Les probabilités des mondes peuvent se noter de différentes façons :

Type
Noms des 4 probabilités élémentaires
Paramètre d'indice entier
 P0, P1, P2, P3
Paramètre d'indice en base 2
 P00, P01, P10, P11
Fonction des mondes vers les réels
 P(0,0), P(0,1), P(1,0), P(1,1)
Fonction d'événement élémentaire
 P(x=0 et y=0), P(x=0 et y=1), P(x=1 et y=0), P(x=1 et y=1)
Fonction d'événement élémentaire
 P(¬x et ¬y), P(¬x et y), P(x et ¬y), P(x et y)

De même, l'ensemble des mondes possibles peut s'écrire de différentes façons, et c'est là que réside le mécanisme de notation. Elle se décline selon 3 points de vue :

Type
Ensemble des mondes possibles de l'univers
Ensemble de nombre E = {0,1,2,3}
Ensemble de couple de booléens E = {(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}
Ensemble d'évènements élémentaires E = {(¬x et ¬y), (¬x et y), (x et ¬y), (x et y)}

Il existe donc des bijections entre ces différentes notations, qui sont des traductions. La bijection qui transforme un couple de booléens en un nombre entier, s'appelle communément le codage binaire big-endian, ou tous simplement le code entier. Tandis que la bijecton qui transforme un couple de booléens en un évènement élémentaire de l'univers est plus sensible. Elle transforme le symbôle en un object porteur d'une sémantique plus lourde. Elle transforme un couple de booléens en un monde de l'univers.

L'univers peut être décrit complètement de différente façons

Quadruplet de nombre qui représentent les 4 probabilités élémentaires, les probabilités des 4 mondes possibles :
(P0, P1, P2, P3)
Ensemble de mondes auxquels on associe pour chacun d'eux une probabilité, c-a-d graphe d'une fonction transformant un couple de booléens en une probabilité :
{(0,0,P0), (0,1,P1), (1,0,P2), (1,1,P3)}
Une fonction f transformant un couple de booléens en une probabilité, et qui est représenté par un tableau à double entrés, ou simplement les 4 probabilités élémentaires mises en carré :
f
0
1
0
P0
P1
1
P2
P3
P0
P1
P2
P3

1.2.3.2) Les transformations réversibles de l'espace

les 24 transformations réversibles sont engendré par les 3 générateurs (01), (02), (03) qui correspondent au 3 symétries (g, =), (=, d), (¬d, ¬g).

C'est en construisant qu'apparait la formulation. Ainsi un nouveau concept apparait, qu'est l'opérateur booléen réversible d'arité (2,2), et qui correspond à deux opérateurs booléens d'arité 2. Et il y a 2^(2*2^2) = 256 oérateurs booléens d'arité (2,2). On remarque que pour être réversible il est nécessaire que chaque composante soit un opérateur booléen offrant comme image autant de 0 que de 1. Et pour que cela soit une condition suffisante, il faut de plus que les composantes soit à la fois distinctes de l'autre et de sa négation. En effet cela assure que l'ensemble image comprend bien les 4 valeurs distinctes et qu'il s'agit donc bien d'une permutation. Les opérateurs booléens d'arité 2 offrant comme image autant de 0 que de 1 sont {g, ¬g, ¬d, d, =, }. Il y en a 6, et il y a 6*4 = 24 tel combinaisons de 2 opérateurs distincts deux à deux et de leur opposés.

Appellation
Opérateur
Formulation
Autre formulation
Le gauche
g
(x,y) --> x
(x g y) = x
Le non gauche
¬g
(x,y) --> ¬x
(x ¬g y) = ¬x
Le droit
d
(x,y) --> y
(x d y) = y
Le non droit
¬d
(x,y) --> ¬y
(x ¬d y) = ¬y
L'égalité
=
(x,y) --> x=y
(x = y) = (x = y)
L'inégalité
(x,y) --> xy
(x y) = (x y)

Maintenant que nous savons construire ces transformations réversibles, que nous en avons une certaine appréhension, une certaine conscience, nous pouvons explorer leurs effets sur les types d'univers que nous avons retenu, que sont la suite causale, et les sources indépendantes.

Comment décrire l'univers symétrique ? Procédons par étape, car c'est en construisant qu'apparait la formulation. Appliquons la transformation (01) à l'univers Brouillage(µ,(a,a)). Nous constatons alors que l'univers transformé correspond à deux sources indépendantes de probabilité µ et a que nous notons Indépendant(µ,a)

 

------ 7 Avril 2012 ------

 

Les 4 lois de l'univers (µ,A,0) sont données sous deux formes.

(µ,A,0)
P0 + P1 + P2 + P3 = 1
P3 + P2 = µ
P3 + P0 = A
(P3 + P0)*(P3 + P2) = P3
P0 = (1-µ)*A
P1 = (1-µ)*(1-A)
P2 = µ*(1-A)
P3 = µ*A
(1-µ)*A
(1-µ)*(1-A)
µ*(1-A)
µ*A
(µ,ρ,1)
P0 + P1 + P2 + P3 = 1
P3 + P2 = µ
P3 + P1 = ρ
(P3 + P1)*(P3 + P2)  =  P3
P0 = (1-µ)*(1-ρ)
P1 = (1-µ)*ρ
P2 = µ*(1-ρ)
P3 = µ*ρ
(1-µ)*(1-ρ)
(1-µ)*ρ
µ*(1-ρ)
µ*ρ

La transformation (01) va permuter P0 et P1 dans le système d'équation de (µ,A,0) le tranformant en le système d'équation de (µ,A,1)

Cycle
Système d'équation
()
P0 + P1 + P2 + P3 = 1
P3 + P2 = µ
P3 + P0 = A
(P3 + P0)*(P3 + P2) = P3
P0 = (1-µ)*A
P1 = (1-µ)*(1-A)
P2 = µ*(1-A)
P3 = µ*A
(µ,A,0)
(01)
P0 + P1 + P2 + P3 = 1
P3 + P2 = µ
P3 + P1 = A
(P3 + P1)*(P3 + P2) = P3
P0 = (1-µ)*(1-A)
P1 = (1-µ)*A
P2 = µ*(1-A)
P3 = µ*A
(µ,A,1)
(02)
P0 + P1 + P2 + P3 = 1
P3 + P0 = µ
P3 + P2 = A
(P3 + P2)*(P3 + P0) = P3
P0 = µ*(1-A)
P1 = (1-µ)*A
P2 = (1-µ)*(1-A)
P3 = µ*A
(01)
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

 

 

 

 

 

 

1.2.3.3) Les 24 univers symétriques

 

 

g : (x,y) --> x
¬g

 

 

 

 

Les 4 lois de l'univers respectent les symétries selon un motif qu'il convient de préciser :

  1. Exhaustivité : P0+P1+P2+P3 = 1
  2. Brouillages : P3 + P0 = A
  3. Indépendance : (P3 + P0)*(P3 + P2)  =  P3
  4. Source : P3 + P2 = µ

Transcrite pour chaque évènement élémentaire :

P0 = (1-µ)*A
P1 = (1-µ)*(1-A)
P2 = µ*(1-A)
P3 = µ*A

Lors de la symétrie en x :

(x,y)--> (¬x,y)
(P0,P1,P2,P3)-->(P2,P3,P0,P1)
(µ,A)-->(1-µ,1-A)

 

Les symétries sont moteurs. Ce sont elles qui nous permettent d'appréhender l'ensemble des contraintes, ou plus exactement l'ensemble de leurs effets, sur un univers sans être submergé par la multiplicité des cas. Chaque symétrie divise le nombre de cas par deux, tandis que chaque degré de liberté supplémentaire multiplie le nombre de cas par deux.

La composition de ces deux symétries produit une troisième symétrie à la fois en x et y qui transforme x en ¬x et y en ¬y et qui laisse invariant A. Ainsi nous exhibons 4 univers symétriques :

Symétrie
Schéma de bits
Probabilité
du brouillage
Indépendance
du brouillage
(x, y, A) --> (x, y, A)
 P(x=y) = A
 P(x et y) = P(x)*A
(x, y, A) --> (¬x, y, 1-A)
 P(xy) = 1-A
 P(¬x et y) = P(¬x)*(1-A)
(x, y, A) --> (x, ¬y, 1-A)
 P(xy) = 1-A
 P(x et ¬y) = P(x)*(1-A)
(x, y, A) --> (¬x, ¬y, A)
 P(x=y) = A
 P(¬x et ¬y) = P(¬x)*A

Mais lorsque l'on considère les schémats de probabilités, on s'apperçoit que l'on fait abstraction d'une symétrie, celle qui transforme x en ¬x et y en ¬y et qui laisse invariant A, faisant qu'il n'existe que deux schémats de probabilité symétriques :

Symétrie
Schéma de probabilités
Probabilité
du brouillage
Probabilité du brouillage
développée
Indépendance
du brouillage
(µ, A) --> (µ, A)
 P(x=y) = A
 P(x et y) + P(¬x et ¬y) = A
 P(x et y) = µ*A
(µ, A) --> (¬µ, 1-A)
 P(xy) = 1-A
 P(¬x et y) + P(x et ¬y) = 1-A
 P(¬x et y) = (1-µ)*(1-A)
(µ, A) --> (µ, 1-A)
 P(xy) = 1-A
 P(x et y) + P(¬x et ¬y) = A
 P(x et ¬y) = µ*(1-A)
(µ, A) --> (¬µ, A)
 P(x=y) = A
 P(¬x et y) + P(x et ¬y) = 1-A
 P(¬x et ¬y) = (1-µ)*A

Deux schémas de probabilités sont symétriques si leur paramètre (µ,A) et (µ',A') vérifie µ+µ'=1 et A+A'=1.

L'univers a besoin pour être complètement caracérisé non seulement des paramètres (µ,A), mais également du signe contient 4 mondes (un monde par évènement élémentaire) que l'on peut noter par {{x,y},{x,¬y},{¬x,y},{¬x,¬y}} ou bien par {(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}, où chaque monde possède une probabilité dont voici plusieurs notations courantes :

P0  =  P00  =  P(0,0)  =  P(x=0 et y=0)  =  P(¬x et ¬y)  =  (1-µ)*A
P1  =  P01  =  P(0,1)  =  P(x=0 et y=1)  =  P(¬x et y)    =  (1-µ)*(1-A)
P2  =  P10  =  P(1,0)  =  P(x=1 et y=0)  =  P(x et ¬y)    =  µ*(1-A)
P3  =  P11  =  P(1,1)  =  P(x=1 et y=1)  =  P(x et y)      =  µ*A

Le symbôle (,,,) désigne un n-uplet, et le symbôle {,,,} désigne un multi-ensemble c-a-d un n-uplet à une permutation près, donc sans ordre de ses composantes.

Le schéma de probabilité contient 2 double-mondes, noté par {{{x,y},{¬x,¬y}},{{x,¬y},{¬x,y}}} ou par {{(0,0),(1,1)},{(0,1),(1,0)}}.

On établit une bijection entre les doubles-mondes des deux schémas symétriques. On obtient le double-monde appartenant au schéma symétrique, en inversant la valeur de x, passant de x à ¬x, ou en inversant la première composante de chaque couple, passant de 0 à 1 ou de 1 à 0.

1.2.3) Les brouillages anisotropes

On considère comme hypothèse, un brouillage plus générale dépendant des valeurs de x. Pour cette raison, le brouillage est dit anisotrope. Le brouillage est de probabilité p lorsque x=0, et il est de probabilité q lorsque x=1. Physiquement cela signifie que y est une copie de x qui a été brouillée de façon anisotrope, comme si la copie du bit x était passée dans un canal de transmission brouillant le message avec cette probabilité p de non-erreur lorsque x=0 et cette probabilité q de non-erreur lorsque x=1, pour être finalement enregistré dans la variable booléenne y, ce qui se traduit par les deux probabilités condittionnelles suivantes :

P(x=y / x=0) = p
P(x=y / x=1) = q

Et comme l'évènement x=0 se note ¬x, et que l'évènement x=1 se note simplement x, ces deux probabilité conditionnelle s'écrivent de façon plus abrégé par :

P(x=y / ¬x) = p
P(x=y / x) = q

Par définission, la probabilité conditionnelle d'un évènement sachant un autre évènement est égale à la probabilité de la conjontion des deux évènement divisée par la probabilité de l'évènement connue.

P(u / v) = P(u et v) / P(v)

Nous pouvons décomposer pareillement nos deux probabilités conditionnelles :

p = P(x=y / ¬x)
p = P(x=y et ¬x) / P(¬x)
p = P(¬x et ¬y) / P(¬x)

q = P(x=y / x)
q = P(x=y et x) / P(x)
q = P(x et y) / P(x)

L'hypothèse comprend également le fait que ce brouillage est indépendant. Mais l'univers étant trop petit, cette hypothèse ne s'applique à aucun évènement. En effet, ce brouillage dépend de x puisqu'il est anisotrope, et il dépend de y puisque il en est la cause avec x.

Cette construction est représentée par le schéma de bits suivant, et par les deux équations suivantes écrites sous deux formes :

 P(x=y / ¬x) = p
 P(x=y / x) = q
P(¬x et ¬y) = P(¬x) * p
P(x et y) = P(x) * q

Ces deux équations réduissent le nombre de degrés de liberté d'autant, de tel sorte qu'il ne reste plus qu'un seul degré de liberté dans l'espace des probabilités. Et nous pouvons choisir pour caractériser l'univers simplement la probabilité de x, que nous appellerons µ = P(x) et qui joue le rôle de source. L'univers est donc complétement défini par le schémat de probabilité suivant :

Il possède 3 paramètres que sont les probabilités µ, p, q.

1.2.4) Les symétries en x et en y

Il y a 4 univers symétriques :

Symétrie
Schéma de bits
Probabilité
du brouillage
Equations équivalentes
 (x,y,p,q) --> (x,y,p,q)
 P(x=y / ¬x)  =  p
 P(x=y / x)    =  q
 P(¬x et ¬y) = P(¬x)*p
 P(x et y)     = P(x)*q
 (x,y,p,q) --> (¬x,y,1-q,1-p)
 P(xy / ¬x)  =  1-q
 P(xy / x)    =  1-p
 P(x et ¬y) = P(x)*(1-q)
 P(¬x et y) = P(¬x)*(1-p)
 (x,y,p,q) --> (x,¬y,1-p,1-q)
 P(xy / ¬x)  =  1-p
 P(xy / x)    =  1-q
 P(¬x et y) = P(¬x)*(1-p)
 P(x et ¬y) = P(x)*(1-q)
 (x,y,p,q) --> (¬x,¬y,q,p)
 P(x=y / ¬x)  =  q
 P(x=y / x)    =  p
 P(x et y)     = P(x)*q
 P(¬x et ¬y) = P(¬x)*p

Mais lorsque l'on considère les schémas de probabilités, on ne peut plus faire abstraction comme dans le cas du brouillage isotrope, de la symétrie en x et y à la fois, car si elle transforme x en ¬x et y en ¬y, elle transforme également (p,q) en (q,p) :

Symétrie
Schéma de probabilités
Equations
 (µ,p,q)) --> (µ,p,q)
 P(¬x et ¬y) = (1-µ)*p
 P(x et y)     = µ*q
 (µ,p,q) --> (1-µ,1-q,1-p)
 P(x et ¬y) = µ*(1-q)
 P(¬x et y) = (1-µ)*(1-p)
 (µ,p,q) --> (µ,1-p,1-q)
 P(¬x et y) = (1-µ)*(1-p)
 P(x et ¬y) = µ*(1-q)
 (1-µ,p,q) --> (1-µ,q,p)
 P(x et y)     = µ*q
 P(¬x et ¬y) = (1-µ)*p

Deux univers (µ,p,q) et (µ',p',q') sont symétriques ssi (µ=µ' et ((p=p' et q=q') ou (p=1-p' et q=1-q'))) ou (µ=1-µ' et ((p=q' et q=p') ou (p=1-q' et q=1-p')))

L'univers (µ,p,q) contient 4 mondes, noté par {{{x,y},{¬x,¬y}},{{x,¬y},{¬x,y}}} ou par {{(0,0),(1,1)},{(0,1),(1,0)}}. Chacun de ces mondes possède une probabilité :

P0 = P00 = P(¬x et ¬y) = (1-µ)*p
P1 = P01 = P(¬x et y)   = (1-µ)*(1-p)
P2 = P10 = P(x et ¬y)   = µ*(1-q)
P3 = P11 = P(x et y)     = µ*q

On établit une bijection entre les mondes de deux univers symétriques en x, en inversant la valeur de x, passant de x à ¬x. De même pour la symétrie en y, en inversant la valeur de y, passant de y à ¬y.

1.2.5) Les symétries d'ordre superieurs permutant les probabilités élémentaires

D'une manière plus générale on peut concevoir d'autres symétries d'univers, en particulier celles qui permutent les probabilités élémentaires et qui sont nilpotente d'ordre deux ou d'ordre supérieur d'une manière encore plus générale.

Dans un modèle à deux degrés de liberté, l'espace des probabilité possède 4 degrés de liberté, 4 probabilités élémentaires libres, et il existe donc 4! = 24 permutations possibles, correspondant à 24 symétries possibles d'ordres 2, 3 et 4.

 

 

 

Et par symétrie, la permutation de x et de y se traduisant par la permutation de P1 et de P2, il existe une suite causale dans le sens inverse. La probabilité de y est appelée la source β. C'est à dire que l'on pose P(y) = β.

β = P1 + P3
c = P0 / (P0 + P2)
d = P3 / (P1 + P3)

P0   =   (1-β) * c
P1   =   β * (1-d)
P2   =   (1-β) * (1-c)
P3   =   β * d

Et l'on passe d'un système à l'autre :

β = (1-a)*(1-µ) + b*µ
c = a*(1-µ) / (a*(1-µ) + (1-b)*µ)
d = b*µ / ((1-a)*(1-µ) + b*µ)

µ = (1-c)*(1-β) + d*β
a = c*(1-β) / (c*(1-β) + (1-d)*β)
b = d*β / ((1-c)*(1-β) + d*β)

Des règles de symétrie apparaissent dans les équations.

1.2.2) Les brouillages isotropes

L'hypothèse consiste en l'existence d'un brouillage isotrope de probabilité A de non changement, de x vers y. Physiquement cela signifie qu'une copie de x est transmise via un canal, qui va brouiller cette transmission, pour être finalement enregistrée dans la variable booléenne y. Ce qui est résumé par les deux équations :

P(x=y / x) = A
P(x=y / ¬x) = A

Et il n'y a pas d'autre condition. Les relations d'indépendances des brouillages ne peuvent pas s'exprimer faute de candidat. A la lumière des travaux précédents, nous savons qu'il existe une probabilité dite atemporelle inaccessible qui est celle de la source x de la suite causale, et que nous nommons µ.

P(x) = µ

Ces deux probabilités (µ,A) qui sont libres, vont déterminer les 4 probabilités (P0, P1, P2, P3) (voir §7.9 du volume 1) :

P0   =   (1-µ) * A
P1   =   (1-µ) * (1-A)
P2   =   µ * (1-A)
P3   =   µ * A

On inverse le système :

µ = P2 + P3
A = P0 + P3
P0*P2 = P1*P3

Et par symétrie, la permutation de x et de y se traduisant par la permutation de P1 et de P2, il existe une suite causale dans le sens opposé. La probabilité de y est appelée la source β. C'est à dire que l'on pose P(y) = β.

β = P1 + P3
A = P0 + P3
P0*P1 = P2*P3

P0   =   (1-µ) * A
P1   =   (1-µ) * (1-A)
P2   =   µ * (1-A)
P3   =   µ * A

 

----- 26 mars 2012 ----

 

 

 

Nous allons exprimer cette équation à partir des probabilités élémentaires. On remarque que l'évènement (x=y) est identique à l'évènement (x et y) ou (¬x et ¬y).

La probabilité d'une disjonction de deux évènements quelconques est égale à la somme des probabilités des évènements moins la probabilité de leur conjonction. Un moyen mémotechnique de se souvenir de cette formule consiste à voir les probabilitées comme des cardinalitées d'ensembles d'évènements élémentaires, et de raisonner sur les ensembles : La cardinalité de l'union est égale à la somme des cardinalités des deux ensembles moins la cardinalité de leur intersection (car celle-ci a été comptées deux fois).

P(u ou v) = P(u) + P(v) - P(u et v)

Nous obtenons :

A = P(x=y)
A = P((x et y) ou (¬x et ¬y))
A = P(x et y) + P(¬x et ¬y) - P(x et y et ¬x et ¬y)

L'évènement (x et ¬x) ne se produit jamais. Sa probablité est donc nulle. P(x et ¬x) = 0.

A = P(x et y) + P(¬x et ¬y)
A = P3 + P0

L'hypothèse comprend également le fait que ce brouillage doit être indépendant. Et comme l'univers est tout petit, le brouillage n'est indépendant que de x. C'est à dire que l'évènement x=y est indépendant de l'évènement x. Et le brouillage n'est pas indépendant de y car il en est la cause avec x.

L'indépendance de deux évènements quelconques se caractérise par le fait que la probabilité de leur conjonction est exactement égale au produit de leur probabilité :

Deux évènement u et v sont indépendants ssi P(u et v) = P(u)*P(v).

Appliqué à l'indépendance du brouillage nous obtenons :

P(x et (x=y))  =  P(x)*P(x=y)
P(x et (x=y)) / P(x)  =  P(x=y)

Cela correspond à la définition de la probabilité conditionnelle de l'évènement (x=y) sachant x. L'équation P(x=y / x) = P(x=y) signifie bien que l'évènement x=y est indépendant de x puisque sa connaissance n'en change pas la probabilité.

On remarque que l'évènement (x et (x=y)) est identique à l'évènement élémentaire (x et y), et que l'évènement (x=y) est identique à l'évènement ((x et y) ou (¬x et ¬y)), donc nous obtenons comme équation caractérisant l'indépendance du brouillage :

P(x et y) = P(x)*P(x=y)
P(x et y) = P(x)*P((x et y) ou (¬x et ¬y))
P(x et y) = P(x)*(P(x et y) + P(¬x et ¬y) - P(x et y et ¬x et ¬y))

L'évènement (x et ¬x) ne se produit jamais. Sa probablité est donc nulle. P(x et ¬x) = 0.

P(x et y) = P(x)*(P(x et y) + P(¬x et ¬y))

L'évènement x est identique à la disjonction ((x et y) ou (x et ¬y)), mais plus encore sa propabilité est définie par la somme des probabilités des évènements de cette disjonction, car cette disjonction est composées d'évènements élémentaires donc disjoints, et est exhaustive pour la réalisation de x. Ce sont tous les évènements élémentaires où x se réalise. P(x) = P(x et y) + P(x et ¬y). C'est comme cela que la probabilité de chaque évènement est définie en fonction des probapilités élémentaires de la table de vérité.

P(x et y) = (P(x et y) + P(x et ¬y))*(P(x et y) + P(¬x et ¬y))
P3 = (P3 + P2)*(P3 +P0)

Cette construction est donc représentée par le schéma suivant (un schéma de bits), et par les deux équations, l'une caractérisant le brouillage, l'autre caractérisant son indépendance, mises sous deux formes :

Brouillage :
Indépendance :

P(x=y) = A
P(x=y) = P(x=y et x) / P(x)

P3 + P0 =  A
(P3 + P0)*(P3 + P2)  =  P3

Ces deux équations réduisent le nombre de degrés de liberté dans l'espace des probabilités de tel sorte qu'il ne reste plus qu'un seul degré de liberté. Nous choisissons, pour caractériser l'univers, la probabilité de x que nous appellerons µ, et qui joue le rôle de source.

µ = P(x)
µ = P(x et y) + P(x et ¬y)
µ = P3 + P2

L'univers est alors complètement défini par ces deux paramètres µ et A. On le représente par le schéma suivant (un schéma de probabilités), avec les 4 lois de l'univers permettant de calculer les 4 probabilitées élémentaires de l'univers, c-a-d la probabilité des 4 mondes possibles.

Exhaustivité :
Source :
Brouillage :
Indépendance :
P0 + P1 + P2 + P3 = 1
P3 + P2 = µ
P3 + P0 = A
(P3 + P0)*(P3 + P2) = P3
P0 = (1-µ)*A
P1 = (1-µ)*(1-A)
P2 = µ*(1-A)
P3 = µ*A

1.2.2) Les sources indépendantes

Une autre méthode de construction apparait opportune, la juxtaposition de deux sources indépendantes. Noter la création des différents conceptes : un évènement élémentaire (x et y), qui correpond à un monde possible, et une source x, qui constitue un évènement plus complexe (x et y) ou (x et ¬y) mais qui constitue surtout une composante libre dans la construction de la table de vérité. L'exibitions des sources x et y est précurseur d'une vision géométrique de l'univers, et constitue une première étape avant la définition de son espace.

L'indépendance des deux sources x et y se traduit par l'équation :

P(x et y) = P(x)*P(y)
P(x et y) = (P(x et y) + P(x et ¬y))*(P(y et x) + P(y et ¬x))
P3 = (P3 + P2)*(P3 + P1)

Et avec l'équation P0 + P1 + P2 + P3 = 1, cela fait deux équations qui réduisent le nombre de degrés de liberté de l'espace des probabilités de tel sorte qu'il ne reste plus que deux degrés de liberté. Et nous choisissons naturellement comme paramètre pour caractériser l'univers, la probabilité de x que nous appellerons µ, et la probabilité de y que nous appellerons ρ, qui jouent tous les deux, le rôle de sources indépendantes.

µ = P(x)
µ = P(x et y) + P(x et ¬y)
µ = P3 + P2

ρ = P(y)
ρ = P(y et x) + P(y et ¬x)
ρ = P3 + P1

L'univers est alors complètement défini par ces deux paramètres µ et ρ. On le représente par le schéma suivant (un schéma de probabilités), avec les 4 lois de l'univers permettant de calculer les 4 probabilitées élémentaires de l'univers, c-a-d la probabilité des 4 mondes possibles.

Exhaustivité :
Première source :
Seconde source :
Indépendance :
P0 + P1 + P2 + P3 = 1
P3 + P2 = µ
P3 + P1 = ρ
(P3 + P1)*(P3 + P2)  =  P3
P0 = (1-µ)*(1-ρ)
P1 = (1-µ)*ρ
P2 = µ*(1-ρ)
P3 = µ*ρ

 

 

 

 

1.2.3.3) Les 24 univers symétriques

 

 

g : (x,y) --> x
¬g

 

 

 

 

Les 4 lois de l'univers respectent les symétries selon un motif qu'il convient de préciser :

  1. Exhaustivité : P0+P1+P2+P3 = 1
  2. Brouillages : P3 + P0 = A
  3. Indépendance : (P3 + P0)*(P3 + P2)  =  P3
  4. Source : P3 + P2 = µ

Transcrite pour chaque évènement élémentaire :

P0 = (1-µ)*A
P1 = (1-µ)*(1-A)
P2 = µ*(1-A)
P3 = µ*A

Lors de la symétrie en x :

(x,y)--> (¬x,y)
(P0,P1,P2,P3)-->(P2,P3,P0,P1)
(µ,A)-->(1-µ,1-A)

 

Les symétries sont moteurs. Ce sont elles qui nous permettent d'appréhender l'ensemble des contraintes, ou plus exactement l'ensemble de leurs effets, sur un univers sans être submergé par la multiplicité des cas. Chaque symétrie divise le nombre de cas par deux, tandis que chaque degré de liberté supplémentaire multiplie le nombre de cas par deux.

La composition de ces deux symétries produit une troisième symétrie à la fois en x et y qui transforme x en ¬x et y en ¬y et qui laisse invariant A. Ainsi nous exhibons 4 univers symétriques :

Symétrie
Schéma de bits
Probabilité
du brouillage
Indépendance
du brouillage
(x, y, A) --> (x, y, A)
 P(x=y) = A
 P(x et y) = P(x)*A
(x, y, A) --> (¬x, y, 1-A)
 P(xy) = 1-A
 P(¬x et y) = P(¬x)*(1-A)
(x, y, A) --> (x, ¬y, 1-A)
 P(xy) = 1-A
 P(x et ¬y) = P(x)*(1-A)
(x, y, A) --> (¬x, ¬y, A)
 P(x=y) = A
 P(¬x et ¬y) = P(¬x)*A

Mais lorsque l'on considère les schémats de probabilités, on s'apperçoit que l'on fait abstraction d'une symétrie, celle qui transforme x en ¬x et y en ¬y et qui laisse invariant A, faisant qu'il n'existe que deux schémats de probabilité symétriques :

Symétrie
Schéma de probabilités
Probabilité
du brouillage
Probabilité du brouillage
développée
Indépendance
du brouillage
(µ, A) --> (µ, A)
 P(x=y) = A
 P(x et y) + P(¬x et ¬y) = A
 P(x et y) = µ*A
(µ, A) --> (¬µ, 1-A)
 P(xy) = 1-A
 P(¬x et y) + P(x et ¬y) = 1-A
 P(¬x et y) = (1-µ)*(1-A)
(µ, A) --> (µ, 1-A)
 P(xy) = 1-A
 P(x et y) + P(¬x et ¬y) = A
 P(x et ¬y) = µ*(1-A)
(µ, A) --> (¬µ, A)
 P(x=y) = A
 P(¬x et y) + P(x et ¬y) = 1-A
 P(¬x et ¬y) = (1-µ)*A

Deux schémas de probabilités sont symétriques si leur paramètre (µ,A) et (µ',A') vérifie µ+µ'=1 et A+A'=1.

L'univers a besoin pour être complètement caracérisé non seulement des paramètres (µ,A), mais également du signe contient 4 mondes (un monde par évènement élémentaire) que l'on peut noter par {{x,y},{x,¬y},{¬x,y},{¬x,¬y}} ou bien par {(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}, où chaque monde possède une probabilité dont voici plusieurs notations courantes :

P0  =  P00  =  P(0,0)  =  P(x=0 et y=0)  =  P(¬x et ¬y)  =  (1-µ)*A
P1  =  P01  =  P(0,1)  =  P(x=0 et y=1)  =  P(¬x et y)    =  (1-µ)*(1-A)
P2  =  P10  =  P(1,0)  =  P(x=1 et y=0)  =  P(x et ¬y)    =  µ*(1-A)
P3  =  P11  =  P(1,1)  =  P(x=1 et y=1)  =  P(x et y)      =  µ*A

Le symbôle (,,,) désigne un n-uplet, et le symbôle {,,,} désigne un multi-ensemble c-a-d un n-uplet à une permutation près, donc sans ordre de ses composantes.

Le schéma de probabilité contient 2 double-mondes, noté par {{{x,y},{¬x,¬y}},{{x,¬y},{¬x,y}}} ou par {{(0,0),(1,1)},{(0,1),(1,0)}}.

On établit une bijection entre les doubles-mondes des deux schémas symétriques. On obtient le double-monde appartenant au schéma symétrique, en inversant la valeur de x, passant de x à ¬x, ou en inversant la première composante de chaque couple, passant de 0 à 1 ou de 1 à 0.

1.2.3) Les brouillages anisotropes

On considère comme hypothèse, un brouillage plus générale dépendant des valeurs de x. Pour cette raison, le brouillage est dit anisotrope. Le brouillage est de probabilité p lorsque x=0, et il est de probabilité q lorsque x=1. Physiquement cela signifie que y est une copie de x qui a été brouillée de façon anisotrope, comme si la copie du bit x était passée dans un canal de transmission brouillant le message avec cette probabilité p de non-erreur lorsque x=0 et cette probabilité q de non-erreur lorsque x=1, pour être finalement enregistré dans la variable booléenne y, ce qui se traduit par les deux probabilités condittionnelles suivantes :

P(x=y / x=0) = p
P(x=y / x=1) = q

Et comme l'évènement x=0 se note ¬x, et que l'évènement x=1 se note simplement x, ces deux probabilité conditionnelle s'écrivent de façon plus abrégé par :

P(x=y / ¬x) = p
P(x=y / x) = q

Par définission, la probabilité conditionnelle d'un évènement sachant un autre évènement est égale à la probabilité de la conjontion des deux évènement divisée par la probabilité de l'évènement connue.

P(u / v) = P(u et v) / P(v)

Nous pouvons décomposer pareillement nos deux probabilités conditionnelles :

p = P(x=y / ¬x)
p = P(x=y et ¬x) / P(¬x)
p = P(¬x et ¬y) / P(¬x)

q = P(x=y / x)
q = P(x=y et x) / P(x)
q = P(x et y) / P(x)

L'hypothèse comprend également le fait que ce brouillage est indépendant. Mais l'univers étant trop petit, cette hypothèse ne s'applique à aucun évènement. En effet, ce brouillage dépend de x puisqu'il est anisotrope, et il dépend de y puisque il en est la cause avec x.

Cette construction est représentée par le schéma de bits suivant, et par les deux équations suivantes écrites sous deux formes :

 P(x=y / ¬x) = p
 P(x=y / x) = q
P(¬x et ¬y) = P(¬x) * p
P(x et y) = P(x) * q

Ces deux équations réduissent le nombre de degrés de liberté d'autant, de tel sorte qu'il ne reste plus qu'un seul degré de liberté dans l'espace des probabilités. Et nous pouvons choisir pour caractériser l'univers simplement la probabilité de x, que nous appellerons µ = P(x) et qui joue le rôle de source. L'univers est donc complétement défini par le schémat de probabilité suivant :

Il possède 3 paramètres que sont les probabilités µ, p, q.

1.2.4) Les symétries en x et en y

Il y a 4 univers symétriques :

Symétrie
Schéma de bits
Probabilité
du brouillage
Equations équivalentes
 (x,y,p,q) --> (x,y,p,q)
 P(x=y / ¬x)  =  p
 P(x=y / x)    =  q
 P(¬x et ¬y) = P(¬x)*p
 P(x et y)     = P(x)*q
 (x,y,p,q) --> (¬x,y,1-q,1-p)
 P(xy / ¬x)  =  1-q
 P(xy / x)    =  1-p
 P(x et ¬y) = P(x)*(1-q)
 P(¬x et y) = P(¬x)*(1-p)
 (x,y,p,q) --> (x,¬y,1-p,1-q)
 P(xy / ¬x)  =  1-p
 P(xy / x)    =  1-q
 P(¬x et y) = P(¬x)*(1-p)
 P(x et ¬y) = P(x)*(1-q)
 (x,y,p,q) --> (¬x,¬y,q,p)
 P(x=y / ¬x)  =  q
 P(x=y / x)    =  p
 P(x et y)     = P(x)*q
 P(¬x et ¬y) = P(¬x)*p

Mais lorsque l'on considère les schémas de probabilités, on ne peut plus faire abstraction comme dans le cas du brouillage isotrope, de la symétrie en x et y à la fois, car si elle transforme x en ¬x et y en ¬y, elle transforme également (p,q) en (q,p) :

Symétrie
Schéma de probabilités
Equations
 (µ,p,q)) --> (µ,p,q)
 P(¬x et ¬y) = (1-µ)*p
 P(x et y)     = µ*q
 (µ,p,q) --> (1-µ,1-q,1-p)
 P(x et ¬y) = µ*(1-q)
 P(¬x et y) = (1-µ)*(1-p)
 (µ,p,q) --> (µ,1-p,1-q)
 P(¬x et y) = (1-µ)*(1-p)
 P(x et ¬y) = µ*(1-q)
 (1-µ,p,q) --> (1-µ,q,p)
 P(x et y)     = µ*q
 P(¬x et ¬y) = (1-µ)*p

Deux univers (µ,p,q) et (µ',p',q') sont symétriques ssi (µ=µ' et ((p=p' et q=q') ou (p=1-p' et q=1-q'))) ou (µ=1-µ' et ((p=q' et q=p') ou (p=1-q' et q=1-p')))

L'univers (µ,p,q) contient 4 mondes, noté par {{{x,y},{¬x,¬y}},{{x,¬y},{¬x,y}}} ou par {{(0,0),(1,1)},{(0,1),(1,0)}}. Chacun de ces mondes possède une probabilité :

P0 = P00 = P(¬x et ¬y) = (1-µ)*p
P1 = P01 = P(¬x et y)   = (1-µ)*(1-p)
P2 = P10 = P(x et ¬y)   = µ*(1-q)
P3 = P11 = P(x et y)     = µ*q

On établit une bijection entre les mondes de deux univers symétriques en x, en inversant la valeur de x, passant de x à ¬x. De même pour la symétrie en y, en inversant la valeur de y, passant de y à ¬y.

1.2.5) Les symétries d'ordre superieurs permutant les probabilités élémentaires

D'une manière plus générale on peut concevoir d'autres symétries d'univers, en particulier celles qui permutent les probabilités élémentaires et qui sont nilpotente d'ordre deux ou d'ordre supérieur d'une manière encore plus générale.

Dans un modèle à deux degrés de liberté, l'espace des probabilité possède 4 degrés de liberté, 4 probabilités élémentaires libres, et il existe donc 4! = 24 permutations possibles, correspondant à 24 symétries possibles d'ordres 2, 3 et 4.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


D. Mabboux-Stromberg

 

12) Les probabilités conditionnelles probabilistes

Les probabilités se définissent concrètement et simplement par rapport à un grand nombre N de tirages dit nombre idéale d'après la loi des grands nombres. Etant donné deux évènements x et y nous avons par définition :

P(x) = N(x)/N
P(x/y) = N(x et y)/N(y)
P(x/y) = P(x et y)/P(y)

N(x) + N(¬x) = N
P(x) + P(¬x) = 1
N(x et y) + N(x et ¬y) = N(x)
P(x et y) + P(x et ¬y) = P(x)

On en déduit que :

P(x) = P(x/y)*P(y) + P(x/¬y)*P(¬y)

On veut définir une probabilité conditionnelle probabiliste, c'est à dire la probabilité d'un évènement x sachant de façon incertaine l'évènement y, cette dernière information ayant été brouillé par une probabilité de non-erreur égale à C, ce qui se représente par le message y = C|m . Cette probabilté est de plus supposée indépendante. Elle pourrait se noter par P(x / y=C|m), où C|m représente une copie de y brouillé dans le canal avec une probabilité de non erreur C, et produisant la valeur m qui nous informe ainsi partiellement sur y.

On concrétise la configuration en l'experimentant sur N tirages, où N est un nombre idéalement grand. Chaque tirage correspond à un monde, et chaque monde possède une probabilité élémentaire. Et il y a une variable d'univers supplémentaire qu'est la valeur m, et qui est déterminé par la valeur y et le brouillage indépendant C. On précise la probabilité conditionnelle probabiliste recherchée en fixant m=1. La probabilité se note alors P(x / y=C|1) ou simplement P(x / y=C|). Et elle vaut dans cette univers étendue P(x / m=1) noté plus simplement par P(x/m). Ainsi le message y=C|m écrit dans la probabilité correspond à une extention d'univers :

11.1) La composition parallèle pour les messages d'émission

L'information "u=v" est une information booléenne qui nous est transmise, et elle peut également nous avoir été transmi de manière altéré. Admettons qu'elle nous soit transmise à travers un canal brouillé de probabilité de non-erreur C. Le message pourrait s'écrire w ← "u=v"|C, où w représente l'état de notre croyance concernant l'égalité u=v apportée uniquement par ce message.

L'univers comprend trois variables booléennes x,y,m, un conecteur logique représenté par le neurone demi-sphérique, et un canal brouillé C représenté par un rectangle.

 

 

 

 

...