Les caractéristiques invariantes par changement de base pour les configurations de 1, 2 et 3 vecteurs ou formes linéaires.

  1. Introduction
  2. L'espace projectif P(E)
  3. Un vecteur
  4. Une forme linéaire
  5. Les configuration constituées de deux vecteurs
    1. Le couple de vecteurs
    2. Le couple de vecteurs à une permutation près
  6. Les configurations constituées de n formes linéaires
  7. Les configurations constituées d'un vecteur et d'une forme linéaire
  8. Les configurations constituées de trois vecteurs
    1. Un triplet de vecteurs
    2. Un triplet de vecteur à une permutation près sur les deux premiers
  9. Les configurations constituées de deux vecteurs et d'une forme linéaire
    1. Un couple de vecteur avec une forme linéaire
    2. Un couple de vecteur à une permutation près avec une forme linéaire
    3. Un couple de vecteur avec une forme linéaire, dans le cas ou la symétrie entre l'espace et son dual est maitenue est restreingnant les hypothèses
  10. L'espace projectif P(E)

0) Introduction

Dans un espace vectoriel E sur un corps commutatif K quelconque, où nous n'avons pas encore définie ni orthogonalité ni norme, pour une configuration donnée de quelques vecteurs et de quelques formes linéaires, les caractèristiques invariantes par automorphisme de l'espace vectoriel (c'est à dire par changement de base quelconque) sont peu nombreuses, et leur expressions se formalisent facilement à l'aide des espaces projectifs. Nous définirons ce qu'est un espace projectif. Nous passerons en revue les invariants pour les configurations composée de quelques vecteurs et formes linéaires, ainsi que pour leur dégénérescence selon un groupe de permutation près. Ces invariants sont déterminés par les dépendances linéaires entre vecteurs et par les produits scalaires entre formes linéaires et vecteurs.

On définie le rang d'une liste de vecteurs dim(u,v,w,...) comme étant la dimension de l'espace vectoriel engendré par ces vecteurs. Le rang constitue un invariant par automorphisme. C'est à dire que quelque soit un automorphisme A de l'espace vectoriel E, et des vecteurs u,v,w appartenant à E, nous avons :

dim(u,v,w) = dim(A(u),A(v),A(w))

et donc dim(u,v,w) constitue bien un invariant par automorphisme de E.

1) L'espace projectif P(E)

L'espace projectif est utilisé pour modéliser le fond étoilé du ciel. Un objet céleste lointain dont on ne connait pas la distance est placé approximativement à l'infini. Cette approximation consiste à positionner l'objet dans l'espace projectif, c'est à dire à le projeter à l'infini selon un axe passant par l'origine et l'objet concerné, et à le désigner par cette droite vectorielle orientée, cette direction, qui le contient.

Soit E un K-espace vectoriel, l'espace projectif P(E)* est égale à l'ensemble des droites vectoriels orientées contenue dans E. C'est à dire à l'ensemble des vecteurs non nuls modulo K. On peut ajouter dans l'espace projectif un point supplémentaire qu'est le point nul 0E*K={0E} ou noté abusivement simplement 0E, l'espace projectif est alors noté p(E), le suffixe * désignant la privation du zéro.

P(E)* = {u*K / u appartient à E et u<>0E}
P(E)* = P(E)-{0E*K}
P(E) = {u*K / u appartient à E}

Dans ces formules, le vecteur u, lorsqu'il n'est pas nul, désigne la direction vers l'objet placé sur le fond du ciel. La dimension de l'espace projectif est par définition égale à la dimension de l'espace moins un :

dim(P(E)) = dim(E) - 1

Par exemple, la carte du ciel représente la surface de la sphère celeste. La carte du ciel est de dimension 2 et la sphère celèste est de dimension 3.

2) Un vecteur

Etant donné un vecteur v. Il y a une caractéristique invariante par automorphisme qu'est le rang de v égale à 0 ou 1 selon que le vecteur est nul ou indépendant. Et il n'y en a pas d'autre car un vecteur non nul peut être transformé par automorphisme en tout autre vecteur non nul.

Schéma
dim(u)
0
1

3) Une forme linéaire

Une forme linéaire f est une fonction qui projette les vecteurs de l'espace E sur son corps K de façon linéaire, c'est à dire tel que quelque soit u, v deux vecteurs de E et quelque soit k un élément du corps K nous avons :

f(u)+f(v) = f(u+v)
f(k*v) = k*f(v)

 

 

---- 3 mars 2013 ----

Calculons ce que devient cette forme linéaire f lorsque l'on applique un automorphisme A à l'espace vectoriel, c'est à dire à son ensemble de départ mais sans effectuer de changement sur le corps K. La forme linéaie f : v-->f(v) devient g : A(v)-->f(A(v)),

g*v =g*A*A-1*v = f*A*v

 

v-->f*A*v
v-->(At*ft)t*v

Par changement de base d'automorphisme A, la forme linéaire f est transformée en f*A (ou (At*ft)t). Et cela revient à un changement de base dans l'espace dual d'automorphisme At. Donc nous avons la même configuration que celle d'un vecteur. Il n'y a qu'une seul caractéristique invariante par changement de base, qui est le rang de f égale à 0 ou 1 selon que la forme linéaire est nul ou indépendante.


Schéma
dim(f)
0
1

4) Les configurations constituées de n formes linéaires.

Etant donnée n formes linéaires, l'espace vectoriel de dimension fini étant isomorphe à son espace dual, on se ramène par transposition au cas de n vecteurs.

5) Les configuration constituées de deux vecteurs

Etant donné deux vecteurs u,v. La configuration doit préciser son degré de dégénérescence. C'est à dire à savoir ici, si on considère un couple (u,v) ou un couple à une permutation près, noté le doublon {u,v}. La notation {x,y,z,...}désigne ici un multi-ensemble, c'est à dire que les éléments peuvent y apparaître plusieurs fois, parcontre l'ordre n'y a pas d'importance. Les caractèristiques invariantes par changement de base se regroupent selon le degrés de dégénérescence de la configuration concidérée.

5.1) Le couple de vecteurs

Etant donné un couple de vecteur (u,v), il y a un invariant qui peut prendre 3 valeurs : dim(u,v) = 0 ou 1 ou 2. Si dim(u,v) = 0 alors u = v = 0E. Si dim(u,v) = 1 alors il y a 3 cas ; un vecteur nul qui peut être u ou v, et le cas de deux vecteurs non nuls colinéaires, il existe alors une caractéristique supplémentaire, un scalaire non nul k nommé rapport, tel que v = k*u. Lorsque dim(u,v) = 2, alors (u,v) constitue un couple de vecteurs indépendants, et peut être transformé par un automorphisme en tout autre couple de vecteurs indépendants, il n'y a donc pas d'autre invariant dans ce cas. Nous avons décrit de façon exhaustive les invariants d'un couple de vecteurs à automorphisme près. L'exhaustivité signifie que tout autre invariant peut être définie à partir de ces seuls invariants de base.

On peut regrouper les quatres dernier cas par une caractéristique unique, un couple de scalaire (a,b) à un facteur multiplicatif près, noté (a,b)*K, tel que a*u + b*v = 0E et tel que les scalaires soient non nuls si possibles. Lorsque a = 0 cela signifie que u est indépendant de l'espace vectoriel engendré par (v), et lorsque b = 0 cela signifie que v est indépendant de l'espace vectoriel engendré par (u), et lorsque a = b = 0 cela signifie que (u,v) constitue un couple de vecteurs indépendants, et lorsque ni a ni b ne sont nul cela signifie que les deux vecteurs u et v sont non nuls et colinéaires selon l'équation a*u + b*v = 0E.

On peut regrouper les quatres premiers cas de la même façon en changeant le sense du cas a = b = 0 par le cas où u = v = 0E.

Les caractèristiques (a,b)*K parcourent l'espace projectif P(K2) lorsque (a,b) parcourt K2.

Schéma
dim(u,v)
(dim(u),dim(v))
Domaine des invariants
0
 (0,0)
 
 
 
 
P(K2)

(a,b)*K élément de P(K2)
a*u + b*v = 0E
a = 0
b = 0
1
(0,1)
  
   
P(K2)

(a,b)*K élément de P(K2)
a*u + b*v = 0E

a<>0
b = 0
a<>0
b = 0
(1,0)
 
K

k élément de K
v = k*u
k = 0
a = 0
b<>0
a = 0
b<>0
(1,1)
K*

k élément de K*
v = k*u
k<>0
a<>0
b<>0
a<>0
b<>0
2
 (1,1)
 
   
a = 0
b = 0
 

 

5.2) Le couple de vecteurs à une permutation près.

Etant donné un doublon de vecteur {u,v}, les cas présendants n°2 et n°3 se regroupent. Et comme les deux vecteurs sont configurés à une permutation près, le cas n°4 de deux vecteurs colinéaires de rapport non nul k est identique au cas de deux vecteurs colinéaires de rapport 1/k. Nous retrouvons une correspondance univoque entre les configurations de vecteurs colinéaires non nuls et les rapports notés sous forme de doublon {k,1/k}, c'est à dire à une permutation près, avec k non nul. Cela correspond à l'ensemble K* modulo la transformation x-->1/x, et cela peut se noter par K*/(x-->1/x).

On considère les deux fonctions suivantes :

    Inv(x) = 1/x
    Sym((a,b)) = (b,a)

On note K*/Inv, les rapports non nul modulo la transformation x-->Inv(x). Une expression exhaustive des éléments de K*/Inv est donnée par le doublon {k,1/k} avec k appartenant à K*. On note K/Inv l'ensemble des éléments de K modulo la transformation x-->Inv(x) quant celle-ci est définie. K/Inv contient K*/Inv et contient un élément supplémentaire qui est le singleton {0}.

On note P(K2)/Sym les éléments de l'espace projectif de K2 modulo la permutation des coordonnées. Une expression exhaustive des éléments de P(K2)/Sym est donnée par l'expression {{a*k,b*k}/ k appartient à K} avec a et b appartenant à K, que l'on désignera plus simplement par {a,b}*K. C'est un ensemble de doublons d'éléments de K.

Schéma
dim(u,v)
{dim(u),
dim(v)}
Domaine des invariants
0
{0,0}
     
P(K2) / Sym

{a,b}*K éléments de P(K2)/Sym
a*u+b*v=0E  ou  a*v+b*u=0E
a = 0
b = 0
1
{0,1}
 
K / Inv

{k,1/k}élément de K/Inv
v = k*u  ou  u = k*v
P(K2) / Sym
{a,b}*K éléments de P(K2)/Sym
a*u+b*v=0E  ou  a*v+b*u=0E
a*b = 0
a+b<>0
a*b = 0
a+b<>0
{1,1}
K* / Inv

{k,1/k}élément de K*/Inv
v = k*u  ou  u = k*v
a<>0
b<>0
a<>0
b<>0
2
{1,1}
   
a = 0
b = 0
 

 

6) Les configurations constituées d'un vecteur et d'une forme linéaire.

Etant donné une forme linéaire f et un vecteur v, le couple est apriori la seul configuration possible puisque les deux éléments sont de nature distinctes et ne peuvent pas être configurés à une permutation près. Néamoins grace à l'identification canonique entre E et E'', on peut rétablir une symétrie entre l'espace et son dual de tel sorte que l'on ne sache pas si l'on a affaire à E ou à son dual E', puisque chacun d'eux joue le rôle du dual de l'autre. Dans ce cas nous pouvons considérer une deuxième configuration basé à une permutation près, que l'on note {v,f}.

Etant donné un couple composé d'un vecteur et d'une forme linéaire (u,f), il y a un invariant qui peut prendre 4 valeurs : (dim(v), dim(f)) = (0,0) ou (0,1) ou (1,0) ou (1,1). Et si il prend la valeur (1,1) alors il existe une caractéristique supplémentaire correspondant au produit scalaire <v,f> = f(v) qui est un élément de K. Ce produit scalaire est bien un invariant puisqu'il n'est pas définie en fonction du choix d'une base. Il n'y a pas d'autres invariants.

(dim(v),dim(f))
Domaine des Invariants
(0,0)
 
(0,1)
 
(1,0)
 
(1,1)
K
<f,v>

Lorsque la configuration est basé à une permutation près, {v,f}, le deuxième et troisième cas sont réunie, et dans le cas (dim(u),dim(f)) = (1,1), la caractèristique <v,f> = <f,v> = f(v) = v(f) est inchangé car le produit salaire est symétrique.

{dim(v),dim(f)}
Domaine des Invariants
{0,0}
 
{0,1}
 
{1,1}
K
<f,v>

6) Les configurations constituées de trois vecteurs

Les configurations composées de trois vecteurs sont plus nombreuses. Il faut passer en revue les sous groupes du groupe des permutations de 3 éléments distincts. Et finalement il y a 4 types de configuration possibles : un triplet (u,v,w), un doublon et un élément ({u,v},w), un triplet à une permutation circulaire près, noté ‡u,v,w‡, et un triplet à une permutation quelconque près, noté {u,v,w}.

6.1) Un triplet de vecteurs

Etant donné un triplet de vecteur (u,v,w), il y a un invariant qui peut prendre 4 valeurs : dim(u,v,w) = 0 ou 1 ou 2 ou 3. Si dim(u,v,w) = 0 alors u = v = w = 0E. Si dim(u,v,w) = 1 alors il y a 7 cas ; deux vecteurs nuls qui peuvent être (u,v) ou (u,w) ou (v,w), et les cas d'un vecteur nul qui peut être u ou v ou w et les deux autres colinéaires de rapport non nul k, et le cas des trois vecteurs colinéaires caractérisés de façon univoque par deux scalaires non nuls (k1, k2) , nommés rapports de colinéarité, tel que w = k1*u et w = k2*v. Si dim(u,v,w) = 2, il y a trois cas, soit un vecteur est nul, soit il existe une colinéarité entre deux vecteurs, soit ni l'un ni l'autre et (u,v,w) est coplanaire, c'est à dire 7 cas developpés : u ou v ou w est nul, ou (u,v) ou (u,w) ou (v,w) est colinéaire de rapport non nul k, ou alors (u,v,w) coplanaire caractérisé de façon univoque par deux scalaires (k1,k2), nommé rapport de coplanairité, tel que w = k1*u + k2*v. Si dim(u,v,w) = 3 alors (u,v,w) constitue un triplet de vecteurs indépendants, et peut être transformé par un automorphisme en tout autre triplet de vecteurs indépendants. Il n'y a donc pas d'autre invariant dans ce cas.

On peut regrouper les cas des dimension 2 et 3 en les caractèrisant de facon univoque par un triplet de scalaire (a,b,c) à un facteur multiplicatif près, noté (a,b,c)*K, tel que a*u + b*v + c*w = 0E et tel que les scalaires soient non nuls si possibles. Lorsque a = 0, cela signifie que u est indépendant de l'espace vectoriel engendré par (v,w). Lorsque a = b = 0, cela signifie que u et v constitue un couple de vecteur indépendants et qu'ils sont indépendant de l'espace vectoriel engendré par (w). Lorsque a = b = c = 0, cela signifie que u, v, w constitue un trilpet de vecteurs indépendant. Et lorsque ni a ni b ni c ne sont nul cela signifie que les trois vecteurs u, v, w sont non nuls et coplanaires selon l'équation a*u + b*v + c*w = 0E.

Mais on peut également regrouper les cas de dimension 1 et 0 en les caractèrisant de la même facon par (a,b,c)*K, tel que les termes non nuls parmis a*u, b*v, c*w soit égaux entre eux, et tel que les termes nuls correspondents aux vecteurs nuls. Lorsque a = 0 cela signifie que u = 0E. Lorsque a = b = 0 cela signifie que u = v = 0E, et lorsque a = b = c = 0 cela signifie que u = v = w = 0E . Lorsque a<>0 et b<>0 cela signifie que a*u = b*v. Et lorsque a<>0 et b<>0 et c<>0 cela signifie que a*u=b*v et b*v=c*w.

Les caractèristiques (a,b,c)*K parcours l'espace projectif P(K3) lorsque (a,b,c) parcours K3.

Schéma
dim(u,v,w)
(dim(u),
dim(v),
dim(w))
(dim(v,w),
dim(w,u),
dim(u,v))
Domaine des invariants
0
(0,0,0)
(0,0,0)
 
P(K3)

(a,b,c)*K éléments de P(K3)
a = 0  <=>  u = 0
b = 0  <=>  v = 0
c = 0  <=>  w = 0
a<>0 et b<>0  =>  a*u = b*v
b<>0 et c <>0  =>  b*v = c*w
c<>0 et a <>0  =>  c*w = a*u

Les termes non nuls parmis a*u, b*v et c*w sont égaux entre eux, et les scalaires a,b et c qui sont nuls correspondent respectivements aux vecteurs u,v et w qui sont nuls.
a=0
b=0
c=0
1
(1,0,0)
(0,1,1)
 
a<>0
b=0
c=0
(0,1,0)
(1,0,1)
 
a=0
b<>0
c=0
(0,0,1)
(1,1,0)
 
a=0
b=0
c<>0
(0,1,1)
(1,1,1)
K*
k élément de K*
w = k*v
a=0
b<>0
c<>0
(1,0,1)
K*
k élément de K*
u = k*w
a<>0
b=0
c<>0
(1,1,0)
K*
k élément de K*
v = k*u
a<>0
b<>0
c=0
(1,1,1)
K* 2
(k1, k2) éléments de K* 2
w = k1*u  et  w = k2*v
a<>0
b<>0
c<>0
2
(0,1,1)
(2,1,1)
 
   P(K3)

(a,b,c)*K élément de P(K3)
a*u + b*v + c*w = 0E
a=0 <=> u indépendant de (v,w)
b=0 <=> v indépendant de (w,u)
c=0 <=> w indépendant de (u,v)

L'équation a*u + b*v + c*w = 0E est toujours vérifié, et les scalaires a,b,c sont non nuls si possibles.



a<>0
b=0
c=0
(1,0,1)
 (1,2,1)
 
a=0
b<>0
c=0
(1,1,0)
 (1,1,2)
 
a=0
b=0
c<>0
(1,1,1)
(1,2,2)
K*
k élément de K*
w = k*v
a=0
b<>0
c<>0
(2,1,2)
K*
k élément de K*
u = k*w
a<>0
b=0
c<>0
(2,2,1)
K*
k élément de K*
v = k*u
a<>0
b<>0
c=0
(2,2,2)
K* 2
(k1, k2) éléments de K* 2
w = k1*u + k2*v
a<>0
b<>0
c<>0
3
 (1,1,1)
(2,2,2) 
 
a=0
b=0
c=0

 

6.2) Un triplet de vecteur à une permutation près sur les deux premiers

Etant donné la configuration de vecteurs représentés par ({u,v},w), les 16 cas précédents se regroupent en 12 cas, du seul fait du doublon {u,v}. Le rapport de colinéarité de {u,v}, c'est à dire à une permutation près, s'exprime sous forme d'un doublon de scalaires non nuls {k,1/k}, c'est à dire à une permutation près, tel que v = k*u ou u = k*v. Le rapport de colinéarité de ({u,v},w) est exprimé par un doublon de scalaires non nuls {k1,k2}, c'est à dire à une permutation près, tel que w = k1*u = k2*v ou w = k1*v + k2*u. Et le rapport de coplanairité de ({u,v},w) est exprimé par un doublon de scalaires non nuls {k1,k2} tel que w = k1*u + k2*v ou w = k2*u + k1*v.

On considère les fonctions suivantes :

Inv(x) = 1/x
Sym((a,b)) = (b,a)              
 permute le couple.
Per((a,b,c)) = (b,a,c)           
permute les deux premiers terme du triplet.

On note K2/Sym, les couples modulo la transformation (a,b)-->(b,a). Une expression exhaustive des éléments de K2/Sym est donnée par le doublon {a,b}avec a et b appartenant à K :

K2/Sym = { {a,b} / (a,b) appartient à K2 }
K* 2 /Sym = { {a,b} / (a,b) appartient à K* 2 }

On note P(K^3) / Per, les triplets modulo K et modulo la transformation (a,b,c)-->(b,a,c). Une expression exhaustive des éléments de P(K^3) / Per est donnée par le couple composé d'un doublon et d'un élément le tout modulo K, noté ({a,b},c)*K avec a, b et c appartenant à K :

P(K^3) / Per = { ({a,b},c)*K / (a,b,c) appartient à K3 }

 

Schéma
dim(u,v,w)
({dim(u),
dim(v)},
dim(w))
(dim(u,v),
{dim(u,w),
dim(v,w)})
Domaine des invariants
0
 
 
 
P(K3) / Per

({a,b},c)*K élément de P(K3)/Per
a = 0 ou b = 0  <=>  u = 0 ou v = 0
a = b = 0  <=>  u = v = 0
c = 0  <=>  w = 0
a<>0 et b<>0  =>  a*u = b*v ou a*v = b*u
b<>0 et c <>0  =>  b*v = c*w ou b*u = c*w
c<>0 et a <>0  =>  c*w = a*u ou c*w = a*v

Les termes non nuls parmis a*u, b*v et c*w sont égaux entre eux, et les scalaires a,b et c qui sont nuls correspondent respectivements aux vecteurs u,v et w qui sont nuls.
1
({0,1},0)
 (1,{0,1})
 
({0,0},1)
 
 
({0,1},1)
 
K*

k élément de K*
w = k*u ou w = k*v
({1,1},0)
 
K* / Inv

{k,1/k}élément de K*/Inv
v = k*u
({1,1},1)
 
K*2 / Sym

{k1,k2}élément de K*2/Inv
w = k1*u et w = k2*v
2
({0,1},1)
 
 
P(K^3) / Per

({a,b},c)*K élément de P(K3)/Per
a*u+b*v+c*w=0E ou a*v+b*u+c*w=0E

Les scalaires a,b,c sont non nuls si possibles.
({1,1},0)
 
 
({1,1},1)
(1,{2,2})
K* / Inv

{k,1/k}élément de K*/Inv
v = k*u
(2,{1,2})
K*

k élément de K*
w = k*u ou w = k*v
(2,{2,2})
K*^2 / Sym

{k1,k2}élément de K*2/Inv
w = k1*u + k2*v
3
 
 
 

Etant donné un triplet de vecteurs à une permutation circulaire près, noté ‡u,v,w‡, les 12 cas précédents se regroupent en 8 cas. Le rapport de colinéarité de deux vecteurs dans un tel triplet s'exprime toujours par un scalaire k, car deux vecteurs dans un triplet (à permutation circulaire) se suivent et donc nous pouvons définire le rapport de colinéarité du premier sur le second. Le rapport de colinéarité entre ‡u,v,w‡ est plus complexe, il est exprimé par une configuration intriqué des deux scalaires non nuls k1 et k2 telque w = k1*u = k2*v dont voici une expression {(k1,k2),(1/k2,k1/k2),(k2/k1,1/k1)}. Et le rapport de coplanairité entre ‡u,v,w‡ est exprimé de façon similaire par {(k1,k2), (1/k2,k1/k2), (k2/k1,1/k1)}avec w = k1*u + k2*v.

On considère les deux fonctions supplémentaires suivantes, génératrices de relation d'équivalence :
     Tor((x,y)) = (1/y,x/y)

     Circ((a,b,c)) = (b,c,a)

Schéma
dim(u,v,w)
dim(u),
dim(v),
dim(w)

{dim(u,v),
dim(u,w),
dim(v,w)}

Domaine des invariants
0
 
 
 

   P(K^3) / Circ

a,b,c*K avec a,b,c éléments de K tel que les termes non nuls parmis a*u, b*v, c*w sont égaux, et les termes nuls correspondent aux vecteurs nuls.

1
0,0,1
 
 
0,1,1
 
 

K*
k élément de K* tel que w = k*u ou w = k*v

1,1,1
 

K*^2 / Tor
{(k1,k2), (1/k2,k1/k2), (k2/k1,1/k1)}
avec k1 et k2 élément de K* tel que
w = k1*u et w = k2*v

2

0,1,1

 
 

   P(K^3) / Circ

a,b,c*K avec a,b,c éléments de K tel que a*u + b*v + c*w = 0E, et les termes nuls correspondent aux vecteurs indépendants.

1,1,1
{1,2,2}
K*
k élément de K*
tel que v = k*u ou w = k*v ou u = k*w
{2,2,2}
K*^2 / Tor
{(k1,k2), (1/k2,k1/k2), (k2/k1,1/k1)}
avec k1 et k2 élément de K* tel que
w = k1*u et w = k2*v
3
 
 
 

 

6.3) Un triplet de vecteur à une permutation près.

Etant donné un triplet de vecteur à une permutation près {u,v,w}, les 8 cas précédents se retrouvent : Le rapport de colinéarité de deux vecteurs s'exprime par {k,1/k}. Le rapport de colinéarité de {u,v,w} s'exprime par {{k1,k2},{1/k2,k1/k2},{k2/k1,1/k1}}avec w = k1*u = k2*v. Et le rapport de coplanairité de ({u,v},w) est exprimé de façon similaire par {{k1,k2},{1/k2,k1/k2},{k2/k1,1/k1}} avec w = k1*u + k2*v .

Schéma
dim(u,v,w)
{dim(u),
dim(v),
dim(w)}

{dim(u,v),
dim(u,w),
dim(v,w)}

Domaine des invariants
0
 
 
 

   P(K^3) / {Per,Circ}

{a,b,c}*K avec a,b,c éléments de K tel que les termes non nuls parmis a*u, b*v, c*w sont égaux, et les termes nuls correspondent aux vecteurs nuls.

1
{0,0,1}
 
 
{0,1,1}
 
 

K* / Inv
{k,1/k} avec k élément de K* tel que
w = k*u ou u = k*v ou v = k*w

{1,1,1}
 

K*^2 / {Sym,Tor}
{{k1,k2}, {1/k2,k1/k2}, {k2/k1,1/k1}}
avec k1 et k2 élément de K* tel que
w = k1*u et w = k2*v

2

{0,1,1}

 
 

   P(K^3) / {Per,Circ}

{a,b,c}*K avec a,b,c éléments de K tel que a*u + b*v + c*w = 0E, et les termes nuls correspondent aux vecteurs indépendants.

{1,1,1}
{1,2,2}
K* / Inv
{k,1/k} avec k élément de K* tel que
w = k*u ou u = k*v ou v = k*w
{2,2,2}
K*^2 / {Sym,Tor}
{{k1,k2}, {1/k2,k1/k2}, {k2/k1,1/k1}}
avec k1 et k2 élément de K* tel que
w = k1*u + k2*v
3
 
 
 

 

7) Les configurations constituées de deux vecteurs et d'une forme linéaire.

Les configurations composées de deux vecteurs et d'une forme linéaire sont au nombre de deux : ((u,v),f) ou ({u,v},f).

7.1) Un couple de vecteur avec une forme linéaire.

Etant donné un couple composé d'un couple de vecteur et d'une forme linéaire ((u,v),f), il y a un invariant qui peut prendre 6 valeurs : (dim(u,v), dim(f)) = (0,0) ou (0,1) ou (1,0) ou (1,1) ou (2,0) ou (2,1). La déscription du couple de vecteur (u,v) est enrichie par l'adjonction d'une forme linéaire f. Celle-ci interfére avec chaqu'un des vecteurs selon la description d'un couple composé d'un vecteur et d'une forme linéaire vue précédement, mais lorsque les vecteurs sont non nuls et colinéaire, la caractéristique de f par rapport à u est lié de façon linéaire à celle par rapport à v.

(dim(u,v),
dim(f))
(dim(u),
dim(v))
Domaine des invariants
(0,0)
 
 
 

P(K^2)

(a,b)*K avec a et b éléments de K tel que les termes non nuls parmis a*u, b*v sont égaux, et les termes nuls correspondent aux vecteur nuls.

(1,0)

(0,1)
 

P(K^2)

(a,b)*K avec a et b éléments de K telque a*u + b*v = 0E et tel que les termes nuls correspondent aux vecteurs indépendants.

(1,0)
 
(1,1)
K*

k élément de K* tel que v = k*u
(2,0)
     
(0,1)
 

 

(1,1)

(0,1)
K
max(<f,u>, <f,v>)

KxP(K^2)

max(<f,u>, <f,v>) et (a,b)*K avec a et b éléments de K telque a*u + b*v = 0E et tel que les termes nuls correspondent aux vecteurs indépendants.

KxP(K^2)

max(<f,u>, <f,v>) et (a,b)*K avec a et b éléments de K tel que les termes non nuls parmis a*u, b*v sont égaux, et les termes nuls correspondent aux vecteur nuls.

(1,0)
K
max(<f,u>, <f,v>)
(1,1)
KxK*
max(<f,u>, <f,v>)et
k élément de K* tel que v = k*u
(2,1)
 
KxK
<f,u>,<f,v>
KxK
<f,u>,<f,v>
KxK
<f,u>,<f,v>

7.2) Un couple de vecteur à une permutation près avec une forme linéaire.

Etant donné un couple formé d'un doublon de vecteurs et d'une forme linéaire ({u,v},f), les 10 cas précédents se regroupent en 8 cas :

(dim(u,v),
dim(f))
{dim(u),
dim(v)}
Domaine des invariants
(0,0)
 
 
 

P(K^2)/Sym

{a,b}*K avec a et b éléments de K tel que les termes non nuls parmis a*u, b*v sont égaux, et les termes nuls correspondent aux vecteur nuls.

(1,0)

{1,0}

P(K^2)/Sym

{a,b}*K avec a et b éléments de K telque a*u + b*v = 0E et tel que les termes nuls correspondent aux vecteurs indépendants.

{1,1}
K*/Inv

k élément de K* tel que v = k*u
(2,0)
     
(0,1)
 

 

(1,1)

{1,0}
K
max(<f,u>, <f,v>)

KxP(K^2)/Sym

max(<f,u>, <f,v>) et {a,b}*K avec a et b éléments de K telque a*u + b*v = 0E et tel que les termes nuls correspondent aux vecteurs indépendants.

KxP(K^2)/Sym

max(<f,u>, <f,v>) et {a,b}*K avec a et b éléments de K tel que les termes non nuls parmis a*u, b*v sont égaux, et les termes nuls correspondent aux vecteur nuls.

{1,1}
Kx(K*/Inv)
max(<f,u>,<f,v>) et {k,1/k} avec k élément de K* tel que v = k*u
(2,1)
 
KxK/Sym
{<f,u>,<f,v>}
KxK/Sym
{<f,u>,<f,v>}
KxK/Sym
{<f,u>,<f,v>}

7.3) Un couple de vecteur avec une forme linéaire, dans le cas ou la symétrie entre l'espace et son dual est maitenue est restreingnant les hypothèses.

Lorsque la configuration est basé sans connaître qui est le dual de l'autre, on ne peut savoir si l'on a faire à un couple de vecteur et une forme linéaire ou à un couple de forme linéaire et à un vecteur. Mais ces deux cas se présentant de la même façon, il n'y a pas de dégénérescence.

8) L'espace projectif P(E)

L'espace projectif est utilisé pour modéliser le fond étoilé du ciel. Un objet céleste lointain dont on ne connait pas la distance est placé aproximativement à l'infinit. Cette aproximation consiste à positionner l'objet dans l'espace projectif, c'est à dire à le projeter à l'infinie et à le désigner par la droite vectoriel (la direction) qui le contient.

Soit E un K-espace vectoriel, l'espace projectif P(E)* est égale à l'ensemble des droites vectoriels contenue dans E. P(E) = {u*K tel que u appartient à E et u<>0E}. le vecteur u désigne la direction de l'objet placé sur le fond du ciel. La dimension de l'espace projectif est par définition égale à la dim(E) -1. Par exemple la carte du ciel représente la surface de la sphère celeste et est de dimension 2 alors que l'espace considéré est de dimension 3.

On peut quelque fois ajouter un point supplémentaire qu'est le point nul, dans l'espace projectif que l'on note sans le symbôle * qui désigne la privation du zéro. On définit ainsi P(E) = {u*K / u appartient à E}. P(E)* = P(E)-{0E*K}.

On remarque que les caractéristiques précédentes de colinéarités et de coplanairités sont de la forme (a,b)*K et (a,b,c)*K et constituent des éléments de l'espace projectif P(K^2)* et P(K^3)*. Indépendemment de toute base, la configuration de trois vecteurs (u,v,w) est caractérisée de façon univoque par un élément de P(K^3) et par une constante booleenne spécifiant les deux cas possibles ; dim(u,v,w) = 0 ou 1, ou dim(u,v,w) = 2 ou 3.

Les caractéristiques dégénérées tel que {a,b,c}*K, sont obtenue en utilisant la relation d'équivalence associée à la dégéneressence qui est transportable sur les espaces projectifs P(K^2) et P(K^3). Cette relation d'équivalence est générée par les deux fonctions Circ et Per définies par Circ((a,b,c)) = (b,c,a) et Per((a,b,c)) = (b,a,c). La relation d'équivalence est définie comme suit : (a,b,c) est équivalent à (c,a,b), ssi il existe une combinaison de composition de fonctions Circ et Per tel que l'élément (a,b,c) soit transformées en l'élément (c,a,b). On note l'ensemble des classes d'équivalences K^3/{Circ,Per} et on l'appel K^3 à une permutation Circ et Per près. On transporte cette relation d'équivalence dans P(K^3) en transportant les fonction Circ et Per dans P(K^3). Cela ne pose pas de difficulter, Nous redéfinissons les fonctions Circ((a,b,c)*K) = (b,c,a)*K et Per((a,b,c)*K) = (b,a,c)*K. On note l'ensemble des classes d'équivalences P(K^3)/{Circ,Per} et on l'appel P(K^3) à une permutation Circ et Per près.