LES ESPACES MÉTRIQUES


1. La notion de distance

L'intuition nous guide, mais plus que cela, elle va nous permettre de faire les bons choix, de construire les définitions pertinentes et de les faire dans un ordre précis, batissant un langage d'opérateurs et de fonctions comme un jeu de légos, d'une façon la plus libre possible afin d'obtenir une syntaxe simple possèdant une trés grande capacité d'expression.

La théorie se comporte alors comme un entonnoir, elle s'applique sur un large spectre et produit par le calcul ses démonstrations favorites, se comportant ainsi comme un canaliseur.

Nous procédons étape par étape de tel sorte que chaque choix découle de source, et on décrit un modèle qui donne à ces opérateurs et fonctions un sens plus profond, une sémantique, et qui porte l'intuition.

La construction s'appuit sur la programmation qui est le véritable fondement de la logique. Selon les préceptes élémentariens, la garanti de cohérence du système est reportée dans le processus constructif auquel nous nous soumettons.

Syntaxe et sémantique constituent deux niveaux de langages, l'un étant complètement formalisé, l'autre pas toujours, mais ayant l'avantage d'être à la base de l'intuition. L'intuition ne participe pas d'un langage de démonstration exacte. Elle s'appuit sur l'empirisme et le rêve qui sont l'antithèse de la science hypothético-déductive. L'intuition est ce par quoi on construit l'hypothèse. La démonstration exacte est peut être écartée de ce processus, mais le principe constructif est toujours là, et l'intuition peut aussi être formalisée telle une heuristique.

En privilègiant une approche constructive, on s'écartera du point de vue catégoriel logique pour un point de vue davantage combinatoire et physique. L'intuitionisme rejete l'axiome du choix, considère inexistant le continuum des nombres réels, et les remplace par une représentation énumérable, c'est à dire calculable. On construit l'espace à partir du seul processus programmatif, énumératif et démonstratif, qu'est `NN`. On revisite ainsi les fondements de l'analyse.

Comment formaliser l'idée intuitive de distance séparant deux points ?. On la formalise en une application binaire `d"(.,.)"` appelée distance, de `E^2` vers `D`, où `E` est un ensemble de points et `D` un ensemble de valeurs.

L'ensemble des valeurs `D` devra satisfaire un certain nombre d'axiomes.

La distance `d"(.,.)"` devra satisfaire un certain nombre d'axiomes.

L'ensemble `E`, munie ainsi d'une distance, `(E,d)`, est appelé un espace métrique.

1.1) Les grandeurs

Tout se passe comme si notre conception cartésienne de l'espace se faisait d'abord sur l'échelle des grandeurs. Car c'est l'échelle de la perception, de la mesure, que l'on perçoit nécessairement au travers une part de notre subjectivité. Par principe les distances peuvent s'ajouter et leur somme est commutative. Cela se traduit par le fait que `(D,+)` est un monoïde commutatif :

`M1`.  Associativité : `AA(a,b,c)"∈"D^3,   a"+"(b"+"c) = (a"+"b)"+"c`
`M2`.  Commutativité : `AA(a,b)"∈"D^2,   a"+"b= b"+"a`
`M3`.  Élement neutre : `AAa"∈"D,   a"+"0 = a`

On utilisera le terme de grandeur pour désigner des valeurs non nuls. La valeur zero est notée par le chiffre `0`. Les grandeurs s'ajoutent entres-elles pour produire d'autres grandeurs. Le suffixe `"*"` appliqué à un ensemble de valeurs signifie que l'on retire l'élément nul. Ainsi `D"*"` représente l'ensemble des valeurs non nulles c'est à dire l'ensemble des grandeurs. Et `D` représente l'ensemble des valeurs.

La distance `d"(.,.)"` s'applique à deux points quelconques d'un ensemble `E` et retourne la distance les séparant. On exprime cette distance à l'aide d'une valeur, et si, dans une démarche constructive, on explore les valeurs utilisées, les seules qui nous intéressent, on commence par le zéro qui dénote l'identité, et qui constitue le premier axiome de la distance : « Deux points de distance nulle désignent le même point » et réciproquement « Un point est de distance nulle à lui-même » :

`A1`.  Unicité des indiscernables : `AA(x,y)"∈"E^2,   d(x,y)"="0 iff x"="y`

Puis les distances sont ordonnées. Il existe ainsi des distances plus petites et d'autres plus grandes. Et toutes les distances entres-elles doivent être comparables. Il existe une relation d'ordre totale notée définie sur `D`, c'est à dire vérifiant les quatres axiomes suivants :

`O1`.  Réflexive : `AAa"∈"D,   a"≤"a`
`O2`.  Antisymétrique : `AA(a,b)"∈"D^2,   (a"≤"b "et" b"≤"a) => a"="b`
`O3`.  Transitive : `AA(a,b,c)"∈"D^3,   (a"≤"b "et" b"≤"c) => a"≤"c`
`O4`.  Totale : `AA(a,b)"∈"D^2,   (a"≤"b "ou" b"≤"a)`

Remarquez que dans une relation d'ordre totale, une valeur ne transporte comme information que ses seuls propriétés propres à cette relation d'ordre.

Par commodité, on définie ensuite la relation d'ordre opposée `≥` et les relations d'ordres strictes `<`, `>` comme suit :

`a"≥"b <=> b"≤"a`
`a"<"b <=> (a"≤"b "et" a"≠"b)`
`a">"b <=> (a"≥"b "et" a"≠"b)`

Puis les sommes de grandeurs sont strictement croissantes :

`O5`.  Somme croissante : `AA(a,b)"∈"D"*"^2,   a < a"+"b`

Ensuite vient le concept d'étalon servant d'unité de mesure. Selon le point de vu constructif, on construit `D` avec le moindre effort, à l'aide du zéro et d'un seul étalon générateur noté `1`. Cela se traduit par le fait que l'ensemble des valeurs `(D,+)` est un monoïde commutatif monogène, ou plus simplement que l'ensemble des grandeurs `(D"*",+)` est un semi-groupe commutatif monogène, l'élément neutre pouvant être rajouté de façon canonique. Cela s'écrit en notation programmative et en notation linguistique comme suit :

`D =` Monoïde commutatif monogène `"("+,0,1 )`
`D = "<"0,1,+">""/""{"+ `associatif`, + `commutatif`, 0` élément neutre de `+}`

`D"*" =` Semi-groupe commutatif monogène `"("+,1 )`
`D"*" = "<"1,+">""/""{"+ `associatif`, + `commutatif `}`

Les sommes de grandeurs étant strictement croissantes (`O4`), elles sont nécessairement distinctes. Cela entraine que l'étalon `1` engendre de façon libre le semi-groupe `(D"*",+)`. On en déduit que `D` est donc un monoïde commutatif monogène libre, c'est à dire l'ensemble des entiers naturels, munie de la somme (et de l'unique ordre de somme croissante existant) :

`D = NN`

Les axiomes exprimant la monogénéité et la liberté du monoïde sont exactement les axiomes décrivant `NN`. On rencontre alors la difficulté de fonder `NN` par une axiomatique sans se servir de `NN` (voir les axiomes de Péano-Dedekind).

On peut plus simplement définir un entier naturel comme un shéma de programmation, et donc de démonstration permise. L'entier naturel correspond à un nombre de répétition d'un programme. Délors il est possible de définir dans tout monoïde, la multiplication par un entier naturel `n`. Considérons une valeur `a` appartenant à `D`, nous avons :

`a"×"0_NN = 0_D`
`a"×"1_NN = a`
`a"×"2_NN = a+a`
`a"×"3_NN = a+a+a`
`...`
`a"×"n = a+a+a ... n "fois" ...`

Les axiomes exprimant la monogénéité libre du monoïde sont alors :

`M4`.  Monogéne : `AAa"∈"D, EEn"∈"NN,    a= 1_D"×"n`
`M5`.  Libre : `AA(i,j)"∈"NN^2,   i"≠"j  =>  1_D"×"i≠1_D"×"j `

Cela entraine qu'une distance non nulle peut toujours être rendue plus grande qu'une autre distance en la multipliant `n` fois, où `n` est un entier positif arbitrairement grand. C'est la notion archimédienne de la distance. L'énoncé de l'axiome d'Archimède est le suivant : « Pour deux grandeurs inégales, il existe toujours un multiple entier de la plus petite, supérieur à la plus grande. »

`O6`.  Archimedien : `AA(a,b)"∈"D"*"^2, EEn"∈"NN,   a"×"n>b`

1.2) Espace métrique

Un espace métrique est infini si on peut s'éloigner indéfiniment de n'importe quel point. C'est à dire si quelque soit un point `x` et quelque soit une valeur `n` aussi grande que l'on veut, il existe des points dans cet espace dont la distances à `x` est supérieur à `n`. Remarquer que si cette propriété est valable pour un point `x` alors grâce à l'inégalité triangulaire elle est valable pour tous les points. Autrement dit, l'espace est infini si la distance qui y est définie n'est pas bornée.

Espace métrique `(E,d)` infini : `AAx"∈"E, AAn"∈"NN, EEy"∈"E,   d(x,y)"≥"n`

On privilègie dans notre recherche les espaces métriques où les propriétés étudiées s'appliquent à tous les points, car cette symétrie nous permet de réduire l'arbitraire ainsi que la démultiplication des cas d'espèces.

Remarquez qu'un espace métrique défini par le couple `(E,d)` comprend un ensemble de points `E` et une application binaire `d"(.,.)"`. C'est parcequ'on privilègie le langage, et que les propositions étudiées ont besoin de ces éléments de langage préétablis pour être formulées, que la définition d'un espace métrique tient en ces deux symbôles. L'ensemble des valeurs `D` est inclus, en ce qu'il est nécessaire, dans le graphe de `d"(.,.)"`, et est donc exprimable à l'aide de `d"(.,.)"` en partant de `E`.

À ce stade où `D` est identifié à `NN` et se plonge naturellement dans `ZZ`. La structure `(ZZ, (x,y)|->||x-y||)` forme l'espace métrique entier unidimensionnelle canonique. L'ensemble des valeurs utilisées se note `d(E,E)` et forme un espace métrique unidimensionnelle `(d(E,E),(x,y)->||x-y||)`

L'analyse est la branche des mathématiques qui traite explicitement de la notion de limite. La distance entière ainsi définie permet de développer l'analyse sur les infinis.

La distance est symétrique. C'est le deuxième axiome dans l'ordre de simplicité :

`A2`.  Symétrique : `AA(x,y)"∈"E^2,   d(x,y)=d(y,x)`

Les points forment alors les sommets d'un graphe simple complet où chaque arête possède une grandeur appartenant à `D"*"`. Ainsi chaque arête représente un chemin permettant de passer d'un point à un autre.

Si on s'en tient à ces deux axiomes `A1` et `A2`, on dira que `d"(.,.)"` est une distance locale.

Il se peut que nous ne soyons pas dans cette configuration, c'est à dire plus exactement, il convient de considérer une configuration plus générale pour avoir une plus grande liberté de construction et dans la quelle les deux axiomes `A1`, `A2` ne sont pas forcement satisfaits.

On considère un ensemble de point `E` et une application binaire `f"(.,.)"` quelconque de `E×E->D`. Cette application définie un 1-graphe complet sur `E` où chaque arête orientée possède une distance. Comment faire alors pour retrouver une configuration respectant les axiomes `A1` et `A2`. Cela peut se faire simplement en appliquant les trois algorithmes suivants dans un ordre quelconque :

Et il est possible d'opérer une tel transformation sans perte d'information :

On peut déjà remarquer que la distance, dans son concept même, recherche continuellement à se minimaliser.

La distance locale ainsi obtenue `d"(.,.)"` est une application binaire de `E×E->D` symétrique, de seul diagonale nulle. On peut aussi la définir comme une application de `ccP_2(E)->D"*"`, où `ccP_2(E)` désigne l'ensemble des parties de `E` de cardinalité `2`.

Le concepte de distance, pour qu'il soit pertinent, doit satisfaire une propriété d'intégrité qui lui donne un sens global. Mais quelle est-elle ? C'est la propriété de minimalité. L'arête contenant la distance entre deux points doit contenir une information globale sur le graphe complet, à savoir, que le graphe ne doit pas proposer de chemin plus court que celui proposé par l'arête, ce qui se traduit par l'inégalité triangulaire :

`A3`.  Inégalité triangulaire : `AA(x,y,z)"∈"E^3,    d(x,y) + d(y,z) >= d(x,z)`

Ce troisième axiome, qu'est l'inégalité triangulaire, va donner à la notion de distance toute sa substantialité.

D'un point de vu constructif, on part d'une application binaire `f"(.,.)"` symétrique quelconque de `E^2` vers `D` ne valant zéro que pour les points identiques. Cette application représente alors un graphe simple complet où chaque sommet est un point de `E`, et où chaque arête possède une grandeur représentant une "distance locale" arbitraire entre deux points distincts. Et à partir de ce graphe on peut rechercher les chemins les plus courts, et calculer les distances minimales, qui constituent les véritables distances entre points, dévoilant la véritable notion de proximité ou d'éloignement qui est une connaissance global du graphe complet pris dans son ensemble, et obtenir ainsi une application binaire qui respecte l'inégalité triangulaire, tout en conservant le fait d'être symétrique et de seul diagonale nulle. Ce procédé peut se faire par itération selon l'algorithme suivant :

Repeat `oo`
|    for `x` in `E` do
|    |    for `y` in `E` do
|    |    |    for `z` in `E` do
|    |    |    |    `f(x,z) := "min"(f(x,z), f(x,y)+f(y,z))`
|    |    |    end
|    |    end
|    end
end

L'instruction d'affectation  `f(x,z) := "min"(f(x,z), f(x,y)+f(y,z))` correspond à un affinement de l'application `f`, un affinement de sa valeur pour le couple de points `(x,z)`, qui est modifiée et rendue égale à `f(x,y)+f(y,z)` lorsque cette somme est plus petite.

Et il est également possible d'opérer une tel transformation sans perte d'information. Pour tout triplet de points `(x,y,z)` de `E^3` dont la distance du point `x` à `z` est plus grande que la somme des distances de `x` à `y` et de `y` à `z`, on ajoute un nouveau point `t` et on modifie ce qu'il convient pour que cette situation cesse et qu'il n'y ait pas de perte d'information.

L'instruction Repeat `oo` signifie que l'on répète le programme indéfiniment jusqu'à ce qu'il n'y ait plus d'évolution.

Lorsque l'espace est fini en nombre de points, l'algorithme se termine en un temps fini. Dans les autres cas, on s'appuit sur le processus constructif de l'espace qui assure son énumérabilité. Ce procédé de minimalisation construit une distance `d"(.,.)"` vérifiant :

`A1`. Identité des indiscernables : `AA(x,y)"∈"E^2,   d(x,y)=0 <=> x=y`
`A2`. Symétrique : `AA(x,y)"∈"E^2,   d(x,y) = d(y,x)`
`A3`. Inégalité triangulaire : `AA(x,y,z)"∈"E^3,    d(x,y) + d(y,z) >= d(x,z)`

Les applications binaires `f"(.,.)"` de `E×E->D` jouent le rôle de bâtisseurs et permettent de construire toutes les métriques possibles.

`f"(.,.)"` est une Application quelconque de `E×E -> D`

Il est possible de définir plusieurs arêtes reliants `x` à `y`. Ainsi nous pouvons étendre l'application `f"(.,.)"` en une application retournant non plus une seul valeur appartenant à `D` mais un ensemble non vide de valeurs appartenant à `D`, autant qu'il y a d'arêtes entre les deux points. La distance locale est alors la plus petite valeur de cet ensemble et de l'ensemble des arêtes dans l'autre sens. `ccP(D)"*"` désigne l'ensemble des parties non vides de `D`.

`f"(.,.)"` est une Application quelconque de `E×E -> ccP(D)"*"`

Puis il est possible de généraliser encore en ne considérant qu'une fonction `f"(.,.)"`. L'application est définie partout tandis que la fonction n'est pas forcement définie partout. C'est à dire qu'il se peut qu'il n'y ait pas d'arête entre deux points, et qu'il n'y est donc pas de distance local définie entre ces deux points. Une fonction `f` de `E×E -> ccP(D)"*"` constitue une application de `E×E -> ccP(D)`. Lorsque il n'y a pas de distance local entre `x` et `y`, l'application `f(x,y) = Ø`. Et cette fonction constitue également une relation `f` entre `E×E->D` c'est à dire un sous-ensemble de `E×E×D`.

`f"(.,.)"` est une Application quelconque de `E×E -> ccP(D)`

Les 4 définitions suivantes sont identiques :

`f"(.,.)"` est une Fonction quelconque de `E×E -> ccP(D)"*"`
`f"(.,.)"` est une Application quelconque de `E×E -> ccP(D)`
`f` est une Relation quelconque de `E×E -> D`
`f` est un Sous-ensemble quelconque `f` de `E×E×D`

Si nous souhaitons que la distance soit définie dans tout l'espace, la fonction `f"(.,.)"` doit alors représenter un graphe connexe, c'est à dire tel que pour tout couple de points `(x,y)` il existe une suite de points `x_1, x_2, x_3, ..., x_n` tel que pour chaque indice `i`, `f(x_i,x_(i+1))` ou `f(x_(i+1),x_i)` soit définie.

Une distance incomplète n'est pas définie partout. On peut la compléter et décider arbitrairement que lorsque la distance entre `x` et `y` n'est pas définie, elle vaut une valeur précise `alpha`. Si on considère que le calcul de la distance est un mécanisme de recherche du chemin de distance minimum, alors l'absence de résultat dénote une distance infinie `d(x,y) = oo`. Dans ce dernier cas la métrique n'est plus archimédienne. Elle ne vérifie plus l'axiome d'archimède. On considérera alors chaque partie connexe individuellement. Dans chaque partie la distance sera bien archimédienne.

1.3) Les valeurs fractionnaires

Selon la démarche constructive, on munie `D` d'un moyen de construction supplémentaire qu'est la division entière. Toute grandeur peut être divisée en un nombre entier positif non nul de portions égales. Et l'énoncé d'Archimède s'exprime à l'aide de la division entière comme suit : « Pour deux grandeurs inégales, il existe toujours une subdivision en portions égales de la plus grande, produisant des portions inférieur à la plus petite ».

Le produit et la division par un entier non nul peuvent être étendu pour agire sur toutes les grandeurs. Et l'ensemble des grandeurs forment l'ensemble des rationnels positifs non nuls :

`D"*" = QQ"*"^+`

Cela se définie en notation linguistique par :

`D"*" = "<"1,+,**, ^-1">"  "/"  {`
     `+ `associatif,
     `+ `commutatif,
     `**`associatif,
     `**`commutatif,
     `1` élément neutre de `**`,
     `.^-1` est l'inverse pour `**`,
     `**` est distributive par rapport à `+`
}

En regroupant les propriétés cela s'écrit comme suit :

`D"*" = "<"1,+,**, ^-1">"  "/"  {`
    `D"*"` est un monoïde d'opération `+`,
    `D"*"` est un groupe d'opération `**`, d'élément neutre `1` et d'opération inverse `.^-1`,
    `**` est distributif par rapport à `+`
`}`

On définie l'opération binaire inverse de `**` à partir de l'opération unaire inverse de `**` comme suit :

`x/y = x ** y^-1`

1.4) L'intuitionnisme

L'intuitionnisme rejetant l'axiome du choix, considère inexistant les ensembles non énumérables, et les remplacent par des représentations énumérables, c'est à dire calculables. Ainsi une suite formelle d'entiers n'existe pas à proprement parler, seul existe les suites formelles calculables d'entiers. Et ces suites formelles calculables constituent un ensemble énumérable, l'ensemble de tous les programmes de taille finie qui les calculent. Au delà de la discussion byzantine - car cela ne change pas les règles de démonstration mathématique - cette position de principe va privilègier d'autres choix de démonstration davantage basés sur la construction et les algorithmes.

La vision classique privilègie le corps des réels `RR` et les espaces vectoriels orthonormés `RR^n`. C'est une vision de l'infini un peu trop religieuse. La topologie peut être revisitée par une approche davantage intuitionniste. Et on verra que les concepts de suite convergente, de continuité, de complétude..., peuvent être redéfinis avec moins d'hypothèses, laissant à la topologie elle-même le soin de construire les infinis, les structures de corps et d'espaces dont elle a besoin.

2. La notion de continuité

Une fois la distance définie, apparait naturellement la notion de continuité et la topologie qui en découle. Qu'est-ce que la continuité ?. Deux possiblités s'offrent à nous de définir la continuité. Elle peut être définie soit d'une manière discrète dans un espace métrique un peu plus riche comprenant points et arêtes, ou soit d'une manière canonique.

2.1) La continuité définie d'une manière discrète

La continuité peut être définie de manière discrète en attribuant à chaque arête, un flag arbitraire édictant si l'arête en question constitue un passage continu ou discontinu dans `E`. Cela crée alors deux notions de distance que sont la distance et la distance continue.

Ce flag arbitraire doit néanmoins satisfaire à 3 axiomes. Il doit être réflexif : un point `x` est continu à lui-même, c'est à dire qu'il doit exister une arête continue de `x` à `x`. Il doit être symétrique : si on peut passer par l'arête de `x` à `y` continûment dans `E` alors on doit pouvoir passer par une arête de `y` à `x` continûment dans `E`. Et il doit être transitivif : si `x` est continu à `y` et si `y` est continue à `z` alors `x` doit être continu à `z`.

Si on construit notre distance à partir de batisseurs, ces propriétés ne sont plus nécessaires car elle seront obtenues par les procédés de d'unification, de symétrisation et de minimalisation décrits précédement. La fonction `f"(.,.)"` qui joue le rôle de bâtisseur de la distance, et qui est donc connexe, est complétée par une seconde fonction `g"(.,.)"` de même définition mais simplement restreinte aux seuls arêtes de flag continue, et de ce fait, pouvant être non connexe. `f(x,y)` retourne l'ensemble des valeurs de toutes les arêtes liant `x` à `y`, et définie une « distance locale » égale à la plus petite valeur contenue dans l'ensemble `f(x,y) uu f(y,x)`. Tandis que `g(x,y)` retourne l'ensemble des valeurs des seuls arêtes de flag continu liant `x` à `y`, et définie une « distance continue locale » égale à la plus petite valeur contenue dans l'ensemble `g(x,y) uu g(y,x)` ou par convention est égale à `oo` si cet ensemble est vide.

Puis par les procédés d'unification, de symétrisation et de minimalisation décrits précédement, `f"(.,.)"` permet de définir la « distance » notée `d"(.,.)"`. Et `g"(.,.)"` permet de définir la « distance continue » notée `dc"(.,.)"`, sachant que, par convention, la distance continue locale entre deux points vaut `oo` lorsqu'il n'existe pas de chemin continue dans `E` reliant ces deux points.

La valeur `d(x,y)` représente la distance du plus court chemin dans `E` reliant `x` à `y`. Et la valeur `dc(x,y)` représente la distance du plus court chemin continu dans `E` reliant `x` à `y`, et vaut `oo` si aucun chemin continu dans `E` ne relie `x` à `y`. A cause de ce dernier cas, `dc"(.,.)"` est une métrique incomplète, les valeurs infinis correspondent au cas où elle n'est pas définie.

Les batisseurs `f : (E,E) -> ccP(D)` et `g : (E,E) -> ccP(D)` doivent vérifier l'inclusion `AA(x,y) in E^2,   g(x,y)⊂f(x,y)` puisque `g` est une restriction de `f`. Et `f` doit être connexe pour pouvoir définir une distance complète.

Si on se limite aux seules distances locales `f : (E,E) -> D` et distances continues locales `g : (E,E) -> Duu{oo}` comme bâtisseurs, alors elles doivent vérifier les propriétés suivantes : La distance locale doit être plus petite ou égale à la distance continue locale `AA(x,y) in E^2,   f(x,y) ≤ g(x,y)`. Et rappellons que les distances locales sont par principe symétriques et de seule diagonale nulle. Le qualificatif continue de la distance est une contrainte qui fait que la distance continue est toujours plus grande ou égale à la distance.

L'espace métrique est alors plus riche. Il est noté `(E,d,dc)`. Et cela correspond à un espaces métriques `(E,d)` et un deuxième espace métrique incomplet `(E,dc)` avec la propriété `AA(x,y)in E^2,  d(x,y) ≤ dc(x,y)` où par convention `dc(x,y) = oo` lorsqu'elle n'est pas définie.

2.2) La continuité définie canoniquement

La continuité peut être définie d'une manière canonique sans opérer de construction supplémentaire sur l'espace métrique `(E,d)`. La continuité de l'espace `E` entre deux points `x` et `y` est définie comme étant la capacité, pour toute grandeur arbitrairement petite, notée `1"/"q`, de relier `x` à `y` par une liste de points de E successivement distants par des grandeurs inférieurs à `1"/"q`. On note cette propriété `x"--"y` :

`AAq in NN"*", EE n in NN "/" n>=2 , EE(s_0, s_1, s_2, ..., s_(n-1)) in E^n,  x = s_0,  "et"  AAi in {0,1,2,...,n-2},d(s_i,s_(i+1)) ≤ 1"/"q,  "et"  s_(n-1) = y`

On note `E^+` l'ensemble des suites finies non vides de points appartenant à `E`. Pour une suite `s in E^+`, on note `s_i` le `i`-ème terme de la suite sachant que par convention la suite commence avec l'indice zéro, `s = (s_0,s_1,s_2,...,s_("len"(s)-1))`. On note `"len"(s)` le nombre d'éléments dans la suite `s`. Le `"et"` logique est noté par une virgule. Les intervalles d'entiers compris entre l'entier `a` et l'entier `b` sont notés par `[a..b]`. La propriété `x"--"y` se définie alors par :

`AAq in NN"*", EE s in E^+, x = s_0, s_("len"(s)-1) = y, AAi in [0.."len"(s)-1], d(s_i,s_(i+1)) ≤ 1"/"q`

On remarque que, de la même façon qu'une grandeur arbitrairement grande peut être décrite par un entier naturel non nul arbitraire, une grandeur arbitrairement petite peut être décrite par l'inverse d'un entier naturel non nul arbitraire. Et une grandeur arbitrairement petite ou arbitrairement grande est appelée simplement une grandeur arbitraire. On dira littéralement :

Expression littérale
Formule
Pour toute grandeur arbitrairement petite `1"/"q`
`∀q∈N"*"`
Il existe une grandeur suffisamment petite `1"/"q`
`∃q∈N"*"`
Pour toute grandeur arbitrairement grande `q`
`∀q∈N"*"`
Il existe une grandeur suffisamment grande `q`
`∃q∈N"*"`
Pour toute grandeur arbitraire `r`
`∀r∈Q"*"^+`
Il existe une grandeur `r`
`∃r∈Q"*"^+`
Pour toute valeur arbitraire `r`
`∀r∈Q^+`
Il existe une valeur `r`
`∃r∈Q^+`

Puis on utilisera souvent la variable `r` pour désigner un rationel positif et la variable `q` pour désigner un entier positif, afin de rendre plus lisible les formules mathématiques.

La négation de `x"--"y` se note `x"-/-"y`. Elle affirme l'existence d'une grandeur suffisamment petite, `1"/"q`, tel que quelque soit une suite finie de points partant de `x` pour aller en `y`, les distances des points successifs ne sont pas toutes inférieurs à `1"/"q`. Autrement dit, il est nécessaire d'effectuer au moins un saut d'une distance supérieur à `1"/"q` pour pouvoir passer de `x` en `y`.

Cette propriété peut s'appliquer à tous les couples de points de l'espace `E`, auquel cas on dira que l'espace est continue ou discrets.

`E` est un espace continu : `AA(x,y)in E^2,  x"--"y`
`E` est un espace discret : `AA(x,y)∈E^2,  x"≠"y  =>  x"-/-"y`

Cette notion de continuité va ouvrir un nouveau chapitre des mathématiques que l'on appelle topologie.

Pour l'instant nous n'avons pas les moyens de comparer de façon pertinente les deux définitions de la continuité que nous avons exposées. Dans la suite du document, on n'utilisera que la définition canonique de la continuité.

3. Les suites

L'analyse est la branche des mathématiques qui traite explicitement de la notion de limite.

Une suite formelle de points `x = (x_0, x_1, x_2,...)` peut être vue comme une application `x` de `NN` vers `bbbE` qui à chaque indice entier `i` associe un point `x_i`. La suite formelle est calculable si et seulement si cette application de `NN` vers `bbbE` est calculable, c'est à dire programmable, dans un langage de programmation, en un programme de taille finie.

Une suite de points `x = (x_0, x_1, x_2, ...)` converge vers `h` si et seulement si pour une grandeur arbitrairement petite `1"/"q` il existe un indice suffisamment grand à partir duquel toutes les points de la suite ont une distance à `h` inférieur à `1"/"q` :

`AAq in NN"*", EE r in NN, AAi in NN,   i">"r  =>  d(x_i, h)"<"1"/"q`

Par skolémisation, on peut extraire la variable existentielle `r` et l'ajouter au langage en tant qu'un opérateur unaire, une application associant à chaque entier `q` un entier `r(q)`. La suite converge vers `h` si et seulement si il existe une application entière `r"(.)"` telle que, quelque soit `q` entier non nul, à partir de l'indice `r(q)` tous les points de la suites ont une distance à `h` inférieur à `1"/"q` :

`EEr in(NN->NN),  AAq in NN"*",  AAi in NN,    i">"r(q)  =>  d(x_i , h)"<"1"/"q`

Dans l'approche intuitionniste, le choix de cette application `r"(.)"` est restreint aux seules applications calculables. Cette restriction à pour effet de durcire la condition de convergence vers `h`, c'est à dire qu'elle est susceptible de réduire l'ensemble des suites jugées convergentes vers `h`, mais certainement pas de l'augmenter.

On note cette propriété par `lim_(i->oo) x_i = h`

3.1. Les suites de Cauchy

Augustin Louis, baron Cauchy, mathématicien français, (Paris en 1789 - Sceaux en Hauts-de-Seine en 1857).

Une suite de points `x = (x_0, x_1, x_2,...)` est de cauchy ssi pour toute grandeur arbitrairement petite `1"/"q` il existe un indice suffisamment grand à partir duquel tous les points de la suite ont une distance entre eux inférieur à `1"/"q`.

`AAq in NN"*", EEr in NN, AA(i,j)in NN^2,   (i">"r  "et"  j">"r)  =>  d(x_i, x_j)"<"1"/"q`

Cela définie un critère de convergence sans préciser sur quoi cela converge. Et cela peut converger sur un point qui n'est pas dans l'espace métrique initial. Les suites de Cauchy vont ainsi permettre de compléter les espaces métriques, et en premier lieu, de compléter `QQ` pour définir `RR`.

Une suite de Cauchy est simplement appelée une suite convergente sans préciser sur quoi elle converge, sachant que le point de convergence peut ne pas être dans l'espace métrique initial.

Un espace métrique est dit complet ssi toute les suites de cauchy dans cet espace converge vers des points dans cet espace.

3.2. Construction de l'espace métrique complet

Étant donné un espace métrique `(E,d)`. Étant donné deux suites de Cauchy sur cette espace `x=(x_0, x_1, x_2,...)` et `y=(y_0, y_1, y_2,...)`. La suite des distances entre les deux suites composante par composante `(d(x_0,y_0), d(x_1,y_1), d(x_2,y_2),...)` est également une suite de Cauchy sur l'espace des valeurs `(d(E,E),d)` (cela est une conséquence de l'inégalité triangulaire de la distance) et converge donc vers une valeur dans l'espace complet des valeurs.

Deux suites de Cauchy `x=(x_0, x_1, x_2,...)` et `y=(y_0, y_1, y_2,...)` sont dites équivalente si et seulement si la suite des distances entre les deux suites composante par composante `(d(x_0,y_0), d(x_1,y_1), d(x_2,y_2),...)` converge vers `0`.

La complétude de l'espace métrique `(E,d)` est un espace métrique isomorphe à l'espace des suites de Cauchy modulo cette équivalence et munie de la distance `d(x,y) = lim_(i->oo) d(x_i,y_i)`. Noter que `d(x,y)` ainsi définie est une classe d'équivalence de suite de Cauchy sur `(d(E,E),(a,b)->||a-b||)`.

3.3 Construction de `RR`

Étant donné l'espace métrique `QQ` munie de la distance habituelle. À la différence d'un espace métrique quelconque, celui-ci est munie d'une structre de corps et la distance y est définie par `d(a,b) = ||a-b||`. Remarquer que la distance `d"(.,.)"` est déterminé par la norme `||"."||`.

La complétude de l'espace métrique `(QQ,d)` est un espace métrique isomorphe à l'espace des suites de Cauchy sur `(QQ,d)` modulo l'équivalence et munie de la distance `d(x,y) = lim_(i->oo) d(x_i,y_i)`. La limite correspond à une classe d'équivalence de suites de Cauchy sur `(QQ,d)`.

4. Les ensembles

Considérons une partie `A` de `E`. C'est à dire un ensemble de points appartenant à l'espace métrique `(E,d)`.

Point adhérant : Un point `x` est adhérant à `A` si et seulement s'il existe une suite de points appartenants à `A` convergeant vers `x`.

Fermeture : La fermeture d'une partie `A` consiste à ajouter tous les points adhérants à `A`.

Partie fermée : Une partie `A` est fermée si et seulement si pour toute suite de points de `A` convergeant vers un point `x` de l'espace métrique, le point `x` appartient à `A`.

Partie ouverte : Les parties ouvertes sont définies comme étant les complémentaires des parties fermées dans l'espace métrique.

Voisinage : Un voisinage de `x` est un ouvert qui contient `x`.

Intérieur : Un point `x` est à l'intérieur de `A` ssi il existe un ouvert contenant `x` qui soit inclus dans `A`.

L'intérieur d'une partie constitue une partie ouverte. La fermeture de l'interieur de `A` redonne la fermeture de `A`.

Frontière : La frontière d'une partie `A` est égale à la fermeture de `A` moins l'interieur de `A`. C'est aussi l'intersection de la fermeture de `A` et de la fermeture du complémentaire de `A`. C'est l'ensemble des points `x` tel que pour tout ouvert contenant `x`, celui-ci contient au moins un point appartenant à `A` et au moins un point n'appartenant pas à `A`.

Une partie est fermée ssi elle contient sa frontière. Une partie est ouverte ssi elle est disjointe de sa frontière. Une partie est à la fois ouverte et fermé ssi sa frontière est vide.

Boule fermée : La boule fermée `B(x,r]` de centre `x` et de rayon r regroupe tous les points `y` tel que la distance de `x` à `y` soit inferieur ou égale à `r`, c'est à dire `B(x,r] = {y in E "/" d(x,y) ≤ r}`. On utilise un crochet fermé `]` pour spécifier que la boule est fermée.

Boule ouverte : La boule ouverte `B(x,r)` de centre `x` et de rayon `r` regroupe tous les points `y` tel que la distance de `x` à `y` soit inferieur à `r`, c'est à dire `B(x,r) = {y in E "/" d(x,y) < r}`.

Pour tout voisinage de `x`, il existe un rayon suffisamment petit `1"/"q`, tel que la boule `B(x,1"/"q)` soit incluse dans le voisinage en question. Et toute boule de centre `x` et de rayon strictement positif constitue un voisinage de `x`. On en déduit que :

`x` adhére à `A` ssi pour un rayon arbitrairement petit `1"/"q`, la boule de centre `x` et de rayon `1"/"q` rencontre toujours `A`.

Un point `x` est intérieur à `A` ssi il existe un rayon suffisament petit `1"/"q` tel que la boule `B(x,1"/"q)` est inclus dans `A`.

La frontière de `A` regroupe les points `x` tel que pour un rayon arbitrairment petit, la boule `B(x,1"/"q)` contient au moins un point appartenant à `A` et au moins un point n'appartenant pas à `A`.

Les propriétés topologiques peuvent se définir uniquement avec la notion d'ouvert sans utiliser la notion de boule et réciproquement.

L'ensemble de toutes les parties ouvertes de l'espace est noté `ccT` et constitue la topologie de l'espace `E`.

Aussi on peut redéfinir ce qu'est la convergence vers `h`. Une suite `(x_0, x_1, x_2,...)`, converge vers `h` si et seulement si pour tout voisinage `V` de `h`, il n'existe qu'un nombre fini de points de la suite en dehors de `V`. Cette propriété s'applique donc de la même façon à un ensemble `X={x_0, x_1, x_2,...}`. Une partie `X` converge vers `h` si et seulement si la différence entre elle et n'importe quelle voisinage de `x` est toujours un ensemble fini :

`AAV"∈"ccT,   h"∈"V  =>  X-V` est fini

Dans l'approche intuitionniste, le domaine des parties ouvertes `V` considérées est restreint aux seules parties ouvertes calculables. Cette restriction à pour effet d'assouplire la condition de convergence vers `h`, c'est à dire qu'elle est susceptible d'augmenter l'ensemble des suites jugées convergentes vers `h`, mais certainement pas de le diminuer. Comme nous avons remarqué l'inverse au début. On en conclu que la topologie n'est pas modifiée lorsqu'on se restreint aux ensembles calculables.

4.2 Les ensembles énumérables

Le point de vue intuitionniste ne considére que des parties calculables de `E`, c'est à dire énumérable. Un ensemble énumérable possède de nombreux ordres d'énumération et le choix de l'ordre d'énumération n'est pas fait. Pour tout ensemble énumérable `A`, on note `ccE(A)` l'ensemble des énumérateurs de `A`. L'ensemble `ccE(A)` correspond à l'ensemble des programmes de taille finie énumérant `A`, et donc `ccE(A)` est lui-même énumérable. Un énumérateur `x in ccE(A)` est une bijection de `NN` vers `bbbA`, et conventionnellement on notera l'image de l'entier `i` par `x_i`.

Étant donné un espace métrique `(E,d)`. L'ensemble des parties de `E`, noté `ccP`, n'est pas dénombrable. Par contre l'ensemble des parties calculables de `E`, noté `ccP(E)` est dénombrable et énumérable. L'ensemble des parties finies de `E` se note `ccP_(<oo)(E)` ou simplement `E"*"` en utilisant l'étoile de Kleene. L'ensemble des parties calculables inifinies de `E` se note `ccP_oo(E)` ou simplement `E^oo`. Nous avons `ccP(E)   =   E"*" uu E^oo`.

L'ensemble des parties ouvertes, noté `ccT`, n'est pas dénombrable. Par contre l'ensemble des parties à la fois calculables et ouvertes (et peut-être même... plus précisement dont on peut démontrer qu'elles sont ouvertes), constitue le point de vue intuitionniste de la topologie de `E` et se note `ccT(E)`.

On remarque que l'ordre des points dans une suite de Cauchy `(x_0, x_1, x_2,...)` n'a pas d'influence sur sa convergence ni sur sa limite. Aussi pouvons nous appliquer cette propriété de Cauchy à un ensemble énumérable.

Le point de vue intuitionniste ne considère que des ensembles énumérables, c'est à dire énumérable par un programme de taille finie. `X` est un ensemble de cauchy si et seulement si il existe un énumérateur `x` de `X`, tel que pour toutes grandeurs arbitrairment petite `1"/"q`, il existe un indice suffissament grand `r`, tel que les points d'indice supérieur à `r` sont de distance entre eux inférieur à `1"/"q`.

`EE x in ccE(E), AAq in NN"*", EEr in NN, AA(i,j)in NN^2,   (i">"r  "et"  j">"r)  =>  d(x_i, x_j)"<"1"/"q`

L'adhérence d'une partie `A` est l'ensemble des points de l'espace adhérents à cette partie, et se note `"adhérence"(A)`. La limite d'une partie énumérable `A` est l'ensemble des points de l'espace complété adhérents à cette partie, et se note `lim A`. Nous avons :

`"adhérence"(A) sub lim A`

On dira que deux parties sont équivalentes si et seulement si elles ont même limite.

Un ensemble énumérable `A` possédant une limite `B`, se partitionne en un ensemble d'ensembles de Cauchy, un ensemble de Cauchy pour chaque élément de `B` et convergeant vers cet élément.

 

--- 31 janvier 2016 ---


Dominique Mabboux-Stromberg