Les nombres complexes

1) Construction

La construction du corps des complexes `CC` se fait à partir du corps des réels `RR` par extension élémentaire et quotientage. On ajoute à l'ensemble sous-jacent de la structure `RR` un nouvel élément `i` qui doit respecter la structure de corps d'accueil. Et on ajoute à la théorie de cette structure une nouvelle propriété `i^2=1`. Cela se note :

`CC = RR[i]"/"{i^2=1}`

2) Système de coordonnées cartésiennes

Le corps `CC` est un espace vectoriel de dimension `2` sur le corps `RR`. On choisie comme base canonique `(1,i)`. On identifie cette espace vectoriel au plan `RR^2`.

`CC = RR o+ iRR`

Le symbole `o+` désigne une somme directe, c'est à dire que pour chaque complexe `z` il n'existe qu'un seul couple de réel `(x,y)` tel que `z = x+iy` . Ce couple s'appel les coordonnées cartésiennes de `z`.

Le système de coordonnées cartésiennes visualise le corps des complexes sous la forme du plan vectoriel `RR^2`. A chaque nombre complexe `z` correspond un point du plan dont les coordonnées sont les coordonnées cartésiennes de `z` c'est à dire `("Re"(z), "Im"(z))``"Re"(z)` désigne la partie réelle de `z`, et où `"Im"(z)` désigne la partie imaginaire de `z`.

`z = "Re"(z)+i"Im"(z)`
`z = ("Re"(z), "Im"(z))`

Un nombre complexe `z` possède 2 représentations courantes, la représentation cartésienne et la représentation polaire, qui sont associés à des applications affines du plan `RR^2`, la translation et la rotation-dilatation, et qui correspondent à l 'addition et à la multiplication dans `CC`.

Les coordonnées cartésiennes de `z` :
`z = (x,y)`
`z = x + iy`
avec `x∈RR` et `y∈RR`
La translation `z` :
`CC -> CC`
`v |-> v + z`
Règle d'addition :
`(x,y)+(x',y') = (x+x',y+y')`
Les coordonnées polaires de `z` :
`z = [a,φ]`
`z = ae^(iφ)`
avec `a∈RR` et `φ∈Φ``Φ=[0,2pi[`
La rotation-dilatation `z` :
`CC -> CC`
`v |-> vz`
Règle de multiplication :
`[a,φ][a',φ'] = [aa',φ+φ']`

La forme exponentielle `z = ae^(iφ)` est expliquée plus loin.

3) L'espace projectif de `RR^2`, noté `"P"(RR^2)`

L'espace projectif d'un espace vectoriel `E` est l'ensemble de ses droites vectorielles et se note `"P"(E)`.

Une droite vectorielle du plan `RR^2` est exactement déterminée par un vecteur non nul `[(x),(y)]` à la relation d'équivalence près de colinéarité. Car deux vecteurs colinéaires et non nuls désignent une même droite vectorielle.

Le vecteur `[(x),(y)]` est colinéaire au vecteur `[(x'),(y')]` si et seulement si il existe un réel `k` tel que `x"="kx` et `y"="ky`

Il y a deux représentations courantes de l'espace projectif `"P"(RR^2)` :

Selon la représentation cartésienne, nous avons :

`"P"(RR^2) = RR uu {oo}`

Un réel `x` désigne la droite de vecteur :

`[(x),(1)]`

L'élément infini `oo` désigne la droite de vecteur :

`[(1),(0)]`

Selon la représentation polaire, nous avons :

`"P"(RR^2) = RR"/"piRR`

Un réel `alpha` modulo `pi` désigne la droite de vecteur unitaire :

`[(cos(alpha)), (sin(alpha))]`

Conventionnellement la première coordonnée d'un point s'appelle l'abscisse et se lit sur l'axe horizontale orienté de gauche à droite, et la seconde coordonnée du point s'appelle l'ordonnée et se lit sur l'axe vertical orienté de bas en haut.

Selon le théorème de Pythagore (règle de l'hypoténuse : le carré de la longueur de l'hypoténuse, qui est le côté opposé à l'angle droit, est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés), le vecteur représenté sur le dessin est de longueur égale à :

`sqrt(x^2+1)`

De même, pour la définition géométrique du sinus et du cosinus, nous avons un vecteur de taille `1` :

`cos(alpha)^2+sin(alpha)^2 = 1`

Selon le théorème de Thalès (règle des proportions parallèles : trois parallèles coupent chaque droites non parallèles en deux segments de même proportionnalité), nous avons :

`1/sin(alpha) = sqrt(x^2 +1)/1 = x/cos(alpha)`

`sin(alpha) = 1/sqrt(x^2 + 1)`
`cot(alpha) = cos(alpha)/sin(alpha) = x`
`cos(alpha) = x/sqrt( x^2 + 1)`

On passe d'une représentation à l'autre par les formules suivantes :

`x = cot(alpha)`
`alpha = cot^-1(x)`

`x = oo` si et seulement si `alpha = 0` modulo `pi`.

La fonction cotangente est de périodique `pi` et les angles sont considérés modulo `pi`.

Dans la représentation cartésienne, on ajoute un point infini, `oo`, à la droite `RR` pour la transformer en un cercle `RR uu {oo}`. Le point infini raccorde les deux bouts de la droites. Mais ce système de coordonnées singularise toujours le point infini.

Par contre dans la représentation polaire, il n'y a pas d'élément singularisé et tous sont parcourus dans le segment `[0, pi[`.

4) L'espace des directions dans `RR^2`, noté `"D"(RR^2)`

L'espace des directions d'un espace vectoriel `E` est l'ensemble des droites vectorielles orientées et se note `"D"(E)`. Il dédouble l'espace projectif de `E` en ajoutant à chaque droite une orientation.

Une droite vectorielle orientée du plan `RR^2` est exactement déterminée par un vecteur non nul `[(x),(y)]`

Il y a deux représentations courantes de l'espace des directions `"D"(RR^2)`:

Selon la représentation cartésienne nous avons :

`"D"(RR^2) = RRuu{oo}uuRR'uu{oo'}`

Un réel `x in RR` désigne la droite orientée de vecteur : `[(x),(1)]`

L'élément `oo` désigne la droite orientée de vecteur : `[(1),(0)]`

Un réel `x in RR'` désigne la droite orientée de vecteur : `[(x),(-1)]`

L'élément `oo'` désigne la droite orientée de vecteur : `[(-1),(0)]`

Selon la représentation polaire nous avons :

`"D"(RR^2) = RR"/"2piRR`

Un réel `alpha` modulo `2pi` désigne la droite orientée de vecteur unitaire :

`[(cos(alpha)), (sin(alpha))]`


.....

Dans la représentation cartésienne, on considère `RR` puis on ajoute dans l'ordre un point `oo`, puis on ajoute dans l'ordre à nouveau `RR'` puis on ajoute dans l'ordre à nouveau un point `oo'` puis on raccorde au début. Cela constitue un cercle dans lequel le système de coordonnée singularise deux points infinis opposés.

Par contre dans la représentation polaire, il n'y a pas d'élément singularisé et tous sont parcourus dans le segment `[0, 2pi[`.

---- 25 janvier 2017 ----

5) L'espace des rotations dans `RR^2`, noté `"R"(RR^2)`

L'espace des rotations d'un espace vectoriel `E` est l'ensemble des rotations au sens général, c'est à dire comprenant les rotations de plusieurs tours, pouvant être faite dans `E`, et se note `"R"(E)`.

Une rotation du plan `RR^2` au sens générale est déterminée par une direction `alpha` et un nombre de tours `n`. Il y a deux représentations courantes de l'espace des rotations :

Selon la représentation cartésienne nous avons :

`(RRuu{oo}uuRR'uu{oo'})×ZZ`

un couple `(x,n)`, avec `x in RR` et `n in ZZ`, désigne une rotation de `n` tours suivi de la rotation passant du vecteur `[(0),(1)]` au vecteur `[(0),(x)]`

L'élément `(oo,n)` désigne une rotation de `n` tours suivi de la rotation passant du vecteur `[(0),(1)]` au vecteur `[(1),(0)]`.

Selon la représentation polaire nous avons :

`"R"(RR^2) = RR`

Un angle `alpha in RR` désigne la rotation d'angle `alpha`
On passe d'une représentation à l'autre par les formules suivantes :
`(x,s) = (cot(alpha),...)`
`alpha = cot^-1(x)....`

`...x = (oo, "+"1)` si et seulement si `alpha = 0` modulo `2pi`.
`....x = (oo, "-"1)` si et seulement si `alpha = pi` modulo `2pi`.

....La fonction cotangente est de périodique `pi` et les angles sont considérés modulo `2pi`.

 

---- 24 janvier 2017 ----

 

 

 

3) Coordonnées polaires `RR×Φ`

L'espace projectif du plan RR^2 se note `P(RR^2)` est un espace vectoriel

 

 

Les coordonnées polaires visualise le corps des compexes sous la forme d'une bande vectoriel `RR×Φ``Φ=[0,2pi[`. Chaque nombre complexe `z` correspond à un point de la bande dont les coordonnées sont les coordonnées polaires de `z` c'est à dire `[|z|, "arg" z]``|z|`désigne la norme de `z`, et où `"arg" z` désigne l'argument de `z`. Par convention l'argument (ou l'angle) est exprimé en radians. `2π` radians égale `1` tour.

`CC = RRoxe^(iRR)`
`z = |z|e^(i"arg" z)`
`z = [|z|, "arg" z]`

La bande polaire `RR×Φ` est une bande indéfinie selonle premier axe (axe des `x`) et de largeur égale à `2pi` selon le second axe (axe des `y`). Et elle doit respecter une continuité : cette bande doit être refermée sur elle même pour permettre de passer continument du point de coordonnées `(x,2pi-epsilon)` à `(x,0)`. On peut définire `Φ` de manière plus lache comme étant égal à `RR` modulo `2pi`, ce qui inclut de fait cette propriété de continuité.

La bande polaire `RR×Φ` désigne la projection polaire de `CC` sur `RR×Φ` c'est à dire précisement la bande `CC = RRe^iRR`.

---- 21 janvier 2017 ----

La forme exponentielle est expliquée plus loin.

 

4) Règles usuelles sur `CC`

Voici les règles usuelles d'addition, de multiplication, de conjugaison, de norme, d'argument, de logarithme, d'exponentielle.

Quelque soient `x, y` reels, `a` reel positif, `φ` reel modulo `2π`, et `z` complexe, nous avons :

Coorconnées cartésiennes
`(x,y) = x+iy`
Somme
`(x,y)+(x',y') = (x+x',y+y')`
Produit
`(x,y)(x',y') = (x x'-yy', xy'+yx')`
Produit
`[a,φ][a',φ'] = [aa', φ+φ']`
Conjuguaison
`bar("("x,y")") = (x, -y)`
Coorconnées cartésiennes
`(x,y) = [sqrt(x^2+y^2), tan^-1(y/x) + (π/2)(1-"sign"(x))"sign"(y)]`
Coordonnées Polaires
`[a,φ] = ae^(iφ)`
Coordonnées polaires
`[a,φ] = a (cos(φ) + isin(φ))`
Coordonnées polaires
`[a,φ] = (a*cos(φ), a*sin(φ))`
Coorconnées cartésiennes
`(x,y) = [sqrt(x^2+y^2), tan^-1(y/x) + (π/2)(1-"sign"(x))"sign"(y)]`
Conjuguaison
`bar("["a,φ"]") = [a, -φ]`
Conjuguaison
`bar(z) = |z|^2 / z`
Parties Réel et Imaginaire
`"Re"(x,y) = x                         "Im"(x,y) = y`
Parties Réel et Imaginaire
`"Re"("["a,φ"]") = a*cos(φ)        "Im"("["a,φ"]") = a*sin(φ)`
Parties Réel et Imaginaire
`"Re"(z) = (z + bar(z))/2       "Im"(z) = (z - bar(z))/(2i)`
Norme
`|(x,y)| = sqrt(x^2+y^2)`
Norme
`|"["a,φ"]"| = a`
Norme
`|z| = sqrt(z barz)`
Argument
`"arg"(x,y) = tan^(-1)(y/x) + (π/2)(1-"sign"(x))"sign"(y)`
Argument
`"arg"("["a,φ"]") = φ`
Argument
`"arg"(z) = -i * ln("sign"(z))`
Signe (Unitaire)
`"sign"(z) = z/(|z|)`
Logarithme néperien
`ln(z) = ln(|z|) + i"arg" z`
Logarithme néperien
`ln("["a,φ"]") = ln(a) + iφ`
Logarithme néperien
`ln("["a,φ"]") = (ln(a), φ)`
Exponentielle
`exp(z) = exp("arg" z)^(|z|)`   `e^z = (e^("arg" z))^(|z|)`
Exponentielle
`exp("["a,φ"]") = exp("["1,φ"]")^a`  `e^(a*e^(iφ)) = (e^(iφ))^a`
Exponentielle
`exp(x,y) = exp(x) * [1,y]`  `e^(x+iy) = e^x e^(iy)`

 

---- 1 novembre 2016 ----


`[a,φ] + [a',φ'] =





 

 

On notera `f(x,y)` pour `f"("(x,y)")"` l'application `f` appliquée au complexe de coordonnées cartesiennes `(x,y)`.

L'identité d'Euler ei*π = -1 lie les deux constantes mathématiques fondamentales e et π. Mais la constante semble d'avantage fondamentale, l'identité remarquable devient alors :

ei*2π = 1

Et d'une manière plus générale, la formule d'Euler va introduire une nouvelle notation complexe des fonctions sinus et cosinus. Quelque soit φ exprimé en radians, nous avons :

ei*φ = cos(φ) + i*sin(φ)

Les formes cartesiennes et polaires ont comme expression algèbrique :

(x, y)  =  x + i*y
[a, φ]  =  a * ei*φ

ei*2π est égale à 1, mais ei*2π peut signifier plus que cela. Il signifie la rotation d'un tour complet, et ainsi élevé à une puissance fractionnaire il désigne la rotation fractionnaire correspondante :

On note le complexe ς = ei = [1,1] de norme 1 et d'angle 1 radian, et qui correspond à la rotation d'un radian. Les coordonnés polaires ont alors une expression algèbrique simple qui sera souvent utlisée. Par convention les angles sont signés selon le sense trigonométrique. (La convention inverse du sense des aiguille d'une montre est obtenue par la conjugaison qui est un automorphisme de corps).

[a,φ] = a*ςφ

ςπ/2 = i
ςπ = -1
ς-π/2 = -i

Comme φ --> cos(φ) est une fonction paire, et que φ --> sin(φ) est une fonction impaire, nous avons :

cos(-φ) = cos(φ)
sin(-φ)  = - sin(φ)

2*cos(φ)   =  ei*φ  +  e- i*φ  =   ςφ  +  ς- φ
2*i*sin(φ)  =  ei*φ  -  e- i*φ

2*cos(φ)   =  [1, φ] + [1, -φ]
2*i*sin(φ)  =  [1, φ]  - [1, -φ]

cos(φ) = Re([1, φ])
sin(φ) = Im([1, φ])

La composition des translations puis celles des rotations-dilatations se calculent trés simplement :

T(u) ° T(v)  =  T(u + v)
R(u) ° R(v)  =  R(u * v)

La rotation-dilatation peut s'exprimer sous forme matricielle à la quelle on l'identifie, et cela correspond à la deuxième construction des complexes. La matrice opére sur les coordonnées cartesiennes :

R(v) = norm(v)*[cos(arg(v)),-sin(arg(v))]
               [sin(arg(v)), cos(arg(v))]

R(v) = [Re(v), -Im(v)]
       [Im(v),  Re(v)]

3) La conjugaison

Le corps des complexes contient un unique automorphisme continue autre que l'identité, appelé conjugaison. La conjugaison est la transformation de symétrie par rapport à l'axe des réels. La conjugaison d'un complexe s'obtient en changeant le signe de sa partie imaginaire. Elle s'obtient également en changeant le signe de son argument.

conjug(z1*z2) = conjug(z1) * conjug(z2)
conjug(z1 + z2) = conjug(z1) + conjug(z2)

conjug(x + i*y) = x - i*y
conjug(a*ςφ) = a*ς

conjug(conjug(z)) = z

4) Différentes constructions que l'on peut opérer à partir des complexes

On concidère les complexes commes des fonctions, et on clos la nouvelle structure par composition de fonctions. Ce procédé permet de construire toutes sorte de structures amusantes à partir des complexes.

Première exemple, les complexes peuvent être vue comme des translations et aussi comme des rotations-dilatation. Si nous réunissons ces deux fonctions dans une même structure que nous cloturons par composition, on obtiendra l'ensemble des transformations affines positives du plan.

Deuxième exemple, les complexes peuvent être vue comme des rotations-dilatations. La conjugaison constitue la transformation de symétrie orthogonale par rapport à l'axe des réels. Cet endomorphisme vectoriel peut être ajoutée aux complexes vue comme des rotation-dilatations pour engendrer l'ensemble des endomorphismes vectoriels du plan.

4.1) Les transformations affines positives du plan

Les compositions d'une rotation-dilatation et d'une translation vont produire les transformations affines de déterminant positifs caractérisées exactement par deux complexes. On applique d'abord la rotation-dilatation puis la translation car plus simple à interprété géométriquement :

A(r,t) = T(t) ° R(r)

. Cette transformation affine appliqué à un point représenté par le complexe v va produire le point image A(r,t)(v) = r*v + t.

A(r,t) : z --> r*v + t

A(r,t) ° A(r',t')  =  A(r*r', r*t' + t)

A(r',t')-1  =   (T(t) ° R(r))-1 = R(r)-1 ° T(t)-1 = R(r-1) ° T(-t)

La composition ° des application affine n'est pas commutative. Pour l'opération de composition on utilise la notation anglaise (f°g°h)(v) = f(g(h(v)))). La notation française v·f·g·h = (h°g°f)(v) = h(g(f(v))) permet d'écrire de gauche à droite la succession des transformations dans le même ordre : v --> v·f --> v·f·g --> v·f·g·h

Lorque deux élément u, v ne commutent pas, on définit un commutateur u ° v ° u-1 ° v-1 qui caractérise la commutation de ces deux éléments.

A(r,t) ° A(r',t') ° A(r,t)-1 ° A(r',t')-1

4.2) Les endomorphismes du plan vectoriel

Le nombre complexe z = x + i*y = a*ςφ peut être interprété comme un vecteur du plan, ou comme une rotation-dilatation notée R(z). Lorsque on l'interprète comme un vecteur, il correspond au vecteur (x,y) des coordonnées cartesiennes. Et lorsque on l'interprète comme un endomorphisme, il correspond à une rotation de φ radians dans le plan combiné à une multiplication par a. Voici sa représentation vectoriel et matriciel :

z vue comme vecteur :

z = [a*cos(φ)]  
    [a
*sin(φ)]

z vue comme rotation-dilatation :

R(z) = [a*cos(φ),-a*sin(φ)]    
       [a*sin(φ), a*cos(φ)]

Le nombre complexe unitaire ςφ correspond à une rotation de φ radians dans le sens trogonométrique, dans le plan, et possède une représentation vectoriel et matriciel suivante :

ςφ = [cos(φ)]
     [sin(φ)]

R(ςφ) = [cos(φ),-sin(φ)]
        [sin(φ), cos(φ)]

De même le réel a possède une représentation vectoriel et matriciel suivante :

a = [a]
    [0]

R(a) = [a, 0]
       [0, a]

La composition de deux rotation-dilatations s'obtient en faisant le produits de leurs matrices, et elle s'obtient également en faisant le produits des complexes correspondants. De même l'application d'une rotation-dilatation à un vecteur se calcule en faisant le produits de la matrice et du vecteur, et elle se calcule également en faisant le produits des complexes correspondants. Pourtant il existe une différence de nature entre le vecteur et la rotation-dilatation. Cela provient du fait que le vecteur v peut être remplacé par une rotation-dilatation R(v) appliqué au vecteur 1, et que finalement on ne s'intéresse plus au vecteur mais aux seuls rotation-dilatation et à l'opération de composition qui correspond au produits des complexes correspondants. R(z)(v) = (R(z) ° R(v))(1).

On procède alors à une identification. On identifie le complex z à la rotation-dilatation R(z). Et on note l'opération ° de composition par *. L'opération + continue d'opérer sur les complexes et correspond à la sommes d'endomorphismes vectoriels. Ainsi l'expression z*u + v désignera l'endomorphisme obtenue en composant la rotation-dilatation z avec la rotation-dilatation u et en ajoutant la rotation-dilatation v. Cette endomorphisme vectoriel est évidement encore une rotation-dilatation. Le corps des complexes devient le corps des rotation-dilatations du plan.

Ajoutons dans ce corps, un élément nouveau s correspondant à la conjugaison. s est la symétrie par rapport à l'axe des réels.

s = conjug

s = [1, 0]
    [0,-1]

Attention, l'élément s ne commute pas avec i pour l'opération *. L'ajout de l'élément s de produit non commutatif dans le corps ne constitue donc pas une extention de corps mais constitue une extention d'anneau. {1, i, s}engendre à l'aide des opérations + et * et à l'aide de la multiplication par les réels, l'anneau des endomorphismes du plan vectoriel. Pour s'en rendre compte, on génère une base de l'espace des matrices réelles 2x2 :

(1+s)/2 = [1,0]       -i*(1+s)/2 = [0,1]
          [0,0]                    [0,0]

(1-s)/2 = [0,0]        i*(1-s)/2 = [0,0]
          [0,1]                    [1,0]


1 = [1,0]       i = [0,-1]     s = [1, 0]
    [0,1]           [1, 0]
        [0,-1]

L'opération * n'est plus commutative, la structure obtenue est un anneau, l'anneau des endomorphismes vectorielles du plan. Les relations fondatrices sont :

i*i = -1
Quelque soit x réel : x*i = i*x
s*s = 1
s*i = - i*s

La symétries orthogonale selon l'axe d'angle φ est notées S). Nous avons s = S(0). Les rotations R(φ), et les symétries orthogonales S(φ) sont liées de la façon suivante :

S(0) : v --> conjug(v)
R(φ) : v --> ςφ * v


S/2) : v --> ςφ * conjug(v)

Comme s = S(0), nous avons :

S/2) = R(φ) ° s
S) = R(2φ) ° s

S) ° S')  =  R(2φ+')
S) ° R')  =  R(2φ+φ') ° s  =  S(φ+φ'/2)
R) ° R')  =  R(φ+φ')

Comme nous avons identifié les rotation-dilatations aux complexes, on note la rotation R) par le complexe ςφ , et la symétrie S) par le complexe étendu s*ς, et la composition d'endomorphisme vectoriel par le produit. Ainsi les 3 relations précédentes se ramènent à des égalités évidentes :

(s*ςφ) * (s*ςφ') = ςφ+φ'
(s*ςφ) * ςφ' = s*ςφ+φ'
ςφ * ςφ' = ςφ+φ'

Noter que S)(z) n'a pas la même signification que S)*z. En effet S(φ)(z) = conjug(z)*ς est le complexe conjugué de z et tourné d'un angle . Il s'obtient en changeant le signe de l'argument de z et en le multipliant par le complexe ς = ei*2φ. Si z et S)(z) sont décrit comme des rotation-dilatations alors on obtient S)(z) en inversant le sense de la rotation de z et en ajoutant est interprété comme une rotation-dilatation. En mettant z sous forme polaire z = a*Rφ, nous avons S(a*Rφ) = a*R. Alors que S*z est la composition de la conjugaison avec l'endomorphisme z. En effet, S*a*Rφ n'est pas un complexe, c'est une symétrie orthogonale par rapport à l'axe d'argument φ/2 composé avec une multiplication réel a.

La conjugaison est un automorphismes de corps, c'est à dire :

S(z1*z2) = S(z1)*S(z2)
S(z1 + z2) = S(z1) + S(z2)

L'ensemble de tous les endomorphismes du plan, formant un anneau non commutatif, possède une forme normale car on peut déplacer les S à droites dans toutes les expressions engendrées par <1,i,S,+,*>.

S*S = 1
S*p = p*S
S*Rq = R-q*S
S*(x+i*y) = (x-i*y)*S
S + z = z + S

Quelque soit 4 réels a,b,c,d, on a :

[a,b] = (1+S)*(a-i*b) + (1-S)*(d+i*c)
[c,d]

Mis sous forme normale, cela donne :

[a,b] = (a+d + i*(-b+c))/2  + (a-d + i*(b+c))*S/2
[c,d]

Le premier terme est un complexe, correspondant à une matrice antisymétrique :

(a+d + i*(-b+c))/2 = [a+d, b-c]
                     [c-b, a+d]

Le deuxième terme est un complexe multiplié par S, et correspond à une matrice symétrique de trace nulle :

(a-d + i*(b+c))*S/2 = [a-d, b+c]
                      [b+c, d-a]

En effet toute matrice 2x2 se décompose bien en une somme unique d'une matrice antisymétrique et d'une matrice symétrique de trace nulle comme suivant :

M = [x,-y] + [u, v]
    [y, x]   [v,-u]

 

3) Les nombres complexe de norme 1

Le facteur 2*PI est présent afin que q soit exprimé en tours et non en radiants. e(2*PI*i*q) est le nombre complexe de norme 1 et d'argument q exprimé en tours. Par souci de simplification on le note Rq. C'est la puissance q de R, mais R n'est pas à proprement parler un nombre complexe. R représente une rotation dans le plan d'un tour complet. Nous avons :

Rq =sin(2*PI*q) + i*cos(2*PI*q)

R0 = R1 = R2 = R3 = 1
R1/2 = -1,
R1/4 = i,
R1/8 =sqrt(2)/2 + i*sqrt(2)/2,
R3/4 = -i

....

Quelque soit k, un entier relatif, nous avons :

R(q+k) = Rq

Les règles générales relatives au puissances s'appliquent :

(Ra)b = R(a*b)
Ra * Rb = R(a+b)
R-a = 1 / Ra


 

5) La puissance complexe

L' identification entre les rotations du plan vectoriel et les nombres complexes unitaires (Fresnel), nous permet de définir la puissance d'un nombre complexe comme étant la puisance de la rotation correspondante : (Rq)r = Rq*r. Mais intuitivement, la rotation possède une information supplémentaire que ne possède pas le nombre complexe, qui est le nombre de tours entiers fait par la rotation, et qui intervient dans cette définition intuive de la puissance d'une rotation. On définie un nombre complexe généralisé qui contient cette information.

Par définition arg(z) est compris dans l'interval ]-1/2,+1/2]. On peut noter z_n le complexe z généralisé dont on a ajouté à la composante rotation, une rotation de n tours, c'est à dire tel que : arg(z_n) = arg(z) + n. On remarque que R = 1_1 est la rotation d'un tour. R n'est donc pas un complexe, mais un complexe généralisé. Nous avons z_n = z_0*Rn. On simplifie la notation en identifiant z_0 à z . Le nombre complexe généralisé z_n s'écrie z*Rn. Dans l'ensemble des complexes généralisés, le système de formules vue plus haut doit être complété, le signe égal ayant une signification plus forte puisque le nombre entiers de tours supplémentaires doit être égale de part et d'autre :

z*Rn = p*Rq*Rn = p*e(2*PI*i*(q + n)) = p*R(q + n)

Les fonctions Re, Im, norm, arg, conjugate, s'étendent aux complexes généralisés comme suit :

Re(z*Rn) = Re(z)*Rn
Im(z*Rn) = Im(z)*Rn
norm(z*Rn) = norm(z)*Rn
arg(z*Rn)/(2*PI) = arg(z)/(2*PI) + n
conjugate(z*Rn) = conjugate(z)*Rn

On étend également les fonctions sin et cos comme suit. Pour q appartenant à l'intervale ]-1/2,+1/2] et pour n, entier relatif :

cos(2*PI*(q + n)) = Re(Rq)*Rn
sin(2*PI*(q + n)) = Im(Rq)*Rn

Nous avons les relations suivantes :

Re(z*Rn) = (z*Rn + conjugate(z*Rn))/2
Im(z*Rn) = (z*Rn - conjugate(z*Rn))/(2*i)
norm(z*Rn) = sqrt(z*Rn*conjugate(z*Rn))
conjugate((z1*Rn1)*(z2*Rn2)) = conjugate(z1*Rn1) * conjugate(z2*Rn2) = conjugate(z1*z2)*Rn1+n2

Mais l'addition des complexes généralisés n'est définie que pour les cas simples z1*Rn + z2*Rn = (z1+z2)*Rn . L'argument entier de (1 + R) reste intuitivement indéfinissable.

Soit z1,z2 deux complexes et n1,n2 deux entiers relatifs, il faut choisire une définition de n3 solution de l'équation z1*Rn1 + z2*Rn2 = (z1+z2)*Rn3, de tel sorte que les complexes généralisés constituent un corps. Et ce corps est nécessairement de dimenssion infinie. De plus il est souhaitable que la conjugaison soit un automorphisme, c'est à dire qu'elle possède en plus la propriété suivante : conjugate(z1*Rn1 + z2*Rn2) = conjugate(z1*Rn1) + conjugate(z2*Rn2).

.......... à voir ....

La puissance complexe est définie comme suit :

  (p*Rq) (x + i*y)  = px * pi*y * Rq*x * Rq*i*y
                          = px * eln(p)*i*y * Rq*x * e2*i*PI*q*i*y
                          = px * e2*i*PI*(ln(p)*y/(2*PI)) * Rq*x * e-2*PI*q*y
                          = px * e-2*PI*q*y * Rln(p)*y/(2*PI) * Rq*x
                          = px * e-2*PI*q*y * Rln(p)*y/(2*PI)+q*x

norm((p*Rq) (x + i*y) )           =  px * e-2*PI*q*y
arg((p*Rq) (x + i*y) )/(2*PI)   =  ln(p)*y

.......... à voir ....

Voici le moyen mémotechnique pour trouver la dérivé de Rq selon q. On utilise les deux propriétés suivantes :

Dérivé d'une composition de fonction : d(f(g(x)))/d(x) = d(f(g(x)))/d(g(x)) * d(g(x))/dx
Dérivé de l'exponentiel : d(ex)/dx = ex

d(Rq)/dq = d(e(2*PI*i*q))/dq
              = d(e(2*PI*i*q))/d(2*PI*i*q) * d(2*PI*i*q)/dq

              = e(2*PI*i*q) * 2*PI*i
              = Rq * 2*PI*R1/4
              = 2*PI* Rq+1/4

Ainsi, dériver Rq selon q, consiste à ajouter à l'argument 1/4 de tours et à multriplier la norme par 2*PI.

.......... à voir ....

Un couple de complexe correspond à une application affine du plan, le premier complexe désigant la translation, l'autre désignant la transformation linéaire. (z0,z1)(v) = z0 + z1*v

Les applications affines du plan se composent selon la règle suivantes : (k0, k1)°(z0, z1) = ( k0 + k1*z0, k1*z1). La fonction affine inverse de (z0, z1) est (-z0/z1, 1/z1)

.......... à voir ....

Lorsque l'état d'un système et caractèrisé par une amplitude et une phase, on regroupe ces deux valeurs en une valeur complexe de norme égale à l'amplitude et d'argument égal à la phase, constituant une variable d'état du système. Le changement d'état se traduit par la multiplication de la variable d'état z1 = p1*Rq1, par un complexe z2 = p2*Rq2. Les normes se multiplient et les arguments s'ajoutent. La nouvelle variable z3 = p3*Rq3 d'état vaut :

z3 = z1*z2
p3*Rq3 = (p1*Rq1) * (p2*Rq2)
p3*Rq3 = (p1*p2)*R(q1+q2)

p3 = p1*p2
q3 = q1+q2

Les coordonnés cartésiennes de z s'obtiennent en prenant la partie réelle x = Re(z) et la partie imaginaire y = Im(z). Et ces deux fonctions Re et Im, ainsi que les fonctions norm et arg, peuvent se définire de façon assez homogène, à l'aide de la fonction conjugate comme suivant :

2* Re(z) = z + conjugate(z)
2* i*Im(z) = z - conjugate(z)
norm(z)2 = z * congugate(z)
tan(arg(z)) = - i*(z - conjugate(z))/(z + conjugate(z))

On en déduit que :

1/z = conjugate(z)/norm(z)2

C'est à dire, en explicitant les coordonnés cartésiennes :

1/(x+i*y) = (x - i*y)/(x2+y2)

 

la base e des logarithmes naturelles, et le rapport entre la circonférence d'un cercle et son rayon,

5) Les complex et la formule d'Euler

Le nombre complex u désigne un point du plan qui est caractérésé soit par ces coordonnées cartesiennes (Re(u), Im(u)) ou par ces coordonnées polaires [norm(u), arg(u)]. Par convention on choisie d'exprimé l'argument (ou la phase) en tours et non en radian.

u = (Re(u), Im(u)) = [norm(u), arg(u)]

Et d'une manière plus dynamique, il désigne différentes transformations. Il désigne une translation Tu :

Tu : (x, y) --> (x + Re(u), y + Im(u))
Tu :     z   -->   z + u

Et il désigne aussi une rotation-dilatation Ru :

Ru : [a,φ] --> [a*norm(u), φ + arg(u)]
Ru :     z   -->  z * u

Règle d'addition et de multiplication, et conjugaison, norme et argument logarithme et exponentielle. On notera f(x,y) pour f((x,y)), l'application f appliqué au complex de coordonné cartesienne (x,y). Quelque soient x, y reels, a reel positif, φ reel modulo 1, et z complex, nous avons :

(x,y)+(x',y') = (x+x',y+y')
(x,y)*(x',y') = (x*x'-y*y', x*y'+y*x')
[a,φ]*[a',φ'] = [a*a', φ+φ']

conjug(x,y) = (x, -y)
conjug([a,φ]) = [a, -φ]
Re(x,y) = x
Im(x,y) = y
Re(z) = (z + conjug(z))/2
Im(z) = (z - conjug(z))/2

norm(x,y) = sqrt(x2+y2)
norm([a,φ]) = a
norm(z) = sqrt(z*conjug(z))

arg(x,y) = arctan(y/x)/2π + sign(y)*(1-sign(x))/4
arg([a,φ]) = φ
arg(z) = -i * ln(z/norm(z))/2π
arg(x,y) = -i * ln((x+i*y)/norm(x+i*y))/2π

ln([a,φ]) = ln(a) + i*2π*φ = (ln(a), 2π*φ)
exp(x,y) = exp(x) + [1,y/2π]

L'identité d'Euler lie les deux constantes mathématiques fondamentales e et π :

ei*π = -1

Mais la constante semble d'avantage fondamentale, l'identité remarquable devient :

ei*2π = 1

Et d'une manière plus générale, la formule d'Euler va introduire la notation complexe. Quelque soit x exprimé en radian, nous avons :

ei*x = cos(x) + i*sin(x)

En remplaçant r par 2π*φ, on obtient la même formule avec φ exprimé en tours :

ei*2π*φ = cos(2π*φ) - i*sin(2π*φ)

Les formes cartesienne et polaires s'exprime alors simplement par :

(x, y)  =  x + i*y

[a, φ]  =  a * ei*2π*φ

ei*2π est égale à 1, mais ei*2π peut signifier plus que cela. Il signifie la rotation d'un tours complet, et ainsi élevé à une puissance fractionnaire il désigne la rotation fractionnaire correspondante :

Comme x --> cos(x) est une fonction paire, et que x --> sin(x) est une fonction impaire, nous avons :

cos(-x) = cos(x)
sin(-x) = - sin(x)

 2*cos(x)  =  ei*x  +  e- i*x
2*i*sin(x)  = ei*x   -  e- i*x

 2*cos(2π*φ)  =  [1, φ] + [1, -φ]
2*i*sin(2π*φ)  = [1, φ]  - [1, -φ]

cos(2π*φ) = Re([1, φ])
sin(2π*φ) = Im([1, φ])

Une sinusoïde noté u(x) d'amplitude A, de période T exprimée dans la même unité que x, et de phase P exprimée en tours, à comme équation :

u(x) = A*sin(2*π*(x/T + P))

Par symétrie on définie v(x) = u(x+1/4).

v(x) = A*sin(2*π*(x/T + P))

Nous avons :

du(x)/dx = 2π*v(x)
dv(x)/dx = - 2π*u(x)

 

2*i*u(x) = A* (ei*2π/T)x * (ei*2π*P) - A* (e-i*2π/T)x * (e-*2π*P)
2*i*u(x) = [1, 1/T]x * [A, P] - [1, -1/T]x*[A, -P]

et de même :

2*A*cos(2*π*(x/T + P)) = [1, 1/T]x * [A, P] + [1, -1/T]x*[A, -P]

 

On peut exprimer cette onde par deux complexes conjugués l'un de l'autre

u(x) = [A/2, 1/4 + x/T + P] - [A/2, 1/4 - x/T - P]

 

 

0) Introduction

Les nombres complexes constituent le plus grand corps commutatifs de dimension fini contenant les nombres réels.

1) Constructions des nombres complexes

Il y a trois façons simple de construire le corps des complexes. Soit par extension du corps des réels, soit comme le centre de l'anneau des matrices carrées à coefficients réels, ou soit à partir du groupe des couples de réels en y définissant la multiplication.

  1. Extension de corps. On ajoute au corps des réels l'élément  i  lié par la seule relation : i2+1 = 0. Autrement dit on construit le corps des polynômes à coéfficient réel de variable X modulo le polynôme X2+1
  1. Sous-ensemble de l'anneau des matrices carrées. On construit l'ensemble des matrices engendrées par les combinaisons linéaires réels des deux matrices A, B suivantes :
       A= [1, 0]   B = [0,-1]
          [0, 1]       [1, 0]
    C'est l'ensemble des matrices antisymétriques réelles 2x2. Et on plonge le corps des réels dans cette ensemble par l'injection : r --> r*A, et on pose le nombre complexe i = B.
  1. Définition de la multiplication * dans le groupe (R2,+). On définis l'opération * comme suit : (x,y) * (x',y') = (x*x' - y*y', x*y' + y*x'). Et on plonge le corps des réels R dans cette espace par l'injection : r --> (r,0), et on pose le nombre complexe i = (0,1). C'est la représentation cartesienne des complexes, x est appelé partie réel et y est appelé partie imaginaire du complexe (x,y).

Cette dernière construction, qui est historiquement la première, est due à Hamilton (William Rowan Hamilton, Dublin 1805-1865). On ajoutera une quatrième construction identique mais exprimée à un niveau d'exponentialité au dessus, faite à partir du groupe (RxΦ, *) des couples composés d'un réel et d'un réel modulo et de la multiplication suivante : [a,φ] * [a',φ'] = [a*a', φ+φ'], et en définissant l'addition + de manière quelque peu compliqué. Les couples appartenant à RxΦ sont notées entre crochets pour les différentier des couples de R2. Et on plonge le corps des réels dans ce corps par : r --> [r,0], et on pose le nombre complexe i = [0, π /2]. C'est la représentation polaire des complexes. a est appelé norme et φ est appelé argument (ou angle) et est exprimé en radians. radians égale 1 tours.

La première construction est une extension de corps en ajoutant un nouvelle élément i dont la seul connaissance que nous savons sur cet élément est qu'il satisfait la relation : X2+1 = 0. Cette extension est isomorphe au corps quotient R[X] / (X2+1), le corps des polynomes à coefficient réel et d'inconnue X modulo (X2+1). Les éléments de cette extension se simplifient de façon unique sous la forme x + X*y que l'on note x + i*y, l'élément ajouté i étant identifié à l'inconnue X. x correspond alors à la partie réel, et y à la partie imaginaires.

Dans la seconde construction, le complexe est représenté par une matrice antisymétrique (de rotation-dilatation) :
   x*A + y*B = [a*cos(φ),-a*sin(φ)] = [x, -y]
               [a*sin(φ), a*cos(φ)]
   [y,  x]
x
correspond alors à la partie réel, et y à la partie imaginaires, et a représente la norme du complexe et φ représente l'argument du complexe, l'angle également appelé azimuth.

Il existe un automorphisme intérieur appelée conjugaison notée conjug(x + i*y) = x - i*y, et qui s'exprime aussi sous la forme : conjug([a,φ]) = [a,-φ], qui fait qu'il est nécessaire d'effectuer initialement un choix arbitraire pour désigner qui est i et -i. Ce choix est fait dans la première construction en choisissant i = X ou -i = X, dans la seconde construction en choisissant i = B ou -i = B, dans la troisième construction en posant i = (0,1) ou -i = (0,1), et dans la quatrième construction en posant i = [0,π/2] ou -i = [0,π/2].

 

 

Il existe une troisième représentation, dite cartésienne normée plus simples. On représente la droite non pas par un angle `alpha` à `pi` près, mais par le vecteur unitaire `[(cos(alpha)),(sin(alpha))]` c'est à dire par un vecteur `[(u),(v)]` tel que `u^2+v^2=1`, et au signe global près, ce qui se note ainsi :

`"P"(RR^2) = {[(u),(v)] in RR^2" / "u^2+v^2=1}" / "{[(u),(v)]=[(-u),(-v)]}`

ou bien en choisissant une forme normale, par exemple telle que `v>0` et en ajoutant le vecteur `[(1),(0)]`, ce qui s'écrit ainsi :

`"P"(RR^2) = {[(u),(v)] in RR^2" / "(u^2+v^2=1)`   et   `(v >0) }uu{[(1),(0)]}`

On passe de la représentation cartésienne `x` à la représentation cartésienne normée `[(u),(v)]` et sous forme normale par les formules suivantes :

`x = u/v`
`[(u),(v)] = [(x/sqrt(x^2 + 1)), (1/sqrt(x^2 + 1))]`

`x = oo` si et seulement si `[(u),(v)]=[(1),(0)]`